Análisis R/S en Mercados Fractales

FECHA

PONENTE INSTITUCIÓN PAÍS NOMBRE PONENCIA PALABRAS CLAVES

D

M

A

18 06 2012

DANTE JESÚS CHAVEZ ABARCA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

EMAIL

CÉDULA [email protected]

PERU ANALISIS R/S EN MERCADOS FRACTALES MODELAMIENTO, FINANZAS, FRACTALES, SERIES DE TIEMPO, EXPONENTE DE HURST, MERCADOS FINANCIEROS, ESCALAMIENTO

INTRODUCCIÓN La gran frecuencia de caídas en mercados financieros no consideradas en las técnicas de valoración de portafolios de inversión clásicas basadas en la hipótesis de mercados eficientes demuestra una gran desventaja para los inversionistas cuyos efectos se ven reflejados en decisiones erróneas ya que no existen alternativas fuera de esta hipótesis y los inversionistas se ven forzados a usar estas técnicas modificadas de acuerdo a sus necesidades y que funcionan medianamente bien. Para evitar subestimar el riesgo es necesario dejar atrás los paradigmas de siglos anteriores y trabajar dentro de un marco mas aproximado a la realidad de los mercados. Este hecho justifica la necesidad y el uso de los mercados fractales como nuevo marco sobre el cual deberán crearse nuevas teorías, modelos y técnicas que reemplacen y superen el rendimiento de las ya existentes. Durante los últimos 50 años la investigación de la aplicación de la geometría fractal en los mercados financieros tuvo un auge por un sector minoritario de la industria financiera ya que trabajar todo un arsenal de técnicas de valoración de productos financieros dentro de un marco completamente nuevo como el de los mercados fractales equivale a un siglo completo de investigación y en el peor de los casos la reticencia de la aplicación en mercados esta basada en la supuesta complejidad de la geometría fractal. Este hecho justifica la necesidad de divulgar la investigación dentro del marco de mercados fractales. La necesidad de predicción en mercados de alta volatilidad han sido durante décadas tema de investigación en finanzas, por lo cual el análisis R/S en Mercados Fractales como primer peldaño en descubrir correlaciones dentro de series de tiempo de este tipo estableció un punto de partida en determinar la predictabilidad de estas series, sin embargo con el tiempo se han presentado nuevos retos en mercados mas complejos que combinan elementos de memoria a largo y corto plazo para lo cual con muchos años de espera, la investigación ha logrado separar dichos efectos y lograr estabilidad en el resultado del análisis R/S inicial. Este hecho refuerza la necesidad de financiar la investigación en nuevas técnicas y modelos que mejoren los actuales o sean completamente nuevos, pero siempre dentro del supuesto de mercados fractales.

PROPIEDADES DE LA VOLATILIDAD DE PRECIOS. Turbulencia y Distribuciones L-estables. Si la variación de los precios indica que estos no se ajusten a una normal, entonces qué caracteriza las variaciones? Los mismo estudios revelan que las variaciones tienen colas mucho mas gruesas de las que admite una curva normal y tienen picos altos, luego las distribuciones son Leptocurticas.

Figura 1: Histograma de las oscilaciones del tipo de cambio entre la libra esterlina y el florín desde 1609 al 2000. Es notable que no sigue una curva normal. (DeVries,2002) Dado que estas características no permiten a la distribución normal ser un modelo de probabilidad adecuado, se plantea la familia de distribuciones L-estables como alternativa al presentar un comportamiento impropio y flexible sin una varianza definida que admite las colas largas y picos altos vistos en los datos reales con solo variar sus parámetros. La función característica de una distribución L-estable esta dada por:

Tienen 4 parámetros: • • • •

indica el grosor de la cola. Se cumple que , A menores valores de , menor es el grosor de la cola. indica la asimetría, Se cumple que . Cuando la distribución es simétrica. Valores positivos de indican que la cola derecha es mas gruesa que la izquierda. es un parámetro de escala que cumple . es un parámetro de localización y puede tomar cualquier valor real. Si , es la media de la distribución.

