Apuntes vectores
Descripción
22/10/2015
IV. VECTORES 1. Introducción El afán del matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865) de representar objetos en el plano y el espacio lo llevó a descubrir los “cuaterniones”. Este concepto lo condujo al de lo que actualmente se denomina “vectores”. Durante la segunda mitad del siglo XIX, se debatió sobre la utilidad de los cuaterniones.
2. Magnitudes Es un valor, una cantidad que representa alguna característica referida a un objeto o sujeto. Pueden ser escalares o vectoriales. Magnitud escalar: se encuentra definida al expresar el valor, ejemplo temperatura, área, volumen, tiempo, entre otros. Magnitud vectorial: si para encontrarse definida es necesario expresar el valor, la dirección y el sentido, ejemplo la velocidad, la aceleración, fuerza, entre otros.
3.2. Componentes de un vector Las proyecciones del vector sobre los ejes se denominan componentes. y
3. Vector Segmento rectilíneo dotado de magnitud, dirección y sentido. dirección A
punto inicial punto final v
ma
v AB
gni
sentido
tud
B
Si un vector no coincide con el origen
v , v AB
3.1. Notación:
A fines del siglo XIX, el físico británico Lord Kelvin escribió “...aun cuando los cuaternios no son notablemente ingeniosos, han demostrado ser de mala fortuna para quienes de alguna manera los han estudiado, así como nunca han sido de la más remota utilidad para criatura alguna...” Sin embargo, Kelvin estaba equivocado, actualmente casi todas las áreas de la física clásica y moderna son representadas por medio del lenguaje de los vectores.
v P1P2 P2 P1
v P1P2 P2 P1
v (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
v ( x2 x1, y2 y1)
z
y
z2
z
v ( v1, v2 )
8
P2
y2
7
P2 z1
6
v2
v3
5
3
v
y2 y1
2
v
1
v1 2
v1
1
1
2
3
v2 4
5
6
7
8
y
y1
P1 x2
4 5 6 7
x
y
x1
3
x
v P1
v
4
v ( v1, v2, v3 )
x
x1
x2
x
8
1
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Ejemplo 2: Sean los puntos: Ejemplo 1. Ubique en el plano xy, los puntos que tienen las coordenadas: a) (–3, 5); y b) (4, 7); c) (0, 0) 10
(4,7)
(-3,5)
5
(0,0)
5
Ejemplo 3: Sean los puntos: P1 (3,5,4);P2 (6,10,8) P1P2 P2 P1 (6,10,8) (3,5,4) (9,15,12)
Ejemplo 4. v AB B A (5 3,10 7) (2,3) a) A = (–3,7), B = (–5,10)
x -5
P1 (5,6);P2 (8,3)
P2P1 P1 P2 (5,6) (8,3) (3,9)
v AB B A (5 3,10 7) (2,3)
10
b) A = (1,4,2), B = (3,–6,0)
-5
v AB B A (3 1,6 4,0 2) (2,10,2)
4. Norma y distancia Sea el vector v se denomina norma o módulo de v a la longitud que éste tiene, se denota como || v || y se calcula: || v || v12 v22
Bi-dimensión: Tri-dimensión:
|| v || v12 v22 v32
Si v = P1P2: dv x2 x12 y2 y12 Bi-dimensión: Tri-dimensión: dv x2 x12 y2 y12 z2 z12 Ejemplo 6: Sean los puntos: P1 (7,9); P2 (10,3) || dP2P1 || (7 10)2 (9 3)2 45
Ejemplo 5: Sean los vectores: u (1,3,4); w (5,2,7)
Ejemplo 7: Sean los puntos:
|| u || (1) (3) (4) 26
P1 (4,5,4);
