ANÁLISIS DE LA DISTRIBUCIÓN E INTERPOLACIÓN ESPACIAL DE LAS LLUVIAS EN BOGOTÁ, COLOMBIA ANALYSIS OF DISTRIBUTION AND SPATIAL INTERPOLATION OF RAINFALL IN BOGOTA, COLOMBIA

ANÁLISIS DE LA DISTRIBUCIÓN E INTERPOLACIÓN ESPACIAL DE LAS LLUVIAS EN BOGOTÁ, COLOMBIA ANALYSIS OF DISTRIBUTION AND SPATIAL INTERPOLATION OF RAINFALL IN BOGOTA, COLOMBIA ANDRÉS VARGAS Departamento de Ingeniería Civil, Pontificia Universidad Javeriana. e-mail: [email protected]

ANA SANTOS Universidad Nacional de Colombia. Pontificia Universidad Javeriana. e-mail: [email protected]

EDER CÁRDENAS Estudiante Maestría en Hidrosistemas, Pontificia Universidad Javeriana. e-mail: [email protected]

NELSON OBREGÓN Pontificia Universidad Javeriana. e-mail: [email protected] Recibido para revisar noviembre 17 de 2010, aceptado abril 29 de 2011, versión final mayo 5 de 2011

RESUMEN: En el diseño y manejo de sistemas de drenaje urbano es necesario conocer distribución espacial de la precipitación. Para obtener esta información, en la ciudad de Bogotá se emplean con frecuencia métodos de interpolación cuya entrada son los registros puntuales de estaciones pluviométricas o pluviográficas. En el presente trabajo se presenta una revisión de los parámetros básicos que los modeladores deben asumir antes de realizar una interpolación espacial. Se utilizó información diaria y subhoraria, considerando los métodos de la distancia inversa cuadrática, Kriging y V4 de MATLAB®. Los resultados obtenidos permiten definir algunos criterios sencillos en cuanto a la orientación de la malla, el tamaño de la celda a emplear, el análisis estructural previo que debe realizársele a la información y el método de interpolación a utilizar. PALABRAS CLAVE: Campos de precipitación, Geoestadística, patrones espaciales, interpolación espacial, variabilidad espacio-temporal. ABSTRACT: In the urban drainage systems design and management, the knowledge of the rainfall spatial distribution is required. To obtain this information, in the city of Bogotá are often used interpolation methods whose inputs are punctual data recorded in rainfall stations. This paper presents a review of the basic parameters that modelers should take into account before performing a spatial interpolation. Daily and hourly information was used, considering the inverse distance squared, Kriging and MATLAB® V4 methods. The obtained results allow us to define some simple on the orientation of the mesh, the cell size to be used, the previous structural analysis of the information and the interpolation method. KEYWORDS: Rainfall fields, Geostatistics, spatial patterns, spatial interpolation, space–time variability.

1. INTRODUCCIÓN El papel de la precipitación en la hidrología urbana es fundamental, debido a que la ocurrencia de éste fenómeno genera la escorrentía y el transporte de sedimentos en las urbes del planeta. La alta variabilidad espacio-temporal de la precipitación constituye una fuente importante de incertidumbre en la modelación hidrológica de estos hidrosistemas, lo cual implica que las cuencas urbanas requieran mediciones de precipitación con una alta resolución espacial y temporal [1-2], insumo que no siempre está disponible en las ciudades latinoamericanas. En la operación de sistemas de drenaje pluvial se debe incluir de manera simultánea la conducción del agua proveniente de la escorrentía sin generar inundaciones y

el control de las descargas de sedimentos y contaminantes en cuerpos de agua receptores; aspectos analizados con los sistemas de control en tiempo real y los estudios de eventos pasados con el fin de preparar las estrategias de control y/o diseño de nuevas redes [3]. De esta manera, la observación e interpretación de los patrones espaciales de precipitación (campos de precipitación) son fundamentales en la planeación y operación de estos sistemas de drenaje [4-5]. En la ciudad de Bogotá el registro de la precipitación se realiza en estaciones de medición puntual, mediante instrumentos de medición discreta o continua. En la práctica es necesario conocer su variación espacial en un área de estudio, para lo cual deben construirse campos de precipitación empleando metodologías de interpolación,

Dyna, año 78, Nro. 167, pp. 150-158. Medellín, Junio, 2011. ISSN 0012-7353

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tales como el método de Kriging, el método IDW (Inverse Distance Weighted) y el método V4 (Desarrollado en MATLAB® basado en las funciones de Green). Con el desarrollo de los sistemas de información, el procedimiento de interpolación resulta relativamente simple, sin embargo, las consideraciones previas para llevar a cabo dicho proceso no lo son. Por consiguiente el objetivo del presente trabajo consiste en brindar a los modeladores en hidrología, información básica de los procesos de interpolación y la generación de campos de precipitación apropiados en centros urbanos. Sin pérdida de generalidad se analizarán los registros de precipitación puntual en la ciudad de Bogotá, considerando diferentes resoluciones espaciales y temporales bajo la perspectiva de varios métodos de interpolación.

3. MATERIALES Y MÉTODOS Las estaciones seleccionadas para el desarrollo del presente estudio son de tipo meteorológica especial (ME), sinóptica principal (SP), pluviométrica (PM), climatológica principal (CP), pluviográfica (PG) y climatológica ordinaria (CO). En la Tabla 1 se presentan las estaciones empleadas en el estudio. Los registros hacen parte de la base de datos de las entidades encargadas de recolectar y distribuir la información en la ciudad de Bogotá: Corporación Autónoma Regional (CAR), Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios ambientales (IDEAM) y la Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá (EAAB). En resumen se consideraron 77 estaciones con precipitación diaria y 37 estaciones con precipitación sub-horaria.

2. ÁREA DE ESTUDIO La ciudad de Bogotá se encuentra ubicada en la zona central de Colombia, en el altiplano Cundiboyacense de la Cordillera Oriental. Su localización está dada por las coordenadas 4° 35’ 53” N 74° 4’ 33” W y altitud de 2630 msnm. Bogotá tiene un área total de 1776 km2 y su casco urbano se extiende en más de 40 km a lo largo de la sabana en el sentido norte-sur y en 20 km en el sentido este-oeste. La ciudad tiene como límites naturales los llamados Cerros Orientales en el costado este y el río Bogotá en el costado occidental (Ver Figura 1). Se caracteriza por tener un régimen bimodal de precipitaciones que varían entre 800 y 1200 mm y una temperatura promedio de 13 °C, con un rango de 7 a 18 °C.

El período de simulación fue elegido de acuerdo con la disponibilidad y calidad de la información ofrecida por parte de las entidades operadoras de las estaciones, considerando adicionalmente los siguientes criterios: 1) validación de la información pluviográfica con la pluviométrica, 2) análisis de consistencia de la información, y 3) Identificación de los eventos teniendo en cuenta el tiempo mínimo entre eventos [6]. Dicho período está comprendido entre el 1 de enero de 1995 y el 31 de diciembre de 1996. Tabla 1. Estaciones empleadas (Período 1995–1996) Table 1. Stations used (Period 1995–1996)

Resolución temporal

Número de estaciones CAR

18

EAAB

28

Diaria

Densidad* (km²/estación)

12 IDEAM 31

Subhoraria

Total

77

EAAB

27

IDEAM 10 Total

*

Figura 1. Zona de estudio Figure 1. Study area

22

37

Área del casco urbano = 560,79 km2.

De acuerdo con la World Meteorological Organization [7], se ha establecido que para la existencia de una red pluviométrica óptima en zonas urbanas se debe contar al menos con un pluviómetro cada 10 a 20 km², mientras que algunos autores argumentan que la densidad de estaciones debe ser de 6 km² por estación.

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Vargas et al

De acuerdo con la Tabla 1 para el caso de Bogotá se cumple el requerimiento de densidad de estaciones. No obstante, debido a la alta variabilidad de la precipitación en esta ciudad se sugiere considerar la instalación de más estaciones pluviométricas y pluviográficas además de la intensificación de la toma de datos con otras técnicas de medición como los sensores remotos. Con el fin de encontrar patrones del comportamiento de los vientos en Bogotá, que contribuyan al entendimiento de la precipitación (posibles direcciones predominantes), se estudiaron los registros de 9 estaciones pertenecientes a la Red de monitoreo de Calidad del Aire (RCA) de Bogotá. El período disponible de esta información de viento está comprendido desde el año 1997 a 2002 con valores de dirección y magnitud de viento cada 10 minutos. A pesar que el periodo de registro de las estaciones de viento no coincide con el de precipitación, esta información se utilizó para verifi car si existía algún comportamiento predominante en los patrones de viento, aspecto que no pudo establecerse de manera clara. Para la generación y comparación de los campos de precipitación se emplearán los métodos de interpolación de IDW (distancia inversa ponderada), Kriging y V4. 4. RESULTADOS OBTENIDOS 4.1 Parámetros para interpolaciones 4.1.1 Orientación de la Malla Partiendo del sistema de coordenadas planas con orientación Norte-Sur, se exploraron otras alternativas de orientación de malla que mejorara la representación de los campos de precipitación, se sugirió establecer un patrón espacio-temporal de los vientos en el casco urbano. Se analizaron los registros de dirección y magnitud del viento en el período comprendido entre los años 1997 y 2006 mediante la elaboración de rosas de los vientos para cada uno de los años y otras agregando la información de las series. Inicialmente se sugirió que la orografía y la temporada (mes, trimestre, semestre, día, noche, etc.) jugarían un papel importante en la definición de un patrón de la dirección de los vientos en Bogotá. No obstante, al observar que no había una suficiente correlación, a la luz de los escasos datos, que permitiera vincular dichos procesos con el análisis espacio-temporal, se decidió mantener el sistema de coordenadas planas

con orientación Norte-Sur como sistema de referencia para las interpolaciones a realizar. 4.1.2 Tamaño de Celda Para definir el ancho de celda con el que se visualizan los campos de precipitación (mapas formato raster) se analizaron 19 tormentas ocurridas en la ciudad de Bogotá. Para cada una de las ellas se estimó la distancia en la que el centro de tormenta se moviliza en intervalos de tiempo de 10 o 15 minutos. El centro de tormenta se definió como el primer momento estadístico bidimensional, descrito por (1).

