Nayar Cuitláhuac Gutiérrez Astudillo
Portada Externa de Tesis
Algoritmos genéticos aplicados al diseño estructural de armaduras en tres dimensiones 2010
Universidad Autónoma de Querétaro Facultad de Ingeniería
Algoritmos genéticos aplicados al diseño estructural de armaduras en tres dimensiones Tesis Que como parte de los requisitos para obtener el grado de Doctor en Ingeniería
Presenta Nayar Cuitláhuac Gutiérrez Astudillo
Santiago de Querétaro, a Noviembre de 2010
- Escudo y letras doradas - Pastas duras color negro, tamaño carta
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RESUMEN
En esta tesis se presenta un enfoque novedoso de una herramienta computacional que simplifica el proceso de diseño de armaduras, obteniendo una mejor solución que satisface todos los requerimientos de la estructura, en un tiempo récord. Se establece un análisis comparativo con los cuatro casos más sobresalientes reportados en la literatura reciente, resultando que el algoritmo propuesto es considerablemente más efectivo. Para demostrar dicha efectividad se presentan soluciones cercanas a óptimos globales en dos problemas complejos de optimización estructural. La optimización estructural está ligada a un proceso iterativo que debe cumplir con diversos tipos de restricciones. Por ejemplo, en el diseño de una estructura se requiere que los esfuerzos internos producidos por las demandas externas no rebasen los límites de resistencia del material y que a su vez los desplazamientos no sean tan grandes que provoquen inestabilidad en la estructura. El diseñador debe buscar de entre muchas soluciones la mejor, o mejores, que cumplan las condiciones de resistencia y desplazamientos considerando las necesidades de economía, seguridad y factibilidad. La herramienta que se propone para brindar ayuda en este proceso se basa en la computación evolutiva, específicamente se usa un algoritmo genético (AG). Se encontró que muchas investigaciones aplican algoritmos evolutivos, pero pocas de ellas aplican operadores especializados en la optimización estructural de armaduras. En la metodología aquí empleada también se aplicó un análisis de sensibilidad sobre las modificaciones en los operadores de un algoritmo genético para medir su desempeño durante la corrida. Con ello se identificaron las modificaciones necesarias a efectuar en las operaciones y en la codificación que tendría el potencial de mejorar la solución y reducir el número de iteraciones para encontrarla. Con el análisis anterior se propone una versión especializada de un AG para el diseño de armaduras que permite encontrar soluciones cercanas a óptimos globales para problemas complejos y con un menor costo computacional que el reportado en las investigaciones previas. (Palabras clave: optimización, diseño estructural, computación evolutiva, esquemas de codificado)
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SUMMARY This thesis is about a novel approach of a computational tool which simplifies the structural design process of truss structures, and it obtains better solutions in record time, solutions that satisfy all structure requirements. It is established a comparative analysis among the most outstanding four literature cases found currently, resulting that the proposed algorithm is more effective. To demonstrate effectiveness the solutions proved to be close to optimal solutions in two complex problems of structural optimization. This type of optimization could be described as an iterative process which must accomplish with several restrictions. For example, in the design of a structure it is required that the stresses produced by the external demands do not overcome the material strength limits and in the same time displacements are kept small to guaranty the structure stability. The designer should search for the best solutions among large quantities of them, solution or solutions that must fulfill the conditions of strength and allowable displacements; moreover he must consider economical, safety and constructability factors. The tool that is proposed to help the designer in this process is based in evolutionary computation, specifically based on a Genetic Algorithm (GA). We found that many investigations apply evolutionary algorithms, however few of them used specialize operators in the truss structural optimization. In this work, it was applied a sensitivity analysis over the changes made to the operators of a genetic algorithm to measure its performance during the run. With this procedure it were identified the necessary modifications in the operators and in the coding that could have the potential to improve the solution and reduce the number of iterations needed to find it. The former analysis made possible the proposal of a specialized version of a GA for the design of trusses. The proposed GA allows the generation of solutions close to global optima for complex problems and with a lower computational cost than the one reported in previous investigations. (Key words:optimization, structural design, evolutionary computation, coding schemes)
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DEDICATORIAS
A Mónica, Amir e Itzae
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AGREDECIMIENTOS
Agradezco el apoyo que me brindó mi asesora y el de todas las personas que conocí en la UAQ, también el apoyo del Dr. Coello y del CONACYT.
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ÍNDICE RESUMEN ............................................................................................................................................... i SUMMARY ..............................................................................................................................................ii DEDICATORIAS .................................................................................................................................... iii AGREDECIMIENTOS ........................................................................................................................... iv ÍNDICE .....................................................................................................................................................v ÍNDICE DE CUADROS........................................................................................................................ vii ÍNDICE DE FIGURAS ......................................................................................................................... viii 1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ - 1 2. REVISIÓN DE LITERATURA EN MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL..... - 3 2.1. Algoritmos genéticos............................................................................................................ - 4 2.2. Casos típicos para la validación de metodologías en dos dimensiones ..................... - 7 2.3. Casos sugeridos para la validación de metodologías en dos dimensiones .............. - 16 2.4. Metodologías que trabajan en dos y tres dimensiones ................................................ - 23 3. HIPÓTESIS ................................................................................................................................ - 32 4. OBJETIVOS ............................................................................................................................... - 33 5. METODOLOGÍA ....................................................................................................................... - 34 5.1. Modelo matemático del procedimiento de optimización............................................... - 34 5.2. Representación propuesta ................................................................................................ - 36 5.3. Coeficiente de daño ........................................................................................................... - 37 5.4. Modelo computacional ....................................................................................................... - 38 5.5. Operadores genéticos ....................................................................................................... - 40 5.5.1. Mutación ........................................................................................................................ - 40 5.5.2. Cruzamiento.................................................................................................................. - 41 5.5.3. Reproducción................................................................................................................ - 42 v
5.6. Valores de constantes y factores en la corrida .............................................................. - 42 5.7. Caso de validación ............................................................................................................. - 42 5.8. Implementación................................................................................................................... - 43 6. RESULTADOS .......................................................................................................................... - 46 6.1. Funciones de penalización ............................................................................................... - 46 6.2. Sensibilidad de la solución ................................................................................................ - 51 6.2.1. Sensibilidad por cambio de posición de nodos ....................................................... - 51 6.2.2. Observaciones.............................................................................................................. - 52 6.2.3.
Cambio de secciones transversales ......................................................................... - 52 -
6.2.4.
Observaciones por cambio de secciones transversales ....................................... - 53 -
6.2.5.
