Análisis de la obra \"Percepciones M33 y M31\"

Facultad de Artes y Ciencias Musicales

Trabajo del seminario de doctorado “Taller de reinvención instrumental” a cargo del Dr. Juan Ortiz de Zarate dictado del 21 al 25 de junio del 2016.

Nombre: Carlos Felipe Hernández Sarmiento

Cuenca-Ecuador sep/2016

1

Índice

Contenido

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................... 4 ELECCIÓN DE MATERIALES ........................................................................................................................... 5 SONIDOS CON FACTURA CONTINÚA ............................................................................................................ 5 SONIDOS CON FACTURA ITERADA ............................................................................................................... 6 SONIDOS PERCUTIDOS .......................................................................................................................................... 6 SONIDOS CON RESONANCIA ........................................................................................................................ 7

MANEJO DEL TIEMPO .................................................................................................................................. 8

ELECCIÓN DE LOS ARMÓNICOS EN LAS CUERDAS DEL PIANO..................................................................... 13

ANÁLISIS DE LA CINTA ................................................................................................................................ 16

FORMA ...................................................................................................................................................... 20

ANÁLISIS DEL ESPECTRO Y DE LA ENVOLVENTE DINÁMICA DE LAS TÉCNICAS EXTENDIDAS USADAS EN LA OBRA ......................................................................................................................................................... 22 SUPERBALL FROTADO EN TABLA ARMÓNICA ............................................................................................................ 22 ..................................................................................................................................................................... 23 ..................................................................................................................................................................... 23 METAL RASPADO TRANSVERSALMENTE ENTRE EL CLAVO DE SUJECIÓN DE LAS CUERDAS Y EL PUNTILLERO DEL PUENTE. ........... 25 METAL RASPADO TRANSVERSALMENTE ENTRE EL CLAVIJERO Y EL PUENTE DE LA SECCIÓN MEDIA DEL PIANO ......................... 27 SUPERBALL FROTADO LONGITUDINALMENTE EN CUERDA C2 ...................................................................................... 28 ..................................................................................................................................................................... 28 ARCO FROTADO EN CUERDA C2 ........................................................................................................................... 29 SECCIÓN GRAVE DE LAS CUERDAS GOLPEADAS CON SUPERBALL ................................................................................... 30

2

METAL GOLPEADO EN CUERDA C2 ........................................................................................................................ 31 MONTAJE DE LA OBRA ............................................................................................................................... 32 CONCLUSIONES .......................................................................................................................................... 34 RECOMENDACIONES .................................................................................................................................. 35 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................................ 36 PARTITURAS

3

Percepciones de M33 y M31

Introducción

M33 (Galaxia del Triángulo) es un miembro del Grupo Local de galaxias la cual está a 720000 años luz de M31 y a la que orbita en una órbita de alta excentricidad. Estamos alejados a 2.8 millones de años luz de ella. M31 (Galaxia de Andrómeda) es el objeto visible a simple vista más lejano de la Tierra. Está a 2,5 millones de años luz. Es la más grande y brillante de las galaxias del Grupo Local. La obra mixta “Percepción de M33 y M31” se basa en la analogía con la paradoja de los relojes de Albert Einstein con el objeto de resignificar el tiempo usando el efecto de la dilatación temporal para generar el audio digital fijado. La obra también pretende abarcar parte del universo sonoro del piano, usando elementos de técnicas extendidas como la tabla armónica, sonidos metálicos rasgados longitudinal y transversalmente sobre el encordado, uso de baquetas superball, uso de armónicos, cuerdas frotadas etc. En cuanto a la notación espacial, el uso del espectro colocado sobre el pentagrama permite tener una visión exacta del soporte de audio digital fijado, y de los instantes de tiempo exactos en los cuales cada parcial es presentado. También como parte de la notación existen envolventes dinámicas1 para cada una de las técnicas extendidas descritas, de tal manera que es fundamental que el intérprete conozca cómo se ven estos materiales en un editor de audio. El único material usado en el soporte digital de audio fijado, corresponde a los parciales obtenidos por la cuerda C2 percutida y frotada2 de un piano de gran cola (260 cm de longitud). Estos parciales se distribuyen en un Drumrack para ser controlados vía MIDI por las ecuaciones programadas en Pure Data, que contienen el efecto de la dilatación temporal.

1

Las envolventes dinámicas de cada uno de los efectos usados son analizadas brevemente en este documento. 2 Para frotar la cuerda del piano se elaboró una especie de arco con tanza para collar de 0,30mm de diámetro, como se describe en apartados posteriores.

4

La combinación de estos materiales genera un marco estético dentro de manejo del tiempo y dentro de la combinación de la parte acústica con el soporte digital de audio fijado, en la cual estos materiales se recombinan, por lo cual el objetivo principal de la obra es exponer parte del universo sonoro del piano a nivel del espectro (armónicos), y a nivel de potencial sonoro, proponiendo otra manera de concebir la música, de escucharla, de comprender los mundos sonoros que ofrecer las técnicas extendidas como materiales de creación musical, de resignificar el tiempo en la obra, y de aprovechar el potencial que ofrece el instrumento y que la tradición ha excluido.