|| w || (5)2 (2)2 (7)2 78
|| dP1P2 || ( 6 4)2 ( 3 5)2 (2 4)2 104
2
2
2
5. Dirección En el bi-espacio, se mide como el ángulo que levanta el vector a partir del eje horizontal.
Ejemplo 8: Dados:
73 2311'55"
a) w tg1
b) P P tg1 1 2
v2
tg v
v2 v1
tg 1
v1
x
v2 v1
w (7,3)
P1 (7,9);P2 (10,3)
v ( v1, v2 )
y
P2 (6,3,2)
y 2 y1 x 2 x1
tg
1 3 9 10 7
tg1 36 6326'6"
Ejemplo v 5 9. Encuentre la dirección de u 3, tg 59º2'10"
tg 1
2
1
v1
tg 1
y
3
5
v2
v2 5 tg 1 59º2'10" v1 3
y v
59 º 2'10 " v1
v
x
59 º 2'10 " v1
2
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En el tri–espacio, se mide como los ángulos entre el vector y los ejes del sistema.
Ejemplo 10: u ( 3,5,6)
la dirección:
z 6 5
v3
cos
4
|| u || (3)2 (5)2 (6)2 70
v1 || v ||
1110'44" 5318'03" 13549'07"
2
v1
cos
|| v ||
3
1
v1
v
1 1
1
2
3
cos
v2 4
5
6
2
v2
cos1
|| v ||
y
u cos1
3 70
|| v ||
u cos1
5 70
v3
u cos1
6 70
v2
3 4 5
x
cos
6
v = (v1, v2, v3)
v3 || v ||
cos1
|| v ||
,
Se define el vector unitario de v :
Ejemplo 11: Dados
v
P1 (4,5,4);P2 (6,3,2)
|| v ||
la dirección de : P1P2 P1P2 P2 P1 (6 4) (3 5) (2 4) ( 2,8,6) P1P2 cos1 P1P2 cos1 P1P2 cos1
u 2, u
u12
2
2 104 8 104 6 104
2
10118'36"
w
14140'16"
w
5357'36"
2
w 6,
w
w
u2 u32 ( 2)2 (3)2 ( 4)2
9
7,
w 12
w 2 2 w 3 2 ( 6) 2 ( 7) 2 (9) 2 166
w w w 6 7 9 1 , 2 , 3 ; ; 0,47;0,54;0,70 w w w 166 166 166 2
u u u 2 3 4 1, 2, 3 ; ; 0,37;0,56;0,74 u u u u 29 29 29 2
2
2
2 3 4 29 29 29
2
29
Bi dimensión:
u
u u
2
6 7 9 36 49 81 166 1 1 166 166 166 166 166 166 166
6. Igualdad de vectores Dos vectores v , u , son iguales si y solo sí son iguales componente a componente:
4
3,
Ejemplo 12. Encuentre el vector unitario de: w
|| dP1P2 || ( 2) ( 8) (6) 104 2
v v v 1 , 2 , 3 || v || || v || || v ||
4 9 16 29 29 29
29 1 1 29
u v u1 v1
u2 v2 Tri dimensión:
u v u1 v1 u2 v2
u3 v3
3
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7. Operaciones con vectores 7.1. Suma de vectores Dados dos vectores, es posible obtener un nuevo vector de la suma de ellos. Las componentes del vector suma se obtienen de la suma de las componentes de estos. Bi dimensión: u v u1 v1;u2 v 2 Tri dimensión: u v u1 v1; u2 v 2 ; u3 v 3
Ejemplo 13: Sean los vectores: u (1,3,4); v (3,0,4); w (5,2,7) 0 (0,0,0)
u + v = (1,3, –4)+(–3,0,4) = (–2,3,0) w + u= (5,–2,7)+(1,3,–4) = (6,1,3) w + 0 = (5,–2,7)+(0,0,0) = (5,–2,7) Vectores interesantes respecto a la suma Vector nulo 0 (0,0,0) (v O) (O v) v
Vector opuesto v (v (v)) (v v) O
7.2. Producto de un vector por un escalar Dado el vector v y el escalar k, se define k.v, bajo las siguientes condiciones: a) Todo vector v se puede multiplicar por cualquier escalar k, sin restricción alguna. b) Las componentes del vector resultante (k.v), se obtienen del producto de las componentes de (v) por el escalar (k). k·(v) = (k.v)
