Aplicaciones de las condiciones de juntura de Darmois Israel a dos modelos cosmológicos simples en extensiones de la Teoría de la Relatividad General.

Dos modelos cosmológicos simples en extensiones de la Teoría de la Relatividad General. María Cecilia Tomasini. FCEyN, UBA.

Introducción: En este trabajo se presentan modelos cosmológicos sencillos en extensiones de la Teoría de la Relatividad General en los que se han aplicado condiciones de juntura para caracterizar la dinámica y evolución del universo. En las secciones 1 y 2 se exponen algunos conceptos fundamentales que serán necesarios para el desarrollo del tema principal de la monografía. En la sección 1 se explica brevemente la teoría de Gauss Bonnet y su derivación a partir del lagrangiano de Lovelock. En la sección 2 se presentan algunos aspectos generales de las hipersuperficies, se explica el formalismo de Israel y también su extensión en el marco de la teoría de Gauss Bonnet. El tema principal de la monografía se expone en la sección 3, donde se desarrollan modelos de cosmología brana en cinco dimensiones en la gravedad de Einstein y en la gravedad de Einstein Gauss Bonnet. Los resultados se comparan con los de la cosmología standard. La literatura publicada sobre el tema es abundante y diversa. De toda la enorme variedad de posibilidades se han elegido únicamente los modelos más simples y accesibles con la finalidad de obtener una visión conceptual sobre los aspectos básicos del tema.

1

Sección 1: La gravedad de Einstein – Gauss – Bonnet.

Introducción: La acción de Einstein Hilbert tiene la forma S EH = ∫ R ⋅ − g ⋅ d 4 x

(1-1)

Se trata de una acción en cuatro dimensiones, que incluye únicamente un término lineal en la curvatura. Variando esta acción se obtienen las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío: Rνµ −

1 R ⋅ gνµ = 0 2

(1-2)

Agregando un término correspondiente a los campos de materia en la acción se obtienen las ecuaciones completas de Einstein (suponiendo una constante cosmológica nula) Rνµ −

1 R ⋅ gνµ = κ ⋅ Tνµmat 2

(1-3)

donde κ = 8πG , y G es la constante gravitacional de Newton. El tensor de Einstein 1 Gνµ = Rνµ − R ⋅ gνµ que se obtiene al variar la acción (1-1) es simétrico, contiene 2 derivadas de segundo orden en la métrica gνµ y su derivada covariante es nula (es un tensor conservado). Por lo tanto es la expresión adecuada para describir el campo gravitatorio en forma tensorial. Si bien la Teoría de la Relatividad General de Einstein describe bien el universo a media y a gran escala, necesita ser corregida a cortas distancias. Esta necesidad aparece, por ejemplo, cuando se pretende formular una teoría de gravedad cuántica que sea consistente. Una forma de incorporar estas correcciones es complementando la acción de Einstein Hilbert (1-1) con términos de orden superior en la curvatura. Incluyendo estos términos la acción general en n dimensiones adopta la forma

S = ∫ d n x − g (R + pR 2 + qRµν R µν + rg µν ∇ µ R∇ν R + .....) donde p, q, r,.... son constantes de acoplamiento y los puntos suspensivos representan todos los escalares que podemos formar con el tensor de curvatura y sus derivadas. Se supone que la TRG es válida a energías inferiores a la energía de Planck ( E p ≈ 1.2 × 1019 GeV ). Por lo tanto se espera que estas correcciones deban ser incluidas para una escala característica de la curvatura del orden de la longitud de Planck ( lP ≈ 1.7 × 10−33 cm ). Esta escala define el orden de magnitud aproximado que deben tener las constantes de acoplamiento p, q, r,.... (S. Carrol, 2004). Volveremos sobre este punto un poco más adelante.

2

La primera generalización del lagrangiano de Einstein Hilbert en cuatro dimensiones que incluía términos de orden superior (cuadráticos) en la curvatura fue formulada por K. Lankzos en el año 1932. Al variar esta acción se obtiene el tensor de Lanczos que posee propiedades análogas al tensor de Einstein: es un tensor simétrico, su derivada covariante es nula y contiene derivadas de segundo orden en la métrica. Por lo tanto se trata de un tensor adecuado para describir el campo gravitatorio. Posteriormente D. Lovelock extendió los resultados de Lanczos a un número arbitrario de dimensiones. La necesidad de trabajar en más de cuatro dimensiones aparece en algunas teorías de campo unificado como las derivadas del modelo de Kaluza y Klein. En estas teorías se asume que el espacio tiempo posee 4+d dimensiones reales, pero aparece a gran escala como un espacio tiempo de 4 dimensiones. Se supone que las d dimensiones adicionales se encuentran compactadas en alguna variedad y son inaccesibles a la observación en escalas de energía inferiores a la energía de Planck ( E p ≈ 1019 GeV ). Los modelos de este tipo tienen aplicación en teorías de cuerdas. En efecto, para formular una teoría de cuerdas que sea consistente es necesario que el espacio tiempo tenga 9+1 dimensiones (B. Zwiebach, 2005). Las teorías de gravedad en más de cuatro dimensiones también son de interés en los modelos de “mundos brana”. Los modelos de mundos brana son aproximaciones alternativas al modelo convencional de Kaluza y Klein. En estos modelos el universo “sensible” se encuentra limitado a una “membrana” (o, de manera abreviada, una “brana”) de cuatro dimensiones inmersa en un “volumen” (o, como habitualmente se lo denomina, el “bulk”) de mayor número de dimensiones. Los modelos de mundos brana suponen que las interacciones electrodébil y nuclear fuerte se encuentran restringidas a la “brana” mientras que la gravedad no se encuentra circunscripta a ella, sino que se extiende a todo el “bulk”. En un lenguaje más preciso, en el escenario de los mundos brana el modelo standard de partículas se encuentra confinado y se propaga en una hipersuperficie de cuatro dimensiones, en tanto que la gravedad se propaga en un espacio tiempo de mayor número de dimensiones, dentro del cual se halla inmersa la hipersuperficie. La única interacción que conecta la dinámica del “bulk” con la dinámica de la “brana” es la interacción gravitatoria. (Brax, van der Bruck and Davis, 2004; Brax and van der Bruck, 2003; Papantonopoulos, 2002). Los modelos de mundos brana han sido estudiados principalmente en teorías de cuerdas y en otras teorías afines, como las teorías M. También se han aplicado a modelos en los que el universo observable es una burbuja expandiéndose en un hiper universo de mayor número de dimensiones. En estos casos se ha recurrido al formalismo de thin shells, que se tratará más adelante, para estudiar la dinámica de la burbuja dentro del bulk en el que se encuentra inmersa (M. Gogberashvili, 2002). El lagrangiano de Lovelock es una generalización del lagrangiano de Lanczos a un número arbitrario D de dimensiones. Es, por lo tanto, un lagrangiano que incluye términos de orden superior en la curvatura, pero que además contempla la posibilidad de incluir un número de dimensiones superior a cuatro. El lagrangiano de Lovelock permite obtener el tensor más general que cumple con los requisitos de un tensor de gravedad: es simétrico, posee derivada covariante nula y no posee derivadas de orden superior al segundo en la métrica. Como se verá más adelante, la teoría de Gauss Bonnet es un caso particular del modelo de Lovelock que surge al limitar el número D de dimensiones a cinco. 3

El lagrangiano de Gauss Bonnet La teoría de Lovelock es la teoría métrica de la gravedad más general que conduce a ecuaciones de movimiento conservadas de segundo orden en un número arbitrario D de dimensiones. Es una generalización natural de la teoría de la relatividad de Einstein a un número mayor de dimensiones. En cuatro dimensiones, ambas teorías coinciden, pero en un número mayor de dimensiones difieren ampliamente. Para D>4 puede pensarse a la teoría de Einstein como un caso particular de la teoría de Lovelock ya que la acción de Einstein Hilbert (1-1) es uno de los términos de la acción de Lovelock. Otros modelos, como el de Gauss Bonnet, también pueden entenderse como casos particulares de la teoría de Lovelock (C. Garrafo y G. Giribet, 2009). La densidad lagrangiana de la teoría de Lovelock (D. Lovelock, 1971, 1972) puede escribirse como t

L = − g ⋅ ∑α n R n

(1-4)

n =0

Rn =

1 µ1ν 1 ......µ nν n n α r β r δα β ......α β ∏ R µ rν r 2 n 1 1 n n r =1

(1-5)

donde ......µ ν δαµ βν ...... α β 1 1

n n

1 1

n

Rα r β r µ rν r

αn

n

es una Delta de Kronecker totalmente antisimétrica es el tensor de Riemann en D dimensiones

es una constante arbitraria

Para D dimensiones sólo contribuyen a la ecuación de movimiento los términos n < [D / 2] donde [x] simboliza “parte entera de x”. Por lo tanto en cinco dimensiones (D=5) sólo contribuyen los tres primeros términos correspondientes a n = 0,1,2 . Expandiendo el producto en (1-4) – (1-5) hasta orden n=2 obtenemos la siguiente expresión:

(

(

))

( )

L = − g α 0 + α1R + α 2 R 2 + Rαβµν Rαβµν − 4 Rµν R µν + α 3O R 3

(1-6)

En el límite en el que α 2 → 0 esta densidad lagrangiana debe coincidir con la densidad de la TRG en presencia de una constante cosmológica:

LTRG = − g (− 2Λ + R ) Por lo tanto, comparando término a término, encontramos que el primer término de (1-6), de orden cero en R, corresponde a la constante cosmológica:

4

L0 = −2Λ − g

(1-7)

El segundo término, de primer orden en R, Einstein Hilbert:

L1 = R − g

corresponde al lagrangiano de

(1-8)

El tercer término es cuadrático en R

(

L3 = − g ⋅ α 2 R 2 + Rαβµν Rαβµν − 4 Rµν R µν

)

(1-9)

donde R 2 + Rαβµν Rαβµν − 4 Rµν R µν es el término de Gauss Bonnet. La acción correspondiente en cinco dimensiones adopta la forma

(

(

S L = ∫ d 5 x − g R − 2Λ + α 2 R 2 + Rαβµν Rαβµν − 4 Rµν R µν

))

(1-10)

El escalar de Ricci R contiene derivadas segundas de la métrica g µν . Por lo tanto tiene dimensiones ~ l −2 donde l es cierta longitud característica. El término de Gauss Bonnet contiene términos del tipo R 2 y en consecuencia sus dimensiones son ~ l −4 . Se requiere entonces que la constante de acoplamiento α 2 tenga unidades de longitud al cuadrado: α 2 ∝ l 2 . Esta constante representa correcciones ultravioletas (a cortas distancias) a la teoría de Einstein. Por lo tanto agregar el término de Gauss Bonnet en el lagrangiano es una forma de incluir las correcciones a corta distancia que requiere la teoría de Einstein.