Elección de materiales

Dentro de la amplia gama de materiales sonoros que puede producir un piano, en esta obra se consideraron tres categorías: 

Sonidos con factura continua



Sonidos con factura iterada



Sonidos con resonancia (que de una u otra manera contienen ambas características)

Sonidos con factura continúa

El piano tradicionalmente puede ser considerado como un instrumento de cuerda percutida, esto pone en consideración que existe un sistema de cuerdas cuya única forma de producción sonora sea la percusión de las mismas, lo cual es erróneo. En esta obra se trata de romper esta tradición mediante el uso de armónicos con factura continua. Los sonidos continuos son producidos por cuerdas de nilon construidas con tanza de collar de longitud igual a 0,30 mm de diámetro. Esto en vista de que otras longitudes y otros materiales no son resistentes al momento de frotar el encordado y se rompen con facilidad. De esta manera se consiguen sonidos continuos y se pueden lograr aumentos de presión sonora mientras se frota la cuerda del piano.

5

Dentro de este material, el uso de sul ponticello funciona de igual manera que en los instrumentos de cuerda frotada, llegando a producir más armónicos mientras la tanza esté más cerca del puente.

Sonidos con factura iterada

La factura iterada ha sido una característica del despliegue de energía que se produce comúnmente en el piano por el golpe del martillo sobre la cuerda. En esta obra las notas que se ejecutan en el teclado corresponden a la serie de armónicos de la cuerda C2, y a los armónicos mismos producidos en el cordal. Los armónicos producidos en el cordal, se combinan con los parciales obtenidos por procesos de síntesis en el soporte de audio digital fijado, produciendo batimentos y produciendo sonoridades resultantes de la combinación de estos elementos sonoros, recombinándose en el espectro.

Sonidos percutidos

Para producir sonidos percutidos se usan baquetas superball ya que este tipo de material permite versatilidad en cuanto a percutir la cuerda con mayor rapidez, pudiendo generar material sonoro con densidad cronométrica bastante alta, y pudiendo bordear los límites entre la percepción de sonido iterado y sonido continuo. Estas baquetas también se usan para frotar la caja armónica y las cuerdas de manera longitudinal y/o transversal. La construcción de estas baquetas consta de dos partes: 

El mango, que es de material metálico, para lo cual se usó cable de acero de 0,8 mm



La punta, que es de un material de goma, para lo cual se usaron pelotas saltarinas.

Este tipo de baqueta permite la doble función de producir sonidos metálicos con el mango y de disponer de todas las sonoridades que pueden producirse al frotar una baqueta superball. Además permite tener sonidos iterados con una gran versatilidad por el material de la punta.

6

Sonidos con resonancia

La resonancia en los sonidos es manejada durante toda la obra. Los sonidos con factura continua o iterada, pueden producir resonancias en la medida de que no se apague el sonido de las cuerdas. Para esto, el único pedal usado es el pedal de resonancia.

7

Manejo del tiempo

El manejo del tiempo de esta obra, se inspira en la teoría de la relatividad especial, en la cual “cada cuerpo de referencia tiene su tiempo especial y una localización temporal tiene solo sentido cuando se indica el cuerpo de referencia al que remite3”. Para esto, se tienen que establecer los sistemas temporales de referencia correspondiente a M33 y a M31. Referencia M33 Velocidad de la luz (c) Porcentaje de la velocidad de la luz Datos

velocidad a la que se viaja %c Años luz (distancia)

300000000

m/s

99

/100

0,99

%

297000000

m/s

2800000

al

2828282,828

al %

300000000

m/s

99

/100

0,99

%

297000000

m/s

2500000

al

2525252,525

al %

Referencia M31 Velocidad de la luz (c) Porcentaje de la velocidad de la luz Datos

velocidad a la que se viaja %c Años luz (distancia)

3

Albert , Einstein. Über die spezielte und allgemeine Relatiuitátstheorie. (Edición en español. Translated by Paredes Larrucea. The Albert Einstein Archives, The Jewish National & University: Ediciones Altaya, S.A., 1984), 14.