RCM 

 p r p i

i

i

i

i



1  i pi  ri P

(1)

Donde RCM es la coordenada norte o este del centro de tormenta, pi es la precipitación registrada en la estación i, P es la precipitación total registrada en cada intervalo, y r es la coordenada norte o este de la estación i. En total se analizaron 19 eventos, de los cuales 17 pertenecen al periodo elegido, los otros dos eventos se estudiaron por considerarse de magnitud y duración considerable. En la Figura 2 se presentan las frecuencias de las distancias mínimas en las que se movió el centro de tormenta para los 19 eventos analizados con intervalos de 30 minutos. Tomando en cuenta que para escalas espaciales mayores a 1 km2, varios autores han reportado la importante variabilidad espacial y temporal de la |celda mayores o iguales a 1000 metros siendo éste el caso más frecuente (Figura 2). Con base en esta fi gura se incluyeron en el análisis distancias de 100, 200, 250 y 500 metros.

Figura 2. Frecuencia de la mínima distancia de desplazamiento del centro de tormenta Figure 2. Frequency of minimum offset distance from the storm center

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Con el análisis de los desplazamientos de los centros de tormenta sobre la ciudad de Bogotá se observó que no existe una dirección predominante de los mismos y que por lo general se concentran en la zona del centro de la ciudad.

predominante en los semivariogramas direccionales. Para este caso se recomienda utilizar semivariogramas isotrópicos para el ajuste a los modelos teóricos.

4.1.3 Análisis Estructural de los Datos

Con el fin de disminuir la incertidumbre de los valores interpolados en las fronteras de un campo de precipitación calculado (interpolado a partir de registros en superficie) se recomienda que se disponga de estaciones localizadas fuera de la zona de interés. De esta manera se logra que al momento de hacer la interpolación se cuente con más información, para luego hacer el “recorte” de la zona de estudio.

A nivel diario se realizó el análisis estructural de una serie de días en los que se presentaron valores altos de precipitación, comprendidos en la segunda temporada de lluvia de Bogotá. El software utilizado para dicho análisis es el GS+, que se distribuye libremente en la red en el sitio: http://www.gammadesign.com/. Se estimaron los semivariogramas experimentales con el fin de elegir el modelo teórico que mejor representara el fenómeno. En la Tabla 2 se presentan los parámetros de los semivariogramas obtenidos a partir de la precipitación diaria. Tabla 2. Parámetros del semivariograma para precipitación diaria Table 2. Semivariogram parameters for daily precipitation

Zona Casco

Fecha

Modelo

R2

Gaussiano

1260

0,04

22/09/1995

Gaussiano

65900

0,59

24/09/1995

Gaussiano

4190

0,70

Esférico

1680

0,18

21/09/1995

Gaussiano

78900

0,66

22/09/1995

Gaussiano

13920

0,97

Esférico

7800

0,51

7500

0,46

urbano

Todas

(77 est.) 24/09/1995

30/09/1995 Exponencial

Adicionalmente se recomienda que la dirección y localización de las líneas de coordenadas consideren las malla de otras fuentes de información tales como la de la Misión de Medición de Lluvias tropicales (TRMM - Tropical Rainfall Measuring Mission por sus siglas en inglés) y de radares meteorológicos eventualmente instalados en el futuro. Esto facilitaría labores de asimilación de datos a diferentes escalas espaciales y temporales. 4.2 Interpolación Espacial y Validación Cruzada

Alcance [m]

21/09/1995

(50 est.) 30/09/1995

4.1.4 Cobertura Espacial de la Interpolación

En la Tabla 2 se observa la variación del modelo de ajuste y del orden de magnitud del alcance entre días consecutivos. Al realizar el análisis estructural para un mismo día con condiciones diferentes de número de estaciones, se observa que el mejor desempeño se obtuvo para el día 22 de septiembre de 1995. En la estimación de los semivariogramas del análisis estructural se encontró que no existe una dirección

En esta sección se hace una breve revisión de los diferentes métodos de interpolación y se presenta la estrategia para la selección de método más apropiado apoyándose en validación cruzada. 4.2.1 Métodos de Interpolación La precipitación es un fenómeno que tiene un fuerte componente geográfi co, el estudio de la existencia de patrones espaciales puede contribuir al asentamiento de bases que contribuyan al estudio de la variabilidad de la lluvia. En localidades como Bogotá, donde la medición de la precipitación se hace de manera puntual es necesario conocer la precipitación como si fuera un campo continuo en el que para cualquier punto se tenga un valor de precipitación. La interpolación espacial es un procedimiento matemático utilizado para estimar el valor de un atributo, en este caso, la precipitación, en una localidad o ‘celda’ a partir de valores obtenidos en puntos de medición. En el caso de la precipitación la interpolación espacial transforma un número finito

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Vargas et al

de observaciones de las estaciones pluviográficas, en un espacio continuo de manera que su patrón espacial sea comparable con aquel presentado por las observaciones puntuales de origen [8-9-10]. Para la ciudad de Bogotá, Rodríguez et. al [11] han estudiado los efectos de la utilización de diferentes técnicas de interpolación espacial. Es importante aclarar que la calidad de los resultados de la interpolación espacial del campo de precipitación depende fundamentalmente de la calidad de los datos, del número y distribución de los pluviógrafos utilizados y del método a utilizar. En esta investigación la evaluación de los métodos de interpolación se realizará mediante la comparación de los resultados obtenidos por cada uno de ellos, siguiendo dos criterios: Estadística global (verificando el grado de ajuste al modelo real por medio de validaciones cruzadas) y Evaluación visual (estableciendo de manera cualitativa los patrones de comportamiento de sus isolíneas y superficies). Dentro de la literatura se encuentran diferentes métodos de interpolación. Éstos son clasificados en globales y locales, de acuerdo con la cantidad de información que utilizan, y en exactos e inexactos, según el valor de las estimaciones respecto a los datos de origen. En la presente investigación se evaluarán: a) Kriging, b) Inverso de la distancia y c) V4 (Método MATLAB ®). 4.2.2 Validación cruzada Un aspecto importante en la selección de la metodología de interpolación más representativa es la validación de los campos de precipitación generados. Para realizar esta selección se realizó un procedimiento de validación cruzada, empleando los registros de 5 estaciones localizadas dentro de la zona de estudio. El criterio de selección de las estaciones se basó en la extracción de por lo menos una estación de las siete zonas hidrológicas propuestas en el estudio de IRH (1995) de zonificación por índices pluviográficos para la ciudad de Bogotá. Las estaciones seleccionadas son: El Granizo (IDEA M ), Sta. M aría de U sme (ID EA M), Fontibón (EAAB), CASD (IDEAM) y UNAL (IDEAM). Estos registros no se emplearon en la

etapa de interpolación, con el fi n de identifi car el ajuste de las metodologías empleadas. Para realizar esta validación cruzada se consideraron dos aspectos importantes: la frecuencia de éxito de cada metodología y la precisión en las predicciones realizadas. El parámetro de comparación empleado en este análisis fue la sumatoria del valor absoluto del error entre el valor estimado y el valor registrado, para cada uno de los 731 días modelados, en las 5 estaciones consideradas. La selección de la mejor metodología se realizó de dos formas, la primera de ellas en función de la frecuencia de éxito (número de días de éxito/número total de días); y la segunda, seleccionando el menor error acumulado. Ambos criterios se aplicaron en todos los días registrados y en las estaciones definidas anteriormente. Los resultados de esta validación cruzada se presentan en la Tabla 3 para los diferentes tamaños de celda (Dx) considerados, estandarizando los valores acumulados del error dividiéndolos entre el número de días (mm/día). Con base en los resultados consignados en la Tabla 3, se observa que con el método IDW se obtiene la menor diferencia entre los valores estimados y los registrados. En general puede apreciarse que con el método V4 se obtienen diferencias sustanciales, aspecto que se evidencia en las altas sumatorias del error obtenidas, para los dos criterios considerados. Tabla 3. Comparación de metodologías de interpolación Table 3. Interpolation methodologies comparison DX

Frecuencias

Error

(m)

Método

S Error

Método

S Error

100

IDW

5.37

IDW

5.37

200

Kriging*

5.63

Kriging*

5.63

250

V4

8.03

IDW

5.46

500

IDW

5.33

IDW

5.33

* Se empleó un semivariograma lineal.

Adicionalmente, se analizaron los diagramas de dispersión para los casos considerados, los cuales se presentan en las Figuras 3 y 4.

Dyna 167, 2011

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Los coeficientes de correlación de la Tabla 4 permiten evidenciar que el mejor modelo teórico de semivariograma obtenido para la metodología de Kriging es el lineal, lo cual indica que el ajuste de los parámetros de un semivariograma en cada instante del período considerado no mejora sustancialmente su desempeño. Tomando los resultados obtenidos por el método de Kriging empleando un semivariograma lineal y los otros métodos considerados en el presente trabajo se obtuvieron los diagramas de dispersión que se presentan en la Figura 4. En la Tabla 5 se presentan los coeficientes de correlación obtenidos en los diagramas de dispersión de la Figura 4. Figura 3. Comparación del ajuste del método de Kriging variando el tamaño de celda y el semivariograma. a) lineal, b) gausiano fijo, c) gausiano ajustable, d) esférico ajustable y ) exponencial ajustable. Figure 3. Fitness comparison of the Kriging method with cell size and semivariogram variation. a) linear, b) fixed gaussian, c) adjustable gaussian, d) adjustable spherical y e) adjustable exponential.

Con base en los diagramas presentados en la Figura 4 y los coeficientes de correlación de la Tabla 3, puede observarse que el método IDW obtiene los mejores resultados para 3 de los tamaños de celda considerados (100, 250 y 500 m), mientras que para el tamaño de celda de 200 m, el método de Kriging obtiene el mejor ajuste. El método V4 exhibe el menor ajuste para todos los tamaños de celda considerados.

En la Figura 3 se presentan los diagramas de dispersión, obtenidos a partir del método de Kriging, entre los valores de precipitación estimados y los valores registrados (en las 5 estaciones empleadas para la validación cruzada) para cada uno de los tamaños de celda considerados, comparando adicionalmente, los diferentes semivariogramas empleados. La propiedad “ajustable” y “Fijo” de esta Figura se refi ere a si se realizó el ajuste de los parámetros de ese modelo teórico para cada día, o si se consideraron invariantes en el tiempo. En la Tabla 4 se presentan los coeficientes de correlación obtenidos en los diagramas de dispersión de la Figura 3. Tabla 4. Correlación del método de Kriging empleando diferentes semivariogramas Table 4. Correlation of the Kriging method considering different semivariograms Semivariograma

DX (m)

100

200

250

500

Lineal

0,705

0,703

0,578

0,709

Gausiano fijo

0,702

0,702

0,701

0,701

Gausiano ajustable

0,688

0,688

0,689

0,689

Esférico ajustable

0,696

0,698

0,699

0,699

Exponencial ajustable

0,688

0,687

0,688

0,687

Figura 4. Variación del ajuste de acuerdo con el método de interpolación espacial utilizado Figure 4. Fitness variation according to the interpolation method

156

Vargas et al

Tabla 5. Correlación obtenida en función del método y el tamaño de celda Table 5. Correlation obtained considering the method and cell size 100

DX (m) 200 250

500

Kriging*

0,705

0,703

0,578

0,709

IDW

0,727

0,633

0,722

0,735

Método

V4

0,458 0,485 0,483 0,486 * Se empleó un semivariograma lineal.

