ANÁLISIS DE CURVA DE PHILLIPS CON MODELO DE VECTORES AUTOREGRESIVOS EL CASO DE MÉXICO 2005-2016

ANÁLISIS DE CURVA DE PHILLIPS CON MODELO DE VECTORES AUTOREGRESIVOS EL CASO DE MÉXICO 2005-2016

JULIAN TORRES UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

Índice Introducción__________________________________________________________________ 2 Revisión de la literatura_________________________________________________________ 3 Planteamiento de hipótesis______________________________________________________ 4 Marco teórico________________________________________________________________ 4 Metodologia_________________________________________________________________ 10 Descripción de las variables_______________________________________________ 10 Explicación del modelo econométrico_______________________________________ 12 Análisis empírico________________________________________________________15 Conclusiones_________________________________________________________________18 Bibliografía__________________________________________________________________ 19

Introducción Es conocido que el desempleo y la inflación, exógenamente, pueden influir directamente en la economía de un país, pero en un sistema tan interrelacionado como en el que vivimos no podemos decir que las variables son independientes unas de otras, por lo tanto tenemos que encontrar si existen relaciones dinámicas entre estas variables y si estas tienen una causalidad entre sí. La relación entre estas variables con la economía es importante ya que con esto se pueden aplicar políticas monetarias más pertinentes para el equilibrio económico. El gobierno mexicano comúnmente intenta controlar las tasas inflacionarias, pero pone poco énfasis en el control de la tasa de desempleo. Los años de estudio de este documento simplemente se eligieron para hacer un análisis actual de la situación mexicana. En este periodo podemos encontrar situaciones críticas como la crisis global que impacto a México en los años 2007 – 2008 principalmente. Otro cambio importante en estos años fue la variación del tipo de cambio, que ha sufrido un cambio de hasta 80% en este periodo.

Revisión de la literatura Carlos Guerrero, Paulina Osorio y Arianna Tiol en su working paper “Un siglo de la curva de Phillips en México” realizaron la estimación de la curva de Phillips en México para dos periodos, de 1895 a 2000 y de 1978 a 2004, ambas estimaciones parecen favorables a la hipótesis de la curva de Phillips ya que existe una relación inversa entre el desempleo y el nivel de precios. Otro caso es el “inflación y desempleo: ejercicio econométrico para Cali-Colombia, de Elizabeth Aponte y algunos otros economistas de la Universidad Autónoma de Occidente, aplicaron modelos VAR y de cointegración para su trabajo, concluyendo que en el caso de Cali en el periodo de 1979 a 2000 y bajo un modelo sin expectativas no se cumple el concepto de la curva de Phillips. En el análisis de Ricardo Llaudes “The Phillips curve and the long term unemployment” del European Central Bank es diferente a los demás ya que este propone una nueva curva de Phillips con una nueva forma de medir el desempleo y la tasa natural de éste, esto se hace mediante la construcción de un índice de desempleo que asigna diferentes categorías al desempleo en función de su duración. Esta investigación concluye que la duración del desempleo sí importa en la dinámica de la inflación y que el desempleo de largo plazo tiene un papel muy pequeño en la inflación. Además que el papel del desempleo de largo plazo no es uniforme en todos los países de la OCDE, países para los cuales realiza el estudio. Otro de los estudios analizados para el caso mexicano fue el de Willy W. Cortez y Alejandro Islas-Camargo en “NAIRU y política monetaria en México 1987 – 2004”, estos encontraron que las medidas de tasa de desempleo en ese periodo eran muy deficientes, por lo que a través de diferentes procesos y filtros consiguieron una medición alternativa de la tasa de desempleo comparada con estándares internacionales. Además una de sus conclusiones afirma que en México, en ese periodo, la curva de Phillips existe en el corto plazo y por lo tanto, estas variables deben ser consideradas para llevar a cabo la política monetaria mexicana.

