Axiomas y Postulados Correspondientes para extender B a Lógicas de la Relevancia

Axiomas y Postulados Correspondientes para extender B a Lógicas de la Relevancia Resumen Primero he tratado de demostrar los axiomas mediante los postulados correspondientes junto con la semántica de B. Luego he tratado de demostrar los postulados empleando los axiomas de extensión y la lógica B de forma sintáctica.

Listado de fórmulas y deniciones. Axiomas de extensión(Bi ) y Postulados Correspondientes (qi ) B1 [A ∧ (A → B)] → B

q1 RC aaa

B2 [(A → B) ∧ (B → C)] → (A → C)

q2 RC abc ⇒ R2 a(ab)c

B3 (A → B) → [(B → C) → (A → C)]

q3 R2 abcd ⇒ R2 b(ac)d

B4 (A → B) → [(C → A) → (C → B)]

q4 R2 abcd ⇒ R2 a(bc)d

B5 [A → (A → B)] → (A → B)

q5 RC abc ⇒ R2 abbc

B6 A → [(A → B) → B]

q6 RC abc ⇒ RC bac

B7 [A → (B → C)] → [B → (A → C)]

q7 R2 abcd ⇒ R2 acbd

B8 [A → (B → C)] → [(A → B) → (A → C)]

q8 R2 abcd ⇒ R3 ac(bc)d

B9 (A → B) → {[A → (B → C)] → (A → C)}

q9 R2 abcd ⇒ R3 bc(ac)d

Deniciones d1 RC abc ⇔ ∀f.b.f A → B : Si a |= A → B y b |= A ⇒ c |= B d2 R2 abcd =Df ∃x ∈ K C /(RC abx &RC xcd) d3 R2 a(bc)d =Df ∃x ∈ K C /(RC bcx &RC axd) d4 R3 ab(cd)e =Df ∃x ∈ K C /(R2 abxe & RC cdx) El uso de 0 /0 será empleado como abreviatura de 'tal que', 'tales que' y semejantes.

1

Pruebas semánticas para los axiomas de extensión: [A ∧ (A → B)] → B

B1

Prueba

- q1

RC aaa

Supongamos que hay un modelo-B y a ∈ K en ese modelo tal que:

1. a |= A ∧ (A → B) - Hipótesis 2. a 2 B - Hipótesis reductio

ad absurdum

3. a |= A& a |= A → B - Denición semántica; 1. 4. Raaa - q1. 5. a |= B - d1; 2, 3. Por

tanto

B2

B1

es

válido

para

(A → B) → [(B → C) → (A → C)]

Prueba

la

semántica

de

B

en

unión

con

el

postulado

q1.

RC abc ⇒ R2 a(ab)c

- q2

Supongamos que hay un modelo-B y a ∈ K en ese modelo tal que:

1. a |= (A → B) ∧ (B → C) - Hipótesis 2. a 2 A → C - Hipótesis de

reductio ad absurdum

3. ∃b, c ∈ K / (Rabc, b |= A & c 2 C) - d1; 2. 4. a |= A → B & a |= B → C - Denición semántica; 1. 5. R2 a(ab)c - q2; 3. 6. ∃x ∈ K/(Rabx & Raxc) - d2; 5. 7. x |= B - 3, 4, 6. 8. c |= C - 4, 6, 7. Por

tanto

B2

es

una

fórmula

válida

en

la

semántica

de

B

en

unión

con

q2.

 B3

(A → B) → [(B → C) → (A → C)] Prueba

- q3

R2 abcd ⇒ R2 b(ac)d

Supongamos que hay un modelo-B y a ∈ K en ese modelo tal que:

1. a |= A → B - Hipótesis 2. a 2 (B → C) → (A → C) - Hipótesis de

reductio ad absurdum

3. ∃b, x ∈ K/(Rabx, b |= B → C & x 2 A → C ) - d1; 2. 4. ∃c, d ∈ K/(Rxcd,c |= A & d 2 C)- d1; 3. 5. R2 abcd - d2; 3,4. 6. R2 b(ac)d - q3; 5. 7. ∃y ∈ K C /(RC acy & RC byd) - d3; 6. 8. y |= B - 1, 4, 7. 9. d |= C - 3, 7, 8. Como d |= C, entonces B3 es válido mediante la semántica de B y el postulado q3 como había que demostrar. 2

B4 (A → B) → [(C → A) → (C → B)] - q4 R2 abcd ⇒ R2 a(bc)d Prueba

Supongamos que hay un modelo-B y a ∈ K en ese modelo tal que:

1. a |= A → B - Hipótesis 2. a 2 (C → A) → (C → B) - Hipótesis red.

ad abs.

