Aplicando los grafos con niños del sexto grado de primaria

ENSAYO



ENSEÑANDO LOS GRAFOS EN 6TO GRADO DE PRIMARIA



Curso : Cambio y Relaciones



Maestría : Enseñanza de las Matemáticas con mención en Educación Primaria.



Integrantes : Pedro Manuel Vidal Chavarría
Jorge Fernando Cárdenas Canchanya


Profesores : Uldarico Malaspina Jurado
Hernán Neciosup Puicán
Flor Isabel Carrillo Lara


2015

ENSEÑANDO LOS GRAFOS EN LA 6TO GRADO DE PRIMARIA

INTRODUCCIÓN
¿Qué es la matemática? es una ciencia, producto del espíritu creador humano, que nos brinda la posibilidad de utilizar varios caminos diferentes para dar forma a la actividad de crear y hacer matemática. Esta realidad es contraria a lo que ocurre en nuestras aulas, donde el conocimiento se presenta como algo jerarquizado y acabado, sin dar la posibilidad a razonar, opinar, o preguntar, ya que las respuestas están dadas y presentadas con anterioridad. Muchas veces lo que prima es probablemente un modelo cultural que busca reproducir el conocimiento más que producirlo.
Al respecto Moisés Coriat (2004) afirma que "No es tan importante saber muchas cosas como saber cómo aprender las cosas. Esto es algo que tiene que ver con actitudes, expectativas y vivencias, con los que los alumnos aprenden más allá de la intencionalidad del docente o de lo que metodológicamente se ha planteado en forma explícita. Hay una razón oculta de que, una gran cantidad de alumnos de tantas generaciones hayan sido acostumbrados a recibir el conocimiento y a interpretar que lo importante no es el proceso de razonamiento y búsqueda, sino el de lograr reproducir lo que el profesor desea escuchar.
Por otro lado nos encontramos que la matemática no es del agrado de todos los estudiantes. Para revertir esta situación una posibilidad, sería plantear y generar situaciones agradables donde el alumno tenga la posibilidad de razonar, explorar, descubrir, crear, probar, modelizar, hacer preguntas, generar hipótesis y conjeturas. Donde aprender matemática permita jugar, divertirse, explorar y equivocarse, dando oportunidad a los chicos de convertirse en investigadores y generadores de conocimientos Para lo cual es necesario crear estrategias que familiaricen al estudiante en el aprendizaje de la matemática.







"DE LO PARTICULAR A LO GENERAL, USANDO GRAFOS"
El artículo seleccionado para este ensayo es "De lo particular a lo general, usando grafos" escrito por el doctor Uldarico Malaspina y extraído de la sección El rincón de los problemas del número 21 de la revista Unión publicado en marzo de 2010, en él se expone un problema presentado en el V Coloquio de Enseñanza de las Matemáticas, que regularmente organizan el IREM y la PUCP.
El artículo se basa en un problema matemático que demandaba la solución mediante el uso de esquemas conocidos como grafos, dicho problema fue presentado en un taller dirigido a profesores de matemáticas y en él se demostró que no todos los docentes participantes aplicaban bien los grafos en la resolución de estas situaciones particulares y les costaba más aún generalizar sus resultados cuando la cantidad ya no permitía operar con grafos.
Al final, el autor menciona las soluciones a los problemas y propone realizar este tipo de actividades en la educación básica regular, graduando el nivel de dificultad de acuerdo al nivel donde se presente.

Esta situación fue presentada a los participantes –casi todos profesores de secundaria- de la siguiente manera:





Figura 1. Conocidos y desconocidos, actividades individuales. Fuente: Malaspina (2010)

Se observa que no se les pide que el desarrollo se realice mediante el uso de grafos pero el autor menciona que un 70% de participantes los utilizó, mientras que el porcentaje restante utilizó otros tipos de esquema que no les dieron claridad para sus resoluciones.





