Analisis del movimiento en un tunel con consideraciones clasicas de la gravitacion.

An´alisis del movimiento en un t´unel con consideraciones cl´asicas de la gravitaci´on. Problema Semana 2 J. Claro, E. Gal´ındez , J. Perdomo, J. Rojas, J. Cano, D. Quicaz´an Departamento de F´ısica,Universidad Nacional de Colombia. 29 de marzo de 2017

1.

Problema

Considere la Tierra como una esf´era con radio RT = 6400km, con una densidad de masa uniforme y la aceleraci´on de la gravedad en la superficie de la Tierra como g = 9,8 sm2 . Imagine ahora que se construye un tunel entre dos puntos arbitrarios A y B en la superficie de la Tierra, por ejemplo Bogot´a y New York.

Figura 1: Esquema de un tunel que atravieza la tierra en dos puntos arbitrarios. Considere que un tren desliza sin fricci´on por este tunel, comenzando desde Bogot´ a y acelerando debido a la acci´on de la gravedad, pasando por un punto de maxima cercania con el centro de la Tierra y luego desacelerando hasta llegar a New York. Desprecie el efecto de la rotaci´on terrestre.

1.1.

Parte 1

Calcule el campo gravitacional terrestre G(r) para un punto dentro de la Tierra localizado a una distancia r del centro. 1

Tren de Gravedad

1.2.

2

´ SOLUCION

Parte 2

Calcule el potencial V (r) en este punto.

1.3.

Parte 3

Como coordenada generalizada x, considere la distancia del centro del t´ unel al tren. Escriba la energ´ıa potencial de un tren de masa m como funci´on de x.

1.4.

Parte 4

Escriba el Hamiltoniano del sistema y encuentre las ecuaciones can´onicas de Hamilton. En particular, escriba la ecuaci´on diferencial para encontrar x(t).

1.5.

Parte 5

Resuelva esta ecuaci´ on y encuentre el tiempo de viaje de un extremo del tunel al otro. Muestre que este tiempo es independiente de la escogencia de los puntos A y B.

1.6.

Parte 6

Como caso particular, considere el viaje de Bogot´a a New York y calcule la longitud del tunel y la velocidad m´axima que adquiere el tren.

2. 2.1.

Soluci´ on Parte 1

Ya que hemos considerado la tierra como una esfera con densidad constante ρ, podemos hallar una expresi´ on que relacione la cantidad de masa en una esfera interior. Para la esfera completa, tenemos: ρT =

MT = V

MT 4 3 πR T. 3

(1)

A su vez, sabemos que el campo gravitatorio en la superficie terrestre es: ~ T ) = − MT G rˆ, G(R RT2

(2)

donde MT , G, RT son la masa de la tierra, la constante de gravitaci´on universal y el radio terrestre, respectivamente. Con base en esto, podemos encontrar un campo gravitacional producido a una distancia r del centro de la tierra por medio de:

2

Mec´anica Anal´ıtica II

Tren de Gravedad

2

~ G(r)

´ SOLUCION

Z G ρT dv r2 Z r GρT = r2 4πdr r2 0 Gρr3 = 4π 3r2 GMT = r. RT3 =

(3) (4) (5) (6) (7)

Por lo tanto, considerando que el campo para un punto a una distancia r del centro de la tierra debe ser u ´nicamente en direcci´on radial, dada la simetr´ıa esf´erica de ´esta, podemos decir que tiene un valor de: MT r ~ G(r) = −G 3 rˆ. RT

(8)

N´ otese, que la fuerza gravitacional hecha por un eventual cascar´on esf´erico entre el punto de medici´ on y la superficie terrestre, es anulada en cada segmento de esta por su segmento opuesto.

2.2.

Parte 2

El potencial gravitacional se puede obtener a partir de la relaci´on: ~ G(r) = −∇V (r).

(9)

Realizando un proceso de integraci´on: Z ~ ~ · dr. V (r) = − G(r)

(10)

Reemplazando 8 en 10 e integrando, teniendo en cuenta que el ´angulo for~ es nulo, obtenemos: ~ mado entre los vectores G(r) y dr Z r MT V (r) = G 3 r0 dr0 . (11) RT 0 Aplicando la linealidad de la integral: V (r) =

MT G RT3

finalmente: V (r) =

Z

r

r0 dr0 ,

GMT 2 r . 2RT3

3

(12)

0

(13)

Mec´anica Anal´ıtica II

Tren de Gravedad

2.3.

2

´ SOLUCION

Parte 3

Ahora, para un mejor an´ alisis del movimiento del tren, vamos a tomar como cordenada generalizada, x, la distancia del centro del tunel al tren. En la Figura 1, podemos notar la relaci´ on: r 2 = x2 + R 2 ,

(14)

Con esta transformaci´ on de coordenadas podemos escribir la energ´ıa cin´etica de un tren de masa m como: 1 T = mx˙ 2 . (15) 2 Su energ´ıa potencial, ser´ıa: U=

2.4.