3. ∃b, x ∈ K/(Rabx , b |= C → A & x 2 C → B) -d1; 2. 4. ∃c, d ∈ K/(Rxcd, c |= C & d 2 B) - d1; 3. 5. R2 abcd - d2; 3, 4. 6. R2 a(bc)d - q4; 5. 7. ∃y ∈ K/(Rbcy & Rayd) - d3; 6. 8. y |= A - 3, 4, 7. 9. d |= B - 1, 7, 8. Por tanto, B4 sería válido con la semántica de B si a aquella se le añadiese q4, como queda demostrado. B5

[A → (A → B)] → (A → B) Prueba

- q5

RC abc ⇒ R2 abbc

Supongamos que hay un modelo-B y a ∈ K en ese modelo tal que:

1. a |= A → (A → B) - Hipótesis 2. a 2 A → B - Hip.

red. ad abs.

3. ∃b, c ∈ K/(Rabc , b |= A & c 2 B ) - d1; 2. 4. R2 abbc - q5; 3. 5. ∃x ∈ K C /(RC abx & RC xbc) - d2; 4. 6. x |= A → B - 1, 3, 5. 7. c |= B - 3, 5, 6. Así, queda demostrada la validez de B5 mediante el uso de q5 en unión con la semántica de B. B6

A → [(A → B) → B] Prueba

- q6

RC abc ⇒ RC bac

Supongamos que hay un modelo-B y a ∈ K en ese modelo tal que:

1. a |= A - Hipótesis 2. a 2 (A → B) → B - Hip.

red. ad abs.

3. ∃b, c ∈ K/(Rabc , b |= A → B & c 2 B ) - d1; 2. 4. Rbac - q6; 3. 5. c |= B - 1, 3, 4. Si añadimos q6 a la semántica de B, entonces necesariamente B6 es válido para todo a, b, c ∈ K B7

[A → (B → C)] → [B → (A → C)]

- q7

R2 abcd ⇒ R2 acbd

3

Prueba

Supongamos que hay un modelo-B y a ∈ K en ese modelo tal que:

1. a |= A → (B → C) - Hip. 2. a 2 B → (A → C) - Hip.

red. ad abs.

3. ∃b, x ∈ K/(Rabx , b |= B & x 2 A → C ) - d1; 2. 4. ∃c, d ∈ K/(Rxcd, c |= A & d 2 C) - d1; 3. 5. R2 abcd - d2; 3, 5. 6. R2 acbd - q7; 3. 7. ∃y ∈ K/(Racy & Rybd) - d2; 6. 8. y |= B → C - 1, 4, 7. 9. d |= C - 3, 7, 8. Vemos que B7 es un axioma de extensión válido empleando la semántica B añadiéndole el postulado q7 . B8

[A → (B → C)] → [(A → B) → (A → C)] Prueba

- q8

R2 abcd ⇒ R3 ac(bc)d

Supongamos que hay un modelo-B y a ∈ K C en ese modelo tal que:

1. a |= A → (B → C) - Hip. 2. a 2 (A → B) → (A → C)- Hip.

red. ad abs.

3. ∃b, x ∈ K/(Rabx, b |= A → B & x 2 A → C) - d1; 2. 4. ∃c, d ∈ K/(Rxcd, c |= A & d 2 C) - d1; 3. 5. R2 abcd - d2; 3, 4. 6. R3 ac(bc)d - q8; 5. 7. ∃y ∈ K/(R2 acyd & Rbcy ) - d4; 6. 8. ∃z ∈ K/(Racz & Rzyd) - d2; 7. 9. y |= B - 3, 4, 7. 10. z |= B → C - 1, 4, 8. 11. d |= C - 8, 9 ,10. Por tanto, como 8 entra en contradicción con 1. B8 es válido con la semántica de B si añadimos q8 a ésta.

4

B9

(A → B) → {[A → (B → C)] → (A → C)} Prueba

- q9

R2 abcd ⇒ R3 bc(ac)d

Supongamos que hay un modelo-B y a ∈ K en ese modelo tal que:

1. a |= A → B - Hip. 2. a 2 [A → (B → C)] → (A → C) - Hip.

red. ad abs.