¿QUÉ ES UN GRAFO?
"Llamaremos grafo, G, al par ordenado formado por un conjunto finito no vacío, V, y un conjunto, A, de pares no ordenados de elementos del mismo." (Gonzáles, 2004, p. 396) hacemos notar que cuando se dice V está refiriéndose al conjunto de los vértices o también llamados nodos del grafo. Se le llama A al conjunto de las aristas, líneas o lados de un grafo. La notación que se utiliza para designar al grafo es G = (V, A)
En lenguaje menos complejo podremos decir que un grafo es una estructura de datos dinámica que nos permite representar diferentes tipos de relaciones entre objetos de manera gráfica. Consta de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos y el conjunto de aristas, líneas o lados.
También podríamos decir que la Teoría de Grafos es una rama de la matemática discreta que usa diferentes conceptos de otras áreas como el análisis combinatorio, el Álgebra, la Probabilidad, la Geometría de polígonos, la Aritmética y la Topología, y que estudia las propiedades de los grafos.
La paternidad de esta teoría es señalada hacia Leonard Euler que en 1736 publicó un artículo donde resuelve el denominado problema de "Los puentes de la ciudad de Königsberg" (actualmente Kaliningrado - Rusia). Este problema consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del río Pregel de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos, la resolución del problema, propuesta por Euler fue que no existe dicho camino. Este es considerado el primer resultado de la Teoría de Grafos y uno de los primeros resultados topológicos. Lo que ilustra la profunda relación que existe entre la Teoría de Grafos y la Topología.









REGRESEMOS AL ARTÍCULO
Volviendo al artículo que es motivo del presente ensayo, el autor presenta los casos de dos personas a las que llama participante 1 y participante 2 y compara los procesos de cada uno para llegar a sus respuestas, haciendo notar que el participante 1 presenta un esquema que no podría ser considerado como un grafo y el participante 2 sí, como podemos observar en la figura 2.





























Figura 2. Resoluciones del participante 1 y del participante 2 Fuente: Malaspina (2010)

Se observa que el participante 1 encuentra la solución correcta al primer caso, mientras que el participante 2, a pesar de hacer un grafo, olvida la condición de que cada persona del problema debe desconocer al menos a una de las demás.
En el segundo caso el participante 1 erra al darle más de tres conocidos a dos de las personas, mientras que el participante 2 hace una ingeniosa salida de hacer dos grafos de 4 puntos cada uno para poder cumplir la condición de que las personas no conozcan a más de tres.
Para el tercer caso los dos participantes erran porque presentan casos particulares y no pueden hacer una generalización.
Más adelante, se forman grupos de trabajo y se les presenta un nuevo desafío, esta vez ya no era posible trabajarlo todo con los grafos, como se puede ver en la figura 3.

Figura 3. Actividades grupales Fuente: Malaspina (2010)

Malaspina (2010) menciona que en esta segunda parte del taller, se les hizo fácil las dos primeras actividades a los grupos que estaban integrados por personas que habían desarrollado con grafos el trabajo individual, ya que sólo multiplicaron los grafos de 4 puntos por la cantidad necesaria para llegar a 40 y a 2010, en este segundo caso notaron que 2010 no contiene exactamente a 4, por lo que hicieron un grafo de 6 puntos para incluir a los residuos; otros exploraron haciendo 201 bloques de 10, dichos bloques conformados por grafos de 4 y 6 puntos.
En el tercer caso, todos coincidieron en que era imposible cumplir las dos condiciones con los 5 participantes, pero no hicieron una demostración de su respuesta.
Con el cuarto caso también surgieron dificultades, ya que la presencia del número impar (situación similar al caso anterior) les hizo manifestar la imposibilidad de que se puedan cumplir las condiciones, en algunos casos hicieron conjeturas como: "En la reunión sólo puede haber personas que sean en cantidad un múltiplo de 4", "En la reunión puede haber un número par de personas" o "En la reunión no puede haber un número impar de personas".
Ante tal situación, el autor presenta la demostración de Jorge Tipe, uno de los expositores del taller:

Figura 4. Demostración Fuente: Malaspina (2010)

Ante esta generalización y tomando en consideración que todo número natural puede ser representado de una de estas formas:
Como múltiplo de 4
Como múltiplo de 4 más 1
Como múltiplo de 4 más 2
Como múltiplo de 4 más 3
Los casos 1 y 3 de la anterior clasificación serán números pares y los casos 2 y 4 serán impares y con los casos de los pares mayores que 4 se procede a hacer bloques no conectados de 4 ó 6 puntos.

