ANÁLISIS DE UNA ACTIVIDAD SOBRE FUNCIONES RACIONALES REALIZADA CON SOFTWARE MATEMÁTICO
Scorzo Roxana, Favieri Adriana, Williner Betina
Universidad Nacional de La Matanza
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Propuesta de Enseñanza- Innovaciones en el uso de tecnologías aplicadas en el aula de matemática -Nivel Universitario
Resumen
Presentamos en este trabajo el análisis de una actividad sobre funciones racionales realizada con software matemático "Mathematica®". Dicha actividad forma parte de un trabajo práctico de un taller de informática de la cátedra Análisis Matemático I, del Departamento de Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas de la Universidad Nacional de la Matanza. Mostramos las ideas que tienen los alumnos sobre las raíces de funciones racionales y las intersecciones de la asíntota oblicua y la función, como así también el desempeño de los mismos al resolver la actividad con el software mencionado. Llegamos a la conclusión que la herramienta informática es poderosa y acelera los cálculos, pero deben tenerse especial cuidado en los conceptos matemáticos ya que, en definitiva, éstos guían la resolución de los ejercicios y/o problema.
Introducción
La cátedra de Análisis Matemático I, del Departamento de Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas de la Universidad Nacional de la Matanza se caracteriza por incluir dentro de su oferta académica, el uso de software matemático "Mathematica®" para la resolución de algunos ejercicios de la asignatura. Para realizar dicha actividad se cuenta con un espacio didáctico denominado taller de informática de Análisis Matemático I. Este taller atraviesa a todos los comisiones de la cátedra, ya que se ofrece en horarios diferentes a los de los cursos regulares. Las actividades de dicho taller forman parte de la acreditación de la asignatura, teniendo los alumnos que resolver un trabajo práctico sobre temas de funciones, asíntotas, continuidad y recta tangente.
Durante el año 2013 una de las actividades del trabajo práctico del taller de informática estaba relacionada con las raíces y asíntotas de una función racional y nos interesó estudiar cómo responden los alumnos de Análisis Matemático I, ante dos proposiciones que expresan conclusiones falsas con respecto a las raíces de una función racional y sobre la intersección de su asíntota oblicua con dicha función. Otro aspecto que nos interesó analizar fue el desempeño de los alumnos al resolver actividades vinculadas con los temas de las proposiciones presentadas usando software "Mathematica®", y por último, evidenciar la influencia de estas resoluciones en la revisión o no de las posturas originales de los alumnos frente a las dos proposiciones iniciales.
Planteo del problema
Cuando trabajamos en el taller de informática de Análisis Matemático I nos plantemos las siguientes preguntas:
¿Cómo responden los alumnos de Análisis Matemático I, ante dos proposiciones que expresan conclusiones falsas con respecto a las raíces de una función racional y sobre la intersección de asíntotas oblicuas a funciones racionales y dicha función?
¿Cuál es el desempeño de los alumnos de Análisis Matemático I, al calcular dominio y raíces de una función racional usando software Mathematica®?
¿Pueden hallar las ecuaciones de las asíntotas a una función racional usando del software de manera apropiada?
¿Cómo calculan la intersección de la asíntota oblicua a una función racional y dicha función?
¿Las resoluciones realizadas con el software, inciden en la revisión de la postura dada por el alumno ante las proposiciones dadas?
Lo que nos llevó a plantear los objetivos que se enumeran a continuación.
Objetivos:
Conocer la postura de los alumnos de Análisis Matemático I, ante una proposición falsa con respecto a las raíces de una función racional.
Analizar el desempeño de los alumnos de Análisis Matemático I, al calcular dominio y raíces de una función racional usando software "Mathematica®".
Establecer la incidencia que tiene la resolución anterior realizada con el software en la revisión de la postura dada por el alumno ante la proposición falsa con respecto a las raíces de una función racional.
Identificar la opinión de los alumnos de Análisis Matemático I, con respecto a una proposición falsa con respecto a la intersección de asíntotas oblicuas a funciones racionales y la función.
Describir las resoluciones hechas por los alumnos de Análisis Matemático I al calcular las asíntotas vertical y oblicua de una función racional y la intersección con dicha función usando software "Mathematica®"
Examinar la incidencia que tiene la resolución anterior realizada con el software en la revisión de la postura dada por el alumno ante la proposición falsa con respecto a la intersección de asíntotas oblicuas a funciones racionales y la función.