3. ∃b, x ∈ K/(Rabx, b |= A → (B → C) & x 2 A → C ) - d1; 2. 4. ∃c, d ∈ K/(Rxcd, c |= A & d 2 C) - d1; 3. 5. R2 abcd - d2; 3 , 4. 6. R3 bc(ac)d - q9; 5. 7. ∃y ∈ K/(R2 bcyd & Racy) - d4; 6. 8. ∃z ∈ K/(Rbcz & Rzyd) - d2; 7. 9. y |= B - 1, 4, 7. 10. z |= B → C - 3, 4, 8. 11. d |= C - 8, 9, 10. Como hemos probado d |= C , entonces B9 es válido en la semántica de B si le añadimos q9, como había que demostrar.

5

Pruebas canónicas para los postulados correspondientes a los axiomas de extensión: q1

RC aaa

- B1

Prueba

[A ∧ (A → B)] → B

Sean A, B fórmulas bien formadas cualesquiera y a ∈ K C tal que:

1. A ∈ a, A → B ∈ a - Hip. 2. ` [A ∧ (A → B)] → B - B1 3. A ∧ (A → B) ∈ a - Adjunción, 1. [a ∈ K C ] 4. B ∈ a - 2,3. [a ∈ K C , ` A → B & a ` A ⇒ a ` B ] B pertenece a a necesariamente si A ∈ a & (A → B) ∈ a . Por tanto, para todo a ∈ K C se da RC aaa en los modelos de

B.

q2

RC abc ⇒ R2 a(ab)c Prueba

- B2

[(A → B) ∧ (B → C)] → (A → C)

Sean A, B, C fórmulas bien formadas cualesquiera y a, b, c ∈ K C tal que:

1. RC abc - Hipótesis 2. x = {B | ∃A[A → B ∈ a & A ∈ b]} - Denición 3. RT abx - Teorema 3.4; 2. 4. A → B ∈ a & A ∈ x - Hipótesis [Se ha de probar B ∈ c] 5. C → A ∈ a & C ∈ b - Denición x; 2. 6. ` [(C → A) ∧ (A → B)] → (C → B) - B2. 7. (C → A) ∧ (A → B) ∈ a - 4, 5. 8. C → B ∈ a - 6, 7. [a ∈ K C por RC abc, en adelante se omitirá esta información] 9. B ∈ c - 1, 5, 8. Por tanto ∃x ∈ K T /(RT abx & RT axc). Pero se precisa que ∃x ∈ K C /(RC abx & RC axc). Luego, por el Teorema 3.6 hay x0 tal que x ⊆ x0 & RC ax0 c. Como x ⊆ x0 & RT abx, RC abx0 . Y hemos demostrado que ∃x0 ∈ K C /(RC abx0 & RC ax0 c). Entonces R2 a(ab)c por d3, como había que demostrar.

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q3

R2 abcd ⇒ R2 b(ac)d

Prueba

- B3

(A → B) → [(B → C) → (A → C)]

Sean A, B, C fórmulas bien formadas cualesquiera y a, b, c, d ∈ K C tal que:

1. R2 abcd - Hipótesis 2. Hay x ∈ K C /(RC abx & RC xcd) - d2; 1. 3. y = {B | ∃A[A → B ∈ a & A ∈ c]} - Denición 4. RT acy - Teorema 3.4; 3. 5. B → C ∈ b & B ∈ y -Hipótesis [Hemos de probar C ∈ d] 6. A → B ∈ a & A ∈ c - Denición y ; 5. 7. ` (A → B) → [(B → C) → (A → C)] - B3 8. (B → C) → (A → C) ∈ a - 6, 7. 9. A → C ∈ x - 2, 5, 8. 10. C ∈ d - 2, 6, 9. Por tanto, ∃y ∈ K T /(RT acy & RT byd). Por el Teorema 3.6, ∃y 0 ∈ K C /(y ⊆ y 0 & RC by 0 d). Como y ⊆ y 0 & RT acy , RC acy 0 . Así, ∃y 0 ∈ K C /(RC acy 0 & RC by 0 d), entonces R2 b(ac)d por d3, como había que demostrar.

q4

R2 abcd ⇒ R2 a(bc)d Prueba

- B4

(A → B) → [(C → A) → (C → B)]

Sean A, B, C fórmulas bien formadas cualesquiera y a, b, c, d ∈ K C tal que:

1. R2 abcd - Hipótesis 2. Hay x ∈ K C /(RC abx & RC xcd) - d2; 1. 3. y = {B | ∃A[A → B ∈ b & A ∈ c]} - Denición 4. RT bcy - Teorema 3.4; 3. 5. A → B ∈ a & A ∈ y - Hipótesis [Hemos de probar B ∈ d] 6. C → A ∈ b & C ∈ c - Denición y ; 5. 7. ` (A → B) → [(C → A) → (C → B)] - B4 8. (C → A) → (C → B) ∈ a - 5, 7. 9. C → B ∈ x - 2, 6, 8. 10. B ∈ d - 2, 6, 9. Así, ∃y ∈ K T /(RT bcy & RT ayd). Por el Teorema 3.6, ∃y 0 ∈ K C /(y ⊆ y 0 & RC ay 0 d). Como y ⊆ y 0 & RT bcy , RC bcy 0 . Así pues, ∃y 0 ∈ K C /(RC bcy 0 & RC ay 0 d), luego R2 a(bc)d por d3, como había que demostrar.