Ejemplo 14: Sean k1=3 y k2=–0,75
v 2, 5, 3
4
u 6, 0, 7
6,15, 9 4
a)
k1v 3· 2, 5, 3
b)
k2u 0.75·6, 0, 7 4,50, 0, 5,25
4
c) El vector resultante (k.v), tiene las siguientes características: * es k veces v * si k0; (k.v) tiene la misma dirección y sentido que v * si k0; (k.v) tiene la misma dirección y sentido opuesto a v * si –1 k1; (k.v) es una compresión de v * si –1k1; (k.v) es una expansión de v
Teorema 1. Sean v , u, w definidos en R. Sean k, l escalares en R. La suma de vectores y el producto de un escalar por un vector, están dotados de las siguientes propiedades: 1 2
(v u) w v (u w )
6
k l·u (k·u l·u)
(v O) (O v) v
7
k·l·u k·(l·u) l·(k·u)
3
(v (v)) (v v) O
8
1·u u·1 u
4
(v u) (u v)
9
1·u u
5
k·(v u) (k·v k·u)
10
0·u 0
4
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7.3. Producto escalar Se define el producto escalar de v, u que da como resultado un número escalar. Se denomina producto punto, producto euclidiano interior o producto interior, se denota v u y se calcula:
Ejemplo 15: Dados los vectores v 3, 5;u 8, 1
v u (3)·(8) (5)·(1) 29
Ejemplo 16: Dados los vectores
v u (v1, v2 ) (u1,u2 ) v1 u1 v2 u2
v 6, 7, 9;u 2, 3, 4
v u (v1, v2, v3 ) (u1,u2,u3 ) v1 u1 v2 u2 v3 u3 )
v u (6)·(2) (7)·(3), (9)·(4) 3
Teorema 2. Sean u, v, w El producto escalar esta dotado de las siguientes propiedades: 1º (v u) (u v) v·u 0
u v
cos
|| u ||·||v ||
2º w·(v u) ( w·v w·u) 3º Si
7.3.1. Ángulo entre dos vectores Sean los vectores v , u ,
v u
|| u ||·||v ||
Ejemplo 17: Dados los vectores v 3, 5;u 8, 1
4º k(v u) (kv) u 5º v v 0 2 6º || v || v v
Ejemplo 18: Dados los vectores v 6, 7, 9;u 2, 3, 4
|| u || (2)2 (3)2 (4)2 29
u v
cos1
|| u || (8)2 (1)2 65 || v || (3)2 (5)2 34
v u (3)·(8) (5)·(1) 29 u v 29 cos1 cos1 1285'20" 65 . 34 || u ||·||v ||
Ejemplo 19. Encuentre el ángulo definido entre v 2,7,3; u 2,1,1 v u (2)·(2) v
v12
v22
(7)·(1), v32
(3)·(1) 0
(2)2 (7)2 (3)2 62
|| v || (6)2 (7)2 (9)2 166
v u (6)·(2) (7)·(3), (9)·(4) 3
cos1
u v
3 cos1 8731'19" 29 . 166 || u ||·||v ||
u u12 u22 u32 (2)2 (1)2 (1)2 6 cos 1
v u v ·u
0 cos 1(0) 90 º0'0" cos 1 62 · 6
5
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Teorema 3 Sean los vectores u, v, 1 Si
v·u 0
cos 0
2
2 Si
v·u 0
cos 0
2
3 Si
v·u 0
cos 0 2
7.3.2. Proyección de un vector sobre otro Sean u, v El vector proyección de u sobre v tiene las siguientes características: * Se denota:uv * Tiene la misma direcciónquev u v v * Se obtiene: uv || v ||2
* Si : v·u 0, tieneel mismo sentidoquev * Si : v·u 0, tienesentidoopuestoa v * Si
Ejemplo 20. Encuentre uv v 2,7,3; u 2,1,1 u v
v·u 0, u v , uv 0
7.4. Producto vectorial
2 2 2 v)( (272)2(v33)2 (62 (v21)2 v 6) 2 ( 7) 2 (9) 2 166 (2)(2) (1)(v7) (1 1 3) v2 0 v 3 v
u v v 0 (2,7,3) (0,0,0) uv 2 || v ||2 62
Ejemplo 21.