Sensibilidad por extracción de nodos y sus barras ................................................ - 53 -
6.2.6. Sensibilidad de la operación de mutación ............................................................... - 54 6.2.7. Observaciones.............................................................................................................. - 58 6.3. Tipos de mutación .............................................................................................................. - 59 6.4. Variación en cruzamiento y porcentajes de individuos generados por operadores genéticos....................................................................................................................................... - 63 6.4.1. Observaciones por variaciones de porcentajes ...................................................... - 74 6.5. Aplicación de la Matriz de Adyacencia Modificada ....................................................... - 74 6.5.1. Observaciones.............................................................................................................. - 77 6.6. Resultados en casos de estudio ...................................................................................... - 78 6.7. Problema propuesto, casa de madera ............................................................................ - 80 7. CONCLUSIONES ..................................................................................................................... - 86 8. LITERATURA CITADA............................................................................................................. - 89 9. APENDICE Programa generado en MatLab ........................................................................ - 96 -
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ÍNDICE DE CUADROS
Cuadro 5-1. Casos de estudio ........................................................................................................... - 43 Cuadro 5-2. Secciones transversales usadas................................................................................... - 44 Cuadro 5-3. Valores de extremos en parámetros de la corrida. ....................................................... - 45 Cuadro 6-1. Tabla con casos de variación de porcentajes de uso de operadores genéticos .......... - 73 Cuadro 6-2. Representación del mejor individuo en la generación número 74 generado con el caso de Yang y Kiong (2002). ......................................................................................................................... - 76 Cuadro 6-3. Representación del mejor individuo de la generación 74 en el caso Agarwal (2005). . - 77 Cuadro 6-4. Resumen de resultados obtenidos en caso de validación ............................................ - 80 Cuadro 6-5. Dimensiones de las secciones transversales de los elementos en el caso de la casa.- 84 -
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ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1. Región unitaria y condiciones de frontera de la armadura de Michell y su solución en forma continua. Fuente: Elaboración propia. ................................................................................................ - 9 Figura 2-2 Problema tipo usado para probar metodologías basadas en algoritmos genéticos. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................... - 10 Figura 2-3 Soluciones típicas para la viga de Michell y su versión modificada. Fuente: Elaboración propia. ................................................................................................................................................ - 11 Figura 2-4 Variante al problema tipo de la armadura de 10 barras. Fuente: Elaboración propia. .... - 12 Figura 2-5 Solución para el caso de una carga. Fuente: Elaboración propia. .................................. - 12 Figura 2-6 Aproximación “Ground structure” o estructura universal. Fuente: Elaboración propia. . - 13 Figura 2-7 Puente de arco. Fuente: Elaboración propia. ................................................................. - 17 Figura 2-8 Armadura ligera para revisión de vibraciones y su configuración optimizada. Fuente: Anthony et al 2000 ............................................................................................................................ - 19 Figura 2-9 Optimización estructural en edificios. Fuente: Shrestha y Ghaboussi, 1998 .................. - 23 Figura 2-10 Caso para validar metodologías en tres dimensiones, a Elevación y b planta. Fuente Kameshki y Saka, 2007 ..................................................................................................................... - 25 Figura 2-11 Torre encontrada por Ali et al (2003). Fuente: por Ali et al 2003 .................................. - 27 Figura 2-12 Casos DeRose y Díaz, problema y su solución. Fuente: DeRose y Díaz, 2000 ........... - 28 Figura 2-13 Viga de Michell en tres dimensiones, el problema y su solución. Fuente: Zhou y Li (2005) 29 Figura 2-14 Diseños estudiados por Rezaiee-Pajand y Vejdani-Noghreiyan en el 2006. Fuente: Rezaiee-Pajand y Vejdani-Noghreiyan, 2006 ................................................................................... - 30 Figura 5-1 Representación por adyacencia del individuo. ................................................................ - 36 Figura 5-2 Diagrama de flujo del algoritmo ....................................................................................... - 39 Figura 5-3 Dominio y condiciones de frontera caso puente. Fuente: Elaboración propia ................ - 43 Figura 6-1 Evolución de individuos y valores de la corrida en el caso de Gutiérrez 2007. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................... - 47 Figura 6-2 Evolución de corrida inicial con primera modificación, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. .......... - 48 Figura 6-3 Topología que se mantuvo con combinación inicial de parámetros de ajuste. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................... - 48 -
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Figura 6-4 Topología modificando penalización de desplazamiento. Fuente: Elaboración propia. . - 49 Figura 6-5 Evolución con ligera tendencia a convergencia, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ............................... - 49 Figura 6-6 Evolución ajustada en penalización por desplazamientos, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. .......... - 51 Figura 6-7 Individuo estudiado por coordenadas, Fuente: Elaboración propia. ............................... - 51 Figura 6-8 Individuo estudiado para variaciones en los nodos. Fuente: Elaboración propia. .......... - 53 Figura 6-9 Solución y evolución cuando se modifican factores de penalización. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................................................... - 55 Figura 6-10 Solución partiendo de la sección más grande. Fuente: Elaboración propia. ................ - 56 Figura 6-11 Evolución partiendo de la sección más grande. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ............................. - 56 Figura 6-12 Solución y evolución partiendo de secciones transversales medias, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................................................... - 57 Figura 6-13 Solución y evolución partiendo de valores aleatorios de las secciones transversales, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................... - 58 Figura 6-14 Evolución con mutación de secciones transversales, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. .......... - 59 Figura 6-15 Solución con mutación de secciones transversales ...................................................... - 59 Figura 6-16 Evolución con mutación de coordenadas en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. .................................... - 60 Figura 6-17 Solución cuando se aplica sólo mutación de coordenadas. Fuente: Elaboración propia. ... 60 Figura 6-18 Evolución con mutación por quitado de nodos con sus barras (células), en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................................................... - 61 Figura 6-19 Solución cuando se aplica mutación por quitado de células. Fuente: Elaboración propia. . 61 Figura 6-20 Evolución cuando se quita o se pone una barra en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ............................. - 62 Figura 6-21 Solución cuando se quita o se pone una barra. Fuente: Elaboración propia. ............... - 62 -
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Figura 6-22 Solución y evolución por mutación cambiando barras; en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. .......... - 63 Figura 6-23 Solución y evolución aplicando 80% de cruzamiento y 20% de reproducción en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................... - 64 Figura 6-24 Solución aplicando variación a cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. ................... - 64 Figura 6-25Evolución aplicando variación a cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ............................... - 65 Figura 6-26 Solución aplicando una segunda variación al cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. ... 65 Figura 6-27 Evolución aplicando segunda variación al cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. .......... - 66 Figura 6-28 Solución aplicando una tercera modificación al cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. 66 Figura 6-29 Evolución aplicando una tercera modificación al cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ..... - 67 Figura 6-30 Solución aplicando una cuarta modificación al cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. . 67 Figura 6-31 Evolución aplicando una cuarta modificación al cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ..... - 68 Figura 6-32 Solución aplicando un quinto caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. ........ - 68 Figura 6-33 Evolución aplicando el quinto caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. ....... - 68 Figura 6-34 Solución con un sexto caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. ................... - 69 Figura 6-35 Evolución con un sexto caso de cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ............................... - 69 Figura 6-36 Solución con un séptimo caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. ............... - 69 Figura 6-37 Evolución del séptimo caso de cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ............................... - 70 Figura 6-38 Solución del octavo caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. ....................... - 70 Figura 6-39 Evolución del octavo caso de cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ............................... - 71 Figura 6-40 Solución aplicando el noveno caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. ....... - 71 Figura 6-41 Evolución aplicando el noveno caso de cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. .......... - 72 -
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Figura 6-42 Solución aplicando mejores casos de mutación y cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. ................................................................................................................................................ - 72 Figura 6-43 Evolución aplicando los mejores casos de mutación y cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................................................... - 73 Figura 6-44 Individuo en la generación 74 generado con el caso de Yang y Kiong. Fuente: Elaboración propia. ........................................................................................................................... - 74 Figura 6-45 Individuo en la generación 74 del caso Agarwal (2005). Fuente: Elaboración propia. . - 76 Figura 6-46 Evolución en caso Hasancebi. Fuente: Elaboración propia. ......................................... - 78 Figura 6-47 Solución en caso Hasancebi. Relación esfuerzo/resistencia en figura 0-0.2, 0.2-0.4, 0.40.6, 0.6-0.8, 0.8-1.0. Fuente: Elaboración propia.............................................................................. - 78 Figura 6-48 Mejor solución de caso Hasancebi y su evolución. Relación esfuerzo/resistencia en figura 0-0.2, 0.2-0.4, 0.4-0.6, 0.6-0.8, 0.8-1.0. Fuente: Elaboración propia. ............................................... - 79 Figura 6-49 Solución encontrada en corrida corta con un peso de 39, 684 kg. Relación esfuerzo/resistencia en figura 0-0.2, 0.2-0.4, 0.4-0.6, 0.6-0.8, 0.8-1.0. Fuente: Elaboración propia. - 79 Figura 6-50. Plano de casa de madera. Fuente: Elaboración propia. .............................................. - 82 Figura 6-51. Diagrama propuesto con la incorporación de eras. Fuente: Elaboración propia. ........ - 83 Figura 6-52. Evolución de caso de la casa de madera. Fuente: Elaboración propia. ...................... - 85 -
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1.
INTRODUCCIÓN La optimización de estructuras se refiere al diseño de un sistema estructural
de manera que éste resista con las demandas impuestas con el mínimo costo posible sin sacrificar seguridad, economía y funcionalidad. En la práctica profesional hacerlo no es una labor sencilla, debido a que las variables que se relacionan con el diseño generan un sin número de combinaciones. Algunas de las variables en la estructura son: la geometría, la topología, los perfiles comerciales para las barras y las demandas del problema. Ya existen métodos de optimización eficientes que generan diseños cercanos a óptimos, sin embargo, el usuario de dichos métodos tiene que tratar con metodologías complejas y que necesitan de una gran cantidad de ajustes para su aplicación. Lo que aquí se propone es disminuir la cantidad de ajustes sin sacrificar capacidad de convergencia, aplicando una metodología que tiende a automatizar el diseño de una estructura.
Para llegar a hacer una metodología automatizada se trabaja sobre la representación de la solución, los parámetros de la corrida y los parámetros particulares en el individuo. Se parte del diseño de armaduras en dos dimensiones con posibilidad de extenderlos a soluciones en tres dimensiones. En armaduras muestra un desempeño robusto que al compararse con casos de la literatura queda en mejor posición.
En la revisión de la literatura se muestran los casos comunes con los que se puede comparar la metodología. Desde los aspectos más simples hasta los aspectos más complejos de diseños en tres dimensiones. En la metodología se muestran las modificaciones y la teoría aplicada para llevar a cabo un diseño en una forma cercana a la automatización de un concepto de diseño. Donde dicho concepto de diseño es el punto de partida para toda solución que se vaya a construir y entre más cercano se esté a un óptimo global mejor.
-1-
En los resultados presentados se comparan casos de la literatura en problemas complejos de optimización estructural y en la mayoría de ellos se presentan soluciones mejores en calidad de la solución y en menos tiempo computacional.
-2-
2. REVISIÓN DE LITERATURA EN MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL La optimización estructural (OE) se ha venido realizando mediante la optimización topológica, geométrica de dimensiones y mediante la combinación de las anteriores. En las investigaciones estudiadas en este trabajo se logra observar un avance en la complejidad de los diseños que se presentan, diseños en tres dimensiones y con cargas dinámicas.
Algunos de los problemas que generalmente se atacan son en dos dimensiones, sin embargo, la metodología propuesta se extiende a diseñar sistemas estructurales en tres dimensiones. Cuando se asegura que una metodología funciona en tres dimensiones lo demuestran solucionando casos sencillos, colocan una o dos cargas sin factorizar y generalmente bajo análisis estáticos lineales, con los que sustentan el funcionamiento para resolver problemas en tres dimensiones.