De la Figura 4 y la Tabla 5 puede resaltarse también que las diferencias en los ajustes obtenidos por los métodos IDW y Kriging para 100 y 500 m no son sustancialmente diferentes, presentando un mejor desempeño para un tamaño de celda de 500 m, aspecto que también implica un menor tiempo computacional. 4.3 Generación de campos de precipitación Mediante la inspección visual de los campos de precipitación generados, se evidencian las diferencias en los comportamientos de cada una de las metodologías empleadas. En la Figura 5 se comparan los campos obtenidos para cada una de las tres metodologías para el caso de la precipitación total presentada el 13 de mayo de 1996. Para este caso la imagen de la interpolación con IDW representa con mayor aptitud los lugares con altas precipitaciones o centros de tormenta, cabe anotar que estos sitios son aproximados al lugar geográfico de la estación que registro el valor de precipitación.

Figura 5. Campos de precipitación obtenidos (para el evento registrado en 13-05-1996) Figure 5. Rainfall fields obtained (for the event recorded in 13-05-1996)

En la Figura 5 se observa que la interpolación realizada con el método de Kriging (Modelo Lineal) suaviza las regiones donde se observaban los centros de tormenta,

generalizando toda la zona, ello implica en el caso de la distribución de las estaciones en la ciudad de Bogotá una sobreestimación de la precipitación. En el campo de precipitación generado con el modelo V4 (Véase Figura 5), se observa que las precipitaciones interpoladas superan las de los modelos anteriores en casi el doble. De otro lado también se observa una zona de gran extensión con precipitación igual a cero. Con base en el análisis anterior a resolución diaria y teniendo en cuenta que el método de interpolación que obtuvo el mejor desempeño fue IDW, se procedió a emplear este método en la interpolación del campo de precipitación para un evento comprendido entre el 12 de abril a las 10:00 horas y el 13 de abril a las 4:40 horas del año (véase Figura 6). Para el evento considerado, los valores más altos de precipitación ocurren en la zona oriental de la ciudad, siendo un claro indicio de la influencia de la orografía en el comportamiento de las lluvias para Bogotá.

Figura 5. Evolución de tormenta registrada entre el 12 y el 13 de abril de 1996. Δt=2 h. (Los puntos blancos identifican las estaciones de medición) Figure 5. Storm evolution for the event recorded between april 12nd and 13th 1996. Δt=2 h. (White points identify the rainfall stations)

Dyna 167, 2011

157

4.4 Discusión

5. CONCLUSIONES

Debido a la necesidad de realizar estudios del comportamiento de la precipitación a nivel espacial y por ende en un campo continuo, se requiere la implementación de métodos para la construcción de dichos campos cuando la medición de esta variable se hace de manera puntal en superficie. La baja densidad de la red de monitoreo (km2/estación) implica una alta incertidumbre espacial al tener que generar los campos de precipitación con técnicas de interpolación.

Como primer resultado de la presente investigación respecto a la estimación de los campos de precipitación en la ciudad de Bogotá, se obtuvieron los siguientes parámetros de interpolación: orientación de la malla norte-sur para una extensión de 70 km por 50 km y resolución espacial de 500 metros de tamaño de celda. Se encontró adicionalmente que el método IDW es el que mejor representa el comportamiento espacial de la precipitación debido a que se obtienen los menores errores absolutos en la comparación de los valores interpolados con los observados.

Con el fin de mejorar los campos de precipitación estimados por los algoritmos de interpolación, se proponen en este trabajo algunas consideraciones en la definición del tamaño de celda, la alineación de la malla y una metodología de validación cruzada. El análisis del desplazamiento de los centros de tormenta permitió evidenciar la complejidad del fenómeno en estudio y permitió seleccionar el tamaño de celda de los campos de precipitación por generar. Se sugirió que el tamaño apropiado del tamaño de las celdas no excediera la distancia mínima del movimiento del centro de tormenta. Bajo este supuesto se analizaron 19 tormentas y se estableció que el tamaño de celda fuera de 500 metros, distancias inferiores implican mayor tiempo computacional que no mejora de manera contundente los resultados de la validación cruzada. La aplicación de los métodos de interpolación considerados (IDW, V4 y Kriging) con variaciones en el tamaño de celda ha permitido concluir que para el periodo de estudio el mejor desempeño lo tiene el método IDW, corroborando adicionalmente el tamaño de celda seleccionado. Esta selección se llevó a cabo mediante un proceso de validación cruzada en la que se extrajeron del cálculo de la interpolación espacial cinco estaciones de precipitación diaria localizadas estratégicamente en 5 zonas de la ciudad de Bogotá de las 77 empleadas, para luego comparar el valor estimado con el observado en las posiciones de estas estaciones. Para el caso de la interpolación con el método de kriging y al realizar el análisis estructural a nivel de precipitación diaria se encontró que en una serie de registros consecutivos no existe un modelo teórico de semivariograma que se mantenga en el tiempo como el de mejor desempeño. De manera sorpresiva se encontró también que el modelo de semivariograma lineal es el que genera menores errores entre este tipo de estimadores kriging.

Cada uno de los métodos empleados para la estimación de los campos de precipitación tiene una serie de ventajas y desventajas. En cuanto al número de puntos de muestreo, el modelo de Kriging requiere un elevado número de estaciones con registros, mientras que los modelos IDW y V4 no tienen restricciones en este aspecto. Este resultado debe hacer reflexionar a los modeladores que emplean la metodología de Kriging de manera indiscriminada. En el caso específico de la presente investigación se observó que el modelo que genera mayores sobreestimaciones de precipitación es el V4, seguido por el método de Kriging. El modelo IDW no genera sobreestimaciones de la precipitación, sin embargo, produce concentraciones bastante fuertes en los puntos de medición. En cuanto a la implementación en aplicativos computacionales los modelos más sencillos de programar son el V4 e IDW, los cuales fueron implementados por los autores en MATLAB ®. El método de Kriging por la cantidad de parámetros y la variación bajo las condiciones de número de estaciones y rangos de precipitación requiere mayor tiempo computacional y una programación más avanzada, sin que este esfuerzo produzca mejores resultados. Con los resultados presentados en este trabajo se evidencia la responsabilidad con que los modeladores de sistemas de drenaje urbano deben asumir el proceso de interpolación en la generación de campos de precipitación. AGRADECIMIENTOS: Los autores del presente estudio expresan sus agradecimientos a los ingenieros Fabio Bernal y Víctor Peñaranda, quienes aportaron parte de la

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Vargas et al

información pluviográfica que fue de gran importancia para el desarrollo de la investigación. A la Pontificia Universidad Javeriana que aportó importantes recursos para la digitalización de la información, mediante el proyecto de investigación: “Avances en la caracterización y modelación conceptual de la meteorología de la ciudad de Bogotá”, identificado con el código 12010M50401200. REFERENCIAS [1] BERNDTSSON, R. AND NIEMCZYNOWICZ, J. Spatial and temporal scales in rainfall analysis - Some aspects and future perspectives, J. Hydrol., 100(1-3), 293-313, 1988. [2] BERNE, A., DELRIEUB, G., CREUTINB, J-D. AND OBLEDB, CH. Temporal and spatial resolution of rainfall measurements required for urban hydrology, J. Hydrol., 299(3-4), 166-179, 2004. [3] THIELEN, J. AND CREUTIN, J.-D. An urban hydrological model with high spatial resolution rainfall from a meteorological model, J. Hydrol., 200(1-4), 58-83, 1997. [4] BACCHI, B. AND KOTTEGODA, N.T. Identification and calibration of spatial correlation patterns of rainfall, J. Hydrol., 165(1-4), 311-348, 1995.

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Análisis de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en una microcuenca urbana, Bogotá, Colombia Análise da variabilidade espaço-temporal da precipitação em uma microbacia urbana, Bogotá, Colombia Spatial and Temporal Rainfall Variability in a Small Urban Watershed, Bogotá, Colombia Erasmo Alfredo Rodríguez Sandoval* Universidad Nacional de Colombia, Bogotá

Luis A. Camacho B. Jacobo Villarreal P., Alejandro Jiménez, Ana Carolina Santos R. y María del Pilar Duarte B. Resumen

Resumo

Abstract

Los diseños de alcantarillados pluviales y combinados normalmente se realizan bajo el supuesto de que la precipitación es constante en tiempo y espacio para áreas inferiores a 1 km2. Con el fin de aportar al conocimiento de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en cuencas urbanas de este tipo, y de determinar su impacto en el diseño de alcantarillados y, más aún, en los caudales de escorrentía obtenidos a partir de la aplicación de modelos matemáticos rigurosamente calibrados y validados, se ha instrumentado densamente la microcuenca urbana del campus de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá. En este artículo se describen los análisis detallados del evento más importante en términos de intensidad y precipitación total.

Os desenhos combinados de redes de esgoto de águas pluviais são normalmente realizados sob o pressuposto de que a precipitação é constante no tempo e no espaço para áreas de menos de 1 km2. Para proporcionar o conhecimento da variabilidade espaço-temporal das chuvas nessas bacias, e determinar o seu impacto sobre a concepção de esgotos, e ainda mais no fluxo de enxurrada produzida a partir da aplicação de modelos matemáticos rigorosamente calibrados e validados, tem sido fortemente instrumentada a microbacia urbana do campus da Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá. Este artigo descreve a análise detalhada do evento mais importante em termos de intensidade e de precipitação total.

The design of combined and stormwater sewer systems is usually accomplished assuming that rainfall is uniform in time and space for areas smaller than 1 km2. This paper aims to contribute to the knowledge of the space/time rainfall variability in urban basins of this kind. We investigate the impact of such variability on the design of sewage systems and, more importantly, on the runoff flows obtained through mathematical models rigorously calibrated and validated. Our case of study, the campus of the Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá, was densely instrumented. Among the events thus recorded, we have analyzed one of the most important in terms of intensity and total rainfall. This paper describes the detailed results.

Palabras clave: hidrología urbana, variabilidad espacial y temporal de la precipitación, aplicación de técnicas geoestadísticas, microcuenca urbana, microclima.

Palavras-chave: hidrologia urbana, variabilidade espacial e temporal da precipitação, aplicação de técnicas geoestatísticas, microbacia urbana, microclima.

Keywords: urban hydrology, spatial and temporal rainfall variability, geospatial analysis techniques, urban basins, microclimate.