7

q5

RC abc ⇒ R2 abbc

- B5

[A → (A → B)] → (A → B)

Sean A, B, C fórmulas bien formadas cualesquiera y a, b, c ∈ K C tal que: 1. RC abc - Hipótesis Prueba

2. x = {B | ∃A[A → B ∈ a & A ∈ b]} - Denición 3. RT abx - Teorema 3.4; 2. 4. A → B ∈ x , A ∈ b - Hipótesis [Hemos de probar B ∈ cpara demostrar RT xbc] 5. C → (A → B) ∈ a & C ∈ b - Denición x; 4 6. ` C → (A → B) → .(C ∧ A) → B - Teorema del sistema [B∪T eorema de Contracción] 7. C ∧ A → .B ∈ a - 5, 7. 8. C ∧ A ∈ b - Adjunción; 4, 5. 9. B ∈ c - 1, 7, 8. Así, ∃x ∈ K C /(RT abx & RT xbc). Por el Teorema 3.5, ∃x0 ∈ K C /(x ⊆ x0 & RC x0 bc). Como x ⊆ x0 & RT abx, RC abx0 . Así, ∃x0 ∈ K C /(RC abx0 & RC x0 bc), luego R2 abbc por d2, como había que demostrar. q6

RC abc ⇒ RC bac

- B6

A → [(A → B) → B]

Sean A, B fórmulas bien formadas y a, b, c ∈ K C tal que: 1. RC abc - Hipótesis Prueba

2. A → B ∈ b & A ∈ a - Hipótesis [Hemos de probar B ∈ c para probar RC bac] 3. ` A → [(A → B) → B] - B6 4. (A → B) → B ∈ a - 2, 3. 5. B ∈ c - 1, 2, 4. Así, queda demostrado que empleando B6 y tomando como premisa RC abc, RC bac se da necesariamente. q7

R2 abcd ⇒ R2 acbd

- B7

[A → (B → C)] → [B → (A → C)]

Sean A, B, C fórmulas bien formadas cualesquiera y a, b, c, d ∈ K C tal que: 1. R2 abcd - Hipótesis Prueba

2. Hay x ∈ K C /(RC abx & RC xcd) - d2; 1. 3. y = {B | ∃A[A → B ∈ a & A ∈ c]} - Denición 4. RT acy - Teorema 3.4; 3. 5. B → C ∈ y & B ∈ b- Hipótesis [Hemos de probar C ∈ d para probar RT ybd] 6. A → (B → C) ∈ a & A ∈ c- Denición y ; 5. 7. ` [A → (B → C)] → [B → (A → C)] - B7 8. B → (A → C) ∈ a - 6, 7. 9. A → C ∈ x - 2, 5, 8. 10. C ∈ d - 2, 6, 9. Así, ∃y ∈ K T /(RT acy & RT ybd). Por el Teorema 3.5, ∃y 0 ∈ K C /(y ⊆ y 0 & RC y 0 bd). Como y ⊆ y 0 & RT acy , RC acy 0 . Así, ∃y 0 ∈ K C /(RC acy 0 & RC y 0 bd), luego R2 acbd por d2, como había que demostrar.

8

q8

R2 abcd ⇒ R3 ac(bc)d

Prueba

- B8

[A → (B → C)] → [(A → B) → (A → C)]

Sean A, B, C fórmulas bien formadas cualesquiera y a, b, c, d ∈ K C tal que:

1. R2 abcd -Hipótesis 2. Hay x ∈ K C /(RC abx & RC xcd) - d2; 1. 3. y = {B | ∃A[A → B ∈ a & A ∈ c] - Denición 4. RT acy - Teorema 3.4; 3. 5. z = {E | ∃D[D → E ∈ b & D ∈ c] - Denición 6. RT bcz - Teorema 3.4; 5. 7. A → B ∈ y - Hipótesis 8. A ∈ z - Hipótesis [Hemos de probar B ∈ d para probar RT yzd] 9. C → (A → B) ∈ a & C ∈ c - Denición y ; 7. 10. C 0 → A ∈ b & C 0 ∈ c - Denición z ; 8. 11. ` [(C ∧ C 0 ) → (A → B)] → {[(C ∧ C 0 )→ A] → [(C ∧ C 0 ) → B]} - Instancia de B8 ` [A → (B → C)] → [(A → B) → (A → C)]