El estudio presentado en este capítulo muestra el trabajo realizado en el campo de la OE que busca generar soluciones de manera automática a problemas complejos del ámbito profesional de la ingeniería estructural. Primero se presenta como ha ido evolucionando la búsqueda de soluciones en diseños en dos dimensiones. En seguida, se pasa a investigaciones que se validan en diseños en dos dimensiones y se aplican en diseños en tres dimensiones. Por último, se muestran investigaciones que sólo realizan diseños estructurales en tres dimensiones.
Es necesario mencionar que gran parte de los esfuerzos realizados en la OE utilizan la computación evolutiva. La computación evolutiva contiene a los algoritmos genéticos, las estrategias evolutivas, la programación genética, evolución diferencial y la teoría de la colonia de hormigas como las principales metodologías. Otros tipos de optimización heurística como la búsqueda tabú se emplean en menor proporción. -3-
Se muestran aquí, además, algunos casos de técnicas de optimización determinista aplicados a la OE como lo es la programación matemática o la programación línea l. El trabajo presente está orientado exclusivamente a la computación evolutiva debido a la oportunidad que nos brinda el conocimiento acumulado por la naturaleza durante millones de años, la que sin funciones matemáticas explícitas da soluciones óptimas en cualquier ambiente dado (Kemp, 2005).
2.1.
Algoritmos genéticos
En la investigación previa del autor (Gutiérrez, 2007) se abordó el diseño de un puente de 70 m de claro. En esta investigación se encontró una mejor solución que la de la literatura (Yang y Kiong 2002) pero con más pasos de iteración. Por lo que aquí se buscó la mejora de la metodología en todos sus aspectos fundamentales como son: robustez, para encontrar soluciones en varios problemas del ámbito estructural; la velocidad de convergencia, para encontrar soluciones en menos tiempo computacional y la adaptabilidad a diferentes procesos de diseño estructural para manejar un mínimo de ajustes del usuario. Los algoritmos genéticos son un algoritmo de optimización que tiende a acercarse al óptimo global de cualquier problema. Estos se basan en la teoría de la evolución de Darwin y en los mecanismos de selección natural. Los principales motores que mueven el proceso evolutivo son: Mutación. Es cuando se presentan pequeñas variaciones de forma aleatoria en el gen del individuo y que se pasan de una generación a otra. Cruzamiento. Es la recombinación de material genético de dos individuos distintos a un individuo hijo que pertenece a otra generación. Reproducción. Se refiere a la posibilidad de un individuo de pasar tal cual a otra generación. Sin embargo, no son los únicos y forman parte de un esquema que se presenta a continuación: -4-
Mecanismos de la evolución
Variabilidad genética
Origen de la variabilidad
La mutación
Carácter preadaptativo de la mutación.
Efecto de la mutación sobre las frecuencias génicas y genotípicas
Variación en la cantidad de ADN
La recombinación génica
La selección natural
Eficacia biológicay adaptación
Efecto de la selección natural sobre las frecuencias alélicas y
genotípicas
Tipos de selección natural
Selección natural direccional
Selección natural estabilizadora
Selección natural disruptiva
Selección sexual
Polimorfismos equilibrados
Superioridad del heterocigoto
Selección natural dependiente de frecuencia.
La migración
La deriva genética
Especiación
Tipos de especiación
Anagénesis, cladogénesis y radiación adaptativa
Especiación alopátrica o geográfica
Especiación simpátrica
El hecho de la evolución
Tipos de evolución -5-
Ritmo evolutivo
La extinción
Los algoritmos genéticos, introducidos por Holland, han sido usados por muchos investigadores como una herramienta de búsqueda y optimización. Una tarea de optimización dada se codifica de tal manera que las instancias como una ruta en una grafica con pesos es entendida como elementos de colección finita de C criaturas (soluciones candidato) en un “mundo” modelo, y existe una función objetivo f: C →R+, la que tiene que ser maximizada o minimizada según sea el caso. Comúnmente, el número de elementos en C es muy grande prohibiendo una búsqueda completa en C. Los algoritmos genéticos proveen una manera probabilística para conducir una búsqueda en C para f arbitrarias dadas unas criaturas convenientemente codificadas o instancias representadas en cadenas de símbolos. Un algoritmo genético consta de tres fases (operaciones): mutación, cruzamiento y selección conforme a la adaptabilidad. Estas son aplicadas cíclica e iterativamente a una población de tamaño fijo y finito consistente de elementos hasta una condición de saturación, o hasta que otra condición de frontera es satisfecha. Un algoritmo genético es llamado simple, si las tres operaciones permanecen constantes durante el curso del algoritmo. Modelos de mutación cambian aleatoriamente en la información genética de las criaturas, y está inspirado en el cambio aleatorio de la información genética de los organismos vivos, por ejemplo, por los efectos de la radiación o la incompatibilidad química. El cruzamiento modela el intercambio de información de las criaturas, y es inspirado por el intercambio de información de los organismos vivos, por ejemplo, durante el proceso de la reproducción sexual. Los modelos de selección por adaptabilidad reproducen el éxito de organismos adaptados en su ambiente.
Existen muchas investigaciones teóricas en algoritmos genéticos, por ejemplo, las que marca Schmitt (2000 y 2003). El modelo más común de algoritmo genético es el que tiene el alfabeto binario, mutación de múltiple punto, el -6-
cruzamiento de un punto y la selección por adaptabilidad proporcional. Estos algoritmos genéticos son modelados casi exclusivamente - con la excepción del trabajo de Rudolph, o Fuji, Nehaniv y el autor- por no homogéneas cadenas de Markov actuando en distribuciones de probabilidad sobre poblaciones que son entendidas como conjuntos no ordenados. Esto podría tener algunas ventajas como un espacio de estado más pequeño, pero el precio a pagar es una carga combinatoria alta. Schmitt también menciona que en el trabajo de Davis y Principe, el punto principal a considerar es si o no disminuir la tasa de mutación a cero en el algoritmo simple genético implica la convergencia a un optimo global. No lo implica. Sin embargo, Davis y Principe establecen fuerte ergodicidad de las cadenas no homogéneas de Markov que describen el algoritmo. Los resultados establecidos en la teoría de algoritmos genéticos expuesta por Schmitt, generalizan los resultados por Davis y Principe para algoritmos genéticos usando selección por adaptabilidad escalable. Notablemente otra modelo comprensible para un algoritmo genético simple basado en la cadena de Markov puede ser encontrado en el trabajo de Vose et al.
2.2.
Casos típicos para la validación de metodologías en dos dimensiones
La sencillez en un diseño la definimos como la condición en la que su solución óptima o cercana a la óptima es conocida, a partir de las restricciones, las variables en el diseño y las condiciones de frontera del problema. Como restricciones tenemos las impuestas por problemas académicos, el material se omite y la restricción de espacio consiste en una geometría rectangular sin huecos. Por variables de diseño tenemos espesor de material, existencia del material, cambios en la geometría o topología. Dentro de las condiciones de frontera se encuentra una carga aplicada en cualquier dirección y una región de apoyo. Las cargas son estáticas y los apoyos pueden ser rugosos, deslizantes y/o empotramientos. La función objetivo en este tipo de problemas es minimizar el volumen de material empleado.
-7-
De las consideraciones anteriores se derivan parámetros de medida que nos ayudan a evaluar la funcionalidad de un diseño con respecto a sus requerimientos o restricciones. Como un parámetro principal de medida tenemos la masa de la estructura, éste nos permite conocer la cantidad de material a emplear en el diseño y con ello un costo inicial. Sin embargo, el peso no es el parámetro que define el costo de la estructura final sino la facilidad de construcción, ya que, una estructura ligera pero compleja cuesta más que una pesada pero muy sencilla.
Lo expresado anteriormente puede definirse como la parte social de las estructuras; en donde se ve a la estructura como un elemento que interactúa con las personas y se construye para realizar una función útil dentro de las actividades de su usuario. Al cambiar la perspectiva, viendo la parte física de la estructuras, tenemos que dicha estructura va a emplear más materiales con propiedades mecánicas definidas, que le dan una capacidad de carga limitada por la geometría de la misma estructura y la de sus elementos internos, la forma en que se apoya, la magnitud y ubicación de las cargas. En un caso sencillo de diseño estructural en dos dimensiones se considera, por la parte social únicamente reglamentos aplicables empleados según la función de la estructura; en la parte física se toma en cuenta una región fija discreta en dos dimensiones en donde se puede alojar una estructura, las condiciones de frontera se presentan fijas y en condición estática; un tipo de OE se emplea en cada metodología de diseño.