8

Los cálculos para ambos sistemas de referencia temporal elegidos se realizan bajo los mismos supuestos, es decir con un porcentaje de velocidad de la luz al 99%, con el fin de tener las mismas condiciones para establecer una relación temporal. M33 ∆𝑡1 =

𝛾=

∆𝑡𝑀33 =

𝑒 2800000 𝑐 = = 2828282,828 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑣 0,99 𝑐 1

2 √1 − 𝑣2 𝑐

=

1 2 2 √1 − 0,992 𝑐 𝑐

= 7,08881205

∆𝑡1 2828282,828 𝑎ñ𝑜𝑠 = = 398978,3913 𝑎ñ𝑜𝑠 𝛾 𝛾

M31

∆𝑡1 =

𝛾=

∆𝑡𝑀31 =

𝑒 2500000 𝑐 = = 2525252,525 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑣 0,99 𝑐 1

2 √1 − 𝑣2 𝑐

=

1 2 2 √1 − 0,992 𝑐 𝑐

= 7,08881205

∆𝑡1 2525252,525 𝑎ñ𝑜𝑠 = = 356230,7066 𝑎ñ𝑜𝑠 𝛾 𝛾

De esta manera se obtienen las tablas 1 y 2 que se muestran a continuación, correspondientes a los sistemas de referencia temporales de M33 y M31:

9

Tabla 1 M33 Velocidad de la luz (c) Datos

Operaciones temporales

Operaciones temporales relatividad

Diferencias

velocidad real (v)= (c)(%c) Distancia de la galaxia (e)

300000000 99 0,99 297000000 2800000

m/s /100 % m/s al

t = e/v

2828282,828

años

Conversión a segundos

8,91927E+13

Seg

Transformación de Lorentz

7,08881205

Tiempo relativo de viaje

398978,3913 1,258E+13

Años Seg

7,661E+13 2429304

Seg Años

velocidad real (v)= (c)(%c) Distancia de la galaxia (e)

300000000 99 0,99 297000000 2500000

m/s /100 % m/s al

t = e/v

2525252,525

años

Conversión a segundos

7,96364E+13

seg

Transformación de Lorentz

7,08881205

Tiempo relativo de viaje

356230,7066 1,123E+13

años seg

6,840E+13 2169022

seg años

Porcentaje de la velocidad de la luz (%c)

Diferencia

Tabla 2 M31 Velocidad de la luz (c) Datos

Operaciones temporales

Operaciones temporales relatividad

Diferencias

Porcentaje de la velocidad de la luz (%c)

Diferencia

Según los datos obtenidos, la diferencia temporal entre ambos sistemas de referencia es 𝐷𝑡 = ∆𝑡𝑀33 − ∆𝑡𝐴𝑛𝑑𝑟ó𝑚𝑒𝑑𝑎 = 2429304 𝑎ñ𝑜𝑠 − 2169022 𝑎ñ𝑜𝑠 = 260282 𝑎ñ𝑜𝑠.

Es

decir,

10

la

diferencia temporal entre los dos sistemas de referencia es de 260282 años. Realizando las correspondientes conversiones, la conclusión es que mientras transcurren 1,258E+13 segundos en M33, en M31 transcurrirán 1,123E+13 segundos. Este efecto es conocido como dilatación temporal, un fenómeno físico que por nuestra condición humana no lo podemos percibir. La distancia entre estas dos galaxias es de 720000 años luz. Para los valores con estos datos la tabla propuesta quedaría con los siguientes resultados:

Velocidad de la luz (c)

300000000

m/s

99

/100

0,99

%

velocidad real (v)= (c)(%c)

297000000

m/s

Distancia de la galaxia (e)

720000

al

Operaciones

t = e/v

727272,7273

años

temporales

Conversión a segundos

2,29353E+13

seg

Transformación de Lorentz

7,08881205

Datos

Operaciones

Porcentaje de la velocidad de la luz (%c)

temporales relatividad

Diferencias

Tiempo relativo de viaje

Diferencia

102594,4435

Años

3,235E+12

Seg

1,96999E+13

Seg

624678

Años

A partir del efecto de la dilatación temporal, Albert Einstein desarrolla la paradoja de los relojes que es un experimento mental que analiza la distinta percepción del tiempo entre dos observadores. En esta obra, con los datos obtenidos, se desarrollan 2 sistemas de referencia temporal que corresponde al material fijado en el soporte de audio digital (tape o cinta). Los valores correspondientes a la diferencia temporal son tomados para distribuciones aleatorias de los

11

valores máximos de 7661ms y 6840ms. Estos valores temporales son enviados por medio de buses de envío para convertirse en datos de tiempo con la ayuda de MIDI (Musical Instrument Digital Interface), conservando el rango de los valores obtenidos por medio de las formulas de dilatación temporal, de manera exacta. Para esto se elaboró un patch en Pure Data con los valores de las tablas y las formulas mencionadas anteriormente.

Para calcular de la sección áurea (SA) conociendo el tiempo de la obra (t), se divide el tiempo de la obra en segundos para el número áureo (𝜑):

𝜑=

1 + √5 = 1,61803398874988 … 2

𝑡 = 5 min 28 𝑠𝑒𝑔 = 5(60) + 28 = 328 𝑠𝑒𝑔 𝑆𝐴 =

𝑡 328 = = 202,71 𝑠𝑒𝑔 𝜑 1 + √5 ( 2 )

𝑆𝐴 = 202,71 𝑠𝑒𝑔 =

202,71 = 3,37𝑚𝑖𝑛 60

0,37 min = 0,37(60)𝑠𝑒𝑔 = 22 𝑠𝑒𝑔

12

𝑆𝐴 = 202,71 𝑠𝑒𝑔 =

202,71 = 3,37 min = 3 min 22 𝑠𝑒𝑔 60

Las decisiones que se tomaron sobre la sección áurea fueron la de presentar todos los parciales por separado y en conjunto sobre el tiempo establecido, llegando como punto clímax la simultaneidad de todos los parciales a los 3 minutos y 22 segundos, generando así el sonido de la cuerda C2 percutida por medio del espectro.