Planteamiento de hipótesis Para realizar este análisis partimos de la primicia que las variables tasa de inflación si tiene una relación dinámica y directa con la tasa de desempleo en México para los años 2005-2016. Marco teórico Para comenzar el análisis tenemos que observar la teoría propuesta por William Phillips (1958), donde mostró en uno de sus trabajos, la relación negativa entre tasa de desempleo y los cambios en los salarios nominales para los años de 1861 a 1957 en Gran Bretaña, teoría la cual lo llevo a ganarse la observación de sus contemporáneos, en este trabajo podemos observar que cuando los salarios nominales eran altos, la tasa de desempleo era baja y viceversa. Posteriormente otros dos economistas de Estados Unidos Samuelson y Solow, realizaron el mismo estudio, esta vez para Norteamérica en los años 1900 a 1960, aunque estos realizaron un cambio al trabajo original de la curva de Phillips cambiando los salarios nominales por la tasa de inflación, donde encontraron que efectivamente también existía una relación negativa entre estas dos variables. Esto hizo que se pensara que siempre iba a existir una disyuntiva entre la inflación y la tasa de desempleo y que los países podían elegir distintas combinaciones para lograr un equilibrio económico. Para entender a mayor detalle esta curva de Phillips original podemos comenzar el análisis desde la determinación de salarios y como se fijan estos, así como la determinación de los precios. Matemáticamente lo podemos describir de la siguiente manera: W= Pᵉ F(u,z) Donde el salario nominal W es fijado por los negociadores, depende del nivel esperado de precios, de la tasa de desempleo y de la variable residual, donde se integran todos los demás factores que puedan determinar los salarios (prestaciones por desempleo, hasta el sistema de negociación colectiva).

Los precios se determinan por: P = (1-) W Donde P son los precios,  es el margen del precio sobre el costo (se puede decir que es el margen de ganancia, si los mercados de bienes fueran perfectamente competitivos  sería igual a cero y los precios serian igual al costo W). Si simplificamos las dos ecuaciones en una misma, tenemos: P = Pᵉ (1+) F(u,z) Donde el nivel de precios P, depende del nivel esperado de precios Pe y de la tasa de desempleo y de la variable z que son los determinantes de los salarios. Supongamos que F es una función exponencial F(u, z) = Esta función nos indica que cuanto más alto es la tasa de desempleo más bajo es el salario y cuanto más alto es el valor de z, más alto es el salario. Por tanto sustituyendo tenemos que: P = Pᵉ (1+) Ahora aplicando logaritmos a la función Log P = logPᵉ + log(1+) –u + z Restando logP-1 de ambos miembros log P – logP-1 = log Pᵉ – logP-1 + log (1+) –u + z Podemos expresar la función finalmente de esta forma   ᵉ + (   z) – u Donde = log P – logP-1, ᵉ = logPᵉ – logP-1

Esta ecuación nos indica: 

Un aumento en la inflación esperada, provoca un aumento en la inflación



Dada la inflación esperada, un aumento en el margen de precios, o de los factores que determinan los salarios z, provocan un aumento en la inflación.



Dada la inflación esperada, un aumento de la tasa de desempleo, provoca una disminución de la inflación.

Para concluir con la ecuación de la que partiremos vamos a concluir que , se refiere a la tasa de inflación en el tiempo t, ᵉ es la tasa de inflación esperada en el tiempo t y ut es el desempleo en el ano t respectivamente, para objetivos de análisis vamos a tomar las variables  y z como constantes. t  ᵉ t +(   z) – ut En el periodo de Phillips, Samuelson y Solow, la tasa media de inflación fue por un largo periodo cero, esto nos lleva a la cuestión ¿Cómo se elegirán los salarios nominales para el próximo año los encargados de elegirlos? Es muy probable que la tasa de inflación sea cero para el próximo año, por tanto las expectativas no sufrían cambio alguno, lo cual llevaba a que siguiera existiendo esa relación negativa entre las variables. Suponiendo que ᵉ = 0 entonces: t  (   z) – ut Esta es la que llamamos curva de Phillips original, esta relación entre las variables se explica fácilmente: Una reducción del desempleo provoca una subida de los salarios nominales, cuando sube el salario nominal, las empresas suben sus precios y obviamente el nivel de precios aumenta, en respuesta al aumento del nivel de precios, los trabajadores negocian salarios más altos lo que lleva a las empresas a subir de nuevo sus precios, y así tenemos una continua inflación de salarios y precios. ut  Wt  Pt  P -P t-1/Pt-1 t