Un primer caso que ejemplifica un diseño sencillo, tal vez el más sencillo que se pueda plantear, es el problema de la armadura de Michell (Figura 2-1). Donde ya en 1996 (Rozvany, 1996) se demostraba que la solución exacta encontrada por el mismo Michell (1904) no iba a ser la única ni la más ligera, esto porque depende de las restricciones que se consideren en el problema. Trabajos subsecuentes muestran soluciones más ligeras y diferentes a la planteada por Michell (Rozvany 1997, Zhou y Li 2004, Melchers 2005, Lewiński 2006). Las mejores soluciones de este problema las presentan hasta el momento Gilbert et al.(2005) y Martínez et al. -8-
(2007). En ambos trabajos se pueden apreciar variaciones propuestas al problema original y cómo con cada variación hay una relación entre el peso y las variaciones usadas en el dominio de la estructura;las variaciones se hacen en el alto y ancho del dominio. La fórmula para la solución exacta para el problema discreto se encuentra en Zhou y Li (2004). Martínez P. (2003) hace un estudio en donde presenta variantes al problema de la armadura de Michell; las variantes que se presentan son aplicadas en el tamaño del dominio, la posición de la carga y el ángulo de la misma, además de presentar otros casos.
Figura 2-1. Región unitaria y condiciones de frontera de la armadura de Michell y su solución en forma continua. Fuente: Elaboración propia.
Los métodos empleados por Gilbert et al. (2005) y Martínez et al. (2007) se asemejan al propuesto por Keith (1994), al emplear técnicas de crecimiento en el diseño de armaduras. La computación evolutiva se ha empleado para resolver la armadura de Michell pero desde un punto de vista continuo, como se observa en la figura 1. Algunas investigaciones que usan la computación evolutiva se observan trabajos como los de Ohsaki (1995), Kane y Schoenauer (1996), Chu et al. (1996), Chu et al. (1997), Jakiela (2000), Wang y Wang (2006); éstas se enfocan principalmente en la forma de representar la solución, el modo en que se conectan los elementos y la cantidad de material presente en los mismos. Los iniciadores de la -9-
computación evolutiva fueron Goldberg y Holland, que con sus trabajos pioneros, como el de Goldberg (1987), mostraron el potencial de los algoritmos genéticos para resolver problemas de ingeniería.
Otro problema con un grado de complejidad similar al mostrado anteriormente es el que se muestra en la Figura 2-2.a. En este problema se fija la posición de los seis nodos y las variables por encontrar son: la conectividad entre los nodos y el área de la sección transversal por usar. En la Figura 2-2.b se observa la versión más sencilla de este problema en donde solamente se toman como variables el área de las secciones transversales de los elementos y se seleccionan dentro de un rango continuo.
Figura 2-2Problema tipo usado para probar metodologías basadas en algoritmos genéticos. Fuente: Elaboración propia.
Camp et al. (1998) mencionan que este problema de comparación se emplea desde 1971 con el propósito de validar metodologías de optimización estructural. Con este problema se han probado metodologías como las de Camp et al. (1998), Kiong
y Yang (1998), Hasançebi y Erbatur (2000), Kawamura et al. (2002),
Baumann y Kost (1999), Stocki et al. (2001), Lyu y Saitou (2003), Michalewicz et al. (1996), Hajela y Lin (1992), Rajeev y Krishnamoorthy (1997). En las referencias anteriores se puede ver que un gran número de metodologías, validadas con los problemas anteriores, se basan en la computación evolutiva para generar sus diseños. Algunas soluciones a los problemas anteriores se muestran en la figura 4. - 10 -
La Figura 2-3.a muestra la solución exacta para la viga de Michell mientras que la figura Figura 2-3 b muestra la solución para el problema de la Figura 2-2 cuando se requiere que haya cambios en la topología. Nanakorn y Meesomklin (2001) proponen una función adaptable de penalización para diseñar armaduras como las de la Figura 2-3. Esta función se adapta a sí misma durante la evolución de una manera que el grado necesario de penalización siempre se obtiene. El coeficiente obtenido tiene un significado físico claro.
Figura 2-3Soluciones típicas para la viga de Michell y su versión modificada. Fuente: Elaboración propia.
Una variante de los problemas anteriores se observan en la Figura 2-4. En donde el cambio radica en el número de cargas a colocar y su posición. Se observa una modificación en el apoyo del lado derecho (puede ser el del lado izquierdo) que se cambia a un apoyo deslizante que a diferencia al apoyo rugoso tiene un grado de libertad.
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Figura 2-4Variante al problema tipo de la armadura de 10 barras. Fuente: Elaboración propia.
Las soluciones encontradas para el problema anterior han sido del tipo de la Figura 2-5. Que comúnmente se conocen como tipo Warren (Kassimali, 2001) las que realmente se emplean desde el siglo XVI por Palladio (Kawaguchi, 1995). Engel (2001) hace un análisis gráfico detallado de los esfuerzos internos de este tipo de armadura, las modificaciones o variantes de la misma, así como donde se emplean este tipo de armaduras. Yang y Kiong en el 2002 presentan una solución que tomó seis cargas equidistantemente distribuidas según el problema planteado en la Figura 2-4 y lo resuelven con programación genética. Ellos demuestran que con una programación simple se llegan a soluciones más ligeras, cumpliendo con las restricciones impuestas usando un dominio discreto y simplificado según un eje de simetría esperado en la respuesta óptima. Un aspecto importante es el mayor grado de independencia al tipo de problema. Su diseño se genera de forma automática como todas las metodologías presentadas en la presente tesis.
Figura 2-5Solución para el caso de una carga.Fuente: Elaboración propia. - 12 -
En este estudio se dejan de lado las metodologías que se basan en la “ground structure”, estructura universal en español. Esta estructura universal es una representación de todas las posibles soluciones en un dominio discreto y, por lo tanto, contiene la solución óptima para ese dominio (ver Figura 2-6). Esta aproximación tiene la desventaja de que puede no contener la solución óptima del problema dado (Kicinger et al, 2005).
Figura 2-6Aproximación “Ground structure” o estructura universal.Fuente: Elaboración propia.
Volviendo al problema de la viga de Michell se tienen varias metodologías para obtener soluciones como en la Figura 2-3.a. Las metodologías presentadas se basan en técnicas heurísticas evolutivas. A continuación se muestran algunas características que definen el funcionamiento de las metodologías.
Yong y Weck, 2004, atacan el problema de la optimización topológica discreta ( Figura 2-3 b) con un cromosoma de longitud variable en el contexto de un algoritmo genético adaptable. Este concepto se aplica a la optimización estructural de la topología con un gran número de variables de diseño. La variación de la longitud se hace con el fin de explorar grandes espacios de diseño de manera eficiente. El - 13 -
algoritmo genético propuesto comienza con un cromosoma corto y encuentra un diseño óptimo en el espacio sencillo de diseño. La solución óptima es entonces transferida a las siguientes etapas con un cromosoma más largo mientras se mantiene la diversidad en la población. Soluciones más refinadas se obtienen en las etapas subsecuentes. Un filtro de energía de deformación se usa para filtrar celdas usadas ineficientemente, tal como protuberancias o islas.
En la propuesta de Wang y Wang 2006 el problema original de la discretización en blanco y negro (Figura 2-1 b) es resuelto directamente usando un método para representaciones por arreglo de bits. Para dirigir el punto de la relación de conectividad mencionado de manera efectiva, la conectividad de cuatro vecinos es usada para suprimir la ocurrencia de los patrones tipo tablero de ajedrez. Una versión más sencilla de la aproximación de control de perímetro se desarrolló para obtener un problema bien posicionado, y el número total de articulaciones de cada individuo es explícitamente penalizado para lograr un diseño libre de articulaciones. Para manejar el problema de la degeneración de la representación efectivamente, una técnica de gen recesivo es aplicada para topologías viables, mientras que las topologías inusuales son penalizadas en una forma jerárquica. Una función de evolución basada en el método del elemento finito es desarrollada para reducir el costo computacional. Un método de penalización dinámica es presentado por el algoritmo genético para convertir el problema de optimización restringido en un problema sin restricciones sin la posible degeneración. Con todas estas mejoras y la selección apropiada de los operadores genéticos, su algoritmo genético puede lograr mejoras significativas para evolucionar en soluciones cercanas al óptimo y topologías viables sin tableros de ajedrez, mallados independientes y características libres de articulaciones.
Gilbert y Tyas 2003 presentan un método en donde la aproximación es del tipo de la figura 3 y solucionan el diseño de la viga de Michell. El método capaz de atacar problemas con un gran número de barras potenciales (> 100,000,000) se presenta. Su metodología se basa en la programación línea l de “generación de - 14 -
columna”, es empleada como heurística de optimización topológica; ésta se presenta como un método iterativo de “agregado de barras”. Se requiere una estructura universal con conectividades mínimas para usarla en la primera iteración; las barras son entonces agregadas según se requiera en las iteraciones subsecuentes hasta que la solución óptima (probable) es encontrada. Para simplificar el diseño estructural ellos emplean el diseño plástico aun cuando lo que rige al diseño es una deformación elástica.