La ecuación de campo en la teoría de Einstein Gauss Bonnet. Para obtener las ecuaciones de campo en la teoría de Einstein Gauss Bonnet partimos de una acción general en D dimensiones que incluya la constante cosmológica Λ, términos cuadráticos en la curvatura y una acción para los campos de materia:

(

)

S = ∫ d D x ⋅ − g R − 2Λ + pR 2 + qRαβ Rαβ + rRαβµν Rαβµν + S mat

(1-11)

donde p, q y r son las constantes de acoplamiento. Variando la acción (1-11) respecto de la métrica se obtienen las siguientes ecuaciones de campo:

κTµνmat = Gµν + Λg µν + (q + 4r )∇ µ ∇ µ Rµν + − (2 p + q + r )∇ µ ∇ν R + 2rRνγαβ Rµ α

− 4rRµα Rν + 2 pR ⋅ Rµν −

γαβ

1 (4 p + q ) ⋅ g µν ∇ µ ∇ µ R + 2 + 2(q + 2r )Rµανβ Rαβ +

(

)

1 pR 2 + qRαβ Rαβ + rRαβγδ Rαβγδ g µν 2

5

(1-12)

La última expresión contiene derivadas de cuarto orden de la métrica en los términos ∇ µ ∇ µ Rµν , ∇ µ ∇ µ R y ∇ µ ∇ν R . Estos términos pueden eliminarse haciendo la siguiente elección de las constantes de acoplamiento: p=r=−

q 4

Observar que la constante de acoplamiento p no queda determinada ya que su valor numérico y su signo son arbitrarios. Con esta elección las ecuaciones de campo quedan expresadas como

κTµνmat = Gµν + Λg µν + 2rRνγαβ Rµ γαβ + 2(q + 2r )Rµανβ Rαβ + α

− 4rRµα Rν + 2 pR ⋅ Rµν −

⇒

κTµνmat = Gµν + Λg µν

(

)

1 pR 2 + qRαβ Rαβ + rRαβγδ Rαβγδ ⋅ g µν 2

 Rνγαβ Rµ γαβ − 2 Rµανβ Rαβ − 2 Rµα Rν α + R ⋅ Rµν +    + 2 p 1  2 αβ αβγδ ⋅ g µν  − R − 4 Rαβ R + Rαβγδ R   4 

(

)

Por lo tanto las ecuaciones de campo resultantes son una combinación lineal de la métrica g µν , el tensor de Einstein Gµν y el tensor H µν

κTµνmat = Gµν + Λg µν + 2 pH µν

(1-13)

donde

H µν = Rνγαβ Rµ

γαβ

α

− 2 Rµανβ Rαβ − 2 Rµα Rν + R ⋅ Rµν −

(

)

1 2 R − 4 Rαβ Rαβ + Rαβγδ Rαβγδ ⋅ g µν 4

es el tensor de Lovelock. Como ya se dijo en la introducción, el tensor de Lovelock es un tensor simétrico que depende únicamente de la métrica y de sus derivadas hasta el segundo orden, y que posee divergencia nula. Por lo tanto cumple con los requisitos necesarios para ser una adecuada representación del campo gravitatorio en cinco dimensiones. Las ecuaciones de campo (1-13) obtenidas con este tensor coinciden con las ecuaciones de campo de la TRG en el límite en el que p → 0 . En la literatura especializada es corriente que la constante de acoplamiento se denomine α. Por lo tanto en lo sucesivo haremos p = α y escribiremos las expresiones (1-11) y (1-13) de la siguiente manera:

6

(

(

))

S = ∫ d D x ⋅ − g R − 2Λ + α R 2 − 4 Rαβ Rαβ + Rαβµν Rαβµν + S mat

κTµνmat = Gµν + Λg µν + 2αH µν

(1-14)

(1-15)

Observar que en cinco dimensiones la primera de estas expresiones coincide con la acción S L , ecuación (1-10), formulada en la primera parte del trabajo. En lo sucesivo asumiremos que α > 0 pero debe tenerse en cuenta que algunos modelos cosmológicos de expansión acelerada requieren valores de α negativos (M. H. Dehghani, 2004). Según hemos visto, para homogeneizar las unidades en (1-14) es necesario que la constante de acoplamiento tenga dimensiones inversas al cuadrado de la longitud: α ∝ l 2 , donde l es cierta longitud característica. También hemos comentado que es razonable esperar que las correcciones a la curvatura sean importantes para una escala del orden de la longitud de Planck. Por lo tanto podemos suponer que α ∝ lP2 donde lP. es la longitud de Planck. (S. Carroll, 2004). ***

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Sección 2: Hipersuperficies. Formalismo de pegado de diferentes métricas y condiciones de juntura.

Uno de los problemas más importantes de la teoría de gravitación es la formulación de condiciones de juntura adecuadas en la hipersuperficie de discontinuidad entre dos regiones distintas del espacio tiempo, caracterizadas por dos métricas diferentes. El formalismo de junturas tiene un amplio rango de aplicaciones tanto en cosmología como en astrofísica. Uno de los ejemplos clásicos de este tipo de problemas es el colapso gravitacional de una estrella para formar un agujero negro. Este fenómeno fue modelado por Oppenheimer y Snyder utilizando dos métricas diferentes y aplicando ciertas condiciones de juntura entre ambas métricas, que garantizaran una solución válida de las ecuaciones de campo de Einstein (Oppenheimer & Snyder, 1939; Poisson, 2002). Otro problema clásico es el estudio del colapso y de la estabilidad de cáscaras delgadas de materia. Este problema fue resuelto por primera vez por W. Israel aplicando métricas diferentes en el interior y en el exterior de la cáscara (Israel, 1966). Posteriormente el formalismo se ha aplicado al estudio de la estabilidad de cáscaras delgadas de materia en el entorno de un agujero negro (J. Fraundiener, C. Hoenselaers and W. Konrad, 1990; P. R. Brady, J. Louko and E. Poisson, 1991; E. F. Eiroa and C. Simeone, 2011) o al estudio de la estabilidad de agujeros de gusano (M. Visser, 1989; M. Visser, 1990; E. Poisson and M. Visser, 1995; E. F. Eiroa and G. E. Romero, 2004; F. S. N. Lobo and P. Crawford, 2004; E. F. Eiroa and C. Simeone, 2004). La extensión del formalismo a hipersuperficies nulas –es decir, que se mueven a la velocidad de la luz– ha permitido modelar problemas tales como la acreción de materia en un agujero negro, considerando que la incorporación de materia procede instantáneamente (C. Barrabès and W. Israel, 1991; Poisson, 2002). Además de este tipo de problemas de índole astrofísica, el formalismo ha sido aplicado al estudio de ciertos problemas cosmológicos como el estudio de la evolución de burbujas y “domain walls” –o interfaces– en los modelos inflacionarios, o a la dinámica de vacíos en la estructura a gran escala del universo, entre otras interesantes aplicaciones (D. Garfinkle, 1990; C. Barrabès and W. Israel, 1991; S. Khakshournia and R. Mansouri, 2002; F. S. N. Lobo and P. Crawford, 2005).

Sección 2-1: Hipersuperficies: A continuación presentaremos algunas conceptos geométricos y algunas definiciones fundamentales que nos serán de utilidad en la formulación de las condiciones de juntura y del formalismo de pegado de diferentes métricas (Poisson, 2002). Por simplicidad presentaremos estos conceptos en cuatro dimensiones, pero los mismos pueden ser extendidos a un número mayor de dimensiones sin dificultad. Nos restringiremos al caso de hipersuperficies temporales (dentro del cono de luz) o espaciales (fuera del cono de luz) y excluiremos el caso de hipersuperficies nulas (o hipersupeficies que se mueven a la velocidad de la luz). Como es habitual, los índices griegos µ,ν, etc. corresponden a las cuatro dimensiones del espacio tiempo (0,1,2,3) y usaremos índices latinos a, b, i, j para las tres dimensiones (1,2,3) de la hipersuperficie. Entendemos por hipersuperficie a una sub variedad de tres dimensiones en un espacio tiempo de cuatro dimensiones. Una hipersuperficie Σ puede caracterizarse imponiendo una restricción sobre las coordenadas

8

( )

Φ xα = 0

(2-1)

o bien por medio de una ecuación paramétrica del tipo

( )

xα = xα y a

(2-2)

donde los índices α = (0,1,2,3) corresponden a las coordenadas de la variedad espacio temporal de 4 dimensiones, mientras que los índices a = (1,2,3) corresponden a las coordenadas “intrínsecas” de la superficie. Definimos un vector unitario normal a la hipersuperficie que satisface la siguiente relación: nα nα = ε

(2-3)

donde ε = +1 si la hipersuperficie Σ es temporal, y ε = −1 si es espacial. El vector nα viene dado por la expresión

nα =

ε ⋅ Φ,α µν

g Φ,µ Φ,ν

1

(2-4) 2

donde Φ,α = ∂α Φ es la derivada parcial ordinaria de Φ respecto de xα y g µν es la métrica que caracteriza a la variedad espacio temporal de cuatro dimensiones en la que se halla inmersa la hipersuperficie Σ. La relación (2-2) permite hallar los vectores tangentes a la hipersuperficie Σ:

∂xα ea = a ∂y

(2-5)

eaα nα = 0

(2-6)

α

que satisfacen la relación

Con estos elementos podemos definir una métrica tridimensional hab inducida en la hipersuperficie Σ:

hab = gαβ ⋅ eaα ebβ

(2-7)

de manera que los desplazamientos sobre la hipersuperficie se escriben dsΣ2 = hab ⋅ dy a dy b

Podemos hallar la métrica inversa de gαβ

9

(2-8)

g αβ = ε ⋅ nα n β + h abeaα ebβ

(2-9)

donde ε = −1 en el caso de una hipersuperficie tipo espacio o ε = +1 si se trata de una hipersuperficie tipo tiempo. También podemos definir la derivada covariante intrínseca asociada a la métrica inducida:

donde

Aa b = Aα ; β ⋅ eaα ebβ

(2-10)

Aa b = Aa ,b −Γcab Ac

(2-11)

Γcab =

1 (hca ,b + hcb ,a −hab ,c ) 2

(2-12)

Cuando estamos en presencia de una sub variedad inmersa en una variedad de mayor número de dimensiones, es importante distinguir entre la geometría intrínseca y la geometría extrínseca de dicha sub variedad. La geometría intrínseca de una sub variedad considera únicamente las relaciones entre puntos a lo largo de caminos o “líneas” que pertenecen a la sub variedad y permanecen confinadas a la misma. La geometría extrínseca surge cuando la sub variedad se considera inmersa en un espacio o variedad de mayor número de dimensiones. Así por ejemplo, un cilindro es intrínsecamente plano, pero es extrínsecamente curvo, mientras que una esfera es intrínseca y extrínsecamente curva. La curvatura intrínseca de una hipersuperficie queda caracterizada a partir de un tri tensor de curvatura puramente intrínseco:

R c dab = Γ c db , a − Γ c da , b + Γ c ma Γ m db − Γ c mb Γ m da

(2-13)

cuya forma contraída es el escalar de Ricci en tres dimensiones: 3

R = h ab R m amb

(2-14)

Por otra parte, la curvatura extrínseca de la hipersuperficie Σ se caracteriza definiendo el tri tensor de curvatura extrínseca:

K ab = nα ; β ⋅ eaα ebβ

(2-15)

Se trata de un tensor simétrico: K ab = K ba

(2-16)

que satisface la siguiente relación de contracción:

10

K = h ab K ab = nα ;α

(2-17)

El tensor de curvatura extrínseca es una medida de la “flexión” de la hipersuperficie Σ dentro del espacio tiempo, y permite caracterizar a esta hipersuperficie como cóncava, si K < 0 , o convexa, si K > 0 . En muchos casos se hace necesario vincular la curvatura Rµαβγ del espacio tiempo con las curvaturas intrínseca y extrínseca de la sub variedad. Este vínculo viene dado por las relaciones de Gauss Codazzi:

Rαβγδ ⋅ eaα ebβ ecγ edδ = Rabcd + ε (K ad K bc − K ac K bd ) Rµαβγ ⋅ n µ eaα ebβ ecγ = K ab c − K ac b

(2-18)

(2-19)

Las relaciones de Gauss Codazzi también permiten encontrar una expresión que vincula el escalar de Ricci en 4 dimensiones con la curvatura extrínseca e intrínseca de la hipersuperficie:

(

)

(

R =3R + ε K 2 − K ab K ab + 2ε nα , β n β − nα n β ; β

)

(2-20)

;α

Además de vincular las curvaturas de la variedad y de la sub variedad, las relaciones de Gauss Codazzi son importantes porque permiten hallar expresiones necesarias para formular las ecuaciones de campo de Einstein en la hipersuperficie. Efectivamente, partiendo del tensor de Einstein

Gαβ = Rαβ − donde

1 Rgαβ 2

Rαβ = g µν Rµανβ

y

(2-21)

R = g αβ Rαβ

(2-22)

y utilizando las relaciones de Gauss Codazzi y la expresión (2-9) encontramos las siguientes relaciones entre el tensor de Einstein y la curvatura de la hipersuperficie

(

− 2ε ⋅ Gαβ nα n β =3R + ε K ab K ab − K 2 Gαβ ⋅ eaα n β = K b a b − K ,a

)

(2-23) (2-24)

Estas relaciones permiten obtener las componentes Gαβ nα n β y Gαβ eaα n β de las ecuaciones de Einstein sobre la hipersuperficie Σ. En la sección 3-2 veremos un ejemplo de su aplicación en la resolución de un problema cosmológico concreto: la obtención de la ecuación de Friedmann.