Curva de Phillips con expectativas Aunque en este análisis no se van a tomar en cuenta las expectativas creo que es necesario explicar de manera efímera en que consiste, ya que es una variable en la ecuación que puede llegar a impactar significativamente. A de partir de los años de 1970 la relación negativa entre la inflación y el desempleo comenzó a cambiar, se comenzó a observar que no existía realmente una relación entre estas variables todo el tiempo. Esto se dio, en Estados Unidos al menos, según Branson William (1972) primeramente por el estímulo excesivo de la guerra de Vietnam, una serie de malas cosechas a principios de los setenta y además en esta década con el aumento excesivo de los precios del petróleo se dio la llamada crisis del petróleo en 1973. Esto ocasiono que aumentara el margen de precios , y como se puede observar en la ecuación si  aumenta entonces la inflación aumenta. Además de esto se dio porque los encargados de fijar los salarios y negociarlos modificaron sus expectativas respecto a la inflación. O sea, cuando la inflación comienza a crecer año tras año, lo más probable es que las expectativas de los negociadores de salarios es que la inflación para el próximo año vaya a aumentar nuevamente. Supongamos que las expectativas se forman de ᵉ t = t-1 El valor de  indica la influencia del valor de la tasa de inflación del año pasado en la tasa esperada este año, o sea cuanto más alto  más lleva la inflación del año pasado a los trabajadores a revisar las expectativas de la inflación de este año. Sustituyendo, obtenemos: t  t-1 +(   z) – ut

Si observamos detenidamente, cuando  es igual a 0 obtenemos la curva de Phillips en su forma original Cuando  es positivo pero mayor a 1, la tasa de inflación depende no solo de la tasa de desempleo u, sino también de la tasa de inflación del año anterior. Cuando el valor de  es igual a 1, la relación se convierte en: t  t-1  (  z) - ut

(1)

Esta ecuación es la que podemos llamar curva de Phillips con expectativas. A continuación la detallaremos más detenidamente. La tasa natural de desempleo es la tasa de desempleo con la que el nivel efectivo de precios es igual al esperado, o sea, donde la tasa actual de inflación es igual a la esperada. La curva de Phillips no veía ésta, ya que se pensaba que al mantener una inflación más alta solo tendrían que soportar una tasa de desempleo muy baja. Milton Friedman y Edmund Phelps fueron unos de los principales críticos de la curva de Phillips original. Ellos afirmaban que esta relación se daba, solo si los negociadores de los salarios pronosticaban que iba a haber una inflación inferior a la actual. También afirmaban que la tasa de desempleo no podía estar por debajo del nivel de la tasa natural de desempleo un, aunque el gobierno intentase aceptar una tasa de desempleo muy baja a costa de una inflación muy alta. Como siempre se va a contar con una tasa natural de desempleo (un), y cuando esta existe la inflación es igual a la inflación esperada, podemos modificar la ecuación de la siguiente forma: t  t-1  (  z) - u Despejando la ecuación, tenemos que: 0 = (  z) -  un un =   z/

Esta ecuación despejada de la tasa natural de desempleo nos indica que cuanto más alto sea el margen de precios o los factores que afectan al salario, más alta será la tasa natural de desempleo. Si sustituimos en la ecuación (1)

t  ᵉ t  -  [ut –(  z/)] t  ᵉ t  -  (ut – un) Como la tasa de inflación del año pasado es muy representativo de la tasa esperada de inflación, la ecuación se convierte en:

t   t-1  -  (ut – un) Esta ecuación nos muestra otra forma de ver la curva de Phillips, nos indica que la variación de la tasa de inflación depende directamente de la diferencia entre la tasa de desempleo y la tasa natural de desempleo. Esto nos lleva a concluir que si: ut < un  t >  t-1 ut > un  t <  t-1 Para reforzar el análisis veremos que la NAIRU (Non-Accelerating Inflation Rate Unemployment) es la tasa de desempleo que es consistente con una tasa de inflación constante. En la NAIRU están en equilibrio las fuerzas ascendentes y descendentes sobre la inflación de precios y salarios, de modo que no hay tendencia a que la inflación cambie. La NAIRU es la curva de desempleo a la cual la curva de Phillips es vertical. Samuelson (p.355) En otras palabras la NAIRU es equivalente a la tasa natural de desempleo en el largo plazo. Digamos que el desempleo está en NAIRU y hay una tasa de inflación en un periodo 1, a continuación hay una expansión económica que reduce la tasa de desempleo. Bajando el desempleo, las empresas reclutan más mano de obra e incrementan los salarios. Comienzan a subir los precios y los salarios nominales. Esto implicaría una disminución en tasa de desempleo pero aumento en inflación. Cuando la inflación ha subido, toma por sorpresa a empresas y

trabajadores lo que hace que tengan otras expectativas inflacionarias y comienzan a incorporar la mayor inflación esperada en sus decisiones de precios y salarios. Lo que hace que la curva de Phillips se desplace y quede por encima de la curva de Phillips original reflejando una mayor tasa de inflación y una misma tasa de desempleo. Samuelson (p.356) Podemos concluir entonces que cualquiera de las dos curvas de Phillips nos proponen que siempre va a existir una relación entre la inflación y el desempleo en el corto plazo. Sin embargo la segunda nos dice que en el largo plazo puede variar estos resultados.

