Aplicación del Método Punto Fijo en el Flujo de Canales Abiertos Rectangulares Oscar Cárdenas, Janneth Vanoy Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá D.C., Colombia
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Abstract— Los métodos numéricos se han venido utilizando para optimizar la solución a problemas que se presentan en diferentes áreas de la ingeniería civil, como lo es el flujo de canales abiertos con pendiente puesto que el agua que circula por estos canales alcanza una altura (H) y una velocidad (U) especifica desconocidas por lo tanto este documento expone una forma de calcular estas variables de manera rápida utilizando la aplicación del método de punto fijo para tal fin. Fig. 1 Ilustración del flujo uniforme de un canal abierto ver [2]
Palabras clave: Canales abiertos, flujo uniforme, velocidad y altura específica, método punto fijo.
I. INTRODUCCIÓN Los canales abiertos con flujo uniforme y pendiente son caracterizados por tener la profundidad, el área mojada, el caudal y la velocidad en cada sección constante, por consiguiente la altura (profundidad) y la velocidad de un canal abierto en cada sección no va a cambiar, por tanto es importante conocer estos datos para por ejemplo que los ingenieros ambientales pueden calcular el trasporte y destino de los contaminantes en un río, con la finalidad de encontrar focos de contaminación y sensibilizar a la población implicada, para mejorar la calidad de las fuentes hídricas ver [2], [3], [4]. Con ayuda de la combinación del software de geogebra y el método de punto fijo, se diseña un aplicativo con el que se podrá calcular de manera más fácil la profundidad y velocidad de un canal abierto con flujo uniforme.
1) Ecuaciones a Usar: Para la solución del problema planteado se utilizan las siguientes ecuaciones ver [1], [3]:
Ecuación de continuidad, relaciona entre el flujo y la profundidad. 𝑄 = 𝑈𝐴𝑐
(1.1)
Donde: Q=caudal (volumen/s), U=velocidad del flujo (longitud/s) 𝐴𝑐 =área de la sección transversal
Área de sección transversal 𝐴𝑐 = 𝐵𝑌 Entonces 𝑄 = 𝑈𝐵𝑌
(1.2)
(1.3)
Donde:
II. MARCO TEÓRICO A.
Flujo de Canales Abiertos
Un canal abierto es un conducto por el cual el agua fluye con una superficie libre, son comunes en los diferentes tipos de construcciones de ingeniería civil y dependiendo de su geometría (sección transversal) se usan para un fin específico por ejemplo los canales con sección rectangular por tener lados verticales se utilizan generalmente en canales construidos con materiales estables, acueductos de madera, canales excavados en roca y para canales revestidos ver [4], [5]. El flujo de canales abiertos se clasifica según el tipo de flujo a. flujo permanente (flujo uniforme y flujo variado) y b. flujo no permanente (flujo uniforme no permanente y flujo variado no permanente), para la aplicación se considera un canal abierto con flujo uniforme, es decir, es un flujo que no varía con la distancia y tiempo; consiguiendo que la profundidad de flujo sea la misma en cada sección del canal ver [1], [5], [6].
B = ancho de canal Y = profundidad del canal
Ecuación de manning 𝑈=
1 2 1 𝑅3𝑆 2 𝑛
(1.4)
Donde: n = coeficiente de rugosidad de manning S =pendiente del canal R =radio hidráulico (m)
Ecuación del radio hidráulico 𝐴𝑐 𝑅= (1.5) 𝑃 Ecuación del perímetro mojado 𝑃 = 𝐵 + 2𝑌
(1.6)
V. Cauces naturales en avenidas Inundaciones en pastizales Sobre sembrados no nacidos Sobre sembrados nacido Sobre monte bajo Sobre bosques
0,030 0,030 0,040 0,060 0,070
B. Método Punto Fijo
Fig. 2 Vista isométrica del flujo de un canal abierto y sus dimensiones ver [3]
Remplazando y solucionando de forma algebraica las anteriores ecuaciones menos la ecuación (1.3), en ecuación (1.1) se obtiene ver[3]: 1
5
𝑆 2 (𝐵𝑌)3
𝑄=
2
Es un método abierto de raíces de ecuaciones el cual emplea una fórmula para predecir la raíz, donde arregla la ecuación f(x) = 0 de tal forma que x pase al lado izquierdo, es decir, quede x = g(x). Encontrar una ecuación proveniente de la ecuación original o sumar x a ambos lados ver [3]. Este método converge con gran velocidad y maneja un porcentaje de error del 0.1% o menor, por lo cual es un método confiable para tal calculo, por tanto su formulación en hojas de cálculo no presentan ninguna complejidad ver [3].
(1.7)
𝑛 (𝐵 + 2𝑌)3
Nota: Se debe hacer una buena elección de la ecuación g(x) la cual surge de la f(x) puesto que la convergencia puede cambiar.