11

Dado que las ecuaciones de campo de Einstein son ecuaciones de segundo orden en las derivadas de la métrica, su resolución completa requiere que se especifiquen los valores de la curvatura extrínseca y de la métrica sobre la hipersuperficie. Estos valores no pueden asignarse libremente sino que deben satisfacer ciertas restricciones. Estas restricciones surgen de combinar las ecuaciones (2-23) y (2-24) con las ecuaciones de campo de Einstein. Sustituyendo estas ecuaciones Gαβ = 8π ⋅ G ⋅ Tαβ

(2-25)

en la expresión (2-23) obtenemos la primera de estas restricciones: K b a b − K , a = 8π ⋅ G ⋅ ja donde

ja = Tαβ ⋅ eaα n β

(2-26) (2-27)

Sustituyendo en (2-24) obtenemos la segunda restricción 3

R + K 2 − K ab K ab = 16π ⋅ G ⋅ ρ donde

ρ = Tαβ nα n β

(2-28) (2-29)

Sección 2-2: Las condiciones de juntura en la Gravedad de Einstein: Frecuentemente se presentan problemas en los que una hipersuperficie Σ divide el espacio tiempo en dos regiones. Este problema aparece, por ejemplo, en el caso de una estrella rodeada de vacío; el espacio tiempo en el interior de la estrella está caracterizado por una métrica mientras que el vacío que la rodea se describe mediante una métrica diferente; la hipersuperficie que separa ambas regiones coincide con el borde de la estrella. En este tipo de problemas surge la siguiente cuestión: “¿Qué tipo de condiciones debemos imponer a las métricas para que se junten suavemente en el borde, de tal manera que su unión constituya una solución válida de las ecuaciones de campo de Einstein?”. Supongamos una hipersuperficie Σ que divide el espacio tiempo en dos regiones a las que llamamos V + y V − , cuyas respectivas métricas + − son gαβ y gαβ . Llamamos y a ; a = (1,2,3) a las coordenadas “intrínsecas” sobre ambas caras α de la hipersuperficie Σ , y x± , α = (0,1,2,3) a las coordenadas de las variedades V ± . Definimos un vector unitario normal a la hipersuperficie, apuntando en dirección de V + , al que denominamos nα .

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También introducimos la siguiente notación que será utilizada en lo sucesivo: denotamos por el símbolo [ ] al “salto” de una cantidad vectorial dada Ω a través de la hipersuperficie Σ

[Ω] ≡ Ω(V + )Σ − Ω(V − )Σ donde Ω está definida a ambos lados de la hipersuperficie. α

En general las coordenadas x± de las variedades V ± son diferentes, de manera + − que la comparación de las métricas gαβ y gαβ no es directa. Esta dificultad se supera formulando adecuadas condiciones de juntura sobre la hipersuperficie Σ.

Las condiciones de juntura surgen como consecuencia de exigir que la métrica a ambos lados de la hipersuperficie sea una solución válida de las ecuaciones de campo de Einstein. En ese caso las cantidades derivadas de la métrica, tales como el tensor de Riemann, no deben presentar términos singulares. La primera condición de juntura exige la continuidad de la métrica inducida en la hipersuperficie:

[hab ] = 0

(2-30)

es decir que la métrica inducida debe ser idéntica a ambos lados de la hipersuperficie Σ. La segunda condición de juntura exige que la curvatura extrínseca de la hipersuperficie sea idéntica a ambos lados de la misma:

[K ab ] = 0

(2-31)

Ambas condiciones son invariantes por cambios de coordenadas (independientes de las coordenadas x±α ). En combinación con el tensor de Einstein Gαβ = Rαβ − (1 / 2 )Rgαβ las condiciones (2-30) y (2-31) conducen a las siguientes identidades:

[G

⋅ nα n β = 0

[G

⋅ eaα n β = 0

αβ

αβ

]

(2-32)

]

(2-33)

Cuando se cumplen las condiciones (2-30) y (2-31) entonces se eliminan los términos singulares en el tensor de Riemann y por lo tanto, se eliminan estos términos también en el tensor de Einstein. En ese caso puede demostrarse que el tensor energía impulso Tαβ solo contiene términos correspondientes a las regiones V ± , mientras que no aparece un tensor energía impulso sobre la hipersuperficie Σ. En otras palabras, no

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nos encontramos con una hipersuperficie o cáscara formada por materia; ésta es simplemente un borde que separa dos regiones diferentes del espacio tiempo. Este tipo de condiciones se aplican, por ejemplo, al borde entre una estrella y el vacío que la rodea. En el año 1939 Oppenheimer y Snyder modelaron el colapso de un agujero negro mediante este formalismo haciendo coincidir la hipersuperficie Σ con la superficie de la estrella y suponiendo una estrella esférica sin rotación formada de polvo (fluido sin presión p = 0 ). Bajo estas condiciones se aplicó una métrica interior de FRW (correspondiente a un tensor energía impulso interior Tαβ ≠ 0 ) y una métrica exterior de Schwarzschild (correspondiente a un tensor energía impulso exterior Tαβ = 0 ). (Oppenheimer and Snyder, 1939. Misner, Thorne and Wheeler, 1973. Poisson, 2002). Según explicamos antes, las condiciones de juntura (2-30) y (2-31) surgen al exigir que las cantidades derivadas de la métrica no presenten términos singulares. Sin embargo, hay casos en los que estos términos singulares aparecen en el tensor de Riemann y son susceptibles de una explicación física. Los términos singulares en Rαβγδ producen términos singulares en el tensor de Einstein. En ese caso las ecuaciones de campo de Einstein conducen a una expresión del tensor energía impulso Tαβ que contiene tres términos. Dos de ellos representan el tensor energía impulso en las regiones V ± , mientras que el tercer término se asocia a la presencia de una distribución de materia –una lámina superficial, una membrana delgada o “thin shell”– sobre la hipersuperficie Σ. Esta “cáscara” de materia tiene un tensor superficial de energía impulso al que denominamos S ab . En estos casos no se cumple la condición (2-31) sino que se verifica la ecuación de Lanczos que relaciona el “salto” experimentado por la curvatura extrínseca a ambos lados de la hipersuperficie Σ con el tensor energía impulso sobre ella:

S ab = −

ε ([K ab ] − [K ]hab ) 8π ⋅ G

(2-34)

Sab = Sαβ ⋅ eaα ebβ

donde

(2-35)

es un tri tensor simétrico. La ecuación de Lanczos puede escribirse también de manera alternativa como

[K ab ] = − 8π ⋅ G  Sab − 1 hab S  ε



2



(2-36)

lo que nos permite formular las condiciones correspondientes a “thin shells” de una forma abreviada como:

[hab ] = 0

y

[K ab ] ≠ 0

(2-37)

En combinación con las ecuaciones de Einstein Gαβ = 8π ⋅ GTαβ y con las ecuaciones de Gauss Codazzi, las condiciones (2-37) conducen a las siguientes

14

identidades que asocian el tensor superficial S ab con la corriente ja y la densidad de energía ρ (respectivamente, “identidad de conservación” e “identidad de evolución”):

ε ⋅ Sba a = [ ja ]

(2-38)

− S ab K ab = [ρ ]

(2-39)

donde

K ab

(K =

+ ab Σ

+ K ab−

Σ

)

2

y las expresiones ja y ρ están definidas en (2-27) y (2-29) respectivamente (.P. Musgrave and K. Lake, 1996). Las condiciones [hab ] = 0 y [K ab ] ≠ 0 han sido aplicadas por W. Israel al colapso gravitacional de una cáscara esférica de polvo. En este caso se aplicó una métrica plana de Minkowski –correspondiente una masa gravitacional nula– en el interior de la cáscara, y una métrica de Schwarzschild en el exterior obteniéndose las ecuaciones de movimiento de la cáscara y la relación entre la masa gravitacional y la masa en reposo de la misma (W. Israel, 1966; Poisson, 2002). El formalismo de junturas fue formulado por G. Darmois (1927) y W. Israel (1966), mientras que el formalismo de thin shells fue formulado por K. Lanczos (1924) y W. Israel (1966). Las condiciones de juntura han sido deducidas de diferentes maneras por diferentes autores. Una forma de hallarlas es partiendo de funciones de distribución. Podemos pensar que la presencia de una esfera maciza de materia altera el entorno de alguna manera. Las condiciones no son las mismas en el interior de la esfera que fuera de ella. Del mismo modo, la presencia de una lámina o cáscara de materia separando dos regiones del espacio tiempo altera su entorno de tal manera que, en principio, las condiciones a uno y otro lado de la lámina no serán idénticas. Por lo tanto es razonable, en ambos casos, recurrir a la distribución de Heaviside H, o función “escalón”, para representar el cambio en el entorno del espacio tiempo: + − gαβ = H (r+ ) ⋅ gαβ + H (r− ) ⋅ gαβ

(2-40)

Al derivar la métrica (por ejemplo, al calcular el tensor de curvatura o los símbolos de Christoffel) aparecen necesariamente términos singulares ya que se introduce la derivada de la función de Heaviside que es la Delta de Dirac: ∂H (l ) = δ (l ) ∂l

Por lo tanto al derivar dos veces la métrica (2-40) respecto de las coordenadas aparecerán términos del tipo ′ δ (l ) ⋅ gαβ

(2-41)

15

donde la prima indica derivada respecto de la coordenada. Si se trata de una cáscara de materia, la función δ es apta para representar la distribución de materia de una cáscara delgada. En ese caso, la función δ que aparece en la derivada segunda de la métrica se ajusta al tensor energía impulso superficial. Veremos una aplicación de esta idea en la sección 3-2, cuando calculemos la ecuación de conservación de la energía para una cosmología brana. (Véase también P. Binétruy, C. Deffayet and D. Langlois, 2000, y C. Charmousis and J. F. Dufaux, 2002). En el caso en que no exista tal distribución de materia superficial sino un borde (por ejemplo, el borde de una estrella), se suprimen los términos singulares exigiendo que [gαβ ] = 0 lo que conduce inmediatamente a la condición [hab ] = 0 . (Para detalles sobre este procedimiento véase E. Poisson, 2002).