Marco teórico
Uso del software en la enseñanza de la matemática
Numerosos informes de investigación reportan las modificaciones en la forma de trabajo y los logros en el aprendizaje obtenidos al incorporar herramientas informáticas a la clase de Matemática (Cuicas Ávila, Debel Chourio, Casadei Carniel, y Álvarez Vargas, 2007; Ramos Rodríguez y Baquedano Jer, 2006; Castillo, 2008; Depool y Camacho Machín, 2001). Así como otros (Contreras de la Fuente et al., 2005) exponen que el uso de recursos informáticos no garantiza resultados satisfactorios en la enseñanza y aprendizaje de conceptos como límite, continuidad y derivada de una función.
Entre las herramientas disponibles para ser usadas en el aula encontramos la computadora cargada con Sistemas Algebraicos de Computación (CAS en la cultura anglosajona), como por ejemplo Derive, Matlab, Mathematica, entre otros. Estos programas pueden realizar cálculos, operaciones algebraicas, resolver ecuaciones, trabajar con matrices, efectuar derivación e integración en forma simbólica y numérica, graficar, etc. Así el docente puede diseñar actividades en el aula haciendo uso de estos paquetes y de esta manera favorecer el análisis, la inferencia y la justificación de los temas estudiados.
Con respecto al uso de la computadora, Balacheff (1996) considera que el software tiene tres niveles de uso: puede ser utilizado por el profesor en el proceso de enseñanza, como medio visual, tornando ciertas clases más operativas; ser utilizado por el alumno como un medio para controlar resultados de ejercicios y, finalmente, hacer uso del mismo en el laboratorio, aprendiendo sintaxis, comandos y resolver situaciones problemáticas en forma activa. La función del profesor en este último modelo es la de diseñar e implementar una situación, que en nuestro caso son las actividades formuladas, para movilizar cierto conocimiento enseñado en las clases de la asignatura.
Según Regiro y Villalba (2000), una herramienta de entrenamiento matemático para alumnos es principalmente una herramienta de aprendizaje y evaluación, tanto por parte del alumno como del profesor, que debe:
Incentivar el aprendizaje a través de una interfaz adecuada
Suministrar conocimientos teóricos relacionados con el tema tratado, y una base de datos de dudas frecuentes.
Proponer ejercicios variados
Evaluar los conocimientos adquiridos por los alumnos.
Mediante el uso del software matemático, los alumnos se involucran en actividades que les permiten razonar, resolver problemas, realizar conexiones con otros temas y comunicarse efectivamente en matemática. El aprendizaje de las propiedades y principios matemáticos puede verse mejorado a través de la visualización utilizando software específico. Cálculos complicados que suelen llevar mucho tiempo de resolución, se realizan en forma instantánea usando Mathematica u otros programas.
El taller como espacio de aprendizaje
Definición:
Varios autores nos ayudan a entender el concepto de taller en educación.
Según Reyes Gómez (1977) el taller es una realidad integradora, compleja, reflexiva, en la que se unen la teoría y la practica como motor del proceso pedagógico, con un equipo de trabajo formado por docentes y estudiantes, en el cual cada uno hace sus aportes.
Para Mirabent Perozo, (1990) es una reunión de trabajo donde se unen los participantes en pequeños grupos para hacer aprendizajes prácticos según los objetivos que se proponen y el tipo de asignatura que los organice.
Según Ander Egg (1991), es un ámbito de reflexión y de acción en el que se pretende superar la separación que existe entre la teoría y la práctica, entre el conocimiento y el trabajo y entre la educación y la vida, que se da en todos los niveles de la educación, desde la enseñanza primaria hasta la universitaria.
El taller resulta una vía idónea para formar, desarrollar y perfeccionar hábitos, habilidades y capacidades que le permiten al alumno operar en el conocimiento. En él los alumnos se ven alentados a brindar su aporte personal, partiendo de su realidad y transformándose en seres creadores de su propia experiencia. En este ámbito educativo la relación teoría práctica se ve favorecida, tratando de disminuir la brecha entre ambas.
Metodología de trabajo
Lugar de desarrollo
La actividad la llevamos a cabo en el taller de informática de Análisis Matemático I, que es un espacio didáctico ofrecido por la cátedra para que los alumnos aprendan a utilizar el software "Mathematica®" a la resolución de temas de la asignatura. La característica de este taller es que atraviesa a todos los cursos de la cátedra, teniendo todos los alumnos que resolver un trabajo práctico de entrega y aprobación obligatorias para la acreditación de la asignatura. Dicho trabajo práctico puede realizarse en grupos de dos alumnos o de manera individual. El trabajo práctico está formado por varias actividades y en ese artículo analizamos una de ellas.
