APOLONIO DE PERGA Y EL ORIGEN DEL GPS. BREVES APUNTES SOBRE UNA LARGA HISTORIA.

APOLONIO DE PERGA Y EL ORIGEN DEL GPS. BREVES APUNTES SOBRE UNA LARGA HISTORIA.

GIANFELICE, JORGE. UBACyT (Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires) / Universidad Tecnológica Nacional (Facultad Regional Delta, Campana). Buenos Aires. [email protected].

SCAVINO, LUCAS. Universidad de Morón (Facultad de Filosofía, Ciencias de la Educación y Humanidades) / UBACyT (Facultad de Filosofía y Letras, Universidad de Buenos Aires). [email protected].

Planteos iniciales. ¿Cómo concebir la relación entre la Antigüedad y la Modernidad (más allá de que ni una ni otra son períodos tan claramente definidos)? ¿De qué manera articular las ideas y los vínculos entre autores, categorías, técnicas y resolución de problemas pertenecientes a diversos momentos históricos? En Literatura se han venido aplicando con diferente fortuna criterios comparatistas que van desde el estudio de las fuentes hasta la metodología transtextual. En Filosofía (y en otras disciplinas), se han planteado criterios evolucionistas (propios de las ciencias biológicas), o bien avances en virtud del planteo y la resolución de problemas, o bien abordajes centrados en contrastes entre autores y especulaciones. Cualquiera sea el camino que se siga, lo cierto es que suelen colarse términos que encubren ciertas categorías valorativas: progreso, evolución, superación, avance (y sus contrarios). George Sarton, por ejemplo, (1960: 9) apela a una retórica benevolente y asertiva, pero que no resuelve la naturaleza de los vínculos, aunque los reconoce e identifica. Dice al respecto: “Podríamos hacernos la pregunta de si, entre la ciencia antigua y la civilización moderna, existe alguna relación”. Y categóricamente, responde: “Existe y mucha”. Sin embargo, el problema continúa, y ello nos obliga a tomar una decisión metodológica y epistemológica. Se imponen, en consecuencia, dos aclaraciones: 1

1) En primer lugar, preferimos hablar de productividad para dar cuenta de un descubrimiento, de una categoría, o de cualquier creación científica, artística o filosófica, para así dejar de lado expresiones valorativas. Excede los objetivos de esta presentación discutir a fondo esta temática, pero corresponde explicitar los fundamentos en los que nos basamos. Resulta harto difícil sustraerse a los juicios de valor y en cierto modo podría considerarse una empresa ilusoria. Jorge Gracia (1998:69-191) ha tratado extensamente estas temáticas y coincidimos, a grandes rasgos, con sus observaciones. 2) En segundo lugar, y en función de lo dicho anteriormente, reservaremos el nombre proyección para referirnos a la productividad vista desde el pasado hacia el futuro. Por último, intentaremos encontrar los vínculos precisos entre autores, entre ideas y entre autores e ideas, y procuraremos que tal operación se lleve a cabo con conocimiento de los contextos históricos correspondientes. De esta manera, y siempre en el ámbito de lo provisional, plantearemos la relación histórica, discursiva y epistemológica entre autores (Apolonio, Papo, Descartes, Viète, Van Roomer, Newton), ideas (triangulación, lugares geométricos, situación, locación, porísmata) y autores e ideas. El objetivo principal es mostrar qué relaciones hay entre Apolonio y el GPS, y qué articulaciones históricas, filosóficas, científicas y tecnológicas las fundamentan. Presentación del problema.

Las obras de los geómetras de Grecia (en sus períodos clásico y postclásico, en especial el alejandrino) han significado un gran aporte en el desarrollo de la ciencia hasta la actualidad. Entre ellos se encuentra, sin lugar a dudas, Apolonio (S.III a. C), conocido mayormente por su obra sobre las cónicas. En este caso, específicamente, nos interesa proponer el conocido problema de Apolonio, que puede resumirse del siguiente modo: dados tres objetos, ya sean circunferencias, puntos o rectas, se trata de encontrar una circunferencia tangente a estos tres objetos dados. Apolonio de Perga utilizó el