El método de distribuciones no es el único que permite encontrar las condiciones de juntura. Algunos autores las han deducido de manera alternativa agregando a la acción (1-1) un término que tiene en cuenta efectos de borde (G. W. Gibbons and S. W. Hawking, 1977). Volveremos sobre este tema un poco más adelante.

Antes de finalizar esta sección haremos una breve comparación con el caso electrostático que ayudará a comprender intuitivamente el formalismo de junturas y la noción de thin shells. Por simplicidad supondremos distribuciones esféricas de carga. En primer lugar supongamos una esfera maciza de carga de radio r0 uniformemente cargada. El campo eléctrico en el interior de la esfera tiene una dependencia radial del tipo r. En el exterior, la dependencia del campo respecto del radio es del tipo 1/r2:

 dΦ  Eint = −  ∝r  dr int

1  dΦ  Eext = −  ∝ 2  dr ext r

donde Φ es el potencial electrostático. Si bien la forma del campo cambia en el “borde” de la esfera, no hay discontinuidad en el campo en ese punto. En otras palabras, en r = r0 es Eint = Eext , tal como puede observarse en el gráfico correspondiente. Por lo tanto se verifica

 dΦ  =0  dr  r = r0 es decir que la derivada normal del potencial Φ en el borde de una distribución esférica maciza de carga no experimenta discontinuidades. El ejemplo es análogo al caso de un borde separando dos regiones diferentes del espacio tiempo, en el que las condiciones de juntura implican [K ab ] = 0 . La analogía

16

puede extenderse aún más si tenemos en cuenta que la curvatura extrínseca se relaciona con la derivada normal de la métrica según la siguiente expresión K ab =

1 ( Ln gαβ ) ⋅ eaα ebβ 2

donde Ln gαβ es la derivada de Lie de la métrica a lo largo del vector normal. Por lo

tanto la condición [K ab ] = 0 nos está indicando que la derivada normal de la métrica en un borde no experimenta discontinuidades.

Supongamos ahora una cáscara esférica de radio r0 uniformemente cargada con una densidad superficial de carga σ. En el interior de la cáscara el campo es nulo, mientras que en el exterior es del tipo 1/r2:

 dΦ  Eint = −  =0  dr int

1  dΦ  Eext = −  ∝ 2  dr ext r

Por lo tanto en la “cáscara” de carga se verifica una discontinuidad en el campo. En r = r0 es Eint ≠ Eext

⇒

 dΦ  ≠0  dr  r = r0

La derivada normal del potencial experimenta una discontinuidad en la cáscara de carga. Esta discontinuidad está asociada a la distribución de carga sobre la cáscara:

∂Φ ext ∂r

− r0

∂Φ in ∂r

∝σ r0

Análogamente, en el caso de una thin shell de materia se verifica [K ab ] ≠ 0 y la expresión (2-36) asocia la discontinuidad en la derivada normal de la métrica con la distribución de materia en la cáscara.

Sección 2-3: Las condiciones de juntura en la gravedad de Einstein Gauss Bonnet: Supongamos una hipersupericie de cuatro dimensiones inmersa en una variedad de cinco dimensiones. En esta sección y en lo sucesivo adoptaremos la siguiente convención de índices con la finalidad de trabajar de manera homogénea a lo largo de

17

toda la monografía: los índices latinos mayúsculos A,B,...etc. se refieren a las cinco dimensiones de la variedad V ⇒ A, B,... = (0,1,2,3,4) ; los índices griegos µ,ν,...etc. se refieren, como es habitual, a las cuatro dimensiones de la hipersuperficie Σ inmersa en la variedad de cinco dimensiones V ⇒ µ ,ν ,... = (0,1,2,3) ; y los índices latinos minúsculos a,b,i,j,... etc. se refieren a la sub hipersuperficie espacial de tres dimensiones ⇒ a, b, i, j ,... = (1,2,3) . Por lo tanto x µ son las coordenadas intrínsecas de la hipersuperficie de cuatro dimensiones, mientras que x a son las coordenadas intrínsecas de la sub hipersuperficie espacial de tres dimensiones. Según hemos visto en la sección 1 la Teoría de Gravedad de Lovelock es la teoría métrica más general que conduce a ecuaciones de campo conservadas de segundo orden cuando se trabaja en D>4 dimensiones. La Teoría de Einstein Gauss Bonnet es un caso particular de la Teoría de Lovelock. En ese caso la acción correspondiente incluye correcciones cuadráticas a la curvatura y adopta la forma (1-14) que reescribimos como

(

(

))

S = ∫ d 5 x ⋅ − g R − 2Λ + α R 2 − 4 RAB R AB + RABMN R ABMN + S mat S = SGaussBonnet + S mat

(2-42)

(2-42)

donde R es el escalar de curvatura en cinco dimensiones asociado a la métrica g AB de la variedad –o espacio tiempo general– de cinco dimensiones. Las ecuaciones de campo derivadas al variar esta acción son las (1-15) que reescribimos como mat κ (25 )TMN = GMN + Λg MN + 2αH MN

(2-43)

donde κ (25 ) = 8π ⋅ G(5 ) y G(5 ) es la constante gravitacional de Newton en cinco dimensiones (K. Konya, 2007).1 Estas ecuaciones son una combinación lineal de la métrica g MN en cinco dimensiones, el tensor de Einstein GMN en cinco dimensiones y el tensor de Lovelock H MN en cinco dimensiones que reescribimos como

H MN = RNEAB RM

EAB

− 2 RMANB R AB − 2 RMA RN + R ⋅ RMN − A

(

)

1 2 R − 4 RAB R AB + RABED R ABED ⋅ g MN 4

Para encontrar las condiciones de juntura en esta configuración algunos autores proponen una generalización del método planteado por G. W. Gibbons y S. W. Hawking (1977) para resolver el problema de un espacio tiempo de cuatro dimensiones limitado por un contorno. La solución al problema consiste en agregar a la acción de la gravedad un término que tenga en cuenta el borde o contorno del espacio tiempo. Es decir que se considera una acción del tipo

1

Dado que más adelante se trabajarán cosmologías en cinco dimensiones, resulta conveniente distinguir en la constante κ el número de dimensiones en el que se está trabajando. Volveremos sobre este punto en la sección 3.

18

Stot = S EH + S mat + SΣ donde S EH es la acción de Einstein Hilbert en cuatro dimensiones, dada en la expresión (1-1), S mat es la acción de los campos de materia y SΣ es la acción correspondiente al contorno. Al variar la acción completa Stot se obtienen, por un lado, las ecuaciones de 1 campo en cuatro dimensiones Rνµ − R ⋅ gνµ = κ (24 ) ⋅ Tνµmat ; pero además, al variar el 2 término SΣ se obtienen las condiciones de juntura de Israel sobre la hipersuperficie Σ que vienen dadas en la expresión (2-34). Para hallar las condiciones de juntura en cinco dimensiones en la gravedad de Einstein Gauss Bonnet, S. C. Davis (2003) propone un procedimiento análogo. Se agrega a la acción (2-42) el término

SΣ = −

1

κ (25 ) ∫Σ

{

(

d 4 x − h ⋅ K + 2α J − 2G µν K µν

)}

(2-44)

donde - κ (25 ) = 8π ⋅ G(5 ) y G(5 ) es la constante gravitacional de Newton en cinco dimensiones (K. Konya, 2007). - α es la constante de Gauss Bonnet - hµν es la métrica inducida del espacio tiempo de cuatro dimensiones y h es su traza - K µν es la curvatura extrínseca de espacio tiempo de cuatro dimensiones (que en este caso es un 4-tensor) , y K es su traza - Gµν es el tensor de Einstein en cuatro dimensiones - y J es un término que contiene contribuciones cúbicas a la curvatura extrínseca: J µν =

(

1 2 KK µε K ε ν + K εσ K εσ K µν − 2 K µε K εσ Kσν − K 2 K µν 3

Variando la acción total Stot = SGaussBonnet + S mat + SΣ

19

(2-46)

)

(2-45)

se obtienen, por un lado, las ecuaciones de campo de Einstein Gauss Bonnet en cinco dimensiones (2-43); pero además se obtienen las condiciones de juntura para la gravedad de Einstein Gauss Bonnet en cinco dimensiones:

[K

µν

[

]

− Khµν ] + 2α 3J µν − Jhµν + 2 Pµεσν K εσ = −κ (25 )S µν

(2-47)

donde, como antes, el símbolo [Φ] denota el salto de la cantidad Φ a través de la hipersuperficie Σ de cuatro dimensiones y S µν es el tensor energía momento superficial o tensor energía momento inducido en la hipersuperficie Σ.2 Las condiciones (2-47) en cinco dimensiones y en la gravedad de Einstein Gauss Bonnet equivalen a las condiciones (2-34) en cuatro dimensiones en la gravedad de Einstein. Efectivamente, el primer término del lado izquierdo de (2-47) corresponde a las condiciones de Israel, ya que se construye únicamente con el tensor de curvatura extrínseca y su traza. Además aparecen contribuciones cúbicas en la curvatura extrínseca introducidas por el término de Gauss Bonnet; estas contribuciones están incluidas en los términos J µν . También aparecen términos adicionales que involucran al tensor de Riemman sobre la hipersuperficie Σ de cuatro dimensiones. Estos términos son Pµεσν = Rµεσν + Rεσ hµν − Rεν hµσ + Rµν hεσ − Rµσ hεν +

1 1 Rhµσ hεν − Rhµν hεσ 2 2

(2-48)

En la sección 3 veremos la aplicación de las condiciones de juntura (2-47) para caracterizar la dinámica de un modelo cosmológico en el marco de la teoría de Einstein Gauss Bonnet. Algunos autores han derivado las condiciones de juntura en D>4 considerando a la hipersuperficie Σ como una distribución δ respecto del espacio tiempo completo de cinco dimensiones (P. Binétruy et al., 2000). Se ha sugerido que tal deducción conduce a condiciones de juntura que son dependientes del espesor de la hipersuperficie Σ. Esto sería cierto para una combinación “general” de términos de segundo orden en la curvatura, puesto que en ese caso aparecerían derivadas de la métrica de tercer orden o superior. Pero, como hemos visto en la sección 1, en el término de Gauss Bonnet los parámetros p, q y r de la ecuación (1-12) se eligen de tal manera que estos términos se eliminan (C. Garrafo and G. Giribet, 2008). Por lo tanto, en el caso de la gravedad de Einstein Gauss Bonnet las condiciones de juntura derivadas de una distribución resultan ser independientes del espesor de la hipersuperficie y son, por lo tanto, válidas. Veremos aplicaciones de este formalismo en la sección 3 cuando desarrollemos modelos de cosmología de mundos brana en cinco dimensiones en la gravedad de Einstein y en la gravedad de Einstein Gauss Bonnet.

*** 2

Para mayor claridad se ha seguido la notación de K. Maeda and T. Torii (2004), C. Garrafo and G. Giribet (2008) y K. Konya (2007) donde se discriminan los índices correspondientes a cuatro o cinco dimensiones y se encuentran explicitadas las constantes.

