APROXIMACIÓN AL SISTEMA DE NUMERACIÓN QUICHUA Y SUS INSTRUMENTOS DE CÁLCULO APPROACH TO QUICHUA NUMBERING SYSTEM AND CALCULATION TOOLS Castro Terán Jonathan Esteban1 – Unidad Educativa Particular Lev Vygotsky –
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RESUMEN El idioma en que se aprende matemática tiene mucha influencia sobre el aprehendizaje de esta ciencia. Los niños indígenas que aprenden a contar en quichua tienen grandes ventajas sobre los mestizos, por la facilidad de representar los números por medio de palabras simples.
De la misma manera las culturas indígenas han diseñado artefactos que han sido comparados con calculadoras, tales como las taptanas. Existen varias adaptaciones de estos instrumentos, unos permiten representar sistemas de numeración en diferentes bases y otros ayudan a las operaciones básicas, pero todos comparten los mismos principios ancestrales indígenas. Contador indígena, Taptana, Sistema de numeración indígena.
ABSTRACT The language that is used to learn mathematics has much influence on the learning of this science. The Indian children learn to count in their language (quichua). They have big advantages over the Mestizos. It is because they can perform the numbers easily through of simple words.
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Licenciado en Ciencias de la Educación Matemática y Física (Universidad Central del Ecuador), Licenciado en Teología Pastoral (Vision International University). Actualmente es Profesor de Matemática y Geometría (Unidad Educativa Particular Lev Vygotsky). Ha participado como expositor en el XII COLOQUIO REGIONAL DE MATEMÁTICAS y el II SIMPOSIO DE ESTADÍSTICA (Universidad de Nariño).
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At the same manner the indigenous cultures have designed appliances that could be compared with calculator such as taptantas. There are some adaptations to these instruments. Ones of them can represent the numbering system in different bases. And other help to the basic operations, but all share the same ancestral principles. Indigenous accountant, Taptana, Indigenous numbering system.
INTRODUCCIÓN A lo largo de la carrera como docente de matemática, uno de los mayores inconvenientes a los que nos vemos enfrentados es al sentimiento del rechazo a la matemática. Muchos aducen que somos nosotros quienes, con una metodología y didáctica tradicional, vamos año a año reforzando este sentimiento malsano. Tal vez tengan razón.
Mas allá de encontrar culpables debemos saber que el bajo rendimiento en matemática en secundaria o en la universidad es el producto de años y años de un mal aprendizaje. Esto se ha convertido en una bola de nieve que cada vez va creciendo. ¿Cuál es el inicio de todo esto?
DESARROLLO Según muchos expertos, la matemática surgió como una herramienta para comprender y dominar el mundo con el que el ser humano interactuaba. De esta manera surge la primera y la más básica de las operaciones matemáticas el conteo.
De manera general se puede decir que contar es establecer una correspondencia biunívoca entre los objetos de una colección y la secuencia ordenada de los números naturales a partir de su primer elemento, dejando de lado las características de los objetos de la colección.
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Los primeros instrumentos que el ser humano utilizó para contar fueron los dedos. Más tarde asoció a cada una de las cantidades de objetos signos y nombres que hoy conocemos como números. De esta manera surgen los sistemas de numeración, unos posicionales y otros aditivos2.
El sistema decimal posicional es el más conocido y difundido a nivel mundial. Por lo que es de enseñanza obligatoria en la mayoría de los centros educativos del mundo. En los primeros años escolares los niños aprenden las nociones de cantidad y símbolos numéricos. Aprenden a contar del uno al diez, pasando por alto la concepción y la importancia del cero. Luego relacionan un símbolo y una palabra para expresar la cantidad de objetos que perciben.
Todo hasta aquí es muy fácil, pues incluso existen canciones y toda clase de recursos que se pueden utilizar para este aprendizaje.
Sin embargo cuando se debe aprender los siguientes diez números (desde el 11 al 20) es donde surgen las dificultes. Primero es necesario explicar que la posición que tome un número determinará el significado que éste tiene. Así por ejemplo un cuatro que ocupa la primera posición desde la derecha representa a cuatro unidades, pero si el cuatro está en segunda posición desde la derecha quiere decir cuatro decenas o lo que es lo mismo cuatro veces el diez.
Una vez que el niño domina la diferenciación de significados de acuerdo a la posición, entiende cómo surgen el resto de números y deberá ser capaz de formar los números hasta el noventa y nueve, prácticamente sin ayuda. Luego viene la parte más difícil, relacionar esos símbolos con nombres específicos.
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Un sistema se denomina aditivo cuando cada símbolo tiene un valor independientemente del lugar que ocupa el número. Sumando todos los valores que representa cada símbolo, se obtiene el valor del número.
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Las maestras empiezan a recitar “once, doce, trece…, diecisiete, dieciocho, diecinueve y veinte”. La mente del niño entra en un verdadero caos, pues para él es más fácil recordar los nombres de los números a partir del 16 que los que se encuentran entre el 10 y el 16. Y esto es porque a partir del 16 el nombre de los números sigue el mismo patrón posicional decimal que cuando aprendió únicamente a conformar los símbolos y las cantidades que éstos representan.
De allí nace una de las preguntas filosóficas y existenciales más grande de los niños: ¿Por qué no decimos dieciuno, diecidos, diecitres…? Las respuestas que reciben los niños son muy vagas y escasas de conocimientos.
Obviamente no se les puede explicar que los nombres para esos números tienen su origen en el latín. Sin embargo, a mi modo de ver se debería permitir que los niños llamen a los números 11, 12, 13, 14 y 15 como dieciuno, diecidos, diecitres, diecicuatro y diecicinco respectivamente. A pesar de que nos suene raro o choque con lo que nosotros sabemos, para la mente del niño esos nombres son los correctos y siguen el mismo patrón que el que utiliza para formar los símbolos numéricos.
Por un lado está una regla fija y práctica para formar el símbolo y por otro tenemos varias palabras y significados para cada uno de los nombres, que para la mente del niño no sigue ninguna regla, pues primero tenemos nombres únicos como once, doce, trece, catorce, quince, dieciséis que empiezan con las unidades y se añade el sufijo ce. Y no conforme con esto a partir del 16 se nombran primero las decenas y luego las unidades.
Precisamente, este hecho es el que proporciona una gran ventaja a los niños que aprenden a contar en el idioma quichua, sobre quienes hemos aprendido a contar en español. En el español, tenemos diez nombres para los dígitos y además nombres especiales como el once, doce, trece, catorce, quince, siendo un total de 15 nombres diferentes, que prácticamente no tienen un patrón de formación. Sin embargo en el quichua existen únicamente 10 nombres diferentes para cada uno de los números del 4
1 al 10, y que dependiendo de la posición de la palabra-número, ésta adquiere un significado específico. Tabla 1: Números en quichua y español
Número Nombre en Quichua Nombre en Español 1
Shuk
Uno
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Ishkay
Dos
3
Kintsa
Tres
4
Chusku
Cuatro
5
Pishka
Cinco
6
Sukta
Seis
7
Canchis
Siete
8
Pusak
Ocho
9
Iskun
Nueve
10
Chunga
Diez
A partir del diez existe un nombre específico para cada una de sus potencias: 101 = 10 : Chunga 102 = 100 : Patsac 103 = 1000 : Huaranca 106 = 1 000 000 : Junu
De esta manera el quichua tiene una regla de composición de los números muy fácil en comparación con otras lenguas como el español, inglés, francés… La regla es como sigue:
“A partir del diez, cuando un número está antes de una potencia de diez, se multiplica por dicha potencia, cuando está después de dicha potencia se suma.” Por ejemplo, el número 24 en quichua sería ishkay chunga chusku, esto quiere decir dos decenas y cuatro unidades. A partir de esta regla se puede determinar la ventaja 5
de los niños que aprenden matemática en quichua que con los que lo hacen en español, pues en el quichua no existe posibilidad de confusión.
En palabras de Luis Montaluisa (2010), se puede decir que: “… nos podemos dar cuenta de la conveniencia de enseñar la matemática a los niños a partir del quichua. De otra manera, se obstaculiza el desarrollo del pensamiento matemático del niño, puesto que el sistema numérico de su lengua materna y aquel del castellano pueden estar basados en dos lógicas distintas”
Cada una de las culturas ha desarrollado un sistema de numeración propio, de acuerdo a sus concepciones de la realidad. Por ejemplo la cultura maya tienen un sistema de numeración vigesimal, basado esto en los veinte dedos que tiene el hombre, de ahí que el número veinte en maya sea winaq, la misma palabra que significa hombre. En el Ecuador, la cultura wao maneja un sistema de numeración basado en las manos y en los pies, comenzando por los izquierdos en su orden.
Es así que muchos pueblos, incluso han desarrollado instrumentos que permiten realizar cuentas y operaciones y estos son la Yupana, los Quipus, Taptanas, como mecanismo de representar la realidad en íconos y símbolos.
Estas herramientas desconocidas por muchos y olvidados por otro tanto, se han ido recuperando poco a poco hasta incorporarse de una manera poco ortodoxa al aprendizaje y enseñanza de la matemática en varios centros interculturales Bilingües del Ecuador. Uno de ellos es la Taptana Nikichik, que es un tablero, ya sea de madera, cartón o papel con cuatro columnas y nueve filas de hoyos de igual tamaño, a manera de matriz y un agujero de mayor dimensión en la parte superior. Cada una de las filas utiliza un color diferente, así: la primera columna de derecha a izquierda de color azul representa las unidades, la segunda de color rojo representa las decenas, la tercera 6
de color amarillo representa las centenas y la última de color verde representa las unidades de mil.
Este artefacto permite el aprendizaje y sistematización de las operaciones básicas de conteo, suma, diferencia, producto y división. Con esto se puede afirmar que se puede interiorizar operaciones intelectuales complejas por medio de la representación de símbolos y material concreto.
Sin embargo este artefacto tiene como base la Taptana Montaluisa, llamada así en honor de su diseñador, Luis Montaluisa, quien desarrolló los primeros bosquejos en piedra pómez, madera, cartón, cartulina y papel hacia 1982.
La taptana Montaluisa surge como necesidad de “representar el sistema de numeración decimal que poseía la cultura quichua a nivel oral” (Montaluisa, 2010). De esta manera, según su autor, ésta es una taptana posicional por lo que no se pone colores distintos en las columnas, pues esto tiende a generar distractores y dificultan la interiorización del concepto posicional de los símbolos numéricos que se utilizan de manera regular y que en la lengua quichua tienen un significante semiótico, lo que determina el desarrollo del pensamiento abstracto y por lo tanto del pensamiento matemático.
Es así que la taptana Montaluisa no sólo sirve para la representación del sistema decimal (chunkachina taptana), sino que, dependiendo del número de columnas que disponga la taptana se puede trabajar con sistemas de base dos, tres, cuatro…
La condición es que, para trabajar con una taptana de base determinada, se coloca en cada columna un agujero menos que el número indicado por la base que se quiere trabajar.
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Además si se quiere trabajar con números decimales se coloca una línea vertical de tal suerte que a la izquierda de la línea se representan los números enteros y al lado derecho de la línea se representan los números decimales.
La idea generadora de este artefacto fue el Contador Cañari o taptana, llamado así en el Lexicón de Domingo de Santo Tomás publicado en 1560. En este diccionario la palabra taptana se utilizó para referirse a todos aquellos aparatos que tenían una función similar a la del ábaco.
Fuente: Taptana Montaluisa (Montaluisa, 2010) Gráfico 1: Taptana Cañari y Taptana Montaluisa (Chunkachina Taptana)
Para ciertos autores, la palabra taptana proviene de una lengua perdida. Además, hay quienes sostienen que tiene su raíz en los vocablos quichuas, taptay verbo que significa saltar y na sufijo que convierte a un verbo en sustantivo. De esta manera se puede estipular que la taptana es un objeto que sirve para saltar. Esta definición es la base del funcionamiento matemático de esta herramienta.
La taptana es de origen Cañari debido a que su descubrimiento fue al noreste de la ciudad de Cuenca. Su uso estaba determinado para la contabilidad en el comercio, pero también como un tablero de juego. La taptana cañari está formada por dos matrices de 3 filas y 3 columnas ubicadas de manera diagonal, que de acuerdo a
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movimientos circulares (churo3) permitía sumar o restar, además tiene 5 orificios verticales los mismos que representan las primeras cinco potencias de 10: 10, 20, 30, 40 y 50, con lo que las cantidades que se podían representar eran hasta 59, para números más grandes es probable que se hayan utilizado otros métodos.
El método para la utilización de la Taptana Cañari no se ha llegado a identificar por completo, sin embargo gracias a la cosmovisión andina transmitida de generación a generación de manera oral, se ha podido recuperar en parte ciertos algoritmos para la utilización de esta calculadora prehispánica. Para sumar se hacía saltar tantos pasos (cuadrados) según indicaba el sumando, siguiendo la dirección del churo. Para la resta se hacía retroceder tantos pasos como indicaba el minuendo. El valor de los símbolos dependen tanto de la posición, colores y formas empleadas. (Tun & Montaluisa, 2014)
Fuente: La Taptana, (Tun & Montaluisa, 2014) Gráfico 2: Posible método de suma en la Taptana Cañari, se muestra 15+11
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Relacionado con el pachakutiy (vuelta del mundo-tiempo), que en la ciencia occidental responde a la teoría del Big Bang.
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CONCLUSIONES Por mucho tiempo se ha pensado que las culturas europeas, las conquistadoras, fueron las que nos enseñaron ciencia. Al preguntar a estudiantes y profesores de matemática sobre matemáticos famosos, todos hacen referencia a personajes europeos o asiáticos. Sin embargo, al adentrar en la historia del Ecuador, y al tratar de entender las ciencias ancestrales nos damos cuenta que nuestros pueblos tuvieron grandes adelantos científicos. Es necesario recuperar en la mayor parte posible estos conocimientos para innovar en la educación, pero al mismo tiempo tomar como base aquellos saberes ancestrales que marcan una diferencia significativa en la vida real. Los resultados educativos que pueden llegar a provocar estas herramientas son: el desarrollo de la capacidad de concentración, rapidez mental y razonamiento lógico matemático. Además de facilitar la iniciación matemática y la comprensión de los procesos aritméticos. Debe destacarse que cuando se conoce un instrumento que ya usaban nuestros ancestros, antes de la llegada de los europeos a nuestro continente, se produce un mejoramiento de la autoestima y un fortalecimiento de la identidad cultural.
BIBLIOGRAFÍA
Equipo de Educación CONAIE. (1990). ÑUCANCHIC YACHAI. Quito: Abya Yala. Holz, A. V. (2011). El Enigma de Fermat. Navarra: Rodesa. Monroy Quenta, R. F. (2014). NEO YUPANA: VIGENCIA EN LA MATEMÁTICA . VID@RTE. Montaluisa, L. O. (2010). Taptana Montaluisa. Quito. Quaranta, M. E. (2014). LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL.
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Ramirez Delfín, M. A., Díaz Maguiña, M. I., & Monteza Ahumada, W. B. (2013). ¿Qué y cómo aprenden nuestros niños? Lima: Ministerio de Educación Perú. Tun, M., & Montaluisa, L. O. (2014). La Taptana. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures.
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