La distribución normal es un caso particular de esta familia cuando y la distribución de Levy cuando .

, la distribución de Cauchy cuando

El hecho de que tengamos que usar toda una familia de distribuciones para modelar la volatilidad indica que los mercados son turbulentos, están sujetos a cambios repentinos y bruscos.

Figura 2: Muestra de turbulencia. En el momento álgido del impago en Rusia en 1998, los mercados globales eran un tornado. El gráfico muestra las ganancias y perdidas diarias acumuladas de 4 de los mayores bancos del mundo durante ese periodo de turbulencia en los mercados monetarios extranjeros.

Memoria Larga Otro de los supuestos es de la independencia del precio de hoy con el de mañana o al menos la dependencia a corto plazo que desaparece rápidamente fue puesta a evaluación empírica descubriéndose en la mayoría de casos que las series de tiempo de volatilidad de precios presentan correlaciones altas entre observaciones distantes en el tiempo, lo que implica una dependencia a largo plazo y es conocido en la literatura como memoria larga. La presencia de memoria larga en las series de tiempo financieras tiene implicancias fuertes para los analistas financieros. Por ejemplo, la existencia de dependencia de largo plazo en el rendimiento de activos tendra consecuencias trascendentes en el valor futuro de un portafolio y en sus estrategias de cobertura. Ademas, esta propiedad verificada empíricamente invalida la Hipotesis de Mercados Eficientes en la que supuestamente el mercado es una martingala y las variaciones en precios son independientes, con lo cual deja en posicion de riesgo el CAPM (Capital Asset Pricing Model) e incluso el APT (Arbitrage Price Theory) al estar basados en esta hipótesis.

Figura 3: SLM stock en NYSE, por cada 5 minutos. A la izquierda, función de autocorrelación del logaritmo de los retornos. A la derecha, función de autocorrelación del valor absoluto del logaritmo de los retornos.

Esta dependencia a largo plazo basada en la función de autocorrelación de un proceso esta dada por: Definición 1. Un proceso estacionario tiene dependencia a largo plazo si su función de autocorrelación decae a la potencia del rezago :

donde

varia lentamente al infinito, i.e. Verifica que

tanto como

.

Auto-similaridad o Escalamiento Las series de tiempo en los mercados financieros comparten la propiedad fractal de auto-similaridad, así como en el triangulo de Sierpinski, esta figura fractal presenta auto-similaridad o escalamiento respecto al espacio, en el caso de las series de tiempo, este escalamiento existe respecto a la dimensión del tiempo. Es por eso que podemos ver gráficos parecidos a pesar de que los tiempos sean diferentes, luego el tiempo no caracteriza el comportamiento de la serie.

Figura 4: Auto-similaridad en los rendimientos del S&P 500 diarios, semanales y mensuales. Sin indicar que escala de tiempo es, podemos ver que cada uno podría ser cualquiera.

Su formalización matemática esta dada por la siguiente definición, como sigue: Definición 2. Decimos que un proceso aleatorio con estado de espacios existe tal que: satisface la propiedad de autosimilaridad estadística si para cada

1. Lo cual significa que los cambios de escala en el tiempo cambios en la escala de fases

es autosimilar o

producen los mismos resultados que los

Sustento Matemático para los Mercados Fractales. Shiryaev (1999) muestra que para procesos estrictamente estables existe una constante que para procesos estrictamente L-estables se cumple que

tal que

y

En el caso de procesos estables generalmente, en lugar del resultado de la Definición 2, tenemos la propiedad:

Así, las propiedades de autosimilaridad, turbulencia y memoria larga inherentes a las series de tiempo de retornos se relacionan con la dimensión fractal, las formalizamos en la siguiente definición: Definición 3. Si en la Definición 2 para cada , entonces denotamos un proceso o también decimos que este proceso tiene la propiedad de autoautosimilar con exponente de Hurst similaridad estadística con exponente de Hurst . La cantidad es llamada dimensión fractal estadística de .