Recibido: 5 de mayo del 2008. Aceptado: 28 de mayo del 2008. Artículo de investigación sobre la variabilidad espacio-temporal de la precipitación, dicha investigación fue llevada a cabo en la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá. * Dirección postal: carrera 30 n.º 45-03, edificio 453. Correo electrónico: [email protected]

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Erasmo Alfredo Rodríguez Sandoval

Introducción El problema de escala en hidrología y meteorología, entendido como aquel asociado con el cambio de las propiedades estadísticas espaciales de una variable por efecto del tamaño del área o del intervalo de tiempo considerado (Dubayah et al. 1996), ha recibido importantes consideraciones en la literatura (Bergstrom et al. 1998; Kite y Haberlandt 1999; Wood 1998). En estos estudios, conducidos fundamentalmente a escala de cuenca y a escala regional, se ha demostrado e intentado parametrizar la importante variabilidad espacial y temporal que existe en la humedad del suelo, la evaporación, la escorrentía y la precipitación, entre otros. En la mayoría de las aplicaciones que utilizan modelos hidrológicos para estimar la escorrentía en sitios no instrumentados, a partir de registros de precipitación, estos se constituyen en el factor más importante y con mayor incertidumbre en el proceso de modelación (Beven 2001; Berne et al. 2004). Considerando la baja densidad de las redes de medición de precipitación existentes, es común utilizar una sola estación para determinar la precipitación puntual y, a partir de ella, utilizando coeficientes empíricos de reducción por duración de la tormenta y tamaño del área (normalmente obtenidos en otras latitudes), estimar la precipitación areal sobre una cuenca. Para el caso particular de diseño de alcantarillados combinados y pluviales, comúnmente se asume que el campo de precipitación es uniforme en tiempo y espacio para un evento de tormenta sobre áreas inferiores a 1 km2 y que, por tanto, es válido aplicar el bastante antiguo “méto-

N

140 

Estación Dpto. Física Estación UN (Ideam) Pluviógrafo dual

0

95

190

380

570

760 metros

Pozo de alcantarillado Red principal de alcantarillado combinado

Figura 1. Mapa de la microcuenca del campus de la Universidad Nacional de Colombia que incluye red de drenaje y localización de estaciones meteorológicas existentes e instaladas en este proyecto.

do racional” (Mulvaney 1850) para estimar los caudales de diseño. Sin embargo, el reducido tamaño de las microcuencas urbanas y el carácter de los procesos hidrológicos a nivel urbano, como la rápida respuesta de la escorrentía en áreas impermeables, requiere y amerita un análisis de la precipitación a escalas espaciales y temporales detalladas. Para escalas espaciales mayores a 1 km2, varios autores han reportado la importante variabilidad espacial y temporal de la precipitación (Butyaert et al. 2006; Segond et al. 2006; Vaes et al. 2005). Sin embargo, para el caso de pequeñas cuencas urbanas, y específicamente en el caso de la ciudad de Bogotá, solo existe un estudio (Uniandes 2001)

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relativamente corto, en el que se ha mostrado la importante variabilidad de la precipitación en este tipo de microcuencas urbanas. Así, el presente estudio pretende contribuir al conocimiento de la variabilidad espacial y temporal de la precipitación en estas cuencas. Para ello, se ha instrumentado densamente el campus de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá, utilizando 14 pluviógrafos de balancín, con precisión de 0,2 mm ubicados de forma dual en las cubiertas de siete edificios del campus y distribuidos de forma más o menos uniforme sobre un área de 1,2 km2. En la estimación del campo de precipitación sobre un área, existen errores inherentes al proceso de

Análisis de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en una microcuenca urbana, Bogotá, Colombia

lación con el carácter aleatorio de la precipitación, y considerando que una tormenta está conformada por celdas productoras de precipitación, que aparecen y decaen a medida que transcurre el evento, es imposible intentar reducir los errores asociados.

Área de estudio

Figura 2. Foto del campus suministrada por la Oficina de Planeación UN, sede Bogotá (sin escala).

medición (Sevruk y Nespor 1998), al proceso de interpolación utilizado para espacializar las mediciones puntuales sobre el área (Butyaert et al. 2006) y a la naturaleza aleatoria del campo de precipitación. Con el fin de reducir la incertidumbre en los registros puntuales de precipitación, se ha diseñado e implementado una estación de calibración de pluviógrafos en laboratorio, utilizando las recomendaciones de Vasvári (2005), que permite realizar rutinariamente la recalibración de los aparatos. Con este mismo fin, se han ubicado mecanismos duales de precipitación en cada sitio que aseguran la existencia de un pluviógrafo testigo contra el cual se pueden comparar los registros del

pluviógrafo contiguo. Con respecto a la incertidumbre debida a los métodos de interpolación, el estudio ha intentado evaluar las bondades y limitaciones de tres métodos que por sus características tienen diferentes niveles de complejidad y que son: el método del inverso de la distancia, el método de interpolación polinomial y el método estocástico de interpolación, denominado kriging. Los tres métodos han sido utilizados para interpolar valores totales de precipitación, y el de kriging, para interpolar intensidades máximas en 15 minutos (tiempo aproximado de retardo de la cuenca, estimado a partir de hidrógrafas y eventos de tormenta registrados) para el evento seleccionado. En re-

Considerando las características del campus de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá, su localización central dentro de la ciudad y la facilidad de instrumentación y de la realización de las tareas periódicas de recolección de información y de recalibración de equipos, se ha seleccionado esta microcuenca como el área de estudio (figura 1). La microcuenca tiene un área de 1,2 km2 con un 60% en zonas verdes y la parte restante en zonas impermeables (zonas duras y cubiertas, figura 2). El sistema de drenaje de la microcuenca es del tipo combinado (aguas residuales domésticas y pluviales drenadas por la misma tubería), con dos entradas exteriores importantes, una a la altura de la calle 26 y otra en cercanías del Laboratorio de Ensayos Hidráulicos (LEH), que definen dos diferentes redes de drenaje con salidas a la red de alcantarillado de la EAAB, una sobre la portería de la calle 50 y la otra en las afueras del estadio respectivamente (figura 1). Dentro del campus universitario se encuentra ubicada la estación climatológica principal, Universidad Nacional (2120622), operada por el IDEAM, a partir de la cual se ha determinado que la precipitación promedio multianual es de 810 mm, con un régimen de tipo bimodal y períodos máximos de precipitación durante los meses

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rrentes a intervalos de tiempo suficientemente finos para permitir el análisis detallado de eventos de tormenta. Sin embargo, sí se encuentran disponibles las ecuaciones de las curvas i-d-f suministradas por la EAAB, las cuales, para la estación Universidad Nacional, se presentan en la figura 4.

de abril y mayo, y de octubre y noviembre (figura 3). Adicionalmente, en los alrededores del campus universitario, existen registros de precipitación de ocho estaciones meteorológicas operadas por la EAAB y el IDEAM. Infortunadamente, en estas ocho estaciones no se cuenta con registros simultáneos y concu140 120

Precipitación (mm)

100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Mes Figura 3. Histograma de precipitación mensual multianual, estación Universidad Nacional (2120622). Fuente: obtenido a partir de registros del IDEAM para los años 1987-2004. 160

Con relación a la caracterización del patrón general de los vientos en la microcuenca, se cuenta con los datos de la estación meteorológica ubicada en el edificio de Física (figura 1) y operada por el mismo departamento, cuyos datos para los años 2006 y hasta agosto del 2007 han sido gentilmente suministrados para los propósitos de este estudio. A partir de estos se han elaborado las rosas de los vientos para el año 2006 (figura 5) y para el mes de abril del 2007 (figura 6), mes durante el cual se produjo el evento de tormenta analizado en detalle en este artículo. El análisis de las figuras 5 y 6 muestran claramente que los vientos, con velocidades promedio de 10 m/s, provienen de las direcciones SSE, S, SSW, y SW, lo que indica un desplazamiento preferencial de las masas de aire en estas direcciones, desde el suroccidente hacia los cerros nororientales que bordean la ciudad.

Modelos y métodos Instrumentos

140 120

Intensidad (mm/hr)

142 

100 80 60 40 20 0 0

20

40

60

80

Tiempo (min) Tr= 3 años

Tr=5 años

Tr=10 años

Tr=25 años

Figura 4. Curvas intensidad-duración-frecuencia para la estación Universidad Nacional (2120622). Fuente: EAAB.

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Con respecto a la configuración óptima de pluviógrafos en pequeñas cuencas (no necesariamente urbanas), varios investigadores han realizado diversas propuestas. Moore et al. (2000) desarrollaron una configuración óptima de ocho pluviógrafos en una cuenca de 2 km por 2 km. Krajewski et al. (2001) obtuvieron que, para la climatología de Oklahoma en los Estados Unidos, una red de 17 pluviógrafos permitiría realizar la estimación de la variabilidad espacial de la precipitación en una cuenca de 2 km por 2 km, con errores menores del 5%. Canfield et al. (2003) mostraron que el uso de un pluviógrafo y cuatro pluviómetros podría representar

Análisis de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en una microcuenca urbana, Bogotá, Colombia

con buena aproximación la variabilidad espacial de la precipitación en una cuenca rural de 4,5 ha (0,045 km2). Paturel et al. (1986), a partir de simulaciones, recomiendan utilizar entre 4 y 5 pluviógrafos para un área de 1,2 km2. La recomendación de Berne et al. (2004) indica que, para el campus, se necesitaría medir con una resolución de por lo menos 3 min (Δt) y con una resolución espacial de 2,6 km (Δr = 1,5√Δt; con Δt = 0,75A0.3 y A en ha), lo que sugiere un pluviógrafo único. Schilling (1983) recomienda que el número de pluviógrafos por instalar sea determinado como la raíz cuadrada del área de la cuenca expresada en km2, en cuyo caso para el campus universitario sería suficiente con un pluviógrafo. El Water Research Center (WRC) de Inglaterra recomienda la instalación mínima de 3 pluviógrafos para áreas de drenaje menores a 8 km2 y la medición a intervalos de 2 minutos, con el fin de obtener errores menores al 10% en la calibración de modelos lluvia escorrentía. El estudio de Uniandes (2001) en la cuenca del Virrey de 0,8 ha, en Bogotá, recomendó, a partir del análisis detallado de la información disponible de 47 tormentas registradas en 14 pluviógrafos de la ciudad de Bogotá (IRH 1995), la utilización de 2 pluviógrafos. Así, no existe consenso en cuanto al número de pluviógrafos por instalar y su distribución, pues claramente dependerá de las características de relieve, urbanización, microclima y vientos dominantes del área investigada, y ello da origen al análisis aquí reportado. En concordancia con las recomendaciones más conservadoras de número mínimo de pluviógrafos reportadas en la literatura, se han instalado en 7 sitios, 14 pluviógrafos de

balancín del tipo Rain Collector II, fabricados por Davis Instruments, con área de captación de 214 cm2, altura de 24 cm, resolución de 0,2 mm y precisión de ± 4% para intensidades menores de 50 mm/hr y de ± 5% para intensidades entre 50 y 100 mm/hr, con data-logger marca Hobo con sensor de temperatura. Se han utilizado conjuntos duales de pluviógrafos, cada uno de los cuales ha

sido ubicado en la cubierta de los edificios de Hemeroteca (PG1 y 2), Concha Acústica (PG3 y 4), Posgrados de Ciencias Humanas (PG5 y 6), Medicina (PG7 y 8), Capilla (PG9 y 10), Laboratorio de Hidráulica (PG11 y 12) e Instituto de Genética (PG13 y 14) (figura 1), lo que genera inicialmente una red aproximadamente uniforme de medición (que está siendo actualmente optimizada),

Velocidad (m/s)

Figura 5. Rosa de los vientos para el año 2006.