Participantes
Hemos tomado 5 de los 9 cursos de la cátedra de Análisis Matemático I, con un total de 209 respuestas, que corresponden a alumnos de esas comisiones elegidas. Estos cursos fueron seleccionados por ser cursos de las docentes que participamos en la experiencia. Fueron tres cursos del turno mañana, uno del turno tarde y uno del turno noche.
Descripción de la actividad a realizar por los alumnos
Describimos a continuación el enunciado de la actividad sobre funciones racionales que los alumnos resolvieron utilizando el software Mathematica®.
Responder V ó F. Justificando tus respuestas.
Las raíces de una función racional son siempre los valores que anulan el numerador.
La intersección entre una asíntota oblicua y la función siempre es vacía.
Resuelve el siguiente ejercicio:
Dada la función: Determinar:
Dominio. Raíces.
Vuelve a analizar lo respondido en el ítem 1 y explicar si mantienes o no tu respuesta.
Ecuaciones de las asíntotas
Determinar si existe punto de intersección entre la asíntota oblicua y la función en forma analítica usando el software.
Vuelve a analizar lo respondido en el ítem 2 y determinar si sostienes o no tu respuesta dada previamente.
Tiempo de elaboración y entrega de la actividad
Los alumnos contaban con un período de 8 semanas para realizar todo el trabajo práctico mencionado anteriormente. Tenían una fecha de entrega límite que fue establecida por la coordinación del taller. Este trabajo práctico los alumnos lo pueden realizar sin necesidad de asistir al taller, ya que el mismo es de asistencia voluntaria. Esto quiere decir que no siempre podemos ver la evolución de la resolución de los trabajos, muchos de ellos los recibimos como un producto ya terminado. Para los alumnos que sí asisten al taller es posible registrar los pasos en la resolución de los trabajos.
Instrumentos de recolección de datos
Al evaluar los trabajos prácticos del taller centramos la atención en los aspectos que queríamos analizar. Para recolectar los datos diseñamos una tabla que se muestra a continuación:
Bien
Mal
Justificación
Proposición 1
Contraejemplo
Sí
No
Descripción del procedimiento realizado
Cálculo dominio
Cálculo raíces
Revisión de la postura proposición 1
Si
No
Si
No
Observaciones
Bien
Mal
Justificación
Proposición 2
Contraejemplo
Sí
No
Descripción del procedimiento realizado
Cálculo asíntota vertical
Cálculo asíntota oblicua
Cálculo intersección asíntota oblicua y función
Revisión de la postura proposición 2
Si
No
Si
No
Observaciones
Resultados
Proposición 1: Las raíces de una función racional son siempre los valores que anulan el numerador.
Imagen 1: Resultados primera proposición
Un alto porcentaje 61%, contestó correctamente. También recurrieron al contraejemplo para justificar la falsedad de la propsición. De acuerdo a muchas respuestas que dieron los que respondieron verdadero en sus explicaciones relataban el proceso algebraico de igualar a cero el numerador pero no tenían en cuenta los valores que anulaban al mismo tiempo el denominador.
Acerca de la justificación de la primera proposición
Imagen 2: Justificación primera proposición
Para justificar la falsedad de la proposición.ell 61% recurrió a mostrar algún contraejemplo en donde se evidenciaba dicha falsedad.
Las justificaciones de las respuestas incorrectas se basaban en igualar a cero el numerador sin tener en cuenta los valores que anulaban al mismo tiempo el denominador.
Acerca del cálculo del dominio de la función:
Imagen 3: Planteo ecuación para determinar el dominio de la función racional
Observamos que un 88% planteo correctamente la ecuación para determinar el dominio de la función racional.
Señalamos la dificultad que tiene el cálculo de los ceros del polinomio del denominador si hicieran con lápiz y papel; deberían recurrir a métodos aproximados.
Acerca del cálculo de las raíces:
Imagen 4: Planteo de la ecuación para determinar las raíces
Un alto porcentaje 84%, plantea correctamente la ecuación para determinar las raíces de la función. Muchas de las respuestas incorrectas se deben a que igualaban el numerador a cero y no tenían en cuenta los valores que anulaban el denominador.
Acerca de la revisión de la postura dada como respuesta a la proposición 1
Imagen 5: Revisión de la postura proposición 1
Obviamente los alumnos que habían contestado correctamente mantuvieron su postura.
De los que contestaron incorrectamente, el 35% modificó su postura, diciendo que la proposición dada era falsa.
