Algunas sucesiones que convergen a Pi

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Exhauci´on: trigonometr´ıa y sucesiones V´ıctor Miguel Garc´ıa S´anchez El m´etodo de agotamiento o exhaustivo consiste en mejorar el grado de precisi´on al iterar un algoritmo. En el caso de a´reas, se puede relacionar con inscribir y circunscribir figuras cada vez con mayor n´ umero de lados cuyas ´areas convergen al a´rea de la figura que acotan. Arqu´ımedes de Siracusa di´o uno de los m´as famosos ejemplos del uso de la exhauci´on, el c´alculo del a´rea del circulo inscribiendo y circunscribiendo pol´ıgonos regulares de hasta 96 lados a una circunferencia. Sin embargo, en la ´epoca de Arqu´ımedes, aproximadamente 200 a.n.e., no contaban con las herramientas trigonom´etricas de la actualidad. Analizando el caso de un n-´agono regular inscrito en un c´ırculo de radio r > 0, el a´rea del pol´ıgono, es n veces el ´area del tri´angulo.

Dicha a´rea puede ser calculada en funci´on de los radios y el a´ngulo que comprenden, entonces llamando {Ain } a la sucesi´on formada por los cocientes de las a´reas de los pol´ıgonos regulares inscritos en una circunferencia entre el cuadrado del radio de la circunferencia. Vemos entonces que

l´ım

n→∞

n

r2 sen( 2π n ) 2 r2

=π

Donde adem´as de que r > 0, podemos tomar la subsucesi´on de n = 2n1 para simplificar l´ım n sen

n1 →∞

Ahora para el pol´ıgono circunscrito, 1

π  n

=π

Exhauci´on: trigonometr´ıa y sucesiones

V´ıctor Miguel Garc´ıa S´anchez

Observando el 4U V W

π r2 tan( n ) Su ´area es y como el pol´ıgono consiste de 2n de estos tri´angulos, definimos 2 an´alogamente {Acn } y vemos que

l´ım n tan

π 

n→∞

n

=π

Adem´as de haber visto que l´ımn1 →∞ Ain1 = l´ımn→∞ Acn1 = π y recordando que el l´ımite de constantes es la misma constante. Tambien podemos ver que 2

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π  π = l´ım sen n→∞ n→∞ n n Ya que ambos existen y son iguales a 0, y si precomponemos con arc sen, que es continua: l´ım

π =1 n→∞ n n→∞ n Pero como n 6= 0, usando los teoremas de operaciones con l´ımites,
An´alogamente, podemos obtener l´ımn→∞ n arctan πn = π l´ım arc sen

π 

l´ım n sen

= l´ım

π 

=π n Y tratando de ocupar la misma idea, vemos que en la hip´erbola con radios r > 0, an´alogamente, se cumple n1 →∞

l´ım n senh

π  n

n→∞

l´ım n tanh

π 

n→∞

l´ım n arc senh

n→∞

l´ım n arc tanh

n

=π

=π

π  n

=π

π 

=π n En general todas involucradas con funciones trigonom´etricas o bien, hiperb´olicas. A´ un sin demostrar, en la direcci´on siguiente, se proponen las sucesiones similares en las que si la funci´on es arc cosh o´ arc sech tienen un dominio acotado superiormente por π. Si la funci´on es arc sin, arc cos, arc csc, arc tan ´o arc cot, el dominio inferior est´a acotado por pi. n→∞

CONAMAT, 2009, Matem´aticas simplificadas, M´exico, Pearson. V´ıctor Miguel Garc´ıa S´anchez, An´alisis de π, [en l´ınea], M´exico, 2010, Formato pdf, Disponible en internet: http://www.docstoc.com/docs/26167469/

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