HIPOTESIS La hipótesis de mercados eficientes no se cumple en los mercados financieros reales, y los métodos convencionales tienden a subestimar el riesgo, generando perdidas y contribuyendo a las crisis financieras. Mediante el uso del coeficiente de Hurst, según la metodología del análisis R/S a explicar en el próximo bloque, podemos determinar si la serie de volatilidad en estudio posee persistencia (memoria de largo plazo) para el cual los valores de H estarán alejados de 0,5 o si efectivamente cumplen aleatoriedad, con valores de H cercanos a 0,5.

METODOLOGÍA Los datos y la necesidad de predicción Los datos de rendimiento de los precios de mercado son llevados a prueba mediante el análisis de re-escalamiento o Análisis R/S para determinar si es posible predecir valores futuros de los precios. Análisis R/S bajo la Hipótesis del Mercado Fractal Benoit Mandelbrot, considerado como el padre de la geometría fractal ideo una prueba no paramétrica para separar los efectos de la turbulencia y la memoria larga para el análisis de la volatilidad, características no tomadas en cuenta en la hipótesis de mercados eficientes. La llamo Análisis de Rango Estandarizado o Análisis R/S y mide si, sobre intervalos de tiempo variables, el rango de variación de los datos entre el máximo y el mínimo es mayor o menos de lo que se esperaría si cada dato fuera independiente del anterior. En caso sea diferente de lo esperado, la secuencia precisa de los datos debe ser relevante: una racha de ganancias o perdidas tiene que separar los valores extremos mas de los que la aleatoriedad lo separaría. El estadístico de prueba está dado por:

Algoritmo del Análisis R/S Con base en este estadístico, para aplicarlo en series reales el siguiente algoritmo resulta útil:

1.

Dividimos en sub-periodos continuos de rango n, de manera que periodo , donde . Cada elemento dentro de es llamado Para cada con rango , calculamos el promedio usando la expresión:

donde

es el promedio de

contenido en cada sub-periodo

. Llamaremos a cada subdonde .

de rango .

2. Calculamos las series para cada sub-intervalo , la cual sera la serie de diferencias acumuladas entre las observaciones y el promedio, para cada sub-intervalo,

3. Definimos el Rango como la diferencia entre el valor máximo y valor mínimo de ,

, para cada sub-periodo

4. Calculamos la desviación estándar para cada sub-periodo de acuerdo con la siguiente expresión:

5. Tomamos cada rango y lo normalizamos dividiéndolo por . De esta manera obtenemos un rango reescalado para cada sub-periodo , . En tanto sean sub-periodos contiguos de rango , para obtener la medida para la enésima división, ahora calculamos el promedio de todos los de cada sub-intervalo,

Ahora el valor de

ha sido incrementado al valor siguiente. Usaremos valores de o en otras palabras, valores de tales como

tales como , y repetimos

los pasos 1 al 6. 6. Una vez que los procesos para todos los se realizaron, y si consideramos que Hurst encontró que el rango reescalado es descrito por muchas observaciones en el tiempo por la siguiente relación empírica, donde es el rango completo del tiempo considerado:

entonces, podemos reescribir la expresión como

donde 7.

es una constante con valor igual a

y

Al obtener las

para cada estimamos el valor de mediante una regresion lineal a la ecuacion . Este valor de viene a ser el coeficiente de Hurst asociado a la serie que estamos estudiando. La significacion estadistica de este valor es testeada con el estadistico de prueba donde:

Segun los valores de

, las alternativas en propiedades de nuestra serie son:

indica que la serie sigue una caminata aleatoria y por lo tanto cumple la Hipotesis de Mercados Eficientes. indica que la serie posee la propiedad de antipersistencia, que existen factores exogeneos ademas de la aleatoriedad que añaden ruido a la serie. indica que la serie es persistente, es decir que posee memoria de largo plazo, esto es, que existen ciclos no periodicos en escalas diferentes de tiempo. Para ambos casos no se cumple la Hipotesis de Mercados Eficientes.