Y un 4% no cambió su postura aunque ésta fuera incorrecta
Proposición 2: La intersección entre una asíntota oblicua y la función siempre es vacía
Imagen 6: Resultados segunda proposición
Observamos que un alto porcentaje, 80%, responde correctamente es decir la proposición que planteamos es falsa..
Acerca de la justificación de la primera proposición
Imagen 7: Justificación segunda proposición
Los alumnos que respondienron correctamente la proposición justificaron las respuestas con algún contraejemplo, haciendo gráficos donde se representaba la falsedad de la consigna. Otros recurrieron al concepto de asíntota oblicua. También hubo alumnos que no justificaban sus respuestas.
Un 3% mostró un ejemplo en el cual la proposición era verdadera, es decir no había intersección entre la asíntota oblicua y la función.
Acerca del cálculo de las asíntotas
Imagen 8: Cálculo asíntota vertical
Un 72% planteo correctamente los límites para hallar la asíntota vertical.
En un 20% de las producciones notaciones dificultades con los comandos para calcular los límites.
Imagen 9: Cálculo asíntota oblicua
El cálculo de la asíntota oblicua presentó menos dificultados que el de la asíntota vertial, ya que un 89% planteo correctamente los límites .
Un 7% no hizo de manera incorrecta.
El 80 % de los alumnos planteó correctamente el sistema para determinar el punto de intersección entre la asíntota y la función.Un 11% no lo hace y.resto comete errores que tienen que ver con el uso del software. Por ejemplo para calcular la intersección usando ell software, recurrían a igualar las ecuaciones de la asíntota con la función y solo determinan la abscisa del punto y no la ordenada.
Imagen 10: Cálculo intersección asíntota oblicua y la función
Acerca de la revisión de la postura dada como respuesta a la proposición 2
Imagen 11: Revisión de la postura proposición 2
Los alumnos que habían contestado correctamente mantuvieron su postura.
Aquellos que habían respondido incorrectamente han logrado modificar su postura inicial.
Conclusiones
El análisis de esta actividad realizada con software matemático arroja algo de luz sobre ciertos aspectos vinculados a las creencias de los alumnos sobre las raíces de una función racional y sus asíntotas, como así también sobre el desempeño de los mismos al resolver actividades con asistencia de la tecnología. Entre ellas podemos mencionar:
La idea de que las raíces de una función racional son iguales a las raíces del polinomio del numerador. A pesar de que la mayoría de los alumnos respondió correctamente, sostenemos que esta idea persiste en los alumnos ya que, de los que contestaron incorrectamente, no todos han podido cambiar su postura.
La herramienta informática no siempre contribuye a modificar errores de concepto debido a que, si el planteo de la solución de la función racional se limita al planteo de la solución del polinomio del denominador, el software responde a lo pedido, ya que el mismo no puede analizar si ese planteo corresponde o no al cálculo de un dominio. Sólo es un comando para resolver una ecuación. De allí la importancia de utilizar bien los conceptos, puesto que por más poderoso o bueno que sea el software éste no puede suplir la falta de conocimiento matemático.
Los errores en el planteo del sistema para encontrar la solución entre la asíntota oblicua y la función ponen en evidencia la necesidad de profundizar el uso apropiado del software para que no se generen errores de respuesta y la utilización del mismo contribuya a la celeridad de los cálculos.
La contribución positiva del software en el cambio de postura con respecto a la intersección de la asíntota oblicua y la función racional, a pesar de que los planteos realizados con el software no fueron totalmente exitosos.
Todas estas reflexiones nos ayudan a considerar la importancia de la labor docente, ya que por más asistencia informática que se cuente es necesario ser precisos con los conocimientos matemáticos, con los conceptos que son los que, en definitiva, guían la resolución de los problemas.
Bibliografía
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Contreras de la Fuente, A., Font Moll, V., García Armenteros, M., Luque Cañada, L., Marcolini Bernardi, M., Ordoñez Cañada, L., Ortega Carpio, M.; Sánchez Gómez, C. (2005). Aplicación del programa Mathematica a las prácticas de cálculo en el primer año universitario. En A. Maz Machado, B. Gómez Alfonso y M. Torralba Rodríguez (Eds.). Investigación en Educación Matemática: Noveno Simposio de la Sociedad Española de Educación Matemática SEIEM (pp. 271-282). España: SEIEM y Servicio de publicaciones de la Universidad de Córdoba.
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Mirabent Perozo, Gloria (1990) Revista pedagógica cubana Año II, Abril.junio Nro 6 la Habana, Cuba
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