Metodología Para este análisis se tomara la ecuación original de la curva de Phillips, esto es, una de curva sin expectativas:

 t  -  (u t – un)

Donde la tasa de inflación es igual a un coeficiente que multiplica la variación de la tasa de desempleo. Para observar las interacciones simultáneas que existen entre estas variables vamos a utilizar un modelo de vectores autoregresivos, el ya conocido VAR. Descripción de bases de datos Definición de variables El presente análisis se hizo con un total de 4 variables y se tomó el periodo mensual de 2005 al 2016 por lo que nuestra muestra es de 139 observaciones. Inflación (infanua): Para la tasa de inflación se tomó la inflación general mensual proporcionada por el Instituto Nacional de Geografía y Estadística (INEGI), la cual es una tasa que se estima a través del Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC).

Tasa de desempleo (u): Esta tasa fue proporcionada por el INEGI gracias a la Encuesta Nacional de Ocupación y Empleo (ENOE). La tasa de desocupación es el número de desocupados por cada 100 económicamente activos. TD = (Desocupados/PEA)*100, donde la PEA es igual a ocupados más desocupados. Tasa natural de desempleo (un): Para conseguir la tasa natural de desempleo se tomó la diferencia entre el componente cíclico de la tasa de desempleo (aplicando el filtro Hodrick-Prescott) y la tasa de desempleo. Δu-un (u_un): Para cuestiones de análisis, se aplicó el filtro Hodrick-Prescott a la tasa de desempleo, dejando solo el componente cíclico como la diferencia entre la tasa natural de desempleo (un) y la tasa de desempleo (u).

A continuación podemos analizar las gráficas desde las cuales va a partir nuestro

-2

0

2

4

6

análisis.

2004m1

2006m1

2008m1

2010m1

2012m1

2014m1

date Du_un Un

u

2016m1

2018m1

Esta grafica nos muestra las relaciones del desempleo que manejaremos. Realmente como la función de la curva de Phillips nos lo indica, para cuestiones de análisis solo utilizaremos la variable Δu_un (en color rojo) que es la diferencia entre la tasa natural de desempleo y la tasa de desempleo. En la siguiente grafica podemos ver la relación que existe entre la tasa de inflación y la tasa de

-1

-.5

0

.5

1

1.5

desempleo

2004m1

2006m1

2008m1

2010m1

2012m1

2014m1

2016m1

2018m1

date infmens

Du_un

A simple vista se puede observar que en la mayoría de los periodos, estas variables si tienen una relación negativa, aunque no en todos. Explicación del modelo econométrico Análisis empírico Para realizar el análisis, utilizaremos un modelo de vectores autoregresivos (VAR), el cual consta de diferentes pasos, los cuales iremos analizando punto a punto.

Estacionariedad Todas las variables incluidas en el VAR requieren ser estacionarias, para esto es necesario realizar una prueba de raíz unitaria a cada una de las variables. Utilizamos dos métodos para realizar esta prueba: La Dickey-Fuller aumentada y la de Phillips – Perron, los resultados fueron los siguientes:

Variable

Estadístico

u_un infmens

-5.85 -6.657

Augmented Dickey Fuller Test P. Crítico Rezagos 1% 5% 10% -3.497 -2.887 -2.577 0 -3.497 -2.887 -2.577 0

Z(rho) Z(t) Z(rho) Z(t)

Phillips Perron Test Punto Crítico 1% 5% 10% -19.93 -13.778 -11.052 -3.497 -2.887 -2.577 -19.93 -13.778 -11.052 -3.497 -2.887 -2.577

Variable u_un infmens

Estadístico -52.362 -5.778 -67.121 -6.642

N

p-value

Conclusión

139 139

0 0

Estacionaria Estacionaria

N

p-value

Conclusión

139

0

Estacionaria

139

0

Estacionaria

Estos resultados evidencian que las variables producción (u_un) e inflación (infmens) no contienen raíz unitaria en ninguna de las dos pruebas (Augmented Dickey Fuller y Phillips Perron), por lo tanto podemos desarrollar el modelo VAR sin ningún problema.