En el 2006, Zheng et al, emplearon un método basado en la programación genética. La programación línea l genética fue usada para encontrar la posición óptima de los nodos y la sección transversal de las barras mediante una secuencia línea l de instrucciones de programación. La ubicación nodal y las áreas de las secciones transversales de la estructura fueron empleadas como la variable de diseño para estas instrucciones, con la geometría óptima y dimensionamiento obtenido mediante la evolución de la población de individuos de programación genética que satisfagan el objetivo de la optimización del diseño. La aproximación se aplicó a un ejemplo de caso de comparación de una armadura de 10 barras para verificación. Otros ejemplos de armaduras, incluyendo una armadura plana de 18 barras y una armadura espacial de 25 barras, fueron usadas también para demostrar la efectividad de este método. Los resultados óptimos obtenidos demostraron lo práctico y general de usar la metodología propuesta en el problema de optimizar la geometría y el dimensionamiento.
Martínez et al (2007) emplean una técnica de crecimiento para resolver el diseño óptimo en una manera secuencial de tamaño, geometría y topología de armaduras planas, sin la necesidad de una estructura universal. El método se aplicó a problemas con una sola carga con restricciones de esfuerzo y tamaño. Éste trabaja secuencialmente agregando nuevas articulaciones y elementos óptimamente, requiriendo cinco pasos básicos: (1) especificaciones de dominio, (2) optimización de la topología y tamaño, (3) optimización de la geometría, (4) verificación de la - 15 -
optimalidad y (5) crecimiento topológico. Para demostrar el método de crecimiento propuesto, tres ejemplos se llevaron a cabo: el voladizo de Michell, la viga Messershmidt-Bölkow-Blohm, y el voladizo de Michell con frontera circular fija.
2.3.
Casos sugeridos para la validación de metodologías en dos dimensiones Entre los diseños complejos en dos dimensiones tenemos el encontrar
soluciones a diseños con requerimientos dinámicos y térmicos, que combinan solicitaciones dinámicas con estáticas o que simplemente se trata de presentar un diseño que cumpla con restricciones de construcción y de usuario. La complejidad se define al no poder conocer una solución óptima o cercana. Cuando se trata de relacionar la estructura con alguna de las solicitaciones antes mencionadas, las cargas se aproximan más a lo que se encuentra en la naturaleza. Sin embargo, sólo se pueden hacer estimaciones sobre la magnitud probable, ya que, es imposible determinar con exactitud los esfuerzos a los que va a estar sometida la estructura y que agregan un cierto grado de incertidumbre al diseño obtenido. Otro parámetro de comparación, no menos importante, es el grado de confiabilidad o seguridad de la estructura. El cual se deriva de una relación entre las cargas esperadas durante la vida de la estructura y la resistencia de la misma. De una combinación equilibrada de los parámetros anteriores se debe obtener un diseño seguro, económico y fácil de construir. Farkas (2005) presenta tres ejemplos que contrastan prácticas de diseño en la ingeniería estructural que llevan a resultados muy diferentes, esto aplicado a un mismo problema. Los casos que presenta contrastan reglamentos en un caso, cambios de altura en otro y el efecto de tomar o no en cuenta las deformaciones por soldadura.
Se pueden encontrar tantos diseños complejos como problemas en el ámbito profesional de la ingeniería estructural. Tenemos edificios, puentes, anuncios espectaculares, plataformas marinas, naves industriales, techumbres, etc. Mismos que según su localización física, el estado de la técnica, la economía y las necesidades del usuario hacen imposible el pensar, en estos momentos, en una - 16 -
metodología que resuelva completamente cualquier diseño estructural que se proponga. En investigaciones recientes se han propuesto métodos que resuelven una amplia gama de problemas y se aproximan a soluciones óptimas de diseños complejos en dos dimensiones.
Peng y Fairfield (1999) proponen la integración del método de mecanismo de falla y los algoritmos genéticos para diseñar puentes de arco. En donde el método de mecanismo de falla es actualmente una de las herramientas principales de evaluación de puentes de arco del departamento de transporte de su país, Inglaterra. Resultados de corridas de los puentes, Teston y Kent presentan un conjunto de otros diseños óptimos de puentes de arco con la información de eficiencia del algoritmo. Donde el método de mecanismo de falla es un análisis de estado de límite plástico que supone un mecanismo de cuatro o cinco articulaciones para el modo de colapso del puente de arco, Figura 2-7. En el algoritmo genético empleado la representación
es del tipo binario; proponen además, una función
objetivo dinámica que cambia según el número de generación, operados genéticos sin modificaciones.
Figura 2-7Puente de arco. Fuente: Elaboración propia.
Otro tipo de problemas solucionados en puentes se presentan en trabajos como el de Luo et al. (2006). Ellos presentan un esquema híbrido de programación multiobjetivo de meta-fuzzy para la optimización topológica de estructuras continuas, - 17 -
en las cuales se consideran cargas dinámicas y estáticas. La metodología propuesta para la optimización topológica, emplea un esquema de programación meta-fuzzy en el nivel más alto para problemas multiobjetivo con objetivos estáticos y dinámicos. Para el objetivo estático de rigideces múltiples en la formulación meta-fuzzy, que es una aproximación híbrida, involucra una aproximación de secuencia jerárquica o una aproximación de secuencia acoplada. Un método de programación compromiso se sugiere especialmente para la estructura multi-rigideces, cargada estáticamente en el subnivel. En relación a los problemas de optimización dinámica de casos de vibración libre, masa no estructural, oscilación de la función objetivo y eligen valores repetidos son también discutidos. Se usa el esquema de material sólido isotrópico con interpolación de penalización de densidad-rigidez, esto indica la dependencia del módulo del material basado en las densidades reguladas de los elementos. La versión global de convergencia del método de mover asíntotas y el método de programación secuencial línea l son empleados como optimizadores. Problemas como los de Anthony et al (2000) en los que se enfocan al diseño geométrico de armaduras para reducir la transmisión de vibraciones. En este trabajo se resuelve una viga en cantiliver, como la de la Figura 2-8 pero con 40 vigas rígidamente unidas, por medio de la metodología de los algoritmos genéticos. Diez diseños candidatos optimizados se lograron para cada uno de los tres casos resultado de minimizar una función objetivo (la transmisión de vibraciones entre dos puntos en la estructura) la que es calculada: 1) usando una frecuencia, 2) la frecuencia promedio sobre una banda angosta y 3) la frecuencia promedio sobre un rango de frecuencia ancha. Todos los candidatos muestran mejoras de comportamiento y normalmente el mejor comportamiento es tomado como el mejor candidato. Anthony et al también consideran la sensibilidad de cada candidato óptimo a pequeños cambios en la geometría de la estructura. Mencionan que si la actuación de una estructura es muy sensible a perturbaciones, entonces, su aplicación práctica está limitada o podría no ser realizable en la práctica. Ellos también muestran, en terrenos de comportamiento nominal y robustez, la ventaja de usar algoritmos genéticos sobre el método de optimización tradicional “trepando la colina”, de los que se usan 3 de los más conocidos. En el método de algoritmos genéticos se emplea una representación binaria y las variables a optimizar son las coordenadas a optimizar. Se emplea un esquema elitista
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para seleccionar cuál individuo pasa a la siguiente generación y combinar sus genes para formar las siguientes soluciones.
Figura 2-8Armadura ligera para revisión de vibraciones y su configuración optimizada. Fuente: Anthony et al 2000
Koumousis y Georgiou en 1994 resuelven el problema combinado de optimización de la topología y dimensionamiento de una techumbre típica de acero, usando un algoritmo genético para la parte topológica y un programa lógico para la optimización del dimensionamiento de la armadura de la techumbre. El método es aplicado a problemas con gran espacio de diseño y se encuentran soluciones cercanas al óptimo en un tiempo computacional razonable. El algoritmo genético está basado en un esquema de reproducción de ruleta, un cruzamiento de un punto - 19 -
y esquema de mutación estándar. Una estrategia elitista también es usada para hereda los mejores diseños de una generación a otra.
Hamza et al (2003) encuentran el diseño óptimo de un tipo de armadura llamado: armadura de forma N. El modelo paramétrico de una armadura de forma N presentado es dirigido a aplicaciones del mundo real, evitando simplificaciones de los detalles de diseño que comprometen la aplicabilidad. El modelo, que incluye 27 variables discretas relacionadas con la topología, configuración y dimensionamiento de la armadura, presentan un problema retador de optimización. Aspectos de tal reto incluyen gran dimensión del espacio de búsqueda, ausencia de una función objetivo de forma cerrada y restricciones, funciones objetivo multimodales y costo de tiempo de CPU por evaluación de función objetivo. Tres implementaciones de algoritmos genéticos de propósito general son probadas para este problema, junto con una versión de la búsqueda tabú llamada búsqueda tabú reactiva. En este estudio, la versión original de la búsqueda tabú reactiva exhibió mejor resultado que las versiones probadas de algoritmos genéticos, pero carece de algunas de las capacidades de los algoritmos genéticos para expandir el espacio de búsqueda. Una modificación de esta búsqueda propone usar una explotación basada en la población de la historia de búsqueda. Los resultados de la optimización muestran que la modificación introducida puede mejorar mucho el comportamiento de la búsqueda tabú reactiva. La modificación consiste en que el algoritmo busque en regiones del espacio que no ha explorado.