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procedimiento de las dilaciones1, y dio lugar a una triangulación geométrica con circunferencias. El objetivo es encontrar un punto desconocido basado en el conocimiento de tres puntos dados. Se parte así, de tres puntos no alineados, y para encontrar el lugar del desconocido, se construyen circunferencias de cualquier radio alrededor de estos. Luego, se resta el radio de la menor a las otras dos, y se construyen dos nuevas circunferencias interiores a estas. Consecutivamente, se trazan las tangentes exteriores a estas nuevas circunferencias y se determina un punto exterior. Uniendo este con el centro de la menor circunferencia, se traza una recta perpendicular que pasa por el punto en que una de las tangentes exteriores corta a la mayor circunferencia. Se hace el mismo proceso sobre la otra circunferencia (no la menor de todas). Se obtiene, de esta manera, un punto de intersección que es el lugar buscado. Esto es así, ya que ese punto resulta ser el centro de una nueva circunferencia tangente a las tres originales. El problema hasta aquí descripto es del tipo geométrico, dado que la solución no es un número que indica una medida, como en los problemas planteados por Arquímedes. Las soluciones propuestas por Apolonio en su obra De los contactos o de las tangencias (Ἐπαφαί, De Tactionibus) se han perdido; solo queda lo que ha sido rescatado por Pappus. Tales soluciones o salidas reciben el nombre de porísmata. Aquí, la solución va a estar representada por una figura geométrica, lo que, dentro de la geometría actual denominamos “lugar geométrico” (locus, τόπος) que es un conjunto de puntos que cumplen determinada propiedad métrica, y que, al cumplir esa propiedad, pertenecen al lugar geométrico, que es otro pórisma. A partir de todo esto, cabe preguntarse: ¿cuál era el sentido ontológico y epistemológico de esa solución o pórisma dentro de la estructura matemática de entonces? No es sencillo dar respuesta a este interrogante, es decir, dar cuenta de la solución otorgada por los antiguos matemáticos. Este tipo de problemas no luce como los problemas típicos ni como teoremas. Es por esa razón que Pappus introduce de manera particular el concepto de pórisma. Concepto que ya había sido utilizado por Euclides, posteriormente por Diofanto y por otros matemáticos y filólogos (antiguos y modernos) que se han encargado de la traducción y de la interpretación de las fuentes originadas en la geometría de la antigua 1

Son los efectos geométricos utilizados en la determinación de un posicionamiento expresado por parámetros a determinar. En el caso del GPS los cuatro parámetros de dilación: de precisión en la posición, de precisión horizontal, de precisión vertical y de tiempo.

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Grecia. Sin embargo, el estatuto matemático del pórisma no es unívoco ni transparente. Su relación con otras categorías tales como los teoremas, los postulados, los lemas y los axiomas lo ubica en un lugar particular que trataremos en el siguiente apartado.

Los Porísmata

El término pórisma tiene una variedad de significados dentro de la matemática antigua. Hace referencia a un enunciado que no tiene entidad de teorema ni de problema, y a veces se ha empleado como corolario, como en el caso de Euclides. Se le ha dado este carácter a un enunciado válido matemáticamente, pero que no puede categorizarse como un teorema, un postulado o un lema. Se ha utilizado tanto en geometría como en aritmética. Por todo esto, su significado resulta un tanto difuso. Etimológicamente, nos remite a la raíz apofónica per- por, que hallamos en oportuno, aporía, puerta, pórisma. La matriz semántica común a esta familia léxica se relaciona con la noción de pasaje, de paso, de ir de un lado a otro. Las diferentes definiciones que se han dado a lo largo de la historia no son menos abiertas y polisémicas. En su edición de los tres libros de porísmata de Euclides, Michel Chasles (1860: 36) explica: El origen de los lugares se aplica asimismo a los porísmata. Un pórisma es la consecuencia de un teorema o de la solución de un problema, lo que también constituye un teorema. Un pórisma expresa lo mismo que un teorema, pero este se deduce y el pórisma deja algo para determinar […] La transformación de los teoremas en porísmata tiende a simplificar los enunciados proposicionales para librarlos de ciertas rigurosidades no siempre necesarias.