12. ` C ∧ C 0 → .C - Axioma de B 13. ` C → (A → B) → .C ∧ C→ (A → B) - Sujación, 12. 14. C ∧ C 0 → (A → B) ∈ a - 9, 13. 15. C ∧ C 0 → A → .C ∧ C 0 → B ∈ a - 11, 14. 16. ` C ∧ C 0 → .C 0 - Axioma de B 17. ` C 0 → A → .C ∧ C 0 → A - Sujación, 16. 18. C ∧ C 0 → A ∈ b - 10, 17. 19. C ∧ C 0 → B ∈ x - 2, 15, 18. 20. C ∧ C 0 ∈ c - 9, 10. [c ∈ K C , por tanto, está cerrada por adjunción] 21. B ∈ d - 2, 19, 20. Así, ∃y ∈ K T /(RT acy & RT yzd). Por el Teorema 3.5, ∃y 0 ∈ K C /(y ⊆ y 0 & RT y 0 zd). Como y ⊆ y 0 & RT acy , RC acy 0 . Por el Teorema 3.6, ∃z 0 ∈ K C /(z ⊆ z 0 & RC y 0 z 0 d). Así, ∃y 0 ∈ K C /(RC acy 0 & RC y 0 z 0 d), luego R2 acz 0 d por d2. Como z ⊆ z 0 & RT bcz , RC bcz 0 . Así, ∃z 0 ∈ K C /(R2 acz 0 d & RC bcz 0 ), luego R3 ac(bc)d por d4, como había que demostrar.

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q9

R2 abcd ⇒ R3 bc(ac)d Prueba

- B9

(A → B) → {[A → (B → C)] → (A → C)}

Sean A, B, C fórmulas bien formadas cualesquiera y a, b, c, d ∈ K C tal que:

1. R2 abcd - Hipótesis 2. Hay x ∈ K C /(RC abx & RC xcd) - d2; 1. 3. y = {B | ∃A[A → B ∈ a & A ∈ c]} - Denición 4. RT acy - Teorema 3.4; 3. 5. z = {D | ∃C[C → D ∈ b & C ∈ c]} - Denición 6. RT bcz - Teorema 3.4; 5. 7. C → D ∈ z - Hipótesis 8. C ∈ y - Hipótesis [Por 7 y 8, hemos de probar D ∈ d para demostrar RT zyd] 9. A → (C → D) ∈ b & A ∈ c - Denición z ; 7. 10. B → C ∈ a & B ∈ c - Denición y ; 8. 11. A ∧ B ∈ c - 9, 10. [c ∈ K C ,por tanto, está cerrada por adjunción] 12. ` [(A ∧ B) → C] → {[(A ∧ B) → (C → D)] → [(A ∧ B) → D]} - Instancia de B9 ` (A → B) → {[A → (B → C)] → (A → C)}

13. ` A ∧ B → .A - Axioma de B 14. ` A → (C → D) → .(A ∧ B) → (C → D) - Sujación, 13. 15. A ∧ B → .(C → D) ∈ b - 9, 14. 16. ` A ∧ B → .B - Axioma de B 17. ` B → C → .(A ∧ B) → C - Sujación, 16. 18. A ∧ B → .C ∈ a - 10, 17. 19. [(A ∧ B) → (C → D)] → [(A ∧ B) → D] ∈ a - 12, 18. 20. A ∧ B → .D ∈ x - 2, 15, 19. 21. D ∈ d - 2, 11, 20. Así, ∃z ∈ K T /(RT bcz & RT zyd). Por el Teorema 3.5, ∃z 0 ∈ K C /(z ⊆ z 0 & RT z 0 yd). Como z ⊆ z 0 & RT bcz , RC bcz 0 . Por el Teorema 3.6, ∃y 0 ∈ K C /(y ⊆ y 0 & RC z 0 y 0 d). Así, ∃z 0 ∈ K C /(RC bcz 0 & RC z 0 y 0 d), luego R2 bcy 0 d por d2. Como y ⊆ y 0 & RT acy , RC acy 0 . Así, ∃y 0 ∈ K C /(R2 bcy 0 d & RC acy 0 ), luego R3 bc(ac)d por d4, como había que demostrar.

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