Elección de los armónicos en las cuerdas del piano

La cantidad de armónicos que se pueden producir sobre todas las teclas es muy extenso. Por ese motivo se limitó su uso mediante un análisis de las frecuencias producidas: Según el índice acústico para un piano afinado en A=440Hz, el resto de frecuencias se obtienen por medio de la siguiente fórmula: 𝑓 (𝑛, 𝑥) = 440 𝑒 ((𝑥−4) +

𝑛 − 10 )𝑙𝑛2 12

Donde f es la frecuencia que se desea obtener, n es un valor asignado a cada nota de la escala cromática y x es el número de octava. Ref

0

1

octava

octava

2 octava

3 octava

4 octava

5 octava

6 octava

7 octava

8 octava

4186,01

1

C

32,70

65,41

130,81

261,63

523,25

1046,50

2093,00

2

C#/Db

34,65

69,30

138,59

277,18

554,37

1108,73

2217,46

3

D

36,71

73,42

146,83

293,66

587,33

1174,66

2349,32

4

D#/Eb

38,89

77,78

155,56

311,13

622,25

1244,51

2489,02

5

E

41,20

82,41

164,81

329,63

659,26

1318,51

2637,02

6

F

43,65

87,31

174,61

349,23

698,46

1396,91

2793,83

7

F#/Gb

46,25

92,50

185,00

369,99

739,99

1479,98

2959,96

8

G

49,00

98,00

196,00

392,00

783,99

1567,98

3135,96

9

G#/Ab

51,91

103,83

207,65

415,30

830,61

1661,22

3322,44

10

A

27,50

55,00

110,00

220,00

440,00

880,00

1760,00

3520,00

11

A#/Bb

29,14

58,27

116,54

233,08

466,16

932,33

1864,66

3729,31

12

B

30,87

61,74

123,47

246,94

493,88

987,77

1975,53

3951,07

13

Para las notas ubicadas en la segunda octava, esto es desde C2 hasta B2, los armónicos que se pueden obtener son los siguientes:

ARMÓNIC

C2

O

C#/Db

D2

2

D#/Eb

E2

F2

2

F#/Gb

G2

2

G#/Ab

A2

2

A#/Bb

B2

2

1

65,41

69,30

73,42

77,78

82,41

87,31

92,50

98,00

103,83

110

116,54

123,47

2

130,8

138,6

146,8

155,6

164,8

174,6

185,0

196,0

207,7

220

233,1

246,9

3

196,2

207,9

220,2

233,3

247,2

261,9

277,5

294,0

311,5

330

349,6

370,4

4

261,6

277,2

293,7

311,1

329,6

349,2

370,0

392,0

415,3

440

466,2

493,9

5

327,0

346,5

367,1

388,9

412,0

436,5

462,5

490,0

519,1

550

582,7

617,4

6

392,4

415,8

440,5

466,7

494,4

523,8

555,0

588,0

623,0

660

699,2

740,8

7

457,8

485,1

513,9

544,5

576,8

611,1

647,5

686,0

726,8

770

815,8

864,3

8

523,3

554,4

587,3

622,3

659,3

698,5

740,0

784,0

830,6

880

932,3

987,8

9

588,7

623,7

660,7

700,0

741,7

785,8

832,5

882,0

934,4

990

1048,9

1111,2

10

654,1

693,0

734,2

777,8

824,1

873,1

925,0

980,0

1038,3

1100

1165,4

1234,7

11

719,5

762,3

807,6

855,6

906,5

960,4

1017,5

1078,0

1142,1

1210

1282,0

1358,2

12

784,9

831,5

881,0

933,4

988,9

1047,7

1110,0

1176,0

1245,9

1320

1398,5

1481,6

13

850,3

900,8

954,4

1011,2

1071,3

1135,0

1202,5

1274,0

1349,7

1430

1515,0

1605,1

14

915,7

970,1

1027,8

1088,9

1153,7

1222,3

1295,0

1372,0

1453,6

1540

1631,6

1728,6

15

981,1

1039,4

1101,2

1166,7

1236,1

1309,6

1387,5

1470,0

1557,4

1650

1748,1

1852,1

16

1046,5

1108,7

1174,7

1244,5

1318,5

1396,9

1480,0

1568,0

1661,2

1760

1864,7

1975,5

17

1111,9

1178,0

1248,1

1322,3

1400,9

1484,2

1572,5

1666,0

1765,0

1870

1981,2

2099,0

18

1177,3

1247,3

1321,5

1400,1

1483,3

1571,5

1665,0

1764,0

1868,9

1980

2097,7

2222,5

19

1242,7

1316,6

1394,9

1477,9

1565,7

1658,8

1757,5

1862,0

1972,7

2090

2214,3

2345,9

20

1308,1

1385,9

1468,3

1555,6

1648,1

1746,1

1850,0

1960,0

2076,5

2200

2330,8

2469,4

Los armónicos producidos por las cuerdas desde C2 hasta B2, contienen una diferencia mínima (en algunos casos) de ciclos por segundo (Hz), por lo cual el color y los batimentos producidos pueden ser aprovechados en la obra. La elección de los armónicos en las cuerdas de acuerdo a los parciales obtenidos en los procesos automatizados, refuerzan estas sonoridades, generando una mezcla entre estos colores en la ejecución de los armónicos simultáneos y en la ejecución combinada con la cinta. El intérprete podrá elegir en que cuerda realizar los armónicos de la obra. Para esto la tabla siguiente pone a consideración en que cuerda se pueden producir armónicos similares a los que se generan en la cuerda C2 (primeros 20 armónicos).

14

# de

Notación

armónico

aproximada

Cuerda C2 Hz

2

C3

130,812

3

G3

196,219

C#/Db2

D2

D#/Eb2

E2

F2

F#/Gb2

G2

G#/Ab2

A2

A#/Bb2

B2

78

2 (196)

17 4

5

6

7

8

C4

E4

G4

Sib4

C5

261,625

3

57

(261,9)

327,031

4

96

(329,6)

392,438

5

35

(388,9)

3 (330)

4 (392)

457,844

5

74

(462,5)

523,251

6

13

(523,8)

9

D5

588,657

10

E5

654,063

8

91

(659,3)

5 (519,1) 6 (588)

52

11

12

13

14

15

16

17

18

19

F#5

G5

Ab5

Bb5

B5

C6

Db6

D6

Eb6

6 (660)

719,470

7

3

(726,8)

784,876

9

7

(785,8)

850,283

11

09

(855,6)

915,689

11

48

(906,5)

8 (784)

981,095

12

10

8

87

(988,9)

(980)

(987,8)

1046,50

12

9

23

(1047,7)

(1048,9)

1111,90

15

12

10

9

87

(1101,2)

(1110)

(1100)

(1111,2)

1177,31

17

16

12

5

(1178)

(1174,7)

(1176)

1242,72

18

17

16

12

(1247,

(1248,1)

(1244,5)

(1245,9)

14

3) 20

E6

1308,12

15

78

(1309,6)

15

Análisis de la cinta

Todos los procesos antes mencionados permitieron generar dos sistemas temporales (dilatados) con los primeros 20 armónicos obtenidos de la grabación de la tanza de nilon de 0,30mm de diámetro, y del martillo del piano sobre la nota C24. Por lo tanto, analizando cada sistema por separado (M33 y M31), los siguientes resultados expresados en tiempo y frecuencia son de importancia para la toma de decisiones en el discurso musical:

M33

M31

Parcial

Tiempo (seg)

Parcial

Tiempo (seg)

20

3,6

17

3,8

10

9,2

7

3,9

12

14,8

14

4,0

14

21,5

20

8,6

19

24,4

10

8,9

8

26,9

18

9,2

14

29,3

1

13,6

3

32,5

4

16,7

18

37,5

6

18,1

16

41,0

1

23,4

2

47,3

4

26,2

3

49,7

11

30,7

17

54,1

6

34,6

9

57,2

13

38,3

11

61,5

8

43,1

9

62,0

7

49,8

10

63,8

9

52,8

4

Según el índice acústico internacional el do central del piano corresponde al índice 4, es decir C central = C4. La grabación se realizó en la nota C2, correspondiente a la cantidad de ciclos por segundo de 65,41Hz. La tabla es generada en el software Sonic Visualiser.

16

3

68,1

10

57,8

2

68,5

10

61,7

12

68,9

7

66,0

11

71,1

10

68,2

5

74,2

4

73,1

2

75,9

8

77,3

1

79,3

5

80,8

10

83,8

14

82,4

15

84,1

6

87,5

10

84,4

2

88,7

1

84,7

20

89,8

16

91,4

18

90,9

5

93,5

19

92,4

20

100,4

15

92,9

10

106,1

16

94,4

9

107,6

17

95,9

2

111,7

14

98,4

5

118,4

16

98,4

7

122,3

18

101,9

7

128,6

20

102,9

12

135,3

2

104,0

14

139,6

1

109,6

14

146,4

13

111,6

13

153,7

7

117,2

2

155,9

11

119,3

11

161,6

12

120,9

10

167,7

6

126,9

8

170,8

2

127,9

5

173,9

12

134,4

4

181,2

3

138,8

10

182,8

1

144,0

17

11

187,6

2

144,3

2

195,0

3

149,3

10

197,0

2

154,5

7

198,6

9

160,1

11

199,6

5

166,3

3

207,1

5

170,3

13

209,1

2

171,0

5

214,3

11

171,4

6

217,0

15

174,8

2

220,3

3

177,7

4

227,1

5

179,7

13

229,1

14

184,7

8

231,9

5

191,3

15

235,6

3

193,1

14

241,2

3

197,0

9

243,9

11

201,5

10

250,3

6

207,5

4

253,8

4

211,2

11

257,8

1

216,7

2

262,7

5

221,7

1

267,6

8

228,3

4

270,7

9

231,0

15

272,1

1

234,0

11

277,3

11

235,1

8

284,6

9

236,7

2

291,9

4

242,6

10

297,0

12

247,5

3

297,2

15

250,6

2

297,5

3

254,7

8

297,8

4

258,1

3

301,8

2

261,1

18

1

302,1

11

263,6

8

302,3

11

267,4

6

268,2

12

273,2

6

274,6

15

276,8

8

276,9

4

277,1

3

277,3

15

281,7

5

286,1

4

286,9

3

287,7

19

292,5

16

294,2

12

295,6

20

296,7

18

299,7

A partir de estos datos, se empieza a construir el discurso musical planteado para mantener las características de la dilatación temporal de los armónicos. Sin este método de trabajo, sería necesario una construcción paralela entre la parte acústica y la parte electroacústica, sin embargo la parte matemática – física de la obra exige un control lo más exacto posible, por lo cual se trabajó de esta manera.

19

Forma

Con los datos obtenidos anteriormente, podemos ver que existen varios armónicos que podrían generar las sonoridades buscadas en la obra en cuanto a diferencias de color y variación tímbrica recombinada en el espectro. A través de los armónicos que se encuentran en la señal de audio digital fijada, se puede usar los elementos sonoros que brinda el piano, para establecer conexiones entre la parte acústica y las técnicas extendidas. En el discurso musical, el espectro del piano está siendo expuesto constantemente por el material sonoro fijado, armónico por armónico, por lo cual las sonoridades producidas por las técnicas extendidas que se realicen, se mezclarán con este material de manera inmanente. Al inicio la obra se consideró como un gran A en términos formales, y esto es lo que se percibe mediante una primera escucha, sin embargo existen elementos que se repiten y pueden ser constatados mediante el análisis de la partitura o mediante una escucha reducida en los términos de Schaeffer. El siguiente gráfico ilustra estas consideraciones:

20

Como se puede ver en el esquema, el uso de material sonoro diferente al expuesto tiene la función de establecer los puntos de clímax de la sección aurea. Materiales como el arco se exponen una sola vez de manera completa, esto en vista de que los armónicos están siendo expuestos todo el tiempo en el material sonoro fijado desde el inicio. Este clímax es la exposición de todos los parciales que están siendo usados en el material sonoro fijado, esto con el objetivo de estimular todas las terminales nerviosas simultaneas de la membrana basilar del oído, que producen el timbre característico del piano, y que a diferencia del resto de la obra, se exponen de manera separada. Esto se hace para generar una característica única en toda la obra de manera intencional en esta sección clímax. La sección grave de las cuerdas percutidas con las baquetas superball, de igual manera se expone una sola vez en el discurso musical y cumple una función similar a la del clímax, que es el de mantener la mayor cantidad de armónicos posibles en el espectro, y a la vez de preparar la reexposición del material inicial. El uso de la resonancia de todas las cuerdas dentro de la lógica del discurso musical, proporciona una manera de escuchar el espectro del piano con una amplia gama de parciales, lo cual se podría comparar con un tutti orquestal en términos tradicionales. Las notas y los armónicos ejecutados en el teclado del piano intentan seguir a los armónicos fijados en el soporte digital para mantener en el intérprete el concepto de dilatación temporal, descrito anteriormente. Las relaciones entre las resonancias producidas en el material digital de audio fijado, y las resonancias producidas por armónicos y las notas ejecutadas en el teclado del piano, son de gran importancia en el momento de la interpretación, ya que se recombinan, produciendo variaciones tímbricas en el espectro. La interpretación indeterminada en ese sentido, propone elegir en que cuerda ejecutar los armónicos solicitados en la partitura mediante la tabla propuesta anteriormente, y pretende precisamente generar cambios de color, dependiendo del grado de estudio de la partitura y el gusto por parte del ejecutante. De igual manera ocurre con las envolventes dinámicas de las técnicas extendidas, que si bien es cierto no especifican la manera exacta de interpretar, proponen un nivel de estudio previo y un análisis de las posibilidades que implican. En el siguiente apartado se analizan brevemente estas envolventes con su respectivo espectro.

21

Análisis del espectro y de la envolvente dinámica de las técnicas extendidas usadas en la obra

Analizando 8192 muestras por segundo con ventana deslizante de 87,5% y en el cual las frecuencias se muestran logarítmicamente, se analizaron varias técnicas extendidas usadas en la obra, las cuales se describen a continuación:

Superball frotado en tabla armónica

Dos grabaciones de una punta de superball frotada en la misma tabla armónica del piano muestran que las resonancias son similares una vez que el sonido se estabiliza, mientras que al inicio se ven afectadas hasta que la fricción se vuelva continua. Por encima de los 1200 Hz las frecuencias resultantes dependerán de la presión y de la fricción en la tabla armónica. En este

22

ejemplo podemos observar que las frecuencias se despliegan armónicamente a lo largo de las bandas del espectro con una predominancia de las frecuencias de 164Hz, 328Hz, 488 Hz y 656 Hz.

La envolvente dinámica gráficamente de varias grabaciones, toma varias formas dependiendo de los parámetros antes mencionados. En la interpretación el intérprete deberá adaptarse lo más posible a las condiciones del medio, por este motivo la obra carece de indicaciones de dinámicas y fraseo.

23

Como se puede apreciar, la envolvente consta de una parte en la cual la superball es frotada con la tabla armónica (Zona de acción) y otra parte que indica la resonancia. Estas consideraciones se toman en cuenta para la interpretación en vista de que el instante de tiempo que se indica a la partitura corresponde a la zona de acción de la envolvente.

24

Metal raspado transversalmente entre el clavo de sujeción de las cuerdas y el puntillero del puente.

25

En esta zona, no hay como saber qué altura puede salir, en vista de que las distancias de las cuerdas son distintas y varían en cada piano. Sin embargo la totalidad del espectro guarda una relación directa con la sonoridad de la caja armónica en vista de que las resonancias tienen características similares. El sonido iterado se puede visualizar en la forma de onda, y de la misma manera que en lo expuesto en el párrafo anterior, consta de una zona de acción. En la partitura esta sección se ejecuta simultáneamente con las notas Eb6 y A5, combinando este sonido metálico, con los parciales de la cinta y con las notas producidas en la cuerda del piano de manera tradicional, generando así una sonoridad que mezcla varias características tímbricas del instrumento:

Esta sección resulta un poco difícil de interpretar ya que el intérprete debe estirar la mano derecha para generar el sonido iterado, y a la vez mantener la mano izquierda en el teclado para tocar las notas solicitadas.

26

Metal raspado transversalmente entre el clavijero y el puente de la sección media del piano

En esta sección el material sonoro producido es de una factura iterada muy evidente, esto en vista de que la sección está separada del arpa del piano, sin embargo presenta una gran cantidad de bandas de frecuencia, las cuales se pueden aprovechar y mezclar con las frecuencias expuestas en el soporte de audio digital.

27

Superball frotado longitudinalmente en cuerda C2

Los primeros armónicos conseguidos con este efecto son similares a los de la cuerda C2, como se puede observar en el espectro, sin embargo los armónicos superiores hacen que el sonido sea inarmónico. La forma de la envolvente dinámica puede tener varias características, dependiendo de la presión de la punta del superball contra la cuerda.

28

Arco frotado en cuerda C2

En los extremos de la cuerda C2 los parciales obtenidos son los mismos que el de la cuerda percutida con la diferencia de que se obtienen más bandas de frecuencias agudas. La envolvente dinámica dependerá de la ejecución. En este ejemplo en la sección media se puede observar un aumento de amplitud, antes de llegar a la parte de resonancia.

29

Sección grave de las cuerdas golpeadas con superball

La sección grave percutida con las baqueta superball, da como resultado una inmensa cantidad de frecuencias que resultan de la interacción de varias partes del piano, como por ejemplo las cuerdas, los resonadores y la caja armónica.

30

Metal golpeado en cuerda C2

A medida de que se van acumulando los golpes, de la misma manera la amplitud va aumentando. Los armónicos producidos son los mismos que en la cuerda percutida con un aumento de las bandas de frecuencia agudas, sin embargo los golpes ocasionan que la cuerda varíe en cuanto a su tensión.

31

Montaje de la obra

Para señalar los parciales en el piano se usó tiza de colores. Las baquetas, el alambre metálico y la tanza fueron colocados en la sección del clavijero como se puede observar en la siguiente imagen

Esto en vista de que los cambios de baquetas pueden ocasionar ruido, y en vista de que la obra contiene parciales que pueden ser enmascarados fácilmente, se colocó una franela en la sección media-aguda del clavijero. Pese a estas consideraciones, algunas veces el intérprete tuvo dificultad en ejecutar lo descrito en la partitura, produciendo roces involuntarios en diversas secciones del cordal. Los armónicos se eligieron de la tabla propuesta en apartados anteriores, siendo los señalados en las cuerdas del piano los siguientes:

32

# de

Notación

armónico

aproximada

Cuerda C2 Hz

2

C3

130,8127

3

G3

196,2191

C#/Db2

D2

D#/Eb2

E2

F2

F#/Gb2

G2

G#/Ab2

A2

A#/Bb2

B2

8

2 (196)