Por otra parte, pórisma en los Elementos de Euclides puede traducirse como corolario. Hasta aquí, la noción oscila entre un teorema derivado de otro teorema (o corlolario) y un enunciado que se sustrae a ciertas exactitudes y formalidades, es decir, que no tiene la forma discursiva y lógica de un teorema. La forma típica de los porísmata entendidos como corolarios es Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι… (a partir de ello es evidente que…), o formas alternantes y sinónimas como Δῆλον οὖν ὅτι δυνατόν ἐστιν . Sin embargo, 4

los porísmata entendidos como enunciados sin la forma de los corolarios pueden adquirir diversas formas. Un uso más o menos oscilante se puede registrar en Arquímedes y posiblemente en Apolonio. En el caso de Pappus, quien, como hemos dicho antes, se encargó de comentar los trabajos del matemático de Perga, encontramos esta definición: πόρισμά ἐστιν τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος. Syn. VII. 652, 2; es decir, pórisma es algo inferior al teorema del lugar (geométrico) en sus hipótesis. La relación entre pórisma y lugar geométrico no solo resulta ser estrecha, sino que, en algunos casos se confunde. Su estructura discursiva no se centra en lo deductivo, sino en lo constructivo. Un pórisma puede ser una especie de procedimiento de resolución o una suerte de secuencia instructiva con expresiones tales como constrúyase, trácese, y otras que mezclan el modo optativo con el imperativo. Pappus, basándose en Apolonio, utiliza este término asiduamente, dado que existen objetos que no terminan de entrar en determinadas categorizaciones: no son teoremas, ni definiciones, ni corolarios. Pueden mutar entre categorías. Por ejemplo, en geometría se define elipse como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de dos puntos llamados focos. Esto constituye sin lugar a dudas una definición totalmente aceptada en matemática, pero completamente prescindible. Dada la siguiente situación problemática, este concepto subyace como una solución, aplicando propiedades geométricas sin la necesidad de crear una definición arbitraria: Dos amigos se encuentran a una distancia D, y desean encontrarse en un punto de manera que la suma de distancias que ambos realicen sea constante. Obtener todos los puntos posibles de reunión. También podría enunciarse el teorema: dados dos puntos en un plano separados una distancia d positiva, y un número real k positivo, el conjunto de puntos que cuya suma de distancias a ambos puntos es k, conforman una curva cerrada, convexa y de excentricidad determinada. En nuestros días el concepto de elipse se define, no se deduce. Aquí tenemos pues un ejemplo de lo que podría constituir un pórisma, en el sentido dado por Pappus. ¿Qué aporta todo esto? En primer lugar, aporta datos sobre el uso matemático de la noción: de corolario, a una forma que se hace más laxa, en tanto no se circunscribe a una solución numérica. En segundo lugar, que es justamente esa laxitud la que permite utilizar 5

el término como un tecnicismo propio de los procedimientos geométricos de triangulación, donde no es un resultado aritmético el que se está esperando, sino uno posicional o locativo. En tercer lugar, que todo pórisma permite dar cuenta de una especie de intersección de categorías y de cierto carácter inespecífico de su forma discursiva. Es un aporte informativo, descriptivo o instructivo que no se reduce a los géneros o a las entidades matemáticas previstas en la geometría tradicional.