Malaspina (2010) concluye diciendo que como en el caso de este problema que lleva de manera natural a su resolución mediante la teoría de los grafos, se puede sugerir otros a los docentes en actividad, a los estudiantes de nivel superior e incluso de educación primaria y secundaria. Lo importante no es sólo quedarse en el problema particular sino llegar a justificaciones y generalizaciones como las sucedidas en esta situación.








APLICANDO LOS GRAFOS CON ESCOLARES DEL 6TO GRADO DE PRIMARIA
Tomando en cuenta el artículo de Malaspina (2010) y en especial sus sugerencias de "Introducir los grafos en los niveles educativos básicos."(p.171) utilizamos el problema sugerido, graduándolo de tal manera que pueda ser aplicado a estudiantes del sexto grado de primaria, manteniendo la situación del saludo pero cambiando las condiciones.
A continuación presentamos la experiencia realizada con 33 estudiantes de sexto grado (11 y 12 años de edad) de la I.E. 7089 "Romeo Luna Victoria" de San Borja, hecha para evidenciar que sí se puede trabajar con grafos desde los primeros niveles de la educación básica regular.
Se planteó a los estudiantes una situación problemática que debía ser desarrollada libremente por ellos, dicha situación era la siguiente:









Y se les presentaba casos donde se saluden dos, tres, cuatro, cinco y finalmente seis personas.
Inicialmente, muchos estudiantes manifestaron no comprender bien la situación y esto obligó a que el profesor leyese en voz alta la situación problemática e hiciera un ejemplo práctico dándose la mano con otra persona.
A partir de esta acción, los estudiantes empezaron a trabajar con más seguridad, graficando, dibujando, contando, animando la situación, etc. como se puede observar en la figura 5.

Figura 5. Desarrollo de la ficha sobre grafos.

Al cabo de 30 minutos se les solicitó la devolución de las fichas de trabajo, antes de ese lapso, más de la mitad del total de estudiantes ya había culminado su trabajo.
Observamos que 2 de ellos habían utilizado un sistema de grafos, 2 más habían hecho un sistema similar a los grafos, uno había trabajado con un patrón numérico, 4 habían utilizado pares ordenados y 24 realizaron otras técnicas basadas en dibujos de personas.
Al consultársele a los dos estudiantes acerca de la razón del por qué habían elegido esa técnica, la estudiante 1 manifestó que ella comenzó haciendo dibujos de personas pero luego se dio cuenta que estaba demorando mucho, así que lo borró y empezó a representar las personas por puntos de colores y los saludos por líneas también de diferentes colores, tal como lo apreciamos en la figura 6.

Figura 6. Estudiante 1
El estudiante 2 manifestó que él si utilizó los puntos y las líneas porque recordó que hace unas semanas trabajó en clase los vértices y puntos de las figuras poligonales y notó algún parecido con estas situaciones, por esta razón desarrolló su trabajo como aparece en la figura 7.











Figura 7. Estudiante 2
Hacemos notar dos casos exitosos más en esta experiencia, el del estudiante 3 que utilizó imágenes para representar a los puntos, a los cuales distribuyó de forma horizontal y fue relacionando con líneas, consideramos que el esquema utilizado por el estudiante 3 tiene cierto acercamiento a los grafos, que no siéndolo, le permitió conseguir las respuestas correctas como podemos ver en la figura 8.

Figura 8. Estudiante 3
El segundo caso es exitoso y a la vez nos llamó mucho la atención, fue el del estudiante 4, quien comenzó haciendo las representaciones similares al estudiante 3 pero luego se percató que había un patrón que sucedía que cada vez que "aumentaba a una persona más al saludo", tenía que saludar al resto, por lo tanto, ya no estableció líneas de relaciones sino que simplemente sumó el total anterior de saludos con el número de personas que aparecían en esta nueva situación, menos uno; esto lo podemos apreciar en la figura 9.