2) Coeficiente de Rugosidad de Manning (n): Cada tipo de material tiene un coeficiente de rugosidad propio ver [1], [5]. [6]. TABLA 2 COEFICIENTE DE RUGOSIDAD DE MANNING Tipo de canal I. Conductos parcialmente llenos Acero Fundición Vidrio Cemento Mortero Hormigón Cerámico Ladrillo Mampostería II.- Canales abiertos revestidos o acueductos Metal Cemento Mortero Hormigón acabado a llana Hormigón acabado en bruto Gunita Ladrillo Mampostería III.- Canales excavados Tierra canal recto Grava canal recto Tierra canal con curvas Tierra canal con curvas y vegetación Tierra canal con curvas y mucha vegetación Excavación en roca IV.- Cauces naturales Ríos de meseta rectos y sin ollas Ríos de meseta con curvas, piedras y vegetación Anterior con ollas y maleza Ríos de montaña
Coeficiente (n)
III. REALIZACIÓN DEL APLICATIVO Como antes se mencionó la ecuación a utilizar para el método de punto fijo es obtenida por la ecuación original (1.7): 𝑄=
0,012 0,014 0,010 0,011 0,013 0,013 0,014 0,015 0,025
0,022 0,025 0,025 0,030 0,035 0,035 y 0,040 0,030 0,040 0,070 0,040
1⁄ 2
5⁄ 3
(𝐵𝑌)
2⁄ 3
𝑛 (𝐵 + 2𝑌)
Puesto que en esta ecuación solo se encuentra una incógnita (Y) la profundidad, si despejamos de forma algebraica Y se obtiene la ecuación a utilizar ver [3]:
Despejando la Y del numerador 𝑌=
0,013 0,011 0,013 0,013 0,017 0,022 0,015 0,025
𝑆
3⁄ 5
(𝑄𝑛)
2⁄ 5
(𝐵 + 2𝑌)
𝐵𝑆
1⁄ 10
(1.8)
Despejando la Y del denominador 5
𝑌=
1 𝑆 3 (𝐵𝑌) ⁄2 [ − 𝐵] 3 2 (𝑄𝑛) ⁄2
(1.9)
Sabiendo que la mayoría de los ríos son de ancho mayor que de profundidad, el valor de B +2Y no varía mucho y se aproxima a B, por contrario el valor de BY es directamente proporcional a Y, entonces la ecuación (1.8) en la que se despeja Y del numerador convergerá con mayor velocidad que la ecuación (1.9) ver [3]. A. Uso de Geogebra Se formula la hoja de cálculo del aplicativo de geogebra con el método de punto fijo, teniendo las consideraciones necesarias para su buen funcionamiento. Como se muestra en la Fig. 3.
El diseño de la sección transversal de un canal, depende de elementos como tipo de canal, especificaciones, topografía del terreno, entre otras, por lo cual es un cálculo de ensayo error. Para introducir el valor del ancho del canal si no se específica, se debe consultar gráficas de curvas empíricas que muestran la relación promedio entre los anchos en la base y las profundidades del agua respecto a las capacidades del canal ver [5], el dato de Xn es un valor aproximado que el usuario asigna una vez haya introducido los demás valores y visualice la vista gráfica del aplicativo en el cual el punto de corte entre una la línea y el eje x es el valor real de la profundidad del canal calculado, el caudal (Q) es un valor conocido puesto que es un requisito para el diseño del canal, la pendiente (S) es un valor entre 0° y 3° ver [5], [6] y el coeficiente de rugosidad (n) se elige dependiendo de los aspectos constructivo del canal. IV. CONCLUSIONES
Fig. 3 Hoja de cálculo formulada en el aplicativo geogebra
Como se observar en la Fig. 4, hay cinco casillas para introducir los datos que se necesitan como lo son el caudal (Q), la pendiente (S), el coeficiente de rugosidad (n), el ancho (B) y el (Xn) el valor inicial que elegimos, y en la parte derecha se muestran los resultados donde con la ecuación (1.8) se haya la profundidad y despejando U de la ecuación (1.3) se calcula la velocidad del canal. El aplicativo no necesita de introducir ecuaciones puesto que solo es para canales abierto de flujo uniforme con sección rectangular.
Para poder diseñar y construir canales abiertos, se deben hacer pruebas de laboratorio con las teorías existentes lo cual producirán resultados bastante similares a las condiciones reales y por consiguientes son razonablemente exactos para propósitos prácticos de diseño. En la ingeniería civil se utiliza con mucha frecuencia los canales abiertos artificiales para direccionar y canalizar las aguas superficiales y subterráneas, siendo la sección rectangular una de las más usadas en esta práctica, por lo cual se hace necesario encontrar los valores de profundidad y velocidad para calcular como ya se había mencionado la cantidad de contaminantes sólidos que puede contener el flujo del canal y con qué velocidad llegan a un punto determinado, para lo cual el método de punto fijo es un elemento muy útil puesto que encuentra los valores sin mayor demora y un margen de error pequeño. Se deben considerar los datos que el aplicativo pide para el cálculo de las variables, lo cual hace que la persona que lo utilice deba hacer anticipadamente un cálculo o una consulta de estos. En un canal abierto con pendiente, el valor de esta hace variar el caudal, la velocidad y la altura de lámina de agua que se transporta por el canal. Este aplicativo está absolutamente limitado para canales abiertos con flujo uniforme y sección rectangular, lo que hace que para demás secciones de formas geométricas requieran otro tipo de consulta u aplicativo. REFERENCIAS [1] Barragán Mendoza Jairo A., Reyes Carrillo Andrés R. y Acosta Velásquez Luis Eduardo, Software para el Diseño de Canales Abiertos, Universidad de la Salle, Bogotá - Colombia, 2007. [2] Castro Zeballos Omar Francisco, Diseño de Estructuras Hidráulicas, Universidad José Carlos Mariátegui, Perú, 2012 [3] Chapra Steven C. y Canale Raymond P., Métodos Numéricos para Ingenieros, quita edición, Ed. McGraw-Hill, Santafé de Bogotá - Colombia, 2007. [4] Rodríguez Ruiz Pedro, Hidráulica II, Ed. Civilgeeks.com, 2008. [5] Ven Te Chow, Hidráulica de Canales Abiertos, Ed. McGraw-Hill, Santafé de Bogotá - Colombia, 1994.
Fig. 4 Vista del aplicativo para la introducción de los datos necesarios para el cálculo de la profundidad y velocidad del canal abierto rectangular
[6] Villón Béjar Máximo, Hidráulica de Canales, segunda edición, Ed. Tecnológica, Costa Rica, 2008.