RESULTADOS Los resultados hacen referencia a la aplicación del análisis R/S en diversos mercados, usando datos históricos de estos, al día de la fecha estos están compartidos en este enlace: http://adf.ly/9wNt2. Este banco de datos incluye información desde 1920 y muestra que en general los mercados analizados se alejan de la caminata aleatoria y presentan persistencia o memoria de largo plazo. Ademas que la diferenciacion elimina la persistencia en estas series, perdiendo objetividad al evaluarlas.

Figura 5: Análisis R/S de los retornos mensuales para el indice S&P 500 desde Enero de 1950 hasta Julio de 1988. H estimado es 0.78

Figura 6: Estimación de la longitud del ciclo para retornos mensuales de S&P 500 desde Enero de 1950 hasta Julio de 1988.

Figura 7: Efectos de la diferenciación en el coeficiente de Hurst para los datos dela S&P 500. H sin diferenciar es de 0.78 mientras que el diferenciado es de 0.51

Figura 8: Análisis R/S de valores individuales de IBM. Retornos mensuales desde Enero de 1963 a Diciembre de 1989. H estimado es de 0.7.

Figura 9: Análisis R/S de valores individuales de Aceites Mobil. Retornos mensuales desde Enero de 1963 a Diciembre de 1989. H estimado es de 0.72.

Figura 10: Análisis R/S de valores individuales de Coca-Cola. Retornos mensuales desde Enero de 1963 a Diciembre de 1989. H estimado es de 0.70.

Figura 11: Análisis R/S de valores individuales de Niagara Mohawk. Retornos mensuales desde Enero de 1963 a Diciembre de 1989. H estimado es de 0.69.

Figura 12: Análisis R/S de valores internacionales. Retornos mensuales desde Enero de 1959 a Febrero de 1990. Indice MSCI del Reino Unido. H estimado es de 0.69.

Figura 13: Análisis R/S de valores internacionales. Retornos mensuales desde Enero de 1959 a Febrero de 1990. Indice MSCI de Japón. H estimado es de 0.68.

CONCLUSIONES De la investigación realizada podemos concluir que: •

En general, el comportamiento de los mercados no cumple los supuestos planteados por la Hipótesis de Mercados Eficientes.

•

El análisis de la volatilidad de precios según el enfoque de mercados fractales permite aprovechar al máximo las propiedades que presentan las series de tiempo relacionadas a estos indices, propiedades que se pierden al usar los modelos basados en el enfoque clásico.

•

Es posible determinar la predictabilidad de series de tiempo financieras basándonos en la dimensión fractal inherente a la serie, de esta manera logramos conocer mejor el mercado en el que se realizan nuestras inversiones y en consecuencia a una mejor toma de decisiones sobre nuestras inversiones.

•

Es importante continuar la investigación en técnicas de predicción dentro del contexto de mercados fractales a fin de completar un conjunto de herramientas que le permitan al inversionista migrar hacia instrumentos eficientes y confiables para la medición del riesgo.

BIBLIOGRAFÍA - CIBERGRAFÍA •

Cont, R. (1994), “Long dependence in financial markets”, Centre de Mathematiques appliqees, Ecole Polytechnique France/ Finances Publiques, 49(2), pp 282-286

•

Engle, R.F. (1982), “Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of UK inflation”, Econometrica 50, pp. 987-1007

•

Hurst, H (1951), “The long term storage capacity of reservoirs”, Transactions of American Society Civil Engineer, pp 116-195

•

Lei, Vivian, Charles N. Noussair y Charles R. Plott. (2001). "Nonspeculative Bubbles in Experimental Asset Markets: Lack of Common Knowledge of Rationality Vs. Actual Irrationality." Econometrica 69:831

•

Lo, A.W. (1991), “Long term memory in stock market prices”, Econometrica 59,pp. 1279-1313

•

Mandelbrot, B. (1982) The Fractal Geometry of Nature, NY W.H. Freeman

•

Peters, E (1991), Chaos and Order in the Capital Markets, New York: John Wiley and Sons.

Entregar la ponencia en formato Word, en físico y digital, así como en PPT