Soluciones históricas

Uno de los primeros métodos para encontrar las soluciones al problema de Apolonio fue dado en forma geométrica. Consiste en utilizar solo regla y compás para su construcción y solución. La misma no se obtiene de manera directa con el uso de estos instrumentos, sino que se debe recurrir a las propiedades de las cónicas, objetos que ya había tratado Apolonio de manera exhaustiva. Así, las cónicas resultaron elementos subyacentes en la solución, lo que hizo que se vuelva a plantear la naturaleza ontológica de las mismas. Solución que posteriormente dio lugar a la definición como lugar geométrico, que resultó de evidente importancia al definir cualquier tipo de entidad geométrica. Con este método, los matemáticos griegos, pudieron obtener muchas soluciones a viejos problemas, lo cual permitió dar cuenta de una forma discursiva que conlleva intrínsecamente una innegable productividad. De esta manera, el problema de la triangulación se extendió más allá de lo que tal vez pudo pensar Apolonio. Él ya había encontrado ocho soluciones diferentes encuadradas como porísmata, pero los tiempos venideros hicieron que la idea de triangulación fuera aceptada fuertemente por numerosos matemáticos y astrónomos medievales y modernos. Ya en el medioevo el método geométrico es recuperado por Francois Viete, quien se basó en los trabajos de Pappus. Pero recién en 1596 Adriaan van Roomer publica el trabajo de Viete. La perfección del método fue alcanzada por primera vez, en sus Principios Matemáticos de Filosofía Natural, por Sir Issac Newton. Con el advenimiento de la geometría analítica en las manos de René Descartes (1600), el problema obtuvo un tratamiento diferente, ya que aplicó el álgebra de origen árabe, a las cuestiones geométricas. Este abordaje expresa en forma de sistema de 6

ecuaciones las relaciones entre los objetos involucrados en el problema. Así, se reduce la solución del mismo a la solución del sistema, que por otro lado predice y explicita todos los casos posibles. Pudo triangular posiciones de puntos, medidas de distancias o áreas de figuras, lo cual permitió calcular fácilmente alturas de montañas, distancias en alta mar, etc. Asimismo, Descartes abordó particularmente el problema de Apolonio que a su vez generalizó al espacio. También es el caso de Johannes Kepler, que determinó la órbita de marte por un método de triangulación entre el sol y la tierra. Se trata de un largo recorrido que muestra cómo un problema resulta ser más productivo de lo que pareció en un comienzo, y cómo su vigencia habilita la aplicación de nuevos procedimientos y la creación de recursos tecnológicos e instrumental más sofisticados.

La triangulación en nuestros días. Sensores, emisión acústica y GPS

El caso que expondremos en esta presentación es el de la determinación de un punto desconocido, procedimiento que se denomina triangulación geodésica. Una aplicación directa del método de Apolonio permite la ubicación de fuentes de todo tipo. Para ilustrar el caso, tomemos un ejemplo del campo de los Ensayos No-Destructivos, en particular, de la técnica de Emisión Acústica. Esta técnica es ampliamente usada en la industria petroquímica para la detección de defectos en estructuras. Por ejemplo, al propagarse una fisura en el metal de un recipiente a presión, se generan ondas elásticas no audibles. Un equipo electrónico apropiado, de varios canales (sensores), las detecta. Se determina, así, la diferencia de tiempo de arribo de la señal respecto del primer canal al cual llega (primero golpeado). Conociendo la ubicación de los canales y la velocidad de propagación de la onda en el medio, es muy simple ubicar la fuente emisora. Una forma fácil de encontrar la solución del problema es la siguiente: supóngase que hay tres, canales (A, B, C) y el primero golpeado es el que se llama C, luego, el equipo da la diferencia de tiempos entre el C y el A y entre el C y el B, esto es

t AC  t A  t c t BC  t B  t c

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Luego, se dibuja en microsegundos (o bien en unidades de distancia) una circunferencia de centro en el sensor A y radio r , siendo este,

r  v   AC donde v es la velocidad de la onda, igualmente en el sensor B. Hay tres sensores que se ubican en los siguientes puntos ( x, y) , en centímetros: el A

(0, 0) - el B (260, 0) y por último el sensor C (130, 225) . La diferencia de tiempo de arribo (el primero golpeado es el C) es t AC  569.28s y tBC  669.65s . Con estos dos datos, se trazan las circunferencias con centro en A y B, cuyos radios se determinan a partir de la velocidad de la onda   0.324cm / s por tanto 569.28s  0.324cm / s  184.4 cm (color azul). De igual modo, se obtiene 216.7cm (color verde). Por último, se traza la circunferencia tangente a las dos ya dibujadas, que pasa por el sensor C (primero golpeado). El centro de esta (color rojo) es la fuente emisora.

Las coordenadas (o ubicación de la fuente) son (100, 200) . Existen programas de geometría que fácilmente permiten realizar los gráficos y encontrar la posición de la fuente (Wiris, Cabri, GeoGebra). Sin mencionarlo, se supuso una geometría plana, aunque esto mismo puede realizarse en geometrías esféricas o cilíndricas. El problema es extensible al espacio (tres dimensiones).

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Sin embargo, hay otra forma de abordaje del método de triangulación, diferente de los ya vistos, y que se conoce como trilateración. En este procedimiento, se basa la geometría del receptor GPS, que, conociendo con precisión la posición de tres satélites en el espacio, puede determinar dónde se encuentra un punto sobre la Tierra. Para comprender el proceso de trilateración es conveniente comenzar con geometría básica en dos dimensiones, es decir en el plano. Consideremos un punto A (receptor GPS) como posición a determinar. Desde un punto B (satélite) se envía una señal de radio frecuencia desde el espacio que lleva un mensaje acerca de cuándo se comenzó a enviar la señal. El punto A recibirá el mensaje y determinará la distancia que lo separa del punto B, teniendo en cuenta la velocidad de las ondas de radio y la hora exacta en que se envió y recibió el mensaje. Este cálculo, que se efectúa por equipos electrónicos computacionales, arroja el radio R de una circunferencia centrada en B. Donde A puede ser cualquier punto de la circunferencia con centro B.

Luego, desde otro satélite C, se envía una señal al punto A, que realiza el mismo cálculo. El resultado arroja otro radio que permite formar una circunferencia centrada en C. Al igual que antes el punto A puede estar ubicado en cualquier punto de esta nueva circunferencia. Se puede apreciar que ambas circunferencias se intersecan en dos puntos, X e Y. Ahora el punto A tiene su posición más limitada sujeta a cualquiera de estos dos puntos.

Finalmente, para limitar a un solo punto, que es la posición buscada, consideramos un tercer satélite D. Este envía una señal al punto A, y se procede con la construcción de otra circunferencia del mismo radio R. Se aplica el mismo principio que en los casos anteriores y se obtiene el punto Z, que resulta de la intersección de las tres circunferencias. 9

En este punto Z es en donde se localiza A, que es la posición buscada. Este principio básico, llevado a tres dimensiones, como la situación real en el universo en que vivimos, es un poco diferente, dado que la intersección de tres esferas arroja dos puntos y no uno. Pero el problema se arregla por medio de un dispositivo electrónico, que determinará por descartes matemáticos, cuál de los dos puntos Z es el correcto, dado que uno de estos puntos se encuentra demasiado alejado de la Tierra.

Así, se conforman tres esferas imaginarias con centro en los satélites y radio en las distancias obtenidas por estos. Los casquetes esféricos se intersecan en dos puntos, uno de los cuales será la locación buscada (el más cercano a la tierra).

Conclusiones Hemos visto que el problema planteado por Apolonio se ha metamorfoseado a lo largo del decurso temporal, pero que en esencia, sigue siendo uno. La productividad del mismo se ve en la cantidad de soluciones y de planteos que se han propuesto en el 10

desarrollo de la matemática, de la física y de la tecnología. No se trata de afirmar que todo fue pensado por los griegos y que los posteriores desarrollos no son más que instancias deudoras de una fuente eterna e inamovible de saber. Se trata, sí, de reconocer que hay problemas fructíferos, que inicialmente tuvieron una determinada forma, una serie de soluciones posibles, y algunas derivaciones particulares. Y se trata de ver cómo en nuestros días es posible reconducir los avances tecnológicos en función de descubrimientos y problemas inscriptos en la Antigüedad. No para hacer una competencia de originalidades, sino para reconocer en su exacta dimensión el carácter universal y transferible de los grandes problemas. Problemas cuya sencillez enunciativa obliga a desplegar una variada batería de soluciones que surgen en contextos históricos donde la tecnología, la ciencia y los intereses socio-políticos y económicos se articulan de manera casi inescindible. Entender la ciencia como diálogo es justamente esto: dejar que cada autor hable con otro en su propio lenguaje y utilizar los medios para crear el contexto. La tarea del divulgador no es otra que la de un mediador, la de un traductor que, con el mínimo de intervención, permite que el diálogo se lleve a cabo y continúe con nuevos interlocutores.

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