20

Sección 3: tres modelos cosmológicos simples.

En esta sección compararemos los resultados de la cosmología standard, derivada de la gravedad de Eintein en cuatro dimensiones, con los resultados obtenidos en extensiones de esta teoría. En la sección 3-1 se sintetizarán los conceptos fundamentales de la cosmología standard, en cuatro dimensiones en la gravedad “ordinaria” de Einstein. En la segunda sección se expondrán brevemente los principales conceptos de la cosmología de mundos brana en cinco dimensiones, sin introducir otras modificaciones a la gravedad de Einstein, y se compararán los parámetros y ecuaciones obtenidos en este contexto con los de la cosmología standard. En la última sección se señalarán concisamente los aspectos principales de la cosmología derivada de ampliar el número de dimensiones a cinco y de agregar, además, el término de Gauss Bonnet en el lagrangiano correspondiente al campo gravitatorio. También en este caso se compararán los parámetros obtenidos con los correspondientes parámetros de los dos casos anteriores. Tanto en el caso de la cosmología de mundos brana en la gravedad de Einstein como en la cosmología de mundos brana en la gravedad de Einstein Gauss Bonnet veremos el papel que desempeñan las condiciones de juntura de Israel en la obtención de las ecuaciones correspondientes.

Sección 3-1: La Cosmología Standard (cosmología en cuatro dimensiones en la gravedad de Einstein) En esta sección se seguirán los lineamientos de L. Bergström and A. Goobar, cap. 4 (2006), S. Carroll, cap. 4 y 8 (2004), y M. P. Hobson, G. P. Efstathiou and A. N. Lasenby, cap. 14 (2006). Como ya se ha anticipado en la sección 1, las ecuaciones de campo de Einstein pueden derivarse de una acción que tiene la forma S=

1 2κ 2

⋅ (S EH + S Λ ) + S mat

(3-1)

donde S mat es la acción correspondiente a todos los campos de materia exceptuando la gravedad, S Λ es la acción correspondiente a la constante cosmológica y S EH es la acción de Einstein Hilbert : S EH + S Λ = ∫ d 4 x ⋅ − g ⋅ (R − 2Λ )

(3-2)

Variando la acción (3-1) obtenemos las ecuaciones de campo de Einstein en presencia de materia y con constante cosmológica no nula: Rνµ −

1 R ⋅ gνµ − Λgνµ = κ 2 ⋅ Tνµ 2

(3-3)

donde κ 2 = 8π ⋅ G , y G es la constante gravitacional de Newton. (Hemos considerado c = 1 ). Dado que más adelante trabajaremos en más de cuatro dimensiones, es conveniente distinguir la constante gravitacional de Newton en cuatro dimensiones de la

21

constante de Newton en cinco dimensiones, ya que en principio estas dos constantes son diferentes. Por lo tanto en lo sucesivo denominaremos a la constante κ y a la constante de Newton en cuatro dimensiones con el subíndice 4:

κ (24 ) = 8π ⋅ G(4 ) G = G(4 ) = 6.67 × 10−11

N ⋅ m2 kg 2

(3-4)

Para describir adecuadamente el Universo tal como lo observamos necesitamos una métrica adecuada. Veremos cuál es la métrica que responde a esta necesidad partiendo de dos principios fundamentales: el Principio Cosmológico y el Principio Copernicano. El Principio Cosmológico establece que la distribución de materia es homogénea en todo el Universo (D. Raine and T. Thomas, 2001)3. A pequeña escala el Universo es notablemente inhomogéneo (por ejemplo, la densidad en el interior de una estrella es muy superior a la densidad del vacío que la rodea). Pero a gran escala las variaciones en la densidad son consideradas “en promedio”. Por lo tanto el Principio Cosmológico es aplicable a gran escala. El Principio Copernicano establece que nuestra ubicación en el planeta Tierra no es una ubicación privilegiada; por lo tanto las leyes de la física formuladas en nuestro planeta deben ser válidas en todo el Universo. Una importante consecuencia del Principio Copernicano es la suposición de la isotropía espacial del Universo en su totalidad. Desde nuestra ubicación el Universo se ve idéntico en cualquier dirección ya que, a grandes escalas angulares, la distribución de las galaxias es isótropa. Por otra parte, el fondo cósmico de radiación en la región de las microondas se observa también isótropo. De acuerdo al Principio Copernicano, dado que nuestra locación no es privilegiada, si el Universo se ve isótropo desde nuestra ubicación, debería verse isótropo desde cualquier ubicación. En otras palabras, en virtud del Principio Copernicano, el Universo debería ser isótropo en todo punto del espacio. Nos encontramos entonces con dos propiedades, homogeneidad e isotropía, entre las cuales no existe una relación necesaria. En efecto, una variedad puede ser isótropa alrededor de un punto y no ser homogénea; esto es lo que ocurre, por ejemplo, en un cono: la variedad es isótropa en torno al vértice pero no es homogénea. Sin embargo, si un espacio es isótropo alrededor de cualquier punto, entonces es también homogéneo y ambas propiedades se conjugan. En otros términos, son válidos tanto el Principio Cosmológico como el Copernicano y por lo tanto suponemos que el Universo es homogéneo e isótropo en todas partes.

3

En la literatura especializada existen ciertas discrepancias en la definición de estos dos principios. S. Carroll no menciona el Principio Cosmológico y engloba ambos principios en un único Principio Copernicano. M. P. Hobson et al. no mencionan el Principio Copernicano y engloban ambos principios en un único Principio Cosmológico. D. Raine et al. distinguen ambos principios. Para una discusión detallada acerca de estos principios y sobre los conceptos de homogeneidad e isotropía véase E. Harrison, 2000.

22

En términos matemáticos, la isotropía espacial equivale a la invarianza por rotaciones alrededor de un punto mientras que la homogeneidad equivale a la invarianza por traslaciones (S. Carrol, 2004). Si una variedad espacial posee ambas simetrías entonces se dice que es máximamente simétrica. Sin embargo, si bien podemos suponer la isotropía y homogeneidad espacial de nuestro universo, no podemos extender estas simetrías a la dimensión temporal ya que el Universo evoluciona en el tiempo y no se mantiene idéntico a si mismo a medida que el tiempo cambia. Pero podemos formular un modelo en que el Universo pueda ser “foliado” en láminas espaciales de tres dimensiones, cada una de las cuales sea máximamente simétrica (espacialmente homogénea e isótropa). Cada una de estas “hipersuperficies” se caracteriza por un determinado parámetro t. En ese caso la métrica más general que describe el espacio tiempo es la métrica de Robertson Walker:

 dr 2  ds = − dt + a (t ) ⋅  + r 2 dθ 2 + r 2 sen 2θ ⋅ dϕ 2  2 1 − kr  2

2

2

(3-5)

donde a(t ) es un factor de escala, k = 0,±1 es la curvatura y (r ,θ ,ϕ ) son las coordenadas esféricas usuales en tres dimensiones. El valor k = 0 corresponde al espacio plano; k = 1 corresponde a un espacio cerrado y k = −1 a un espacio abierto. La métrica (3-5) suele escribirse abreviadamente como

 dr 2  ds 2 = − dt 2 + a 2 (t ) ⋅  + r 2 dΩ 2  2 1 − kr 

(3-5b)

donde dΩ 2 = dθ 2 + sen 2θ ⋅ dϕ 2 . La dinámica del espacio tiempo está caracterizada por el factor de escala a(t). Para determinar esta función debemos resolver las ecuaciones de campo (3-3) en presencia de materia. Para hacerlo necesitamos conocer el tensor energía momento de la materia que llena el universo. Supondremos que la materia que compone el universo es un fluido ideal. En ese caso el tensor energía momento es T µν = (ρ + p ) ⋅ u µ uν + p ⋅ g µν

(3-6)

que satisface la condición covariante de divergencia nula

T µν ; µ = 0

(3-7)

Se adopta además un sistema de referencia comoviente con el fluido para simplificar los cálculos. Combinando las ecuaciones de Einstein (3-3) con su correspondiente tensor energía momento (3-6) y la métrica (3-5) se obtienen las siguientes ecuaciones:

k κ (4 )  a&  ρtot   + 2 = 3 a a 2

2

23

(3-8)

2

k  a&&   a&  2 ⋅   +   + 2 = −κ (24 ) ⋅ p a a a

(3-9)

donde κ (24 ) = 8π ⋅ G(4 ) y ρtot incluye todas las contribuciones posibles a la densidad de energía:

ρtot = ρ rad + ρ mat + ρvac

ρvac = ρ Λ =

siendo

Λ

κ (24 )

La ecuación (3-8) se conoce como Ecuación de Friedmann. (3-8) y (3-9) determinan la evolución temporal del factor de escala a.

Las ecuaciones

Insertando la ecuación (3-8) en la (3-9) podemos escribir esta última ecuación de una forma que nos será útil más adelante:

κ  a&&  2 ⋅   = − (4 ) (ρtot + 3 p ) 3 a 2

(3-10)

En términos del parámetro de Hubble H: H=

a& a

(3-11)

las ecuaciones (3-8), (3-9) y (3-10) se escriben k κ H + 2 = (4 ) ρtot a 3 2

2

(3-11)

k 2 H& + 3H 2 + 2 = −κ (24 ) ⋅ p a

κ 2 H& + 2 H 2 = − (4 ) (ρtot + 3 p ) 3

(3-12)

2

(3-13)

La ecuación de Friedmann (3-11) –o, alternativamente, la ecuación (3-13)– nos dice que en la Cosmología Standard existe una relación entre el parámetro de Hubble H y la densidad de energía ρ del tipo

H2 ∝ ρ

(3-14)

Por otra parte, la ecuación de Friedmann involucra a la constante de Newton en cuatro dimensiones a través de la constante κ (24 ) = 8πG(4 ) , donde G(4 ) es (3-4). Si bien las ecuaciones (3-8) y (3-9) determinan la evolución temporal del factor de escala a, podemos derivar otras relaciones importantes combinando la ecuación (3-8) con la conservación del tensor T µν expresada en la ecuación (3-7). Así obtenemos

24

p& a 3 =

Usando

[

]

d 3 a (ρ + p ) dt

( )

d dp 3 da 3 pa 3 = a +p dt dt dt

(

(3-15)

la ec. (3-15) puede escribirse

)

d da 3 ρ ⋅ a3 = − p dt dt

(3-16)

Esta última ecuación nos indica que la variación en el tiempo de la energía en un volumen V = a 3 es igual a − p veces la variación en el volumen dV . Desarrollando ambos miembros de la ec. (3-16) podemos escribirla como

ρ& + 3(ρ + p ) = 0 a& a

ρ& + 3(ρ + p )H = 0

o bien

(3-17)

Esta ecuación de continuidad para el fluido cosmológico de la Cosmología Standard expresa la conservación local de la energía. La presión y la densidad de un fluido están relacionadas a través de una ecuación de estado. Suponemos que esta ecuación es de la forma p = ωρ

(3-18)

donde ω es una constante. Esta constante adquiere diferentes valores dependiendo del fluido que caracteriza. Para la materia no relativista es ω = 0 ⇒ p = 0 . Es usual denominar a este fluido “sin presión” con el nombre de polvo. Para la radiación es ω = 1/ 3 ⇒ p = ρ / 3 . Para la energía del vacío es ω = −1 ⇒ p = −ρ . Introduciendo (3-18) en (3-17) obtenemos

ρ& + 3H (1 + ω )ρ = 0

⇒

(3-19)

a& ρ& = −3(1 + ω ) ρ a

Integrando la última expresión obtenemos una relación entre la densidad de energía y el factor de escala:

ρ ∝ a −3(1+ω ) Por lo tanto obtenemos:

25

(3-20)

- para un universo dominado por la radiación (primeras etapas en la evolución del universo) es ω = 1 / 3 ⇒ρ∝

1 a4

(3-21)

- para un universo dominado por la materia (lo que correspondería al momento presente en la evolución del universo) es ω = 0 ⇒ρ∝

1 a3

(3-22)

- para un universo dominado por la energía del vacío es ω = −1 ⇒ ρ ∝ cte

(3-23)

Finalmente podemos estimar la evolución temporal del factor de escala. Combinando las ecuaciones (3-16), (3-18) y (3-20) obtenemos la siguiente relación general: 2

a (t ) ∝ t 3(1+ ω )

(3-24)

Por lo tanto: - para un universo dominado por la radiación es ω = 1 / 3

⇒ a(t ) ∝ t1 / 2

(3-25)

- para un universo dominado por la materia es ω = 0

⇒ a(t ) ∝ t 2 / 3

(3-26)

- para un universo dominado por la energía del vacío es ω = −1

⇒ a(t ) ∝ e Ht

(3-27)

***

Sección 3-2: Cosmología brana en cinco dimensiones en la gravedad de Einstein

26

En esta sección se describirá brevemente un modelo cosmológico simple resultante de considerar a nuestro universo como un subespacio de cuatro dimensiones inmerso en un espacio tiempo de cinco dimensiones, para una gravedad de Einstein. Se seguirán principalmente los conceptos expuestos en P. Binétruy, D. Deffayet and D. Langlois (2000), D. Langlois (2003) y en E. Papantonopoulos (2002). Las llamadas Cosmologías de Mundos Brana consideran que nuestro universo es un subespacio de cuatro dimensiones inmerso en un espacio tiempo (bulk) de mayor número de dimensiones. En la literatura especializada suele separarse la hipersuperficie de cuatro dimensiones en una sub hipersuperfice espacial de tres dimensiones – denominada 3-brana o simplemente brana– y una dimensión temporal. Las dimensiones “extra” del bulk permanecen ocultas a la percepción. Pero a diferencia de los modelos derivados de la teoría de Kaluza Klein, donde las dimensiones extra se hallan compactificadas en un radio tan pequeño que eluden la detección, en los modelos de mundos brana las dimensiones extra podrían ser grandes a condición de que la materia ordinaria se encuentre confinada en el subespacio de cuatro dimensiones. En consecuencia, las interacciones fuerte y electrodébil sólo afectarían a esta hipersuperficie. La gravedad es entendida como la única interacción que se extiende más allá de la hipersuperficie, afectando no sólo a ésta sino también a las dimensiones “extra”; en otras palabras, las dimensiones “extra” sólo son afectadas por la gravedad mientras que el universo brana de cuatro dimensiones es afectado por todas las interacciones. Los modelos de cosmologías de mundos brana podrían tener aplicaciones en la teoría de cuerdas o en la formulación de modelos para la expansión acelerada observada en el presente (C. Deffayet, 2001). En esta sección consideraremos que nuestro universo de cuatro dimensiones se encuentra inmerso en un espacio tiempo de cinco dimensiones; por lo tanto solo tendremos en cuenta una única dimensión extra. Seguiremos la notación de P. Binétruy et. al, (2000) según la cual los índices A,B corresponden a las cinco dimensiones del espacio tiempo; los índices griegos µ,ν corresponden a las cuatro dimensiones convencionales (tres espaciales y una temporal) del universo brana, y los índices latinos i,j corresponden a las tres dimensiones espaciales convencionales de la 3 brana espacial. Para formular la teoría brana en cinco dimensiones partimos de una acción general en cinco dimensiones, análoga a la expresión (3-2).

S (5 ) =

1 2κ

2 (5 )

∫d

5

(

)

~ ~ x − g~ ⋅ R − 2Λ + ∫ d 5 x − g~ ⋅ Lm

Por simplicidad suponemos una constante cosmológica nula:

S (5 ) =

1 2κ

2 (5 )

∫d

5

~ x − g~ ⋅ R + ∫ d 5 x − g~ ⋅ Lm

(3-28)

donde el primer término corresponde a la acción de Einstein Hilbert en cinco ~ dimensiones; g~AB es la métrica en cinco dimensiones y R es el escalar de curvatura en cinco dimensiones correspondiente a esta métrica. El segundo término de (3-28) es la acción del contenido de materia. La constante κ (5 ) se relaciona con la constante

27

gravitacional de Newton en cinco dimensiones G(5 ) y con la masa de Planck en cinco dimensiones M (5 ) a través de la siguiente expresión:

κ (25 ) = 8π ⋅ G(5 ) = M (−53)

(3-29)

En el contexto de las teorías de cuerdas M (5 ) es la escala de masa de la cuerda (S. C. Davis; 2003). La métrica en cinco dimensiones es ds 2 = g~AB ⋅ dx Adx B que podemos escribir de la siguiente manera

ds 2 = −n 2 (t , y ) ⋅ dt 2 + a 2 (t , y ) ⋅ δ ij dx i dx j + b 2 (t , y ) ⋅ dy 2

(3-30)

donde y es la coordenada correspondiente a la quinta dimensión; i, j = (1,2,3) son coordenadas espaciales ordinarias (coordenadas espaciales intrínsecas de la 3-brana); a es el factor de escala y t es el tiempo propio de la brana, o tiempo de un observador solidario con la brana. Por simplicidad se ha elegido una métrica plana en las dimensiones espaciales ordinarias x i (que corresponde a elegir el valor k = 0 en la métrica de FRW (3-5)). Suponemos que la hipersuperficie o brana se encuentra localizada en la coordenada y = 0 de modo que la métrica inducida (2-8) es

dsΣ2 = −n 2 ( y,0) ⋅ dt 2 + a 2 (t ,0) ⋅ δ ij dx i dx j o bien, llamando n(t ,0 ) = n0 (t ) y a (t ,0 ) = a0 (t ) dsΣ2 = −n0 (t ) ⋅ dt 2 + a0 (t ) ⋅ δ ij dx i dx j 2

2

(3-31)

Según la teoría de mundos brana, los campos electrodébil y nuclear fuerte sólo serán sensibles a las componentes de la métrica inducida en la hipersuperficie que constituye nuestro universo brana. Asimismo veremos más adelante que la ecuación de continuidad para el fluido que forma la brana depende únicamente de las componentes de la métrica inducida. Las ecuaciones de campo de Einstein pueden derivarse variando la acción (3-28) respecto de la métrica, y adoptan la forma usual:

~ 1~ ~ ~ GAB = RAB − R ⋅ g~AB = κ (25 ) ⋅ TAB 2 donde

~ TAB = TAB bulk + TAB brana

(3-32) (3-33)

es el tensor energía momento total. Considerando que la brana es una delgada membrana localizada en y = 0 y suponiendo que la materia que compone nuestro

28

universo brana se comporta como un fluido ideal, podemos escribir el tensor energía momento de la brana como TAB brana =

δ (y) b

diag (− ρ , p, p, p,0 )

(3-34)

donde ρ es la densidad de energía total de la brana, que incluye todas las contribuciones posibles a la densidad; y p es la presión –a veces denominada “tensión” – total en la brana. Suponiendo que en la 3-brana espacial de nuestro universo brana vale el Principio Cosmológico, entonces la densidad de materia ρ y la presión p de la brana no dependen de las coordenadas espaciales x i de la 3-brana (es decir, son valores independientes de su posición en la 3-brana). La cosmología en cuatro dimensiones de nuestro universo brana se obtendrá resolviendo las ecuaciones de Einstein (3-32) en la vecindad de la brana localizada en y = 0 para relacionar las componentes de la métrica inducida (3-31) con las componentes del tensor energía momento en la brana (3-34). Para ello deben aplicarse las condiciones de juntura de Israel Darmois –que serán discutidas un poco mas adelante– o bien seguir un método equivalente como el que describimos a continuación. Según hemos visto en la sección 2, para que exista una geometría bien definida se requiere que la métrica inducida sea continua a través de la brana, lo que equivale a formular las condiciones

[a(t ,0)] = [a0 ] = 0

y

[n(t ,0)] = [n0 ] = 0

que corresponden a la condición (2-30) de la sección 2. Pero si consideramos a nuestro universo brana como una membrana o thin shell de materia localizada en y = 0 entonces habrá una discontinuidad en la curvatura extrínseca K AB de la brana o, lo que es lo mismo, una discontinuidad en las derivadas segundas de la métrica respecto de la coordenada normal a la hipersuperficie –que en este caso es la coordenada y. En otras palabras, como hemos visto al final de la sección 2, al derivar la métrica dos veces (véanse las ecuaciones (2-40) y (2-41)) aparecerán expresiones del tipo

δ ( y ) ⋅ g ′AB donde la derivada primera de la métrica respecto de y está multiplicada por una delta de Dirac. En virtud de esta propiedad P. Binétruy et al. (2000) proponen, para resolver las ecuaciones de campo de Einstein en el entorno de la brana, el método que sintetizamos a continuación. La discontinuidad en la derivada segunda de la métrica aparece en las ~ componentes de G AB que contienen términos del tipo

∂ 2a = a′′ ∂y 2

y

29

∂ 2n = n′′ ∂y 2

~ ~ Estas componentes son G00 y Gij . Asociados a estas derivadas segundas ~ ~ aparecerán términos del tipo δ ( y ) ⋅ a′ y δ ( y ) ⋅ n′ en G00 y Gij . Al igualar estas componentes con las correspondientes componentes del tensor energía momento de la brana –expresión (3-34)– se llega a las siguientes expresiones

[a′]

=−

a0b0

[n′] n0b0

=

κ (25 ) 3

κ (25 ) 3

ρ

(3-35)

(3 p + 2 ρ )

(3-36)

donde el subíndice 0 indica que estas funciones están evaluadas en y = 0 . Como se verá más adelante, estas dos ecuaciones equivalen a las condiciones de juntura de Darmois Israel. Según hemos explicado en la sección 2, las condiciones de juntura permiten describir la dinámica de una thin shell. En el caso que estamos analizando la hipersuperficie Σ o thin shell es precisamente el universo brana de cuatro dimensiones. Por lo tanto, las condiciones de juntura permitirán describir la dinámica del universo brana dentro de un espacio tiempo de cinco dimensiones. Introduciendo las dos últimas expresiones en la componente (0,5) de las ecuaciones de Einstein y evaluando el salto de esta componente en la hipersuperficie se obtiene la ecuación de continuidad para el fluido de la brana:

ρ& + 3(ρ + p )

a&0 =0 a0

(3-37)

que expresa la conservación de la energía – momento en el universo brana. Como era de esperar, la ecuación de continuidad para el fluido que compone la brana depende únicamente de las componentes de la métrica inducida. La ecuación (3-37) tiene la misma forma que la ecuación de continuidad (3-17) de la cosmología standard. Evaluando el salto en la componente (5,5) de las ecuaciones de Einstein y considerando que exista simetría y → − y se obtiene la siguiente expresión