Velocidad (m/s)

Figura 6. Rosa de los vientos para abril del 2007.

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con distancias entre sitios vecinos que varían entre 400 m y 750 m (lo que indica una resolución espacial de medición promedio de 500 m) y alturas de instalación de los aparatos que varían entre 8 m y 17 m. La utilización de una instalación de pluviógrafos dual, en lugar de una instalación sencilla, se justifica fundamentalmente por el incremento en la confiabilidad de los registros. Con frecuencia los pluviógrafos de balancín fallan porque el mecanismo de balancín se atasca; una instrumentación doble ha permitido reducir el riesgo de pérdida de información por mal funcionamiento de los equipos. Una instalación dual igualmente brinda mayor confiabilidad a los datos recopilados. Los datos de precipitación y temperatura, registrados en uno de los pluviógrafos y en el sensor de temperatura (PG11) ubicados en el Laboratorio de Hidráulica, se encuentran en línea, se actualizan cada 15 minutos y pueden ser consultados gráficamente en la página web: http://www.ing.unal.edu.co/ gireh/docs/datos.html. Los datos de los restantes 13 pluviógrafos (únicamente registros de precipitación) se recogen semanalmente, descargando los datos del datalogger del equipo a un computador portátil, en actividades rutinarias en las cuales se realiza adicionalmente la inspección y el mantenimiento de los equipos. Una vez por mes se realizan actividades de calibración y sincronización de los aparatos, utilizando la instalación y la metodología que se describe en el siguiente numeral.

Calibración de aparatos Con el fin de asegurar la correcta calibración de los aparatos, así como de dar mayor confiabilidad

FIGURA 7. Instalación de calibración de pluviógrafos con suministro constante de caudal, a través de válvula de mariposa graduada.

Figura 8. Instalación de calibración de pluviógrafos con suministro constante de caudal, a través de equipo de venoclisis.

a los registros, y siguiendo las sugerencias de Vasvári (2005), se ha diseñado e implementado una estación de calibración de pluviógrafos en el Laboratorio de Hidráulica, utilizando un tanque de cabeza constante, con una pequeña bom-

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ba sumergible y una válvula de mariposa con apertura graduada, con el fin de suministrar un caudal constante, aforado gravimétricamente y, por lo tanto, conocido, que simula la ocurrencia de una lluvia artificial de intensidad constan-

Análisis de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en una microcuenca urbana, Bogotá, Colombia

Criterio de selección de tormentas y aguacero seleccionado Según las características de los aparatos de registro (resolución de 0,2 mm y error ± 5%), se han seleccionado eventos de tormenta con profundidades mayores a 4 mm (para los cuales el error de un volteo del balancín es inferior al 5% de la profundidad medida). Bajo este criterio se registraron, en el año 2007, 33 eventos de tormenta, entre los cuales se ha seleccionado el evento del 5 de abril del 2007, por ser uno de los de mayor profundidad y con mayores intensidades en 15 minutos. Las características de todos los eventos registrados, incluyendo los histogramas de dura-

35

0,3333

0,3333

Media: 2:05:46 Varianza: 0.0042 Asimetría: 1.0409 Curtosis: 0.2347

30

Frecuencia relativa

25 20 15

0,1212 10

0,0909

0,0909

5

0,0303

0 1

2

3

4

5

6

Intervalos de clase (horas) Figura 9. Histograma de frecuencias para duración de aguaceros registrados.

40

Media: 2:05:46 Varianza: 0.0042 Asimetría: 1.0409 Curtosis: 0.2347

0,3636 35 30

Frecuencia relativa

te dada. Por comparación entre los datos registrados en el data-logger y el valor de caudal constante suministrado, se establece el margen del error, que debiera ser inferior al 5% reportado por los fabricantes para las intensidades utilizadas. Sorprendentemente, para los aparatos nuevos, se encontraron errores: primero, de falta de sincronización entre los tiempos de volcado del balancín izquierdo y derecho de algunos pluviógrafos, y, segundo, errores en lámina acumulada que alcanzaron hasta el 35%. Para reducir el margen de error a valores cercanos al 5%, se utilizaron pipetas de precisión para llevar el volumen de volcado de cada balancín a valores cercanos a 4,27 cm3, y se ajustaron simultáneamente los tornillos de cada uno de los balancines del pluviógrafo. La instalación anterior ha sido complementada con equipos de venoclisis para intensidades inferiores a 25 mm/hr. Las figuras 7 y 8 muestran el detalle de la instalación desarrollada.

25

0,2424

20 0,1515

15 10

0,0909

0,0909 0,0606

5 0

1

2

3

4

5

6

Intervalos de clase (horas) Figura 10. Histograma de frecuencias para la hora de inicio del aguacero. La línea negra indica los valores para el aguacero seleccionado.

ción del evento, hora de inicio y las curvas de masa adimensionales, se presentan en las figuras 9, 10, 11 y 12. Los resultados indican que, por lo general, las tormentas se presentan hacia el medio día (1:30 p. m.), con duraciones cortas (entre 1 y 2 hr), patrones típicos de tormentas de carácter convectivo y patrones erráticos, que de algún modo sugieren posibles dificultades en la in-

terpolación del campo de precipitación. Igualmente, en las figuras 9 y 10, se indican las características del aguacero seleccionado, que, aunque tiene una duración ligeramente superior al promedio de las tormentas registradas en el 2007, produjo la mayor cantidad de precipitación registrada sobre el campus (21,6 mm registrados en uno de los pluviógrafos de Medicina —PG7—).

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100 90 80 70

Precipitación (%)

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10

30

40

50

60

70

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90

100

Tiempo (%) T1

T2

T3

T4

T5

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T7

T8

T9

T10

T11

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T13

T14

T15

T16

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T18

T19

T20

T21

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T23

T24

T25

T26

T27

T28

T29

T30

T31

T32

T33

Figura 11. Curvas de masa adimensionales para aguaceros registrados.

Adicionalmente, en la figura 12, se presenta el hietograma del aguacero seleccionado, registrado en el mismo pluviógrafo, a intervalos de 15 minutos, acordes con el tiempo de retardo de la microcuenca. Debe mencionarse que para el evento de tormenta seleccionado la intensidad máxima registrada en este pluviógrafo, para 15 minutos, es de aproximadamente 30 mm/hr, valor que comparado con los datos de la curva i-d-f, presentada en la figura 4, correspondería a un período de retorno por debajo de tres años, lo que indica que durante la primera temporada lluviosa del 2007, en la que estuvieron en operación los equipos, no se presentaron eventos extremos. Sin embargo, en noviembre del 2007, se presentó una granizada muy importante sobre Bogotá, registrada en el campus universita-

rio, cuyo análisis detallado es reportado por Rodríguez et al. (2008).

Interpolación espacial y temporal de la precipitación La calidad de los resultados de la interpolación espacial y temporal del campo de precipitación depende fundamentalmente de la calidad de los datos, del número y distribución de los pluviógrafos utilizados y de qué tan bien la función matemática seleccionada representa el fenómeno. En cuanto a los aspectos de calidad de los datos y configuración de la red, estos han sido discutidos en los dos numerales previos. Por tanto, el objetivo de este numeral es presentar los relacionados con el método de interpolación. Al respecto, diferentes métodos han sido propuestos en la literatura para

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la estimación de la precipitación areal, desde el método simple y popular del inverso de la distancia, pasando por métodos determinísticos como interpolaciones polinomiales, hasta técnicas más complejas, basadas en interpolación estadística, como el caso de kriging (Meijerink et al. 1994). Aunque se tiende a pensar que el método más complejo brinda los mejores resultados, esto no es necesariamente cierto, pues depende, como se mencionó anteriormente, de factores externos al método de interpolación. Sin embargo, según Creutin y Obled (1982), para el caso de áreas con eventos de precipitación con fuerte variación, como el caso del área de estudio, las técnicas más sofisticadas, por lo general, brindan mejores resultados que las técnicas más simples.

Análisis de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en una microcuenca urbana, Bogotá, Colombia

30

La aplicación de kriging requiere que el proceso sea de tipo estacionario, y algunos tipos de kriging requieren que los datos provengan de una distribución normal, restricciones que no se aplican para el caso de los otros dos métodos de interpolación.

25

Intensidad (mm/h)

20

Análisis de resultados

15

10

5

0 16:45

17:15

17:45

18:15

18:45

19:15

19:45

Tiempo (h) Figura 12. Hietograma de tormenta para el aguacero seleccionado del 5 de abril del 2007, a intervalos de 15 minutos en el PG7 de Medicina.

Con el fin de evaluar la variabilidad espacial de las profundidades totales e intensidades máximas en 15 minutos, registradas en los siete sitios, y analizar la variabilidad temporal de la tormenta seleccionada sobre el campus, a intervalos de 15 minutos, para el evento escogido, se han seleccionado tres métodos que representan diferentes niveles de complejidad y que corresponden al método del inverso de la distancia, interpolación polinomial y a la interpolación mediante kriging, disponibles todos en la extensión de análisis geoespacial de ArcGIS. Los tres métodos se encuentran detalladamente descritos en Meijerink et al. (1994) y aquí únicamente se presenta un breve resumen de estos. El método del inverso de la distancia es bastante simple, sencillo

y de común aplicación en hidrología y meteorología. Está basado en la asignación del valor interpolado con base en los valores de un número fijo de estaciones vecinas y en un factor de peso calculado como el inverso de la distancia al cuadrado. El método de interpolación polinomial intenta ajustar un polinomio bivariado de grado i como superficie de interpolación. De otra parte, kriging corresponde a un método de interpolación de tipo estocástico que permite realizar la estimación del error y la validación de los resultados obtenidos, a través de validación cruzada (removiendo uno a uno cada uno de los registros y recalculando el semivariograma). Requiere, sin embargo, especificar tendencias y parámetros en el modelo, que pueden ser analizados a través del semivariograma.