Selección de rezagos. En los modelos VAR también es necesario conocer el número de rezagos apropiados para realizar el modelo. Se decidió usar ocho rezagos para esta prueba. Para ello usamos la Prueba de Akaike (AIC), Schwarz (SBIC) y Hannan-Quinn (HQIC). Con el criterio de Akaike y HannanQuinn, resulta que el número de rezagos es ocho, pero usando el criterio de Schwarz el número de rezagos es 7. Sin embargo, por mayoría vamos a utilizar el de ocho rezagos. Sample:

2005m9 - 2016m8

lag

LL

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-133.051 -80.3243 -75.5905 -63.8014 -52.8138 -40.2111 -16.7579 -2.97624 4.8727

LR

Number of obs df

105.45 9.4675 23.578 21.975 25.205 46.906 27.563 15.698*

4 4 4 4 4 4 4 4

p

0.000 0.050 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003

FPE .026529 .012679 .01254 .011145 .010028 .008805 .006561 .005661 .005345*

AIC 2.04623 1.30794 1.29683 1.17881 1.07294 .942592 .647847 .49964 .441323*

HQIC 2.06398 1.36119 1.38557 1.30305 1.23268 1.13783 .878585 .765876 .743057*

=

132 SBIC 2.08991 1.43898 1.51522 1.48456 1.46604 1.42306 1.21567 1.15482* 1.18386

Especificación del modelo econométrico u_unt = .0307007 + .5152869u_unt-1 + .0502491u_unt-2 + .2421592u_unt-3 -.1738596u_unt-4 + .107332u_unt-5 + .396782u_unt-6 - .2021753u_unt-7 - .2289375u_unt-8 - .258101infmenst-1 + .122423infmenst-2 -.061975infmenst-3 -.1907556infmenst-4 -.0230989infmenst-5 + .2111738infmenst-6 +.2460271infmenst-7 -.1706398infmenst-8 + u1 t infmenst = .3825993 -.0615051u_unt-1 + .2911569u_unt-2 -.378467 u_unt-3 +.1235263 u_unt-4 +.2345709u_unt-5 -.0554469u_unt-6 -.0722997u_unt-7 -.1865497u_unt-8 + .4386455infmenst-1 .0758092infmenst-2 -.0827967infmenst-3 -.0466542infmenst-4 -.1225675infmenst-5 -.3054055infmenst-6 + .0586092infmenst-7 -.0432176infmenst-8 + u1 t

Autocorrelación de los residuos Implementando un multiplicador de Lagrange para hacer la prueba de autocorrelación de los residuos, podemos aceptar la hipótesis nula que nos dice que no hay autocorrelación en el orden de los rezagos. . varlmar, mlag(3) Lagrange-multiplier test lag

chi2

df

1 2 3

2.6185 7.3058 3.4566

4 4 4

Prob > chi2 0.62354 0.12058 0.48451

H0: no autocorrelation at lag order

Prueba de normalidad En este ejemplo, ni los estadísticos de Jarque-Bera ni los estadísticos de las otras pruebas de normalidad, hacen que rechacemos la hipótesis nula de normalidad de los errores.

Variable u_un infmens Variable u_un infmens Variable u_un infmens

Jarque-Bera Chi2 1.876 2.548 Skewness Skewness Chi2 0.29106 1.864 0.32338 2.301 Kurtosis Kurtosis Chi2 2.9529 0.012 3.2119 0.247

df 2 2.548

Prob>chi2 0.39141 0.27978

df 1 1

Prob>chi2 0.17219 0.12933

df 1 1

Prob>chi2 0.91206 0.61924

Test de causalidad Granger Para saber que variable causa a la otra, podemos usar el test de Granger. Podemos observar que la inflacion no causa en el sentido de Granger al desempleo al igual que el desempleo no causa en el sentido de Granger a la inflacion.

Hipótesis nula infmens no casua a lo Granger a u_u u_un no causa a lo Granger a infmens

Prob > chi2 0 0

Estabilidad del modelo El modelo VAR satisface la condición del modelo, ya que todos los modulos están debajo de 1, además todos las raíces están dentro de la unidad del círculo, esto nos demuestra la estabilidad del modelo. La interpretación del modelo VAR requiere que las variables tengan covarianza estacionaria. Las variables en inflación y desempleo son covarianza estacionaria si sus dos primeros momentos existen y son independientes del tiempo. Sin embargo, la interpretación de los modelos VAR requiere que se cumpla una condición de estabilidad. Si un VAR es estable, es invertible y tiene un vector de orden infinito de media móvil. Si el VAR es estable, las funciones de impulso-respuesta y las descomposiciones de la varianza del pronóstico-error serán interpretaciones conocidas. (Hamilton, J. D. 1994) . varstable

Roots of the companion matrix 1

Eigenvalue stability condition

.4308227i .4308227i

All the eigenvalues lie inside the unit circle. VAR satisfies stability condition.