κ κ a&02 a&&0 + = − (5 ) ρ (ρ + 3 p ) − (52) T55 2 36 3b0 a0 a0 2

2

(3-38-a)

donde T55 es el tensor energía momento del bulk. Podemos re escribir esta expresión en términos del parámetro de Hubble de la brana H=

30

a&0 a0

κ κ 2 H + H& = − (5 ) ρ (ρ + 3 p ) − (52) T55 36 3b0 2

⇒

2

2

(3-38-b)

Las ecuaciones (3-38) pueden interpretarse como la Ecuación de Friedmann para el modelo de cosmología brana que se acaba de formular. Comparando con las correspondientes ecuaciones de la cosmología standard, que son las ecuaciones (3-10) y (3-13), observamos que existen importantes diferencias entre la cosmología brana y la cosmología standard. En primer lugar, la dependencia del parámetro de Hubble respecto de la densidad del contenido de materia del universo es del tipo

H2 ∝ ρ

(3-14)

en el caso de la cosmología standard, mientras que en la cosmología brana que hemos formulado es del tipo

H 2 ∝ ρ2

(3-39)

Por lo tanto la evolución del universo difiere en ambos modelos. En segundo lugar, la Ecuación de Friedmann para la cosmología brana no depende de la constante de Newton en cuatro dimensiones G(4 ) puesto que la constante

κ (24 ) no se encuentra presente. En cambio, depende de la constante de Newton en cinco dimensiones a través de la constante κ (25 ) . Tal como hacemos en la cosmología standard, podemos derivar otros parámetros cosmológicos si resolvemos las ecuaciones de Friedmann (3-38) y de continuidad (3-37) en conjunción con alguna ecuación de estado que relacione la presión con la energía para la materia que compone la brana. Supongamos que esta ecuación tiene la forma p = ωρ

(3-40)

donde ω es una constante. Introduciendo esta expresión en la conservación local de la energía (3-37) obtenemos una relación entre la densidad y el factor de escala idéntica a la de la cosmología standard:

ρ ∝ a0−3(1+ω )

(3-41)

Por lo tanto, si usamos para ω los valores de la cosmología standard , obtenemos para la cosmología brana que estamos formulando las mismas relaciones que hemos hallado para la cosmología standard:

ρ∝

1 ; a04

y

ρ∝

1 a03

(3-42)

para un universo brana dominado por la radiación o por la materia no relativista respectivamente. Si se supone la existencia de una constante cosmológica en la brana

31

(universo brana dominado por la energía de vacío) la ecuación de estado para la materia de la brana adopta la forma p = − ρ . Esta ecuación de estado caracteriza las llamadas “domain wall”. En este caso la ecuación de conservación (3-37) predice una densidad de energía constante para el universo brana

ρ ∝ cte

(3-43)

tal como en la cosmología standard. Si bien el comportamiento de la densidad de energía no ofrece modificaciones respecto del modelo standard, la dependencia temporal del factor de escala es diferente. Despreciando, por simplicidad, el término correspondiente al tensor energía momento del bulk la Ecuación de Friedmann (3-38) conduce a una expresión del tipo 1

a0 (t ) ∝ t 3(1+ω )

(3-43)

en contraste con la expresión (3-24) de la cosmología standard. Por lo tanto la cosmología brana predice una evolución más lenta que la cosmología standard. Específicamente a0 (t ) ∝ t1 / 4 para el universo brana dominado por la radiación

y

a0 (t ) ∝ t 1 / 3

para el universo brana dominado por la materia no relativista

Estos resultados son incompatibles con la nucleosíntesis. La predicción sobre la abundancia de los elementos livianos que derivan del modelo de nucleosíntesis dependen de la relación existente entre la razón de las reacciones y la razón de expansión del universo. Cualquier alteración en la evolución del factor de escala introduciría modificaciones radicales en estas predicciones. (D. Langlois, 2003). Si se supone la existencia de una constante cosmológica en la brana la dependencia temporal del factor de escala sigue siendo del tipo a0 (t ) ∝ e Ht

como en la cosmología standard, pero el método para llegar a esta conclusión es diferente al planteado arriba (véase P. Binétruy et al., 2000). En trabajos recientes se ha recurrido a la cosmología de mundos brana combinándolo con diferentes modelos (ecuaciones de estado) para la energía oscura con la finalidad de comparar las predicciones de estas teorías con los datos procedentes de las observaciones, incluyendo datos procedentes de supernovas, evolución del parámetro de Hubble, oscilaciones acústicas bariónicas y perturbaciones en la densidad de materia. Como resultado de este análisis se ha concluido que el mejor ajuste con los datos observados corresponde al modelo standard. Las observaciones han permitido obtener restricciones para el valor de la “tensión” (presión) en la brana. (A. V. Astashenok, E. Elizalde, J. de Haro, S. D. Odintsov and A. V. Yurov, 2013). Para una

32

revisión completa de los modelos de mundos brana véase R. Maartens and K. Koyama, 2010.

Por simplicidad hemos elegido derivar las ecuaciones (3-35), (3-36) y (3-38) de una forma más intuitiva, aplicando las ideas expuestas en P. Binétruy et al. (2000). Pero antes de concluir esta sección derivaremos la Ecuación de Friedmann a partir de las condiciones de juntura de Darmois Israel. En esta parte de la monografía cambiaremos algunos aspectos de la notación de P. Binétruy et al. (2000) y D. Langlois (2003) para homogeneizarla con la notación empleada en la sección 2 y con el resto de la monografía. Las ecuaciones de campo de Einstein pueden descomponerse en sus componentes normal, tangencial y mixta a la hipersuperficie que constituye el universo brana. Las componentes normal y mixta vienen dadas por las expresiones (2-23) y (2-24) de la sección anterior, que reescribiremos ahora en cinco dimensiones. De la ecuación (2-23) obtenemos:

(

~ 1 1 GAB n An B = − ⋅4 R + K 2 − K µν K µν 2 2

)

(3-44)

donde, recordamos, los índices A,B corresponden a las cinco dimensiones del espacio tiempo “completo”; µ,ν corresponden a las cuatro dimensiones convencionales del universo brana, y el escalar de Ricci que ingresa a la expresión es el escalar de Ricci en cuatro dimensiones. Para la métrica (3-30) el vector unitario normal a la hipersuperficie se dirige en dirección “y” y toma la forma

1  n A =  0,0,0,0,  b  Según la expresión (2-9) de la sección 2 la métrica inducida es hαβ = g AB − n A nB

La curvatura extrínseca se escribe  n′ a′  K βα = diag  , ,0   nb ab 

El tensor energía momento para la hipersuperficie (3-34) puede reescribirse como TAB brana = Sνµ

δ (y) b

=

δ (y) b

diag (− ρ , p, p, p )

33

(3-45)

Suponemos que la métrica es continua en la localización de la hipersuperficie y que solo las derivadas segundas de la métrica respecto de la coordenada normal “y” presentan discontinuidades. En ese caso nos encontramos en la situación (2-37) de la sección 2 y reescribimos la ecuación de Lanczos (2-34) como

[K

]

µ ν

− Kδνµ = −κ (25 )Sνµ

(3-46)

Alternativamente podemos escribir la última ecuación de la forma (2-36) como

[K ] = −κ ( ) S 2 5

νµ

νµ



1  − gνµ S  3 

(3-47)

donde gνµ es la métrica inducida en la hipersuperficie de cuatro dimensiones (mundo brana), y S = gνµ Sνµ es la traza del tensor energía momento superficial. Esta última ecuación corresponde a las ecuaciones (3-35) y (3-36). Suponiendo simetría y → − y se verifica

[K ] = 2 K

+ νµ

νµ

= 2 Kνµ

(3-48)

Por lo tanto la ecuación (3-47) se escribe Kνµ = −

κ (25 ) 

1   Sνµ − gνµ S  2  3 

(3-49)

Esta última expresión indica que la curvatura extrínseca Kνµ del universo brana está completamente determinada por su contenido de materia Sνµ . Insertando (3-49) en (3-44) obtenemos la siguiente expresión para el escalar de curvatura: 4

R=

κ (45 )  1

2 νµ  2 5  S − Sνµ S  − 2κ (5 )T5 4 3 

que corresponde a la ecuación (3-38). ***

Sección 3-3: Cosmología brana en cinco dimensiones en la gravedad de Einstein Gauss Bonnet

En esta sección describiremos un modelo de cosmología brana en cinco dimensiones en una gravedad modificada agregado términos de orden superior en la curvatura. Se deducirá la Ecuación de Friedmann modificada aplicando las condiciones de juntura de Darmois Israel para el caso de una gravedad de Einstein Gauss Bonnet , y se compararán los resultados obtenidos con los expuestos en las secciones 3-1 y 3-2. Se seguirán los lineamientos presentados en C. Charmousis and J. F. Dufaux (2002) y en

34

S. C. Davis (2003). Continuaremos con la notación convenida en la última sección según la cual los índices A,B corresponden a las cinco dimensiones del espacio tiempo; los índices griegos µ,ν corresponden a las cuatro dimensiones convencionales (tres espaciales y una temporal) del universo brana, y los índices latinos i,j corresponden a las tres dimensiones espaciales convencionales de la 3 brana espacial. Supongamos que nuestro universo es una brana de cuatro dimensiones inmersa en un espacio tiempo de cinco dimensiones con una constante cosmológica Λ para el bulk. Supongamos también que en el universo brana de cuatro dimensiones existe una sub hipersuperficie o brana espacial de tres dimensiones que es homogénea e isótropa. En otras palabras, consideramos nuestro universo como una brana de cuatro dimensiones dentro de la cual el “espacio” satisface el Principio Cosmológico. Tal como en la sección anterior, supondremos que nuestro universo brana se encuentra localizado en la coordenada y = 0 del espacio tiempo de cinco dimensiones, donde las coordenadas y corresponden a la quinta dimensión, y asumiremos que la materia que compone el universo brana puede caracterizarse como un fluido ideal y que, por lo tanto, puede ser descripta por un tensor energía momento similar al tensor (3-34) donde la densidad ρ y la presión p dependen únicamente del tiempo propio t sobre la brana. En esta sección trabajaremos en el marco de la teoría de Einstein Gauss Bonnet. Por lo tanto la acción se escribe

(

(

))

S = ∫ d 5 x ⋅ − g R − 2Λ + α R 2 − 4 RAB R AB + RABMN R ABMN + S mat

(3-50)

Variando la acción se obtienen las ecuaciones de campo mat κ (25 )TMN = GMN + Λg MN + 2αH MN

(3-51)

donde H MN = RNEAB RM

EAB

− 2 RMANB R AB − 2 RMA RN + R ⋅ RMN − A

(

)

1 2 R − 4 RAB R AB + RABED R ABED ⋅ g MN 4

Como ya hemos adelantado en la sección 2-3, S. C. Davis (2003) deriva las condiciones de juntura agregando a la acción (3-50) un término que corresponde al borde o contorno:

SΣ = −

1

κ

∫d

2 (5 ) Σ

4

{

(

x − h ⋅ K + 2α J − 2G µν K µν

)}

(3-52)

Variando este último término se obtienen las condiciones de juntura en la hipersuperficie Σ en la gravedad de Einstein Gauss Bonnet. Estas condiciones son las (2-47) y nos permitirán describir la dinámica del universo brana dentro de un espacio tiempo de cinco dimensiones. El bulk puede caracterizarse mediante una métrica

35

ds 2 = −h(r ) ⋅ dt 2 +

1 dr 2 + r 2 g ij ⋅ dx i dx j h(r )

(3-53)

donde

ds(24 ) = − h(r ) ⋅ dt 2 + r 2 gij ⋅ dx i dx j

(3-54)

es la métrica del universo brana de cuatro dimensiones –o métrica inducida en la brana– y

ds(23) = gij ⋅ dx i dx j

(3-55)

es la métrica del espacio de tres dimensiones –o métrica inducida en la hipersuperficie espacial– con curvatura k constante. Como siempre k = 0 corresponde al espacio plano; k = 1 corresponde a un espacio cerrado y k = −1 a un espacio abierto. Suponiendo para el bulk un tensor energía momento nulo la resolución de las ecuaciones de campo permite calcular el término h(r ) como 4

h(r ) = k +

r2  4 µ  1 ± 1 + αΛ + 8α 4  4α  3 r 

(3-56)

En la última expresión k es la curvatura, α es la constante de acoplamiento del término de Gauss Bonnet, y Λ es la constante cosmológica del bulk. Para interpretar el significado de la constante µ hacemos la siguiente aproximación. Como hemos visto al final de la sección 1 es razonable esperar que las correcciones a la curvatura sean importantes para una escala del orden de la longitud de Planck; es decir que α ∝ lP2 donde lP. es la longitud de Planck (S. Carroll, 2004). Por lo tanto α es un parámetro muy pequeño. En estas condiciones podemos desarrollar la función

4 8µ f (α ) = 1 + αΛ + 4 α 3 r en serie de Taylor. Por simplicidad supongamos que Λ = 0 . Esta suposición no afecta la interpretación del razonamiento. Reteniendo hasta el primer orden en potencias de α:

( )

f (α ) = f (α )α = 0 + f ′(α )α = 0 ⋅ α + O α 2

obtenemos el siguiente desarrollo f (α ) ≈ 1 +

4

4µ α r4

En C. Charmousis et al. (2002) el término se denomina V(r) en lugar de h(r), y se utiliza la relación Λ=–6 k 2 donde k es una constante que no debe confundirse con la curvatura k. .

36

Introduciendo este desarrollo en (3-56) y suponiendo k = 1 obtenemos h(r ) ≈ 1 +

r 2   4µ  1 ± 1 + 4 α  4α   r 

Si elegimos el signo (–) resulta

h(r ) ≈ 1 −

µ r2

Al introducir este término en la métrica (3-53) obtenemos una métrica “tipo Schwarzschild”: 1 µ  ds 2 = −1 − 2  ⋅ dt 2 + dr 2 + r 2 g ij ⋅ dx i dx j µ   r  1 − 2   r  Por esta razón en el límite de pequeños α la contante µ se asocia a la masa de un agujero negro. Si elegimos el signo (+) resulta h(r ) ≈ 1 +

µ r2

+

r2 2α

Al introducir este término en la métrica (3-53) se obtiene una métrica tipo Schwarzschild pero con signo positivo en el término de la “masa” –lo que equivale a una fuerza repulsiva en lugar de atractiva– y con el agregado de un término espurio generado por la constante α. Por este motivo en la literatura especializada suele ignorarse el signo (+) de manera que la expresión (3-56) se reduce a

h(r ) = k +

r2  4 µ  1 − 1 + αΛ + 8α 4  4α  3 r 

(3-56-b)

Si la brana es vista “desde afuera” (desde el bulk) entonces puede ser descripta mediante las siguientes ecuaciones paramétricas 5 (véase la sección 2-1):

r = a(τ )

y

T = t (τ )

(3-57)

donde τ es el tiempo propio de un observador solidario con la brana. Entonces podemos escribir la métrica inducida en la brana como 5

En este desarrollo se sigue un procedimiento análogo al presentado en el parágrafo 3.8 de E. Poisson (2002) para explicar el colapso de un agujero negro.

37

ds(24 ) = −dτ 2 + a 2 (τ ) ⋅ gij dx i dx j

(3-58)

Los vectores (2-5) tangentes a la brana son

eαA =

∂x A = u A = (T& ,0,0,0, r& ) α ∂y

Los vectores normales a la brana satisfacen las relaciones (2-6) y (2-3): n AeαA = 0

n An A = 1

n A = (− r&,0,0,0, T& )

⇒

r& 2 − T& 2 h 2 = − h

⇒

(3-59)

donde el punto denota la derivada respecto del tiempo propio ∂τ . Suponiendo que la materia que compone la brana es un fluido ideal entonces S µν = (ρ + p ) ⋅ u µ uν + p ⋅ g µν

Combinando esta expresión con las condiciones de juntura (2-47)

[K

µν

]

[

]

− Khµν + 2α 3J µν − Jhµν + 2 Pµεσν K εσ = −κ (25 )S µν

se obtiene la siguiente ecuación

[ ]

[ ]

k  hT& 4 h 2T& ρ  8 2 − α 3 = −κ (5 ) 1 + αH + 4α 2  r  r 3 r 6  3

(3-60)

donde - k es la curvatura - h es la expresión (3-56-b) - ρ es la densidad de materia de la brana - [Φ] denota el salto de la cantidad Φ a través de la brana a& 1 da - y H es el parámetro de Hubble de la brana H = = a a dτ

Elevando (3-60) al cuadrado y combinándola con la expresión (3-59) se obtiene una ecuación cúbica en H 2 (S. C. Davis, 2003) que predice para el parámetro de Hubble una dependencia respecto de ρ del tipo

(H )

2 3

∝ ρ2

(3-61)

C. Charmousis et al. (2002) llegan a una expresión similar por un camino alternativo. Se parte de una métrica

38

ds 2 = e 2ν (t , y ) B(t , y )

−2 / 3

(− dt

2

g ij dxi dx j =

donde

)

+ dy 2 + B(t , y )

g ij dx i dx j

1 dχ 2 + χ 2 dΩ 2 1 + kχ

Se supone una brana localizada en y = 0 escala

2/3

⇒

dy = 0 . Se define el factor de

6

a (τ ) = B (t ,0 )

1/ 3

y el tiempo propio sobre la brana dτ = eν (t , 0 )B (t ,0 )

−1 / 3

dt

Por lo tanto la métrica inducida sobre la brana queda expresada como

ds(24 ) = −dτ 2 + a 2 (τ ) ⋅ gij dx i dx j que coincide con la expresión (3-58). Considerando al tensor energía impulso sobre la brana como una distribución del tipo (3-34) y resolviendo las ecuaciones de campo en la gravedad de Einstein Gauss Bonnet (ecuaciones (3-51)) se obtiene la ecuación de conservación para la densidad de materia de la brana

dρ + 3(ρ + p )H = 0 dτ donde H =

a& 1 da = . a a dτ

La ecuación de Friedmann para la brana adopta la forma7  2 h(r )   2 h(r )  1 2  2 h(r )   κ (5 )ρ    H + 2  ± C  H + 2  + C  H + 2  =  a  a  4  a   16α    3

2

2

(3-62)

donde

C=

3 4 8µ 1 + αΛ + 4 α 4α 3 a

6

(3-63)

En C. Charmousis et al. la brana se localiza en z=0 y se usa R(τ) en lugar de a(τ). Hemos cambiado la notación de este trabajo para homogeneizarla con la notación del resto de la monografía. 7 En la versión final del trabajo de C. Charmousis et al. se ha omitido este desarrollo que figura en la versión publicada en arXiv. Pero la dependencia de H respecto de ρ ha sido ratificada en trabajos posterores.

39

y donde h(r ) es la expresión (3-56-b). Analizaremos el comportamiento de la ecuación (3-62) en distintos casos: a) Supongamos α → 0 En este caso los términos dominantes en (3-62) son aquellos que contienen α −2 ; por lo tanto el tercer término del lado izquierdo es dominante sobre los otros dos. La ecuación se reduce a 1 2  2 h(r )   κ (5 ) ρ   C  H + 2  ≈  4  a   16α 

2

3 . Aplicando un desarrollo en serie de Taylor 4α para h(r) obtenemos (véase el desarrollo similar al inicio de esta sección) La constante C se reduce a C ≈

µ

h(r ) ≈ k −

a2

Por lo tanto la ecuación de Friedmann se reduce a

H2 =

⇒

κ (25 ) ρ 2 36

−

k µ + 4 2 a a

H 2 ∝ ρ2

(3-64)

que es el comportamiento esperado para el parámetro de Hubble en una cosmología brana de cinco dimensiones con gravedad de Einstein, ecuación (3-39). b) Supongamos tiempos cortos en la evolución del universo; eso equivale a pequeños valores del factor de escala a. En ese caso el término dominante en la ecuación (3-62) es el primer término del lado izquierdo:

 2 h(r )   κ (5 ) ρ    H + 2  ≈  a   16α   3

- para tiempos cortos

2

Para tiempos grandes o grandes valores del factor de escala a el término dominante es el tercer término del lado izquierdo

- para tiempos largos

1 2  2 h(r )   κ (5 ) ρ   C  H + 2  ≈  4  a   16α 

2

Por lo tanto se espera que a lo largo de la evolución del universo dominen sucesivamente los tres términos del lado izquierdo de (3-62). (C. Charmousis and J. F. Dufaux, 2002).

40

El modelo aquí presentado se ha utilizado en trabajos posteriores para investigar el efecto de la cosmología brana con término de Gauss Bonnet sobre la materia oscura (N. Okada and S. Okada, 2009). También se ha trabajado el modelo extendiendo el número de dimensiones a seis (H. M. Lee and G. Tasinato, 2004).

***

41

Conclusiones: Se han presentado dos modelos cosmológicos simples en teorías de gravedad más allá de la Relatividad General. El primero de ellos es un modelo de universo brana de cuatro dimensiones inmerso en un espacio de cinco dimensiones. La única modificación introducida es la extensión del número de dimensiones puesto que se trabaja en el marco de la gravedad de Einstein Hilbert. En este caso se obtiene una ecuación de conservación similar al caso standard. Sin embargo la ecuación de Friedmann modificada que se obtiene en este contexto muestra una dependencia del parámetro de Hubble respecto de la densidad del tipo H 2 ∝ ρ 2 . Esta dependencia ha sido aceptada en la literatura especializada como característica de este modelo simple de cosmología brana. Como consecuencia de esta dependencia la evolución del universo se aparta de la predicha en el modelo standard. En otras palabras, aún cuando no se modifique la gravedad la evolución del universo cambia cuando éste es considerado como una hipersuperficie dentro de un espacio de cinco dimensiones. El segundo modelo añade al anterior el término de Gauss Bonnet en la acción. La ecuación de conservación sigue siendo similar a la del modelo standard. Pero la ecuación de Friedmann modificada exhibe una dependencia de H respecto de ρ del tipo

(H )

∝ ρ 2 . En consecuencia, difiere tanto de los resultados del modelo standard como de los derivados del modelo de mundos brana en cinco dimensiones con gravedad de Einstein. 2 3

En los modelos explicados las condiciones de juntura desempeñan un papel fundamental ya que su aplicación permite derivar las ecuaciones de Friedmann y caracterizar la dinámica del universo brana. En algunos casos se han aplicado siguiendo un formalismo estricto. En otros casos se han aplicado tratando al tensor energía impulso de la brana como una distribución δ dentro del “volumen” de cinco dimensiones y modificando de manera pertinente las ecuaciones de campo. De cualquiera de las dos formas su papel en el desarrollo de las ecuaciones dinámicas queda claro y resulta esencial.

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