Aplicaciones de la Transformada de Fourier

APLICACIONES A LA TRANSFORMADA DE FOURIER
1.- Trace un diagrama de la respuesta en frecuencia de los sistemas descritos por las siguientes respuestas impulso. Caracterice cada sistema como pasa bajos, pasa banda o paso alto.
a) ht=δt-2e-2tu(t)
Solución
Aplicando la Transformada de Fourier
Hjω=1-2jω+2
Hjω=jωjω+2
Hjω=11+2jω
Se trata de un Filtro Paso Alto

b) ht=4e-2tcos20tu(t)
Solución
4e-2t=xt
xtcos20t=xtejω0t+x(t)e-jω0 t2
xejω0t=X(ω-ω0)
xe-jω0t=X(ω+ω0)
Luego
2xtejω0t+2x(t)e-jω0t pero Xω=1jω+2
21jω-20+2+1jω+20+2
Se trata de un Filtro Pasa Bajo
2.- Encuentre la respuesta en frecuencia y la respuesta impulso de los sistemas que tienen la salida y(t) para la entrada x(t).
a) xt=e-tut, yt=e-2tut+e-3tut
Solución
Xjω=1jω+1
Yjω=1jω+2+ 1jω+3
Hjω=1jω+2+1jω+31jω+1=1jωω+21jω+1+1jω+31jω+1=jω+1jω+2+jω+1jω+3
Hjω=jω+2jω+2-1jω+2+jω+3jω+3-2jω+3=1-1jω+2+1-2jω+3
Respuesta en Frecuencia
Hjω=2-1jω+2-21jω+3
Para hallar la respuesta impulso aplicamos la Transformada Inversa de Fourier
ht=2δt-e-2tut-2(e-3tu(t)

c) xt=e-2tut, yt=2te-2tut
Solución
Xjω=1jω+2 , Yjω=2(jω+2)2
Hjω=2jω+221jω+2=2jω+2jω+22
Respuesta en Frecuencia
Hjω=2jω+2
Respuesta en Impulso
ht=2e-2tut
3.- Determine la respuesta en frecuencia y la respuesta impulso para los sistemas descritos por las siguientes ecuaciones diferenciales o en diferencias
a) ddtyt+3yt=xt
Solución
Respuesta en Frecuencia
Hjω=1jω+3
Respuesta en Impulso
ht=e-3tu(t)


b) d2dt2yt+5ddtyt+6yt=-ddtxt
Solución
Hjω=-jωjω2+5jω+6=-jωjω+2jω+3=Ajω+2+Bjω+3
s=jω
-s=As+2+Bs+3
Si s=-2, B=2
si s=-3, A=-3
Respuesta en Frecuencia
Hjω=-3jω+2+2jω+3
Respuesta en Impulso
ht=-3e-2tut+2e3tut

4.- Determine las descripciones mediante ecuaciones diferenciales o en ecuaciones en diferencias para los sistemas con la siguiente respuesta impulso.

a) ht=1ae-taut

Solución
Hjω=1ajω+1a
ddtyt+1ayt=1axt

b) ht=2e-2tut-2te-2tut
Solución
Hjω=2jω+2-2jω+22
Hjω=2jω+2-2jω+22=2jω+2jω2+2jω+4
d2dt2yt+2ddtyt+4yt=2ddtxt+2xt

5.- Determine las descripciones mediante ecuaciones diferenciales o en ecuaciones en diferencias para los sistemas con las siguientes respuestas frecuencia.
a) Hjω=2+3jω-3jω21+2jω
Solución
-3d2dt2xt+3ddtxt+2xt=2ddtyt+yt

b) Hjω=1-jω-ω2-4
Solución
-ddtxt+xt=d2dt2yt-4y(t)

c) Hjω=1+jωjω+2jω+1
Solución
Hjω=1+jωjω2+3jω+2
ddtxt+xt=d2dt2yt+3ddtyt+2yt

6.- Determine las descripciones en respuesta en frecuencia, respuesta impulso y mediante ecuaciones diferenciales para los sistemas en tiempo continuo representados por las siguientes descripciones en variables de estado:
a) A=-200-1, b=02, c=11, D=0
Solución
Evaluando (jωI-A)-1
jωI-A-1=jω+200jω+1-1

=1(jω+2)(jω+1)jω+100jω+21
Hjω=11*1jω+2jω+1*jω+100jω+21*02+0
Hjω=1(jω+2)(jω+1)jω+1jω+2*02
Hjω=2jω+4jω+2jω+1=2jω+2jω+2jω+1=2jω+1
ht=2e-tut
ddtyt+yt=2xt

b) A=12-34, b=12, c=01, D=0
Solución
Evaluando (jωI-A)-1
jωI-A-1=jω-1-23jω+4-1
=1jω-1jω+4-3(-2)jω+42-3jω-11
Hjω=01*1(jω)2+3jω+2*jω+42-3jω-11*12+0
Hjω=1(jω)2+3jω+2*-3jω-1*12
Hjω=2jω-5jω+2jω+1
s=jω
2s-5=As+2+Bs+1
Si s=-2, B=9
si s=-1, A=-7
Hjω=-7jω+1+9jω+2
ht=-7e-tut+9e-2tut
d2dt2yt+ddtyt+2yt=2ddtxt-5xt

8.- Un sistema continuo se representa con la siguiente descripción en variables de estado
A=-100-3, b=02, c=01, D=0
Transforme el vector de estado asociado a este sistema usando la matriz T=1-111 para encontrar una nueva descripción en variables para el sistema. Muestre que las respuestas en frecuencia de los sistemas original y transformando son iguales.
Solución
A=-100-3, b=02, c=01, D=0
Evaluando (jωI-A)-1
jωI-A-1=jω+100jω+3-1

=1(jω+1)(jω+3)jω+300jω+11
Hjω=01*1jω+1jω+3*jω+300jω+11*02+0
Hjω=1(jω+1)(jω+3)0jω+1*02
Hjω=2jω+2jω+1jω+3=2jω+1jω+3jω+1=2jω+3
Luego
T=1-111
T-1=1211-11
A'=TAT-1, b'=Tb, c=cT-1, D'=D
A'=1-111*-100-3*12*11-11=-13-13*11-11*12=-422-4*12
A'=-211-2
b'=1-111*02=-22
c'=01*11-11*12=-11*12=-1212
Evaluando (jωI-A)-1
jωI-A'-1=jω+2-1-1jω+2-1

=1(jω+2)2-1jω+2-1-1jω+21
Hjω=-1212*1(jω+2)2-1jω+2-1-1jω+2*-22+0
Hjω=1(jω+2)2-1-jω-22+12-12+jω+22*-22
Hjω=2(jω+1)jω+2-1[(jω+2)+1]=2jω+1jω+3jω+1=2jω+3

9.- Encuentre las representaciones en FT para las siguientes señales periódicas. Esboce la magnitud y el espectro de fase.
a) xt=2senπt+cos2πt
Solución
xt=2ejπt-e-jπt2j+ej2πt+e-j2πt2
xt=1jejπt-1je-jπt+12ej2πt+12e-j2πt
Xjω=2πjδω-π-δ(ω+π)+πδω-2π+δ(ω+2π)

b) xt=k=04-1k2k*cos2k+1πt
Solución
xt=k=04(-1)k2k12ej(2k+1)πt+12e-j(2k+1)πt
Xjω=k=04-1k2k2πδω-2k+1π2+2πδω+2k+1π2
Xjω=k=04-1k2kπδ(ω-(2k+1)π+πδ(ω+2k+1π))

d) Solución
xt=1, t Ts0, Ts