Aplicación del Método de Newton Raphson en el Principio de la “Esfera Sumergida en Agua” Leidy Tatiana Gómez Alfonso, Alejandro Sandoval Cubillos, Edwin Javier Cagua Rojas Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad Tecnológica, Ingeniería Civil Bogotá, Colombia.
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Resumen – Este artículo tiene como finalidad describir la aplicación de un método numérico, en este caso el método de Newton Raphson, para un asunto puntual de la ingeniería civil, enfocado más en el área de la hidráulica. Se referencian y explican las reglas, principios y leyes físicas que intervienen en el caso de una esfera sumergida en agua, utilizado para el diseño de flotadores que funcionan como válvulas de cierre para el paso del agua. Finalmente se llega a una función polinómica que al ingresarse en un aplicativo programado en Geogebra [5], con el respectivo método de iteración, se logra determinar una aproximación de la profundidad que alcanza la esfera dependiendo de su radio y masa.
fluido que desaloja” [1]. Esta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes, la expresión se formula así:
Donde: E = empuje = densidad del fluido V= Volumen del fluido desplazado por un cuerpo parcial o totalmente sumergido en él.
I.
INTRODUCCIÓN = aceleración de la gravedad
Se busca determinar a que profundidad desciende entre el agua, un cuerpo esférico macizo, de un material con una determinada densidad. Para esto se hace un recuento de las leyes, reglas y principios implicados en esta situación de estudio, que permitan llegar a un polinomio que tenga como incógnita la profundidad a la cual se sumerge la esfera.
= masa del cuerpo sumergido De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar.
Se usa inicialmente el principio de Arquímedes [1] para obtener el polinomio y seguidamente la regla de los signos de Descartes para determinar la cantidad de raíces del polinomio, y la regla de Laguerre para saber cuales de estas raíces tienen valores positivos. II.
LEYES, REGLAS Y PRINCIPIOS APLICADOS
A. Principio de Arquímedes Es un principio físico que afirma: “Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del
Fig. 1 Rrepresentación grafica de Principio de Arquímedes
B.
Regla de los signos de Descartes
La regla de los signos de Descartes enuncia que:
Entonces se concluye que la cota máxima o la máxima
“El número de raíces reales positivas de una ecuación
cantidad de valores positivos para P(x) es de 2.
polinómica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan
III.
PROBLEMA DE APLICACIÓN
entre sus coeficientes, ó disminuido en ese numero una cantidad entera par (obviamos los ceros)” [2].
Una empresa que se encarda de fabricar flotadores que funcionan
Tomando como ejemplo el siguiente polinomio: ( )
como
válvula
de
cierre
para
tanques
de
almacenamiento de agua necesita determinar cuanto se hundirá en agua y por su propio peso, una esfera plástica que tiene una gravedad específica de 0.6 y un radio de 5.5 cm.
Igualándola a cero,
Al observar los cambios de signo entre cada termino y obviando el
que completaría el grado 4 que falta en el
polinomio; se aprecian 3 cambios de signo.
Fig. 2 Porción de la bola de radio r que es sumergida hasta una altura d. [4]
Por esta regla se puede estimar que el máximo número de raíces positivas de la ecuación es tres ó una. C. Regla de Laguerre Esta regla enuncia lo siguiente: “Sea L un numero real positivo. Si al dividir f(x) por (x-L) resultan positivos o ceros todos los coeficientes del cociente y del resto, entonces “L” es
La masa de agua desplazada cuando la esfera se sumerge en agua y ésta alcanza la altura d hasta la superficie libre, está dada por la siguiente ecuación: ∫
(
)
(
)
Así que la masa del agua desplazada es
una cota superior de las raíces positivas de la ecuación f(x)=0” (
[3]. En el ejemplo anterior:
)
Y la masa de la esfera es: (
)
Al dividirlo en 1 nos da un resto negativo, pero al dividirlo en 2 todos los coeficientes y el resto quedan como ceros o
Aplicando la ley de Arquímedes, según la cual
valores positivos. | 4 2 4
(“Volumen del líquido desplazado es igual al volumen del cuerpo sumergido”), se genera la ecuación:
8 22 34 70 | 2 11 17 35 61
(
)
(
)
Esto indica que se debe resolver la ecuación equivalente ( ), equivalente a:
Reemplazando los valores r=0.55 m, =0.6, se tiene la ecuación, para cual la profundidad “d” estará dada en metros y, a los cuales la bola se sumerge debajo del agua.
La otra raíz (Qué no es de interés para el ejercicio) puede ser una raíz negativa o compleja.
IV.
APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON RAPHSON
Sea f (d) = 0 la ecuación cuya raíz se desea hallar. ( )
( )
Se utiliza el método de Newton Raphson para encontrar las raíces de la ecuación y poder determinar.
La profundidad a la cual se sumerge la bola debajo del agua. El error aproximado relativo absoluto al final de cada iteración. El número de dígitos significativos por lo menos correctos al final de cada iteración.
Antes de ingresar la ecuación obtenida en el aplicativo del método de Newton Raphson programado en Geogebra [5], se utilizará la regla de Descartes y la regla de Laguerre para identificar numero de raíces y máximo de raíces positivas respectivamente.
( ) Se supone la estimación inicial de la raíz es f (d) = 0, = 0.05 m. Esto es una estimación razonable, como los valores de los extremos de la profundidad seria 0 y el diámetro (0.11 m) de la esfera. A. Iteración 1 Evaluando la expresión. La estimación de la raíz es:
Al aplicar la regla de descartes observamos solo dos cambios de signo: (
( )
Quiere decir que existen al menos 2 raíces positivas para este polinomio, y corroborando por regla de Laguerre:
(
)
(
)
( )
) (
)
= 0.05 – (- 0.01242) = 0.06224.
| 2
4.33 8.66
1 2.165 4.33
| 2
Entonces el error aproximado relativo absoluto | | al final de la primera iteración es:
8.6604
| |
Comprobamos que el máximo numero de raíces positivas es de 2 Por ser un polinomio de grado 3 podemos inferir que tiene tres soluciones la ecuación. Como 2 de ellas son positivas la otra puede ser negativa o compleja. Resumiendo el polinomio tiene:
3 Raíces negativas Al menos dos de esas raíces son positivas
| |
|
|
| |
| | El número de dígitos significativos por lo menos correcto es 0, ya que se necesita un error absoluto aproximado relativo de 5% o menos para que tenga un digito significativo y, el resultado sea correcto.
=
–(
)
= 0.06238 B. Iteración 2
Entonces el error aproximado relativo absoluto al final de la tercera iteración es:
Evaluando la expresión a partir de
: | |
La estimación de la raíz es (
)
(
)
| |
( )
(
) (
|
|
|
| | |
)
El número de dígitos significativos por lo menos correcto es de 4, ya que solo 4 dígitos significativos se tomaran a través de todos los cálculos.
=
– (- 0.01242)
= 0.06224-(4.4646
En este caso 0.06m es una buena aproximación al valor en metros que se hundirá en el agua la esfera con las características descritas.
)
= 0.06238 Entonces el error aproximado relativo absoluto al final de la segunda iteración es: | |
|
|
Para obtener algo más de información sobre el comportamiento de la función se realiza la evaluación de la primera derivada de la función, lo que permite obtener los valores críticos (puntos máximos y mínimos), indicados en los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determinación de los valores críticos en los intervalos:
| |
|
|
( )
| | El máximo valor de m para el cual | | ≤ 0.05 x es 2.844. Por lo tanto, el número de dígitos significativos al menos en la respuesta correcta es 2. C. Iteración 3
X=0
X = (0.33/3) = 0.11
Para la búsqueda de concavidad y puntos de inflexión:
Evaluando la expresión a partir de
:
( )
La estimación de la raíz es:
(
( )
(
)
(
)
) (
X = (0.33/6)
V. )
X = 0.055
RESULTADOS
Se procede a llevar la función f (d) al aplicativo del método de Newton Raphson elaborado en Geogebra [5] para observar gráficamente y corroborar numéricamente los resultados obtenidos.
Tomando un valor coherente con las dimensiones cercanas a la de la esfera propuesta como punto de partida, la aplicación tiene un valor de 0.06242m ≈ 0.06m muy cercano al valor obtenido anteriormente (fig3). Adicionalmente vemos los 3 puntos de corte de la grafica con el eje x, evidenciando la existencia de 3 raíces, una negativa y dos positivas.
REFERENCIAS [1] M. C. José Antonio Medina Hernández, Departamento de Matemáticas y Física Universidad Autónoma de Aguascalientes [online], disponible en http://www.cns.gatech.edu/~luzvela/epigrafe/flotamiento.pdf [2] Sullivan, Michael. (1997) PRECALCULO. Pearson Education. Primera edición. 842 páginas. [3] Hewitt, Paul G., (2009), Conceptos de Física, Editorial Limusa S.A. de C.V. [4]
Rrepresentación grafica de Principio de Arquímedes, disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Arqu%C3%ADmedes#media viewer/File:Submerged-and-Displacing.svg
[5] Aplicativo programado en Geogebra para método numérico Newton Raphson, disponible en: http://tecnologica.udistrital.edu.co/moodle/mod/forum/discuss.php?d=7 815
Fig. 3 Grafica de la funcion f(d) en aplicativo para metodo de Newton Raphson en Geogebra.
Se observan inconvenientes con la aplicación elaborada en Geogebra, ya que al dar como punto de partida el valor de 0.05 se llego al resultado en la primera iteración, mientras que al hacerla numéricamente, se llego a la aproximación en la tercera iteración. Sin embargo los resultados son muy próximos uno del otro.
VI.
CONCLUSIONES
Se logró determinar por medio del método numérico de Newton Raphson una aproximación a un problema de hidráulica, basados en el principio de Arquímedes y ayudados por las reglas de Descartes y Laguerre. Se hizo uso del aplicativo para el método en mención, programado en Geogebra, mostrando un resultado muy aproximado al obtenido por el procedimiento numérico.