A partir de los datos registrados para el aguacero seleccionado, los cuales, según los análisis del histograma y del diagrama q-q, provienen de una distribución normal, es posible realizar dos tipos de comparaciones: la primera, a nivel puntual, entre los dos registros de un mismo sitio y, la segunda, a nivel espacial, con los registros entre estaciones. La figura 13 muestra la comparación de los registros de los dos pluviógrafos ubicados en el edificio de Medicina, en la cual es evidente que las dos curvas de masa son casi idénticas. Considerando que gráficas similares fueron obtenidas en los otros puntos de medición (nótese que los PG2 y PG6 no tienen registros para el evento, por encontrarse en proceso de recalibración), es posible afirmar que los datos del evento de tormenta seleccionado son de excelente calidad, lo que brinda mayor confiabilidad a los resultados aquí presentados. La figura 14 muestra las curvas de masa adimensionales para el evento de tormenta seleccionado, correspondientes a los registros de los pluviógrafos con numeración impar localizados en cada uno de los diferentes siete sitios de medición. La importante variabilidad del evento analizado, mostrada en la figura 14 (coeficiente de variación del 11%), indica que la forma general de las curvas de masa es casi aleatoria,

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En la figura 14 es evidente la enorme variabilidad espacial temporal del campo de precipitación para el evento seleccionado. Los registros de la Hemeroteca y la Concha Acústica indican que el evento produjo más de la mitad de la precipitación en la parte inicial de la tormenta, mientras que los datos de la Capilla sugieren que el aguacero fue mucho más intenso hacia la mitad de esta. Lo anterior es indicación de un posible movimiento

las intensidades pico (pendientes máximas de las curvas de masa) ocurren a diferentes tiempos y, adicionalmente, en los hietogramas (no presentados aquí) es claro que los tiempos de inicio y finalización del evento son diferentes. Debe anotarse adicionalmente que todos los aparatos están sincronizados con la hora estándar de Colombia, que pueden tener errores de hasta 1 minuto en dos meses y que son resincronizados cada mes. 12

Precipitación acumulada (mm)

10

8

6

4

2

0 05/04/2007 16:12

05/04/2007 16:19

PG7

05/04/2007 16:26

05/04/2007 16:33

05/04/2007 16:40

05/04/2007 16:48

05/04/2007 16:55

05/04/2007 17:02

Tiempo

PG8

Figura 13. Curvas de masa para los dos pluviógrafos ubicados en Medicina (PG7 y PG8) para el evento de tormenta seleccionado. 100

80

% Precipitación

148 

60

40

20

0

0

10

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30

40

50

60

70

80

90

100

-20

% Tiempo Hemeroteca Capilla

Concha Hidráulica

Ciencias Humanas Genética

Medicina

Figura 14. Curvas de masa adimensionales para el evento de tormenta seleccionado.

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de la tormenta desde el suroccidente hacia el nororiente, consecuente con el patrón de dirección predominante de los vientos descrito anteriormente. Las figuras 15 y 16 muestran los mapas de distribución espacial del aguacero, para valores totales de precipitación caída, obtenidos mediante los métodos de kriging e inverso de la distancia, y la tabla 1 muestra los valores de profundidad total e intensidad máxima en 15 minutos para el evento seleccionado. Es evidente en los mapas de la figura 8 la importante variabilidad espacial del campo de precipitación para la tormenta analizada. Para la resolución promedio de la red instalada (aproximadamente 500 m), la precipitación total puede variar en más del 15% y las intensidades máximas en 15 minutos hasta en un 75% (figura 17), lo que indica la magnitud de esta variabilidad, aún para un aguacero no tan intenso. Los resultados mostrados en las figuras 15 y 16 y en la tabla 2 sugieren que, mediante la aplicación de los tres métodos de interpolación analizados, se obtienen resultados bastante semejantes (errores promedio y desviaciones estándar similares) y que la complejidad del método de kriging no necesariamente reduce las desviaciones del error. Sin embargo, y teniendo en cuenta que entre más cerca se encuentre el R2 estandarizado a 1,0, mejor es la interpolación realizada, podría concluirse que el método de kriging, para el caso estudiado, es ligeramente superior a los otros dos métodos analizados. Por eso, es utilizado en los análisis subsiguientes. Adicionalmente, los métodos del inverso de la distancia e interpolación polinomial presentan problemas de creación de “ojos” de tormenta (figura 16).

N

N

Análisis de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en una microcuenca urbana, Bogotá, Colombia

Leyenda Inverso de la distancia

Leyenda Kriging

P. total (mm)

Filled contours

19,6 - 20 20,0 - 20,4 20,4 - 20,8 20,8 - 21,2 21,2 - 21,7 21,7 - 22,2 22,2 - 22,8 22,8 - 23,3 23,3 - 23,8 23,8 - 24,2 Pluviógrafo dual

0

95

190

380

570

19,6 - 20 20,0 - 20,4 20,4 - 20,8 20,8 - 21,2 21,2 - 21,7 21,7 - 22,2 22,2 - 22,8 22,8 - 23,3 23,3 - 23,8 23,8 - 24,2 Pluviógrafo dual

760 metros

0

95

190

380

570

760 metros

Figura 16. Precipitación total espacializada utilizando inverso de la distancia.

Figura 15. Precipitación total espacializada utilizando kriging.

TABLA 1. Valores totales de precipitación e intensidad máxima en 15 minutos del aguacero seleccionado en los diferentes pluviógrafos. Prof. Total (mm)

Int. máx. 15 mín. (mm/hr)

22,8

26,1

-

-

3 (Concha )

22,6

26,1

4

21,8

27,0

5 (Ciencias Humanas)

19,6

17,2

-

-

21,6

29,9

N.° Pluviógrafo 1 (Hemeroteca) 2

6 7 (Medicina)

Factor importancia Thiessen % 7,3 18,1

11,5 14,1

N.º de pluviógrafo

Prof. Total Int. máx. 15 (mm) mín. (mm/hr)

8

22,2

30,1

9 (Capilla)

22,4

24,0

10

22,2

22,8

11 (Hidráulica)

20,4

25,1

12

20,2

26,9

13 (Genética)

21,8

25,4

14

21,0

23,5

Factor importancia Thiessen %

10,9

21,9

16,2

TABLA 2. Resultados de la validación para la interpolación por diferentes métodos de los valores de precipitación total para el aguacero seleccionado. Método

Error promedio (mm)

Desviación estándar (mm)

R 2 estandarizado

Inverso de la distancia

0,132

1,57

1,511

Interpolación global polinomial

-0,180

1,48

1,422

Kriging ordinario con tendencia

0,166

1,55

1,199

En la figura 17 se presentan los resultados de la espacialización, mediante kriging de intensidades máximas registradas en 15 minutos. Esta muestra claramente la tendencia en dirección NW ocasionada por

el movimiento preferencial de las masas de aire sobre el campus en esta dirección. La figura 18 (a y b) muestra la variabilidad temporal del evento, resultado de la interpolación, me-

diante kriging, de las intensidades a intervalos de 15 minutos para las primeras tres horas del aguacero. Para los intervalos analizados, el coeficiente de variación está en el rango entre 12% (intervalo 11) y 187%

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149 

Erasmo Alfredo Rodríguez Sandoval

(intervalo 4). Claramente los resultados muestran una importante variabilidad temporal, típica de tormentas de tipo convectivo, y muestra un movimiento de la celda de precipitación aproximadamente en el sentido de las manecillas del reloj.

Conclusiones Se ha mostrado que el evento de tormenta, ocurrido sobre el campus el 5 de abril del 2007, es dinámico a medida que pasa sobre el área de estudio, presenta intensidades que varían significativamente en tiempo y espacio con coeficientes de variación del 11% para la precipitación total y de hasta 187% para las intensidades máximas en 15 minutos. Por ende, cualquier modelo hidrológico que descarte este comportamiento introduce un error importante en la simulación. Adicionalmente, la variabilidad espacio-temporal de la precipitación mostrada hace complicada la calibración de este tipo de modelos, aspecto que ha sido reportado por Rodríguez et al. (2008). La aplicación de tres diferentes métodos de interpolación con variados niveles de complejidad (inverso de la distancia, interpolación polinomial y kriging) ha permitido concluir que, para el evento analizado, las mejoras en la interpolación por efecto de incrementos en la complejidad del método utilizado no son significativas para el caso estudiado, y que un método como el inverso de la distancia proporciona resultados que, haciendo aparte los problemas de ojos de tormenta, se comparan razonablemente bien con un método mucho más complejo como el de kriging. Debe resaltarse que los resultados obtenidos y aquí reportados

tuto de Genética

N

150 

e Hidraúlica

Leyenda Int. 15 min, tendencias NW-SE

Int. máx (mm/h) 17,2 - 19,8 19,8 - 21,7 21,7 - 23,0 23,0 - 24,0 24,0 - 24,7 24,7 - 25,2 25,2 - 25,9 25,9- 26,9 26,9 - 28,2 28,2 - 30,1 Pluviógrafo dual

lla

0

95

190

380

570

760 metros

Figura 17. Interpolación mediante kriging de las intensidades máximas en 15 minutos registradas para el aguacero seleccionado.

se consideran iniciales, pues están limitados al análisis de un solo evento de precipitación y a una sola cuenca con un área de 1,2 km2. Los resultados iniciales incluidos en este artículo muestran que las aplicaciones de hidrología urbana en pequeñas microcuencas requieren resoluciones espaciales y temporales para la precipitación que las redes de medición del IDEAM y de la EAAB, para el caso de Bogotá, no tienen. En este sentido, es evidente la necesidad de densificar este tipo de redes a nivel urbano, para propósitos no solo de mejoramiento de los diseños, sino para la planificación y manejo en tiempo casi-real del sistema de drenaje. Sin embargo, este tipo de redes son costosas de mantener y, en este sentido, se resalta la importancia de complementar las redes existentes en la ciudad con un sistema de radar para la medición de la precipitación.

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Agradecimientos El autor agradece a la Vicerrectoría de Investigación de la Universidad Nacional de Colombia, por la financiación otorgada para la ejecución de este proyecto. Igualmente, agradece al Grupo de Materiales Semiconductores y Energía Solar del Departamento de Física de la misma universidad, por suministrar los datos de temperatura y velocidad del viento de la estación ubicada en el edificio de Física, y al IDEAM, por suministrar los datos mensuales de precipitación de la estación Universidad Nacional. Finalmente, pero no menos importante, está el reconocimiento al apoyo de varios estudiantes del pregrado en Ingeniería Civil, quienes de forma desinteresada han contribuido generosamente al desarrollo del proyecto.