.5

+ -

.97008 .97008 .952351 .952351 .920875 .920875 .903969 .903969 .902955 .902955 .861721 .861721 .690288 .52652 .52652 .320161

0

.5015311i .5015311i .8253647i .8253647i .7969395i .7969395i .152302i .152302i .9027322i .9027322i .3430212i .3430212i

-.5

+ + + + + + -

-1

.8303744 .8303744 .4751272 .4751272 -.4614085 -.4614085 .8910463 .8910463 .02007491 .02007491 -.7905058 -.7905058 -.6902876 -.302679 -.302679 .320161

Modulus

Imaginary

Eigenvalue

-1

-.5

0 Real

.5

1

Función Impulso Respuesta Utilizando la descomposición de Cholesky, vamos a suponer que la variable inflación afecta al desempleo con un retraso. En otras palabras, la variable desempleo es más exógena que la inflación. Esta prueba sirve para observar la respuesta de cómo afecta un impulso en cada innovación a una variable del modelo. Las cuatro graficas representan el impulso que dio una innovación de una variable a la otra o a ella misma rezagada.

varbasic, infmens, infmens

varbasic, infmens, u_un

varbasic, u_un, infmens

varbasic, u_un, u_un

1 .5 0 -.5

1 .5 0 -.5 0

5

10

15

20

0

5

10

15

20

step 95% CI for irf impulse response function (irf) Graphs by irfname, impulse variable, and response variable

95% CI for fevd fraction of mse due to impulse

Conclusiones Como se pudo observar en la interpretación del modelo, no se cumple completamente la hipótesis de la curva de Phillips en México para el periodo 2005 - 2016. Podemos adjudicar a esto la debilidad del modelo, ya que como vemos en la teoría, la inflación a largo plazo no solamente depende de la tasa de desempleo, si no de las expectativas que se tengan de la inflación, o sea, de la inflación esperada que los agentes tengan. Como se vio anteriormente no existe una causalidad en el sentido de Granger en las series estacionarias de la inflación y el desempleo con las que se elaboró el modelo, pero si existe una fuerte relación cuando las series están en niveles, ya que la inflación está explicado por el desempleo hasta por ocho rezagos. Por otro lado, en las series estacionarias podemos observar que aunque en la mayoría de los casos podemos ver la relación negativa entre la inflación y el desempleo existen algunas excepciones, como en el 2005, 2006 y 2007 por poner algunos ejemplos, se observa que las relaciones van a la par, cuando la inflación disminuye conduce a que el desempleo lo haga también.

Bibliografía Teoría y política macroeconómica, William H. Branson (1972) Modelos vectoriales autoregresivos (VAR), Alfonso Novales, Universidad Complutense (2014) Introductory Econometrics for finance, Chris Brooks, Cambridge University Press (2008) Impacto de la Inflación sobre el crecimiento económico: caso Peruano 1951-2002, David Tenorio Manayay, Revista de la facultad de Ciencias Económicas de la UNMSM (2005) NAIRU y política monetaria en México 1987 – 2004, Willy W. Cortez, Universidad de Guadalajara (2009) Macroeconomía con aplicaciones a Latinoamérica, Paul A. Samuelson, Mc Graw Hill (2010) Time Series Analysis, Hamilton, J. D., Princeton: Princeton University Press (1994) Inflación y desempleo: ejercicio econométrico para Cali-Colombia, Elizabeth Aponte, Universidad Autónoma de Occidente A Phillips Curve with Anchored Expectations and Short-Term Unemployment, Laurence Ball, International Monetary Fund (2015) Modelo econométrico dinámico y estable de la tasa de inflación en México con bandas de probabilidad, Luis Galindo, Facultad de Economía de la Universidad Nacional Autónoma de México Un modelo econométrico de vectores autorregresivos y cointegración de la economía mexicana, 1980-1996, Luis Miguel Galindo, Facultad de Economía de la Universidad Nacional Autónoma de México