7 4

5

6

7

C4

E4

G4

Sib4

261,6255

3

7

(261,9)

327,0319

4

6

(329,6)

392,4383

5

5

(388,9)

457,8447

5

4 8

9

C5

D5

(462,5)

523,2511

6

3

(523,8)

588,6575

6 (588)

2 10

E5

654,0639

6 (660)

1 11

F#5

719,4703

7 (726,8)

12

G5

784,8767

13

Ab5

850,2830

11

9

(855,6)

14

15

16

17

18

Bb5

B5

C6

Db6

D6

8 (784)

915,6894

11

8

(906,5)

981,0958

10

7

(980)

1046,502

9

3

(1048,9)

1111,908

9

7

(1111,2)

1177,315

12 (1176)

El trabajo con el intérprete de la obra juega un rol fundamental, ya que permite visualizar aspectos específicos de la misma. El montaje de la obra permite que el trabajo compositivo se consolide mediante el punto de vista técnico y de ejecución instrumental.

33

Conclusiones

De acuerdo a Xenaquis en Formalized Music, “guiar la formalización y axiomatización constituye un procedimiento más adecuado para el pensamiento moderno. Permiten, en un principio, la colocación de arte sonoro en un plano más universal. Se puede considerar en el mismo nivel que las estrellas, los números y las riquezas del cerebro humano […]” [p 178]. Los parámetros de tiempo controlados por funciones físicas y matemáticas en esta obra, (y de otros parámetros que inherentemente se ven vinculados a los procesos compositivos desarrollados en esta obra como bandas de frecuencia, textura, etc.), requieren de una comprensión previa a la escucha. Tanto el proceso como el resultado sonoro son de gran importancia a la hora de comprender el lenguaje propuesto. La integración de elementos físicos y matemáticos para conceptualizar y formalizar obras, permiten explorar un sin número de aspectos relacionados con leyes físicas, químicas, estadísticas, acústicas y todo lo que puede ser cuantificable. Mediante el uso de software de programación, se pueden simular condiciones inaccesibles por otros métodos y controlar fracciones de tiempo de manera exacta. Procesos estocásticos pueden ser cuantificados mediante la estadística descriptiva, y las matemáticas permiten el control exacto y total de todos los elementos que nos propongamos simular, lo cual no es posible sin el uso de la programación. La obra no fue construida con el propósito de que podamos percibir con una escucha reducida el efecto de la dilación o dilatación temporal, sino con el propósito de vincular procesos compositivos con las características del concepto tiempo manejado por la mecánica relativista. La propuesta pretende que antes de escuchar la obra, se pueda comprender el proceso, ya que una obra carente de dicho proceso, resulta limitada por la subjetividad de quien la crea, y no permite situarse en aspectos universales que contemplen un pensamiento musical contemporáneo con características que sobrepasen nuestras limitaciones humanas, y que reiteren desde los números nuestra posición en el universo y nuestra necesidad humana de conocer el entorno que nos rodea. Los procesos matemáticos y físicos usados en esta obra se combinan con los procesos interpretativos humanos e intentan fusionar estas dos características. Dichos procesos

34

combinados crean un marco estético que pone de manifiesto nuestra capacidad de controlar parámetros exactos y a la vez parámetros interpretativos dentro de la música como una especie de simbiosis en el más amplio sentido. El lenguaje que normalmente empleamos, no es capaz de describir adecuadamente y en su totalidad todos los procesos que tienen lugar en la naturaleza que nos rodea. Afortunadamente las matemáticas no están sujetas a esta limitación y han mostrado ser perfectamente adecuadas para describir el mundo de la música desde el punto de vista de la ciencia.

Recomendaciones

Los planos temporales trabajados en esta obra, podrían separarse a través de fenómenos físicos en los cuales el material sonoro del primer sistema de referencia no influya en el otro. Esto se podría conseguir dividiendo los procesos temporales dilatados por medio de la espacialización o reproduciendo los dos planos en dos medios elásticos distintos, (como el aire y el agua). Los armónicos expuestos en la tabla, pueden ser ampliados a otras cuerdas del piano. Esto en vista de que algunas cuerdas de la parte aguda resuenan, generando otras sonoridades. De igual manera, para controlar ese aspecto se podría usar el pedal tonal o usar los apagadores del piano dejando de presionar el pedal de resonancia.

35

Bibliografía

Cook, Nicolas. A musicologist´s guide to Sonic Visualiser. artículo en linea disponible en http://charm.cch.kcl.ac.uk/redist/pdf/analysing_recordings.pdf, s.f. Einstein, Albert. Über die spezielte und allgemeine Relatiuitátstheorie. Trad. Paredes Larrucea. Edición en español. The Albert Einstein Archives, The Jewish National & University: Ediciones Altaya, S.A., 1984. Xenakis, Iannis. Formalized Music THOUGHT AND MATHEMATICS IN COMPOSITION. Bloomington: Pendragon Press, 1992.

36