N

N

Análisis de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en una microcuenca urbana, Bogotá, Colombia

Leyenda

Leyenda

Intervalo 2 kriging Intensidad mm/h

Intervalo 3 kriging Intensidad mm/h

Filled contours

Filled contours

0,8 - 1,4 1,4 - 2,3 2,3 - 3,4 3,4 - 4,8 4,8 - 6,7 6,7 - 9,1 9,1 - 12,3 12,3 - 16,5 16,5 - 22,0 22,0 - 26,2 Pluviógrafo dual

95

190

380

570

760 metros

N

Leyenda

Leyenda

Intervalo 4 kriging Intensidad mm/h

Intervalo 7 kriging Intensidad mm/h

Filled contours

Filled contours

0,7 - 0,9 0,9 - 1,0 1,0 - 1,0 1,0 - 1,0 1,0 - 1,2 1,2 - 1,6 1,6 - 2,5 2,5 - 4,7 4,7 - 10,2 10,2 - 23,4 Pluviógrafo dual

95

190

380

570

760 metros

0,34 - 0,45 0,45 - 0,51 0,51 - 0,54 0,54 - 0,60 0,60 - 0,71 0,71 - 0,92 0,92 - 1,32 1,32 - 2,10 2,10 - 3,60 3,60 - 6,48 Pluviógrafo dual

95

190

380

570

760

0

95

190

380

570

760 metros

metros

N

N

0

Leyenda

Leyenda

Intervalo 9 kriging Intensidad mm/h

Intervalo 8 kriging Intensidad mm/h

Filled contours 0,34 - 1,29 1,29 - 2,21 2,21 - 3,10 3,10 - 3,97 3,97 - 4,81 4,81 - 5,63 5,63 - 6,47 6,47 - 7,34 7,34 - 8,23 8,23 - 9,15 Pluviógrafo dual

0

N

0

7,1 - 8,1 8,1 - 10,1 10,1 - 14,1 14,1 - 22,1 22,1 - 26,1 26,1 - 28,2 28,2 - 29,2 29,2 - 29,7 29,7 - 30,0 30,0 - 30,1 Pluviógrafo dual

Filled contours

0

95

190

380

570

760

metros

3,97 - 5,08 5,08 - 6,32 6,32 - 7,73 7,73 - 9,31 9,31 - 11,1 1,11 - 13,1 13,1 - 15,4 15,4 - 17,9 17,9 - 20,8 20,8 - 24 Pluviógrafo dual

0

95

190

380

570

760

metros

Figura 18a. Secuencia de interpolación con kriging de intensidades a intervalos de 15 minutos para los intervalos 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 del aguacero seleccionado.

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151 

N

N

Erasmo Alfredo Rodríguez Sandoval

Leyenda

Leyenda Intervalo 10 kriging Intensidad mm/h

Intervalo 11 kriging Intensidad mm/h

Filled contours

Filled contours

8,11 - 8,90 8,90 - 9,54 9,54 - 10,06 10,06- 10,48 10,48 - 10,83 10,83 - 11,25 11,25 - 11,77 11,77 - 12,41 12,41 - 13,20 13,20 - 14,17 Pluviógrafo dual

0

95

190

380

570

760

95

190

380

570

760

metros

7,00 - 7,73 7,73 - 8,04 8,04 - 8,17 8,17 - 8,23 8,23 - 8,25 8,25 - 8,31 8,31 - 8,44 8,44 - 8,75 8,75 - 9,48 9,48 - 11,22 Pluviógrafo dual

0

95

190

380

570

760 metros

N

152 

Leyenda Intervalo 12 kriging Intensidad mm/h

Filled contours 1,38 - 1,47 1,47 - 1,61 1,61 - 1,83 1,83 - 2,19 2,19 - 2,77 2,77 - 3,69 3,69 - 5,18 5,18 - 6,11 6,11 - 6,69 6,69 - 7,05 Pluviógrafo dual

0

metros

Figura 18b. Secuencia de interpolación con kriging de intensidades a intervalos de 15 minutos para los intervalos 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 del aguacero seleccionado. Erasmo Rodríguez Sandoval Es Ingeniero Civil de la Universidad de los Andes, hizo estudios de Especialización y Maestría en Recursos Hidráulicos en el ITC, Holanda (1992-1994), de Especialización en Manejo Integrado del Medio Ambiente, Universidad de los Andes (1996). Es Ph.D. en Ingeniería Civil de la University of Waterloo, Canadá (2005). Profesor Asistente. Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. Integrante del Grupo de Investigación en Ingeniería de los Recursos Hídricos (GIREH). Luis A. Camacho B. Profesor Asociado. Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. Integrante del Grupo de Investigación en Ingeniería de los Recursos Hídricos (GIREH). Contacto: [email protected] Jacobo Villarreal P., Alejandro Jiménez, Ana Carolina Santos R. y María del Pilar Duarte B. Ingenieros civiles. Estudiantes del programa de Maestría en Recursos Hidráulicos de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá. Integrantes del Grupo de Investigación en Ingeniería de los Recursos Hídricos (GIREH).

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Análisis de la variabilidad espacio-temporal de la precipitación en una microcuenca urbana, Bogotá, Colombia

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XVIII International Conference on Water Resources CMWR 2010 J. Carrera (Ed) © CIMNE, Barcelona, 2010

REGIONAL PARAMETERIZATIONS OF STOCHASTIC MODEL SIMULATION ON HIGH RESOLUTION TEMPORAL RAINFALL: CASE STUDY BOGOTÁ (COLOMBIA)

Hugo Rico T. *, Ana Santos R. †, Eddy Herrera D. ††, Nelson Obregón N. †††

* Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia E-mail: [email protected] †Universidad Nacional de Colombia, Bogotá D.C. Colombia. E-mail: [email protected] ††Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá D.C. Colombia, E-mail: [email protected] ††† Javeriana University Geophysical Institute. Pontificia Universidad Javeriana E-mail: [email protected]

Key words: Rainfall, Neyman-Scott model, Parameter estimation, Regionalization of parameters 1

INTRODUCTION

It happens frequently that in a region one cannot count on rainfall records in a continuous way, neither spatially nor timely. Different time scale resolutions are of great need in studies of floods, reservoir design, rainfall sewage systems and rainfall runoff modeling. Especially institutions in charge of precipitation measurement are not distributed in a uniform way, which suggests that to obtain precipitation values or parameters associated to this phenomenon, it is necessary to turn to a spatial interpolation model to regionalize the above mentioned parameters and this way esteem a value in a place for which no records exist. In order to approximate the precipitation values for scales larger than on a daily basis, it is common to use stochastic models. In literature, two punctual models of temporal disaggregation of rainfall data are acknowledged: the model of Barlett-Lewis and the one of Neyman-Scott. The model of Neyman Scott is not a physical model; it is a statistical model that is also known as the composed model of Neyman Scott, in which each process in the generation of synthetic rainfall is generated with a different probabilistic structure. 1

Hugo Rico T., Ana Santos R., Eddy Herrera D. and Nelson Obregón N.

In the present investigation, the second one was used. This model is composed of a series of parameters that allow generating synthetic series of precipitation at different timely resolutions. The model of Neyman-Scott is conceived for punctual analysis, so it is proposed to study the parameters’ spatial variation from the precipitation records of 20 rain gauges located in the city of Bogotá, Colombia. First, an optimization process for estimating the parameters in each station was carried out, using the Levenberg-Marquardt method as a search algorithm. Afterwards, the parameter regionalization was conducted, with the purpose of finding evidence of spatial variation and to verify if a relation with factors like orography or timely resolution exists.

2

CASE STUDY

The city of Bogotá is located in South America, in the center of Colombia, in the oriental chain of the Andes Mountains. Its location is given by the coordinates of 4° 35' 53" North and 74° 4' 33" West, at an altitude of 2630 meters above sea level. Bogotá has a total area of 1,776 square kilometers (see Figure 1). The rainfall season is characterized by two periods, being the rainy seasons, the periods between April and May, and from September to November. The average temperature is about 13°C, ranging from 7 to 18°C.

Sources of information This project used the data of 20 rain gauges operated by the Institute of Hydrology, Meteorology and Environmental Studies (Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales, IDEAM) and the city’s Institution in charge of the Aqueduct and Sewage System (Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá, EAAB). The available gauges are located concentrated within the urban area of the city of Bogotá, although coverage on a rural level also exists. The time period of the project is the first rainy season of May, 1995. Due to the fact that there are no precipitation records for some years, only a scale of aggregation of an hour could be used to show the benefits of this methodology. In this case, only an hourly scale was used, but still work was continued with different levels of aggregation (3 hours, 6 hours, 12 hours, 1 day) to try to find the best results. This is interesting, since in the city of Bogotá the spatial variability of rainfall is high.

2

Hugo Rico T., Ana Santos R., Eddy Herrera D. and Nelson Obregón N.

Figure 1: Localization of the project area

. 3

RAINFALL MODEL

Definition of the Neyman-Scott model The stochastic simulation is a pulse model [1] and [2]. The Neyman-Scott model is described by three stochastic processes, which are all independent: 1. A process that defines the origin of the storms. 2. A process that determines the number of rain cells generated in each storm. 3. A process that defines the origin of the cells. The model considers that the beginning of each pulse does not coincide with the origin of the rainfall, apart from the origin of each pulse being independent from the existence of another pulse within the 3

Hugo Rico T., Ana Santos R., Eddy Herrera D. and Nelson Obregón N.

same event, because of which a superposition of pulses can exist. Since it is a stochastic model, it is important to have in consideration that various “realizations” with different seeds have to be carried out. The Neyman-Scott model is composed of five density function f, each one being associated to a parameter (Table 1):

Process Parameter Distribution Rate of storm origin arrival Poisson  Mean number of cells in each storm Geometric c Mean intensity of the pulse Exponential x Mean waiting time for the rain cells after the storm origin Exponential  Mean cell duration Exponential  Table 1: Parameters of the Neyman-Scott model

Since the precipitation data are normally measured in discrete time intervals, it was considered the total accumulated precipitation in disjoint time intervals in fixed time scales h. That means Yi ( h )  

ih

( i 1) h

Y  d

(1)

The expressions that describe the model are expressed through the theatrical second-order properties [3]:

 

E Yi ( h ) 

 

 c  x h 

Var Yi ( h ) 

2

3

(2)

h  1  e   2  h





 2 h  1  e





Cov Yi ( h ) , Yi( hk) 

2

3

 h



 2 1  e h



 2  x2  c  c  1    2  2 

 x2  c  c  1   2  2  2 

  2  x2 c c  1     c  x2  2  2   2   2    k 1h  2    1 e  x2 c 2c 2 2   

1  e  e h 2

c

2 x



  k 1h









4

(3)

(4)

Hugo Rico T., Ana Santos R., Eddy Herrera D. and Nelson Obregón N.

Obtaining and optimizing the parameters The method of moments [1], [4], [5] and [6] is one of the most frequently used one in solving this kind of problem, the search and estimation process of the five parameters of the model for different temporal resolutions h is supported by the conservation of statistical properties. In this case, the five first moments of the timely series of observations were determined and associated with the theoretical moments of the Neyman-Scott model, which is shown in equation (2,3 and 4), for each station. The objective of the estimation of the parameters is to determine a set of parameters that meets the conditions (2), (3) and (4) and minimize the error function given in (5).  M  ,  c ,  x ,  ,    1  i Mˆ i i 1  p

   

2

p5

(5)

To find the parameters, Levenberg- Marquardt’s algorithm to resolve linear systems was used, a method based on Newton’s method [7], which optimizes an object function being subject to constraints. This method has been used in different investigations and good results have been obtained [8], which is characterized by the method’s rapidity, which show convergence at 1000 iterations in a couple of seconds (6 seconds on average). While a different objective function could have been used, literature refers to this objective function, which gives good results and quick convergence for the parameters that are to be calibrated [8]. This objective function is sensible respecting the seed value, because of which the inadequate selection of input variables can produce better results. This is why this work seeks to find the initial seed based on different works previously conducted in this topic [3] and [4]. The variation of simulated parameters in this investigation coincides with the results in other investigations, as is shown in Table 2.

Maximum Mean Minimal

 [hˉ¹]

 [hˉ¹]

0,13172 0,05527526 0,01723

1,93119 1,8235495 1,71236

 [hˉ¹] 1,76218 1,598633 1,27779

c

x [mm·hˉ¹]

163,13353 39,911237 1,84417

1,24822 0,2857265 0,01456

Table 2: Range with which the parameters differ in the simulation

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Hugo Rico T., Ana Santos R., Eddy Herrera D. and Nelson Obregón N.

Table 4 shows parameters variation in each of 20 stations of the area of interest Rain gauge PLANTA WIESNER SOCHA ARRAYAN SAN FRANCISCO EL DELIRIO EL HATO LA REGADERA TAQUES LOS LA CONEJERA USAQUEN SANTA ANA SERREZUELA VENADO ORO VIVERO EL GRANIZO LA CARO ESC COL INGENIERIA UNIV NACIONAL CAMAVIEJA BOSA BARRENO No 2 SANTA LUCIA QUIBA LAS HUERTAS

 [hˉ¹]

 [hˉ¹]

 [hˉ¹]

c

x [mm·hˉ¹]

0,03789 0,07701 0,13172 0,10996 0,07740 0,06033 0,12774 0,02899 0,02437 0,03394 0,03200 0,01723 0,03105 0,02968 0,04509 0,03775 0,03548 0,04127 0,08191 0,02731

1,81357 1,72569 1,89434 1,71236 1,92780 1,93119 1,78379 1,83763 1,80754 1,83348 1,82466 1,78281 1,84073 1,87353 1,84129 1,90089 1,80562 1,80111 1,76494 1,76802

1,68820 1,60217 1,76218 1,43654 1,63650 1,60858 1,43933 1,71935 1,63480 1,59924 1,61305 1,68012 1,60714 1,65463 1,63587 1,69827 1,56070 1,59355 1,52465 1,27779

30,94994 28,77420 1,84417 92,42760 61,94869 10,36994 141,56981 11,95864 10,06140 10,96835 10,44186 10,02581 11,06652 10,01687 12,08802 13,98053 145,73562 11,50410 163,13353 9,35914

0,15665 0,11425 1,24822 0,02296 0,06301 0,47698 0,01846 0,37064 0,32064 0,26980 0,30010 0,35151 0,28364 0,42053 0,30903 0,37705 0,01621 0,20443 0,01456 0,37586

Table 3: Variation of the statistical parameters of the probability function used in the experiment. Aggregation scale 1 hour. Month May 1995

Simulations and synthetic series With the results about parameters synthetic series were generated for each station. Figure 3 shows comparison between observed series and simulated series for the Venado de Oro station. Figure 4 shows comparisons between moments in observed series and synthetic series. In a time scale of 1 hour, which was the one that was analyzed, it was found that the parameters found by the inverse model, adjust to the moments of the time series, except in the forth moment (second coefficient of the autocorrelation function), where the moments were overestimated, as can be observed in Figure 2. 6

Hugo Rico T., Ana Santos R., Eddy Herrera D. and Nelson Obregón N.

The error variation is compared using three performance criteria for the simulations. RMSE, which represents the mean squared error, is a simple summing measurement of the residuary, which results in a good performance approximation for the model. In this case, an approximation close to zero indicates a good performance, which is the case in the mean, the second and third coefficient of the autocorrelation function. In the mean and the first moment of the autocorrelation function, the model does not yield good results. The MSRE is a method that is very sensitive to big errors, which indicated the relative error, and like in the previous case the variance and the first coefficient of the autocorrelation function are not similar to the observed data. Finally, the Pearson product moment correlation coefficient is used, in which, like the previous cases, the values close to zero indicate a good performance and those close to one a bad estimation, and describe the proportion of the statistical variance of the set of observed data.

Figure 2: Dispersion diagram for the observed and simulated moments with the Neyman-Scott model for the 20 rain gauges used in the experiment at a temporal resolution of an hour.

With the results about parameters synthetic series were generated for each station. Figure 3 shows comparison between observed series and simulated series for the Venado de Oro station. This figure presents one of the many simulation types that were carried out, which because of spatial limitations cannot be included in the report. For this example it can be noted that the model can simulate the texture of the observed series.

Figure 3: Comparison of stochastic simulation of synthetic series of precipitation from the model of Neyman-Scott and observed seires for the raingauge “VENADO ORO VIV

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Hugo Rico T., Ana Santos R., Eddy Herrera D. and Nelson Obregón N.

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Autocorrelation Autocorrelation Autocorrelation values for time values for time values for time lag-1 [-] lag-2 [-] lag-3 [-] Obs. Obs. Obs. Obs. Obs. Sim. Sim. Sim. Sim. Sim. 0,1209 0,1013 1,0371 1,2755 0,5473 0,6351 0,1145 0,1320 0,0223 0,0307

2

0,1530 0,1467 1,1546 1,2026 0,6277 0,6972 0,1784 0,1712 0,0472 0,0513

3

0,1360 0,1601 0,6115 0,5360 0,5298 0,5607 0,1205 0,1596 0,1023 0,0870

4

0,1448 0,1363 0,3887 0,3282 0,6746 0,8515 0,3770 0,3168 0,1892 0,1728

5

0,1840 0,1567 0,6660 0,8403 0,5005 0,5631 0,1094 0,1334 0,0380 0,0457

6

0,1950 0,1545 0,7302 1,0036 0,3667 0,4875 0,0901 0,1136 0,0233 0,0353

7

0,2132 0,1871 0,4498 0,5250 0,5757 0,7019 0,2430 0,2394 0,1274 0,1195

8

0,0825 0,0699 0,6051 0,8149 0,4559 0,6257 0,0500 0,1271 0,0017 0,0308

9

0,0574 0,0435 0,1406 0,2605 0,3947 0,6332 0,0726 0,1554 0,0433 0,0541

10

0,0708 0,0548 0,1599 0,2361 0,4057 0,6273 0,0985 0,1695 0,0755 0,0699

11

0,0723 0,0550 0,1754 0,2739 0,3825 0,6203 0,1124 0,1601 0,0450 0,0611

12

0,0436 0,0341 0,2084 0,3401 0,3859 0,6676 0,0629 0,1468 0,0171 0,0399

13

0,0702 0,0529 0,1299 0,2468 0,3216 0,6109 0,0659 0,1599 0,0602 0,0628

14

0,0856 0,0667 0,2752 0,4622 0,1807 0,5569 0,0291 0,1264 0,0182 0,0388

15

0,1153 0,0915 0,3766 0,5796 0,4879 0,5918 0,1153 0,1405 0,0282 0,0460

16

0,1342 0,1047 0,5933 0,9950 0,3741 0,5507 0,0622 0,1134 0,0069 0,0288

17

0,0605 0,0464 0,0894 0,1453 0,4799 0,7574 0,2088 0,2319 0,0808 0,1119

18

0,0638 0,0539 0,1449 0,1857 0,6581 0,7287 0,2561 0,2159 0,0742 0,1024

19

0,1239 0,1103 0,3117 0,3546 0,5867 0,7624 0,2711 0,2407 0,1015 0,1152

Rain gauge

Mean [mm]

Variance [mm²]

20 0,0653 0,0543 0,1657 0,1861 0,1582 0,5028 0,1588 0,1848 0,1117 0,0875 Table 4: Variation of the synthetic series’ precipitation statistics in different time scales for the city of Bogotá during a period between 01-05-1995 and 31-05-1995

4

Regionalization of the parameters

Applying Inverse distance weighting method (IDW), parameters regionalization was done. (See Figure 4). In this case the parameters were interpolated in places where there was no information. The advantages of this methodology lie in the regionalization of the statistical parameters, in which seems to exist information where there are no stations that measure the rainfall intensity, and the results are similar to those of other methodologies that have been performed in the city of Bogotá, where thunderstorms were regionalized [9]. Although the parametrical sensibility analysis was not executed, the experiment was continued with different time scales, exploring other optimization alternatives.

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Hugo Rico T., Ana Santos R., Eddy Herrera D. and Nelson Obregón N.

Figure 4: Regionalization of the parameters of the Neyman-Scott model for the month of May, 1995.

5

CONCLUSIONS

It was found that the parameters are very sensible at different time scales, which means that the regionalization varies depending on the scale. The seed’s sensibility is great, so it is recommended that a previous analysis be executed to establish more detailed ranges of variation for the parameters. The estimation of the parameters for the Neyman-Scott model requires that the process be examined carefully. In the optimizing process, different solutions for each set of initial points can be found. The contribution of this investigation is based on the functionality of having the parameters of a disaggregation model in a space, which was the product of a modeling experiment, so some considerations can be inferred in the moment of realizing the structural designs or the planning of water resources in cities. An approach of the disaggregation of precipitation is based on the existence of historical records on an hourly time scale with similar characteristics as the place that is being considered. The stochastic models for the disaggregation, based on punctual processes are used and recognized within the 9

Hugo Rico T., Ana Santos R., Eddy Herrera D. and Nelson Obregón N.

hydrological community. It is proposed to investigate the capacity of the Neyman-Scott model as a tool to disaggregate temporally the precipitation, while calibrating the parameters of the model within a twodimensional space, and afterwards regionalize those parameters and verify their values in certain points.

6

REFERENCES

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