Encuentre uv
v 6,7,9 u 2,3,4 v u (6)·(2) (7)·(3), (9)·(4) 3 v v 12 v 2 2 v 3v2 (v61)22 v(227)2 v(392) 2 ( 6166 ) 2 ( 7) 2 (9) 2 166
u v v 3 (6,7,9) ( 18 , 21 , 27 ) uv 2 || v ||2 166 166 166 166
uv (0,11;0,13;0,16)
Ejemplo 22. Encuentre el producto vectorial de v 3, 1, 5;u 2, 6, 4 v1 v2 v3 vx u v2·u3 v3·u2;v1·u3 v3·u1; v1·u2 v2·u1 u1 u2 u3 3 1 5 vxu 1·4 5·6;3·4 5· 2·;3·6 1· 2 34, 22, 16 2 6 4
vx u (34,22,16)
2 6 4 ux v 6·5 ( 4)·(1);(2)·(5) ·4·(3); ( 2)·(1) 6·(3) 34, 22, 16 3 1 5
Dados los vectores u, v, el producto vectorial de ellos, v x u es igual al vector normal al plano formado por u, y v, Las componentes del vector v x u se obtienen través de la expresión:
i j k v x u v 1 v 2 v 3 v 2·u3 v 3 ·u2 ·i;v1·u3 v 3 ·u1 ·j;v1·u2 v 2·u1 ·k u u u3 1 2
v x u v 2 ·u3 v 3 ·u2 ; v1·u3 v 3 ·u1 ; v 1·u2 v 2 ·u1
Ejemplo 23. Encuentre el producto vectorial de v 6, 7, 9;u 1, 3, 8 v x u 61 37 98 7· 8 9·3 ;6· 8 9· 1·;6·3 7 · 1 29, 39, 11
v x u 29, 39, 11
u x v 61 37 98 3·9 8· 7·; 1·9 8· 6·; 1· 7 6·3 29, 39, 11
ux v 29, 39, 11
ux v (34,22,16)
6
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Teorema 4. Sean los vectores u, v,
Teorema 5. Identidad de Lagrange. Sean los vectores u, v, Sea el ángulo formado por u y v
1º (vx u) (ux v) 2º w x (v u) ( w x v w x u)
uxv u · v ·sen
3º k(vx u) (kv)x u
Teorema 6.
4º w (vx u) ( w x v) u 5º u (vx u) v (vx u) 0 6º Si vx u 0 v || u
Sean los vectores u, v,
uxv S Donde S = superficie del paralelogramo formado por u y v v
7º ux u 0
S
b
v ·s e n
h =b·sen
a
v || vv || .sen S || uSxv u||x || u || sen
Teorema 7. Desigualdad Sean los vectores u, v,
triangular.
uv u v
Teorema 8. Desigualdad de Cauchy – Schwartz. Sean los vectores u, v, uv u v
Teorema 11. Sean los vectores u, v, w u1 u ( v x w ) v1
u2 v2
w1 w 2
Donde: V = volumen del paralelepípedo que tiene como lados los vectores u, v, w
u3 v3 V w3
S = a·h
u
Teorema 9. Sean los vectores u, v, w u (v x w ) v ( w x u) w (ux v)
Teorema 10. Sean los vectores u, v, w u1 u ( v x w ) v1
u2 v2
u3 v3
w1 w 2
w3
7.4.1.Caracterización del vector resultante Las características del nuevo vector: ux v a) Magnitud, la norma o módulo se determina a través de la identidad de LaGrange, es decir: uxv u v ·sen b) Dirección, perpendicular al plano formado por u y v c) Sentido, según la regla de la mano derecha.
7
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7.4.2. Vectores unitarios Los vectores unitarios son los vectores directores de los ejes que conforman el espacio. Se denominan: i, j, k Su norma es 1: Y tienen como componentes:
8. Planos y rectas en el espacio 8.1. Ecuación de un plano en el espacio Sea el plano y sea n = (a,b,c) un vector normal al plano y Po=(xo, yo, zo) un punto conocido sobre el plano. Sea P=(x,y,z) un punto arbitrario sobre el plano. P=(x, y, z) P P El vector P0P, se define P =(x , y , z ) sobre el plano: o
o
i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)
Al ser ortogonales entre sí, el producto escalar de estos vectores es nulo
n·P0P 0
y y0,
z z0 0
a(x x0 ) b(y y0 ) c(z z0 ) 0 ax by cz ax0 by0 cz0 0
Ecuación forma punto normal del plano, normal a n y pasa por el punto P0
Re emplazando: d ax0 by0 cz0
ax by cz d 0
Ecuación general de plano normal a n que pasa por el punto P0=(x0,y0,z0)
2 7 4 (2,0,1) 1 3 2
n (2,0,1)
Punto conocido sobre el plano, puede ser uno de los puntos terminales de los vectores, P0= (–1,3,–2) P x, y, z n·P0P 0
P0P ( x 1, y 3, z 2)
(2,0,1)(x 1, y 3, z 2) 0 2( x 1) 0( y 3) 1(z 2) 0
2x 2 z 2 0
0
Ejemplo 24. Encontrar la ecuación del plano perpendicular a n=(2,–7,9) que pasa por P0=(3,–1,1),. Solución P = (x, y, z) punto arbitrario sobre el plano P0P (x 3, y 1, z 1)
n·P0P 0
n·P0P (2,7,9)·x 3,
Ejemplo 25. Encuentre la ecuación del plano que contiene los vectores v = (2,–7,4) y u = (–1,3,–2). Vector normal al plano v u
0
P0P x x0, y y0, z z0
n y P0P son normales, n·P0P (a, b, c)·x x0,
0
2x z 0
y 1,
z 1 0
2(x 3) 7(y 1) 9(z 1) 0 2x 7y 9z 6 7 9 0 2x 7y 9z 22 0
8.2. Ecuaciones de una recta en el espacio Sea L recta en el espacio, sea Po=(xo, yo, zo) punto sobre la recta y un vector u = (a,b,c) paralelo a ella, se obtiene las ecuaciones Sea P=(x, y, z) un punto arbitrario sobre L. El vector P0P, se define sobre la recta: P0P (x x0, y y0, z z0 )
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,
Dado que u es paralelo a P0P P0P ku
(x x0, y y0, z z0 ) k(a, b, c)
Igualando componente a componente: xx -- xx00 ==k·a k·a yy -- yy00 ==k·b k·b zz -- zz00 ==k·c k·c
xx ==xx00 ++k·a k·a yy== yy00 ++k·b k·b zz==zz00 ++k·c k·c
Ecuaciones paramétricas de la recta paralela u=(a,b,c) que pasa por P0 =(x0,y0,z0)
Ejemplo 26. Obtenga las ecuaciones de la recta L, paralela a u=(4,–8,5), que pasa por P0 =(6, –3,7) x = 6 + 4k y = - 3 - 8k z = 7 + 5k
x-6 y3 z-7 == =k 4 8 5
Igualando las ecuaciones al parámetro k, se despejan se tiene que: x - x0 = k·a y - y0 = k·b z - z0 = k·c
x - x0 y - y0 z - z0 = = =k a b c
Estas son las ecuaciones simétricas de la recta paralela al vector u=(a, b, c) que pasa por el punto P0 =(x0,y0,z0)
FIN DE LA UNIDAD VECTORES
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