Figura 9. Estudiante 4
Posteriormente les explicamos a los estudiantes cómo podrían haber desarrollado estas situaciones utilizando la técnica de los grafos, (como se observa en la figura 10) para lo cual ellos manifestaron amplia receptividad, luego se les hizo algunas demostraciones prácticas y también establecimos una generalización para todos estos casos de saludos que fue:
n (n-1) /2
Siendo n un número natural mayor que 1 que represente a la cantidad de personas que participan del saludo.

Figura 10. Explicando cómo trabajar con grafos.
A partir de entonces, los estudiantes respondieron oralmente muchas situaciones creadas en el aula con cantidades que no fueron las de la ficha de trabajo y que les demandó el uso de la fórmula de generalización enseñada para su desarrollo.









CONCLUSIONES
Con esto, creemos demostrar que es posible trabajar con grafos en el sexto grado de primaria y proponemos que se pueda ir graduando la dificultad para aplicarse en grados inferiores de primaria e incluso en educación inicial como lo proponen Cognigni, Braicovich y Reyes (2008)
La Teoría de Grafos no se encuentra en el DCN, además no es conocido por los docentes de ninguno de los niveles, es un tema relativamente nuevo, que es necesario introducir dentro del sistema educativo nacional.
Según Rosenstein, J., Franzblau, D., Roberts, F. 1997 (Citados en Braicovich, 2010) los argumentos que pueden esgrimirse para introducir algunos temas de la teoría de los grafos en los programas curriculares de los distintos niveles de educación básica y superior están referidos a:
La aplicabilidad: en los años recientes varios temas de esta teoría han sido utilizados creando distintos modelos en distintas áreas.
La accesibilidad: para entender las aplicaciones del tema en muchas situaciones es suficiente tener conocimientos de aritmética y en otras solamente de álgebra elemental.
La atracción: existen algunas situaciones sencillas de resolver y también otras que hacen que los estudiantes deban explorar para poder llegar a los resultados.
La adecuación: a aquellos estudiantes que no tengan problemas en matemática les dará mayor preparación para las carreras que elijan y para los que no les va bien en esta disciplina es apropiada porque les da la posibilidad de un nuevo comienzo.
En este sentido, creemos que los grafos constituyen una buena herramienta para conceptualizar situaciones, para extraer pautas y entender esquemas y lograr transferirlos a situaciones nuevas. Como no hay necesidad de ser un experto en el tema para usarlos con cierta soltura, vemos que el introducir algunos conceptos de grafos resulta útil para despertar el interés por la matemática, para ayudar al desarrollo lógico y a la visión espacial, también actúa como formador de la intuición y sostén del razonamiento abstracto.



REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Braicovich, T. (2010). La geometría de los grafos o los grafos en los poliedros. V Coloquio Internacional de Enseñanza de las Matemáticas, Departamento de Ciencias Sección Matemáticas - IREM, Pontificia Universidad Católica del Perú, Actas 2010; pp. 49-59. Lima.
Cognigni, N., Braicovich, T. y Reyes, C. (2008). Recorriendo grafos a lo largo de la Educación General Básica. Revista de Educación Matemática UNC, Número especial. Recuperado de http://www.revistas.unc.edu.ar/index.php/REM/article/view/10460/11150
Coriat, M. (2004). Algunos usos escolares de los grafos. UNO Revista de didáctica de la matemática, (36) pp. 8-21. Universidad Complutense de Madrid.
Gonzáles, F. (2004). Grafos. Apuntes de matemática discreta, pp. 395-463. Recuperado de http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1711003/Apuntes/Leccion14.pdf
Malaspina, U. (2010). De lo particular a lo general, usando grafos. Revista Iberoamericana de Educación Matemática UNIÓN, (21), pp. 165-172. Recuperado de http://www.fisem.org/www/union/revistas/2010/21/Union_021_017.pdf