GMT 2 (x + R2 )m. 2RT3

(16)

Parte 4

En nuestro camino a resolver el movimiento del tren, podemos apoyarnos en la formulaci´ on Hamiltoniana de la mec´anica, para ello, necesitamos escribir el hamiltoniano del sistema: C´ omo la funci´ on Lagrangiana no depende expl´ıcitamente del tiempo, es decir: L = T − U = L(x, x) ˙

(17)

Podemos escribir el Hamiltoniano como la energ´ıa del sistema: H

= xp ˙ x−L=T +U 1 GMT 2 = mx˙ 2 + (x + R)m 2 2RT3 =

p2x GMT 2 + x + Const. 2m 2RT3

(18) (19) (20) (21)

Aplicando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi: ∂H GMT m = −p˙x = x ∂x RT3

(22)

∂H px , = x˙ = ∂px m

(23)

p˙x = m¨ x,

(24)

GmT x+x ¨ = 0. RT3

(25)

es decir: de donde:

4

Mec´anica Anal´ıtica II

Tren de Gravedad

2.5.

2

´ SOLUCION

Parte 5

La ecuaci´ on 25, es un claro ejemplo de un oscilador arm´onico simple, cuya soluci´ on, teniendo en cuenta que el tren parte del reposo es: x(t) = A cos ωt. Donde: ω2 =

(26)

GMT . RT3

(27)

Que ser´ıa la velocidad angular; la ecuaci´on 26 de manera evidente cumple: x(0) ˙ =0

(28)

Ahora, sabemos que el periodo de un oscilador est´a relacionado con su frecuencia, f , y su frecuencia angular, ω, mediante: 2π 1 =f = , T ω entonces: T =

2.6.

(29)

2πRT3 GMT

(30)

Parte 6

Como caso particular, analicemos un tunel que vaya de Bogot´a a New York. Recordemos que el radio medio de la tierra, RT y la longitud de la geod´esica Bogot´ a-New York, S 1 son aproximadamente: RT ≈ 6400000m

(31)

S ≈ 4015000m

(32)

Ahora, en el tiempo inicial, t = 0, la posici´on inicial A es: A=

l 2

(33)

El ´ angulo θ formado en el v´ertice opuesto del tunel est´a dado por: 2π 2πRT

=

θ

=

θ S S ≈ 0, 627. RT

(34) (35)

Mediante la ley de coseno podemos determinar el largo del tunel:   S 2 2 2 l = RT + RT − 2RT RT cos RT   S = 2RT2 (1 − cos ) RT l ≈ 3 949 483, 8m

(36) (37) (38)

1 www.entfernungsrechner.net/es/distance/city/3688689/city/5128581

5

Mec´anica Anal´ıtica II

Tren de Gravedad

3

ANEXOS

La velocidad del tren est´ a dada por: l x˙ = −ω sin(ωt) 2

(39) 2

m Y la velocidad m´ axima, utilizando G = 6, 674 · 10−11 NKg 2 , es:

x˙ max =

3.

ωl ≈ 3, 002m/s 2

(40)

Anexos

A continuaci´ on se muestran unas cuantas curvas de nivel del Hamiltoniano del sistema en el espacio de fase.

Figura 2: Curvas de nivel del Hamiltoniano del sistema en el espacio de fase. √ Se puede que las curvas forman elipses con semiejes P = 2m1 con q observar 2Rt3 m1 y x = Gmt m en donde m1 , mt , Rt , y G son la masa del tren, de la tie1 rra, el radio de la tierra y la constante de gravitaci´on universal, respectivamente.

3.1.

~ Otra forma de encontrar G(r) y V (r)

Alternativamente, puede usarse la ley de Gauss para calcular el campo gravitatorio a una longitud r del centro, esta tiene la forma: I ~ G(r) · d~s = −4πGMencerrada (41) 6

Mec´anica Anal´ıtica II

Tren de Gravedad

3

ANEXOS

Debido a la simetr´ıa del problema, se sabe que el campo gravitatorio es radial, por lo tanto la expresi´ on (41) puede escribirse como: I ~ (42) G(r) ds = −4πGMencerrada El diferencial de superficie (ds) puede expresarse como: ds = r2 sin(θ)dφdθ

(43)

Reemplanzando en la ecuaci´ on (42): Z ~ G(r)

π

0

Z 0

2π

~ r2 sin(θ)dφdθ = G(r) 4πr2 = −4πGMencerrada

(44)

De donde: GMencerrada ~ G(r) = − r2 Debido a que la densidad de la tierra es constante, se tiene que: MT Mencerrada = 4 3 4 3 πr 3 3 πRT

(45)

(46)

Por lo tanto, para Mencerrada se cumple que: Mencerrada =

MT r 3 RT3

(47)

Reemplazando (47) en (45): GMT r ~ G(r) = − RT3

(48)

Como el campo es radial, entonces: GMT r ~ G(r) =− rˆ RT3

(49)

Dado que G solo depende de r, entonces se cumple la identidad: ~ (r) = − −∇V

dV rˆ dr

(50)

Por lo tanto: GMT r dV = 3 RT dr

(51)

De donde: V (r) =

GMT r2 2RT3

7

(52)

Mec´anica Anal´ıtica II