ATPS OFICIAL calculo 3 Copia

10



INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL INDEFINIDA.
Para fixar de forma prática a teoria das Integrais indefinidas e definidas, desenvolvidas previamente em sala de aula pelo professor será necessário a realização dos passos a seguir:
1.1 Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.
Em pesquisas realizadas na internet, as integrais já estavam embutidas no método de exaustão atribuído ao Eudoxo por volta do ano 365 a.c., e aperfeiçoado por Arquimedes por volta do ano 225 a.c. Porém a Integral em si foi criada por Isaac Newton e Wilhelm Leibniz no século XVII.
Eles sistematizaram ideias e métodos que surgiram ao longo dos séculos XVI e XVII. Com isso, eles perceptaram que em certos casos, a área da região podia ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos, permitindo assim a passagem do método de exaustão para o conceito da Integral.
Integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

1.2 Desafio A
- Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:(a33+3a3+3a)da
(a33+3a3+3a)da
a33da + 3a3da + 3ada
13a3da + 3a-3 da + 3daa
13a44 + 3a-2-2+ 3lna + c
13 x14a4-3a-2-2a2 +3lna + c
a412 - 32a2 + 3lna + c

RESPOSTA: alternativa (B)

Desafio B
Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:
C'q=1000+50q
C0= 1OOOO
Cq= 1000+50qdq
Cq= 1000dq + 50q dq
Cq=1000dq + 50q dq
Cq=1000q +50q22+ C
Cq=1000q+25q2 + C
Cq=10000 + 1000q + 25q2+C
RESPOSTA : alternativa (A).

Desafio C
No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) =16,1× e0,07t . Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?
Ct=16,1 x e0,07t
2416,1 x e0,07tdt
2416,1 x e0,07t 0,07dt
10,072416,1 x eudu
10,07x 16,1 24eudu
16,10,07 x eu=230 e0,07t 42
F4-F2
230 x e0,07 x 4-230 x e0,07x2
230 x 1,32-230 x 1,15
304,32-264,55=39,76 Bilhões
RESPOSTA: alternativa ( C ).

Desafio D
A área sob a curva y=ex2 de x= -3 a x= 2 é dada por :
-32ex2 dx u=x2 du=12dx
-32ex212dx
2-32eudu= 2eu2-3 = 2ex2 2-3
F2-F-3
2 ex2 - 2e-32 = 2 e-2e32 = 2 x 2,718-2/4,48
5,436-0,446 = 4,99
RESPOSTA: alternativa (A)

1.3 Marque a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e).
RESPOSTA : número 3.

Para o desafio B:
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (e).
RESPOSTA : número 0.

Para o desafio C:
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).
RESPOSTA: número 1.

Para o desafio D:
Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (d).
Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (e).
RESPOSTA: número 9

RESPOSTA FINAL: 3019.


INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO. INTEGRAÇÃO POR PARTES
Para fixar de forma prática, a técnica de integração por substituição e por partes, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor e aprender a resolver vários tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades resolver os passos a seguir:

Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Os conceitos e a aplicação de integral tem importância na resolução de diversos problemas, por exemplo de Física. As técnicas de integração são aplicadas na determinação da posição em todos os instantes de um objeto sendo conhecida sua velocidade nesses instantes.
No cálculo em geral, o conceito das técnicas de integração é apresentado de forma menos rigorosa ou formal com o objetivo de simplificar e ampliar a sua compreensão. Independente de como é apresentado, todas as técnicas nos mostram um resultado final de uma integração objetivando resolver alguns problemas.
Conceituais relacionadas a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição.
Integração por substituição: técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis . Desta forma, o que, substituindo na integral acima, fornece:

Integração por partes: A técnica de integração por partes é uma consequência da regra do produto para derivadas. Ela estabelece que:
.
Para integrais definidas, a fórmula análoga é:

Integração por substituição trigonométrica: As substituições trigonométricas são muitas vezes úteis para calcular integrais contendo expressões da forma , , ou . Nestes casos, as substituições sugeridas são:
Expressão
Substituição
Elemento infenitesimal
Expressão resultante













Integração por fração parcial:
A técnica de frações parciais é utilizada para o cálculo de integrais de funções racionais. Considere:

onde, e são polinômios. Notamos que, por divisão de polinômios, encontrar polinômios e tais que:

sendo um polinômio de grau menor que . O método segue da fatoração de em polinômios irredutíveis, i.e. escrevemos:
.
Com isso, podemos encontrar constantes , e tais que:
.
Em resumo, temos:

que consiste na integração do polinômio e de uma série de funções racionais das formas ou . As integrais destas, por sua vez, podem ser calculadas pelos métodos de integração discutidos acima.

Considerem as seguintes igualdades:
3-tx t2-6t4dt= -t2-6t510+C10 05tt+4 dt=4,67
Podemos afirmar que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa
(d) (I) e (II) são falsas
I)
3-tx t2-6t4dt= -t2-6t510+C10
u=t2-6t du=2t-6dt
-12t2-6t4x-23-tdtdu
-12u4du = -12u4+14+1+c = -12xu55+c = -u510+c
-t2-6t510+c
RESPOSTA: verdadeira.
II)
05tt+4 dt=4,67
05tt+412 dt = 05t+4-12 tdt = t05u-12du = t u1250
2tu50 = 2tt+4 50
u=t+4 du=dt
F5-F0= 2.5 5+4 - 2.0 0+4 = 109 = 10 X3 = 30
RESPOSTA: falsa.

RESPOSTA FINAL: alternativa ( C ).

2.3 Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Para o desafio:
Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).
Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).
Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).
Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (d).

RESPOSTA: número 3.