Una investigación reciente en técnicas de optimización permite que el tratamiento de problemas de optimización topológica de una armadura muy grande incorporando que incorpora casos múltiples de carga, peso propio y restricciones prácticas de estabilidad nodal han sido desarrollados recientemente y en colaboración con ingenieros consultores ha proveído la oportunidad de probar la efectividad de los resultados obtenidos por Gilbert et al (2005). En su investigación se encontró que la técnica de agregando barras fue el pivote que permite, por primera vez, atacar problemas reales de escala mundial (permite que problemas que - 20 -
tienen más de 1,000,000,000 de barras potenciales de una armadura puedan ser solucionados en una computadora de escritorio). Ellos mencionan la existencia de 11 temas prácticos, por resolver, para lograr un diseño que pueda construirse en la práctica profesional. El tema más tratado en su artículo concierne a la especificación de las cargas externas aplicadas. Mientras que, en los problemas de optimización topológica convencional la ubicación espacial de las cargas externas aplicadas está predefinida, en la práctica, para estructuras de techumbres por ejemplo, esto puede ser inapropiado ya que esto influencia fuertemente la forma de la estructura „óptima‟ resultante. Para solucionar esto las cargas se aplican en grupos de nodos. Xie et al (2004) proponen un método de optimización estructural que genera formas arquitectónicas con la técnica de “optimización estructural evolutiva” (OEE). En este trabajo se demuestra la efectividad del método OEE para desarrollar formas conceptuales de estructuras complejas. Un código OEE tridimensional ha sido desarrollado, éste es capaz de analizar y optimizar estructuras de cualquier geometría y condiciones de carga. La técnica ha sido probada en problemas en dos dimensiones que generan catenarias en tensión y formas a compresión. Los resultados se comparan con los diseños del arquitecto Antonio Gaudí. El método OEE remueve material que no se emplea o que se encuentra en el estado contrario al diseño, por ejemplo, si se desea hacer un diseño a tensión se removerán todos los elementos que estén a compresión, de igual manera se procederá en el caso contrario.
Lingyun et al (2005) optimizan la forma y las dimensiones de armaduras con restricciones de frecuencia que son problemas de optimización dinámica altamente no lineales. Emparejando dos diferentes tipos de variables de diseño, coordenadas nodales y áreas de las secciones transversales, comúnmente se dirigen a la divergencia mientras las restricciones múltiples de frecuencia usualmente causan un análisis de sensibilidad dinámico difícil. Por lo que el método de criterio de optimización y la programación matemática, que necesitan sensibilidad dinámica compleja y son fácilmente atrapados en óptimos locales, difícilmente resuelven los problemas. Para resolver la optimización de la forma de la armadura y las - 21 -
dimensiones, sencilla y efectivamente, se propone un Algoritmo Genético Hibrido de Nicho (AGHN). El objetivo de AGHN es mejorar las capacidades de explotación, mientras que, previene la convergencia prematura simultáneamente basada en la arquitectura híbrida. Las técnicas de Nicho y el parámetro adaptativo de ajuste son usados para mantener la diversidad de la población y para prevenir la convergencia prematura, mientras la búsqueda simple es usada para mejorar las capacidades de búsqueda local de los algoritmos genéticos. El algoritmo propuesto efectivamente alivia la convergencia prematura y mejora la débil capacidad de explotación de los algoritmos genéticos. La mejora se hace mediante la explotación de nichos potenciales de búsqueda, en donde, se aplica la búsqueda simple para encontrar el óptimo del nicho. Lo anterior junto con una segunda operación de búsqueda simple extiende las capacidades de explotación del algoritmo.
Liu et al (2006) mencionan que el criterio de peso mínimo es inadecuado para reflejar completamente la inversión monetaria inicial, debido a la falta de consideración de los gastos iniciales de construcción que resultan del variado grado de complejidad del diseño, así como las diferentes secciones transversales y los tipos de conexiones. En su artículo, la optimización de marcos de acero resistentes a un sismo involucra consideraciones simultáneas de dos funciones objetivo en competencia: el peso del material de acero y una medida aproximada de la complejidad del diseño en términos del número de las diferentes tipos de secciones transversales estándar en acero. Se emplea un algoritmo genético para problema de optimización estructural biobjetivo para producir un conjunto de diseños alternativos estableciendo intercambios optimizados entre los dos objetivos mérito.
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Figura 2-9Optimización estructural en edificios. Fuente: Shrestha y Ghaboussi, 1998
Un caso muy estudiado es el caso del puente de un claro de 70 m (Figura 2-9) en donde la metodología y modificaciones al problema han sido cambiadas por Hasancebi (2007). Dando como resultado un diseño óptimo de 35,573 kg en un tiempo de 488 min., peso similar al obtenido por Agarwal et al. (2005) quien con menos iteraciones llega a este resultado. Sin embargo, hay otra diferencia importante en las dos metodologías, la condición de los apoyos Agarwal cambia el apoyo deslizante por un apoyo rugoso. 2.4.
Metodologías que trabajan en dos y tres dimensiones En este apartado se presentan las metodologías empleadas para la
resolución de diseños en tres dimensiones, generalmente validan su método en dos dimensiones. Esto se hace con el afán de observar los alcances de las metodologías, el tipo de problemas que resuelven y la complejidad de los mismos. - 23 -
Para validar metodologías en tres dimensiones se encuentran algunos problemas tipo, como el de la Figura 2-10, que han ayudado a dar validez a diversos trabajos, sin embargo, se han mostrado problemas más complejos que tienden a ser más parecidos a los encontrados en la práctica profesional. Trabajos como los de Deb y Gulati (2001) que además de mostrar las soluciones de problemas en tres dimensiones presentan un diseño en tres dimensiones donde encuentran la sección transversal, topología y configuración óptima para lograr el peso mínimo, esto llevado acabo con un algoritmo genético de codificación real. Se emplean vectores de longitud fija que representan las áreas de las barras y cambios en las coordenadas de los nodos, un principio simple de exclusión de barras es introducido para obtener diferentes topologías. Adicionalmente, consideraciones prácticas como la inclusión de nodos, importantes en la estructura optimizada, se toma en cuenta mediante el uso del concepto de los nodos básicos y no básicos. Mediante el uso de restricciones se manejan el esfuerzo, deflexión y estabilidad cinemática.
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Figura 2-10Caso para validar metodologías en tres dimensiones, a Elevación y b planta. Fuente Kameshki y Saka, 2007
Kaveh y Shahrouzi (2007) proponen un esquema híbrido donde tocan el tema de ajuste de la población. Agregan, una metodología competitiva basada en la frecuencia para explorar el tamaño menos probable de población, éste como el mayor parámetro de control que afecta el algoritmo genético. En la etapa de ajuste, la memoria compartida indirectamente en la estrategia hormiga, es tomada en una manera discreta para generar una colonia dinámica de las soluciones exitosas más recientes para ser agregadas en cada nueva población. Una mutación de banda variable adaptable basada en la codificación de índice directo para problemas - 25 -
estructurales, es también, empleada para incrementar la relación de convergencia así, como para prevenir la convergencia prematura especialmente después de determinar un tamaño adecuado de población. Se demuestra que un valor fijo de población puede dirigir a convergencia prematura. Como novedad del método presentan el control sobre el tamaño de población y la mutación dinámica.
Una pequeña nota expuesta por Azid et al (2002) nos introduce a una nueva aproximación para diseñar de manera automática estructuras en las que se toma la topología, las dimensiones y la geometría, como variables de diseño. Esta nueva metodología emplea parte de los algoritmos genéticos pero, sin el uso de cadenas binarias para representar las soluciones. La aproximación es aplicada a casos típicos de comparación en dos dimensiones (ver Figura 2-3 a 7) y al problema de la figura 11. El efecto de remover las restricciones de área agrupada, la ubicación libre de las articulaciones y soportes en la armadura de 25 barras, son también investigados con y sin simetría.
Ali et al (2003) se mantiene en el manejo del algoritmo genético original con algunas modificaciones. Ellos usan un algoritmo genético basado en el procedimiento de elemento finito para la optimización de dimensiones y en la forma de armaduras planas y espaciales (Figura 2-11). En su metodología ellos introducen un procedimiento en un paquete de elemento finito para probar la viabilidad de la propuesta. Se agregan algunas modificaciones al algoritmo genético que alteran, de igual manera, el tamaño de la población dinámicamente, la tasa de cruzamiento y mutación. Esto facilita la rápida convergencia y, por lo tanto, reduce el esfuerzo computacional requerido. Se demuestra la eficiencia del algoritmo propuesto para encontrar soluciones más ligeras que las halladas en la literatura. Sin embargo, se demuestra que aún usando un algoritmo genético, la optimización en problemas muy grandes tiene un costo computacional muy alto. Además ellos liberan de condiciones de simetría a sus diseños en tres dimensiones.
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Figura 2-11Torre encontrada por Ali et al (2003). Fuente: por Ali et al 2003
DeRose y Díaz (2000) resuelven el problema de optimización topológica en elasticidad tridimensional sin mallados. Una aproximación de dominio ficticio es usada para embeber el dominio de diseño en un dominio simple y regular. La distribución del material sobre el dominio ficticio usando escala fija y expansiones tipo onduletas de cambio de invariante. Una forma discreta del problema elástico es solucionada usando una técnica de onduleta Galerkin durante cada iteración de la secuencia de la optimización de la topología. Se encuentran soluciones aproximadas mediante
un
gradiente
preacondicionado
conjugado
eficiente
usando
preacondicionadores no diagonales que dirigen a tasas de convergencia, éstas son - 27 -
insensibles al nivel de resolución. Las propiedades de convergencia y el manejo de memoria del algoritmo de gradiente conjugado preacondicionado hacen el análisis de problemas a gran escala posible. Se muestran las soluciones de dos problemas, el diseño de un cantiliver en tres dimensiones y puente con una región que permite el paso de vehículos, Figura 2-12.
Figura 2-12Casos DeRose y Díaz, problema y su solución. Fuente: DeRose y Díaz, 2000
La interpretación del trabajo de DeRose y Díaz (2000) en muchos casos se deja a la consideración del fabricante o constructor, sin embargo, existe la posibilidad de emplear técnicas computacionales que convierten una solución discreta a una representación suave en CAD, como lo es la metodología de Hsu y Hsu (2005). Esto con el fin de dar una solución que se pueda fabricar.
Se presenta el método del elemento finito para formar la armadura de Michell en tres dimensiones por Zhou y Li (2005), Figura 2-13. El compuesto ortotrópico reforzado con fibras es empleado como el material modelo para simular la viga de Michell. Se toman en cuenta la orientación y la densidad de las fibras en los nodos como las variables básicas de diseño. Los esfuerzos y las deformaciones en nodos son calculados mediante el método del elemento finito. Se sugiere un esquema iterativo para lograr adaptar la orientación de las fibras y estar de acuerdo a la - 28 -
orientación de los esfuerzos principales, la densidad de las fibras de acuerdo a las deformaciones en las orientaciones de éstas. El campo de deformaciones que satisface el criterio de Michell y el continuo tipo armadura se alcanzan después de varias iteraciones.
Figura 2-13Viga de Michell en tres dimensiones, el problema y su solución. Fuente: Zhou y Li (2005)
Yoon et al (2007), en general, expresan las dificultades que se encuentran al afrontar la optimización topológica del diseño de estructuras continuas en tres dimensiones y geométricamente no líneales. Para lo que proponen el método de parametrización de la conectividad de elemento (PCE) con dos formulaciones de implementación. La idea principal de PCE es reducir el tamaño de la matriz del sistema mediante la eliminación de algunos grados de libertad asociados con los enlaces a niveles voxel.
Rezaiee-Pajand y Vejdani-Noghreiyan en el 2006 muestran un nuevo método para encontrar múltiples puntos de bifurcación en estructuras. Usando la perturbación de los eigenvalores de matriz de rigidez tangente, se obtienen parámetros de carga asociados con múltiples puntos de bifurcación. El pandeo - 29 -
global de la estructura debería ser considerada en el diseño. Muchas estructuras (especialmente las estructuras simétricas espaciales) tienen múltiples puntos de bifurcación, por lo tanto, los analistas y diseñadores deberían estar conscientes de estos puntos y deberían controlarlos (por ejemplo, cambiando la geometría u otros factores relacionados) para obtener un diseño seguro y óptimo. Los problemas atacados se muestran en la Figura 2-14.
Figura 2-14Diseños estudiados por Rezaiee-Pajand y Vejdani-Noghreiyan en el 2006. Fuente: Rezaiee-Pajand y Vejdani-Noghreiyan, 2006
La optimización estructural ha encontrado caminos diversos para encontrar soluciones que se puedan llevar a la práctica. Hay tantos caminos como investigadores trabajando en el tema. La diversidad de estas metodologías y el grado de éxito de las mismas está ligado a un teorema en particular llamado “No Free Lunch Theorem” (Wolpert y Macready 1997). En dicho teorema se establece que todos los algoritmos que buscan optimizar una función se comportan de la misma forma, al ser promediados sobre todas las funciones posibles a optimizar. Sin embargo, este teorema está limitado a aplicaciones puramente matemáticas y no abarca problemas del mundo real; además, su alcance orienta a no usar estrategias de índole como muchos de los trabajos aquí expuestos. Por lo que nuestro enfoque se propone buscar la incorporación de conocimiento del problema en las
- 30 -
particularidades de la metodología de la solución, en específico en el manejo de las restricciones, funciones de penalización y representación de la solución.
- 31 -
3.
HIPÓTESIS
“El diseño de una armadura en tres dimensiones se puede automatizar aplicando algoritmos genéticos que incorporen información del dominio del problema mediante una representación segmentada” Lo que implica que los siguientes puntos tienen que cumplirse:
1.
Existe un tipo de representación de armaduras que puede incorporar
información del dominio en cualquier tipo de problema para armaduras 2.
Existen funciones de penalización que no requieren ajustes usadas en el diseño
de armaduras 3.
Los motores de evolución no dependen del tipo de problema o de la
representación usada 4.
Los motores evolutivos no producen malas soluciones.
5.
Las malas soluciones son producidas por la evolución de parámetros erróneos
dentro de los individuos. 6.
Las funciones objetivo es lo único que tiene que definir el usuario.
7.
Múltiples objetivos pueden ser resumidos en un solo objetivo adimensional.
8.
Existen parámetros mínimos de la corrida que permiten llegar a la mejor
solución en un número pequeño de iteraciones, lo que implica conocer a fondo el problema.
- 32 -
4.
OBJETIVOS
Los objetivos que se plantean cubrir con esta tesis son: 1.
Proponer una representación matemática que pueda incorporar información del
dominio como el comportamiento de la solución respecto a las cargas impuestas. 2.
Generar funciones de penalización que no requieran ajustes cuando se cambia
de un problema a otro. 3.
Validar en varios problemas de armaduras el algoritmo generado.
4.
Generar una metodología para aplicar análisis de sensibilidad en los problemas
planteados.
El algoritmo generado se programa en la plataforma provista por MatLab.
Con lo anterior, se obtiene una herramienta especializada para diseñar armaduras. Esta herramienta tiene, en general, la diferencia de aplicar operadores matemáticos pensados en uso estructural y no probabilista como en las referencias aquí citadas.
- 33 -
5.
METODOLOGÍA
5.1.
Modelo matemático del procedimiento de optimización Como una primera propuesta tenemos que la optimización puede ser definida
como el problema de encontrar un vector de variables de decisión, que satisfacen las restricciones y optimizan un vector función cuyos elementos representan las funciones objetivo. Estas funciones forman una descripción matemática de los criterios de comportamiento, que son usualmente conflictivos entre ellos. Por esta razón, el término “optimizar” significa encontrar una solución, tal que dé los valores de todo el conjunto de funciones objetivo aceptables para el diseñador.
Formalmente, el problema de optimización se representa de la siguiente forma: Encontrar el vector
x * [ x1* , x2* ,..., xn* ]
que satisfaga las m restricciones de
desigualdad: gi ( x) 0, i 1,2,...m ,
(1)
lasp restricciones de igualdad:
hi ( x) 0, i 1,2,... p ,
(2)
y optimice la función vector:
f ( x) [ f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x)]T
Donde
x [ x1 , x 2 ,..., x n ]
(3)
es el vector de las variables de decisión y la solución
óptima esta descrita por el vector
x*.
En el caso de n = 1, el problema es llamado - 34 -
optimización simple, de lo contrario es conocida como optimización multicriterio o multiobjetivo.
Para este trabajo se investiga una función objetivo. El objetivo es minimizar la masa, cumplir con los desplazamientos en la armadura y los esfuerzos actuantes. Por esto, las funciones podrían estar definidas como:
f1 (x) = min( LA)
(4)
sujeto a: σ σ permitido
(5)
permitido
(6)
Am in A Am ax
(7)
Se tiene que f1 es la función que define el peso de la armadura. Donde ρ [ ρ1 , ρ2 ,..., ρk ] es el vector de densidad de la masa; L [ L1 , L2 ,..., Lk ] es el vector
longitud; A [ A1 , A2 ,... Ak ] es el vector de áreas transversales de las secciones; Amin y Amax son los vectores de los límites inferior y superior de las áreas de las
secciones transversales y k es el número de elementos. Los vectores σ y λ contienen la relación de esfuerzo y esbeltez de cada elemento y sus respectivos valores permisibles están definidos en los vectores
σ permitido
y
permitido
respectivamente. U mag [U mag1 , U mag 2 ,..., U magj ] es el vector de los desplazamientos nodales de los j nodos.
Es de remarcar que el vector de desplazamiento nodal puede ser calculado de la ecuación de equilibrio como:
- 35 -
U K 1 f
(8)
Donde K y f son la matriz de rigidez del sistema y el vector de fuerzas nodales que pueden ser obtenidos mediante el Método de Elemento Finito. La matriz K y la matriz f de las condiciones de frontera. El análisis de la estructura se hizó mediante un código de elemento finito, el que puede ser encontrado en Ferreira (2009). Se obtuvieron esfuerzos y desplazamientos de este código. Para este estudio se adopta, el reglamento del American Institute of Steel Constructión (AISC) para lo relativo a las especificaciones de diseño estructural.
5.2.
Representación propuesta Se usa en esta investigación una variación de la matriz de adyacencia
aplicada por Giger y Ermanni (2006), y otra usada por Sid et al. (2007). La descripción gráfica se puede observar en la Figura 5-1. La matriz A contiene coordenadas de nodos cargados y restringidos, mientras que, las coordenadas de los nodos secundarios están en la matriz B. Enla matriz C están representadas las conexiones de los nodos principales, mientras que las matrices D y E representan las conexiones de segundo y tercer orden. Las conexiones de segundo orden son los arcos que conectan nodos cargados o restringidos con nodos no restringidos, y las conexiones de tercer orden son las ligas entre los nodos no restringidos.
x1, y1 a11 x , y a m m m1 ( xm1, ym1 a( m1)1 x , y a mn mn ( mn )1
a1m a1( m1) amm am( m1) a( m1)m a( m1)( m1) a( mn )m a( mn )( m1)
a1( mn ) am( mn ) A C D a( m1)( mn ) B DT E a( mn )( mn )
Figura 5-1Representación por adyacencia del individuo.
- 36 -
La matriz de adyacencia representa cómo los nodos se conectan dentro de la estructura, y con el arreglo propuesta en las matrices de nodos la matriz de adyacencia tiene las siguientes características: Los elementos de la diagonal principal son ceros.
Es simétrica.
Las diagonales en las submatrices representan caminos de nodos conectados.
La submatriz C representa la conexión de los arcos principales.
La submatriz D representa la conexión de los arcos secundarios.
La submatriz E representa los arcos entre nodos secundarios.
El parámetro m es el número de nodos cargados y restringidos.
El parámetro n es el número de nodos no restringidos.
(xi, yi) son las coordenadas de los nodos
El parámetro a es usado comoel indicador de la conexión de una sección transversal a entre dos nodos y tiene un valor real. La parte entera de a representala sección transversal usada. La parte decimal de a representa la relación esfuerzo-resistencia en la sección transversal.
5.3.
Coeficiente de daño El coeficiente de daño se construye sobre la matriz de adyacencia y es
obtenido dividiendo la relación esfuerzo-resistencia de cada barra con un número muy grande que cuando se agrega al valor a la parte enterapermanece intacta. Restricciones y penalizaciones En general cuando una restricción se viola, una penalización se aplica. En este caso la penalización fue agregar masa a la estructura. Esta penalización fue aplicada agregando la cantidad necesaria de material para evitar el incumplimiento de la restricción. Por ejemplo, cuando algunas barras de la estructura tienen la - 37 -
relación de más de uno, entonces se usa esta relación para calcular la penalización de la masa en cada barra. Los desplazamientos son penalizados usando la relación del máximo desplazamiento dividida entre el desplazamiento permitido y multiplicado por la masa, esto nos da otra masa de penalización. Por lo tanto, la penalización es obtenida mediante las substracción a la masa de penalización de la masa de la estructura. 5.4.
Modelo computacional El procedimiento empleado se presenta en el diagrama de flujo de la Figura
5-2. El modelo computacional del algoritmo genético requiere como parámetros iniciales: el número de generaciones, los individuos por generación, especificaciones del dominio del diseño (geometría, secciones comerciales disponibles, mallado del dominio o discretización del espacio geométrico de la solución). En el segundo paso se genera la primera población de manera aleatoria, cuidando una distribución uniforme de los nodos. Se hace un análisis de los individuos por el Método de Elemento Finito (MEF) para el caso de armaduras, en seguida, se aplican las siguientes restricciones: Si maxdi >(claro/1000) entonces aplica: despi=( maxd/(claro/1000)-1)*wi wi = wi +despi Si esbeltezi >0 entonces aplica: wi = wi +esbeltezi Si resistenciai>0 entonces aplica: wi =wi + resistenciai dondewies el peso total de la estructura: m
wi Aj L j j 1
- 38 -
maxdirepresenta el máximo desplazamiento que se presenta en la estructura, wi es el peso total de la estructura y claro es el claro del dominio espacial de la estructura. Ajes el área de la sección transversal j, se multiplica por la longitud de la barra Lj y por ρ que corresponde a la densidad del material.
Figura 5-2Diagrama de flujo del algoritmo - 39 -
En esta propuesta los valores de penalización de la esbeltez y la resistencia, se obtuvieron revisando cada elemento del individuo y tomando como penalización del elemento la cantidad de material necesario para cumplir con la restricción; al final se suman todas las penalizaciones por elemento.
El diseño de la armadura se cumple con lo impuesto por el reglamento de la b AISC en donde los esfuerzos i en los elementos deben cumplir lo siguiente:
En tensión deben ser menores o iguales que 0.6fy En compresión:
12 2 E
b Si i > C, pandeo elástico, i 23i2
b Si i < C, pandeo plástico, i
(1
i2 2C 2
) fy
i3 5 3i 3 8C 8C 3
Donde i =Li/ri, C= 2 E / f y , y Liy ri son la longitud de la barra y radio de giro de la sección transversal del elemento i, respectivamente. Las propiedades del acero tomadas fueron: E= 2.039432x10 10 kg/m2, fy = 2.537054 x107 kg/m2, ρ= 7851.03 kg/m3.
5.5. 5.5.1.
Operadores genéticos Mutación La mutación se divide en cinco etapas en las que existe alguna probabilidad
de mutación múltiple representada por un número aleatorio Rd1. Las cinco etapas son: 1.
Rd11
- 45 -
6.
RESULTADOS En el capítulo siguiente se muestran los resultados de aplicar la metodología
propuesta. En este caso, lo primero que se hizo fue probar la validez de la hipótesis propuesta y los enunciados que ayudan a cumplirla. En todos los casos se realizaron pruebas cortas. Estas pruebas cortas consisten en corridas de menor número de individuos que en una corrida normal. En la mayoría de los casos un diez por ciento o el porcentaje que mejora el comportamiento del algoritmo según el parámetro a ajustar. Los parámetros tomados para evaluar la sensibilidad del algoritmo fueron:
Generales de la corrida: # individuos, # de generaciones, % de mutación, %
de cruzamiento, % de reproducción, representación del individuo, funciones de penalización, dimensiones del dominio
Particulares de los individuos: número de nodos, barras por nodo, sensibilidad
por cambios geométricos y topológicos. Junto con algunos resultados, se mencionan depuraciones de programación hechas a la metodología anterior, a manera de ajustes derivados por resultados.
6.1.
Funciones de penalización El problema tipo de comparación fue el de Yang y Kiong 2002. Se eligió este
problema debido a la complejidad que ofrece, ya que se realizan tres tipos de optimización combinados: topología, geometría y secciones transversales. El caso trabajo sobre dominios en dos dimensiones. Los resultados de partida en este problema, tomados de Gutiérrez (2007), se muestran en Figura 6-1.
- 46 -
Figura 6-1Evolución de individuos y valores de la corrida en el caso de Gutiérrez 2007. Fuente: Elaboración propia.
- 47 -
En una primera modificación al algoritmo se cambió el factor que afecta a la penalización de desplazamiento y se empleó un factor de dos. Se muestran resultados (ver Figura 6-2). El algoritmo muestra tendencia a quedarse estancado en un óptimo local. También se observó que la penalización en las conectividades no está trabajando bien debido a que se penalizan topologías que son completamente conexas. La evolución que se muestra es la que corresponde a una corrida de 200 individuos por generación en 1501 generaciones.
Figura 6-2Evolución de corrida inicial con primera modificación, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
A continuación se muestra (Figura 6-3) la topología en la que se mantuvo la corrida. De estos dos primeros resultados se observa que la solución mantiene un valor constante debido a que el algoritmo no encuentra una mejor solución.
Figura 6-3Topología que se mantuvo con combinación inicial de parámetros de ajuste.Fuente: Elaboración propia.
- 48 -
Al emplear el factor de uno en los desplazamientos se sale del óptimo local y se llega a la siguiente topología (Figura 6-4).
Figura 6-4Topología modificando penalización de desplazamiento. Fuente: Elaboración propia.
La evolución (Figura 6-5) muestra tendencia a la convergencia pero no se llega a ella.
Figura 6-5Evolución con ligera tendencia a convergencia, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
El paso que se siguió fue el de corregir la penalización de conectividades y aplicar un factor de 2 en la penalización de desplazamientos. Se observó que toda la matriz de penalizaciones estaba trabajando mal, porque después de ser empleada no se limpiaba, y por lo tanto se guardaban las penalizaciones de la generación anterior.
- 49 -
1.
Se observa que al corregir el error anterior se mantiene la tendencia a
mantener el óptimo local encontrado. Se prueba correr el programa con el factor de 1 aplicado a los desplazamientos en 1501 generaciones con 200 individuos. 2.
Los cambios no fueron suficientes para llegar a la convergencia. Por lo que se
sigue demostrando necesario cubrir los puntos para acelerar la convergencia: 3.
Encontrar los parámetros óptimos en el algoritmo.
4.
Garantizar que se pueden generar todas las soluciones.
5.
Emplear un algoritmo optimizador de búsqueda local.
6.
Determinar qué tipo de búsqueda local hacer.
7.
Determinar la suficiencia de los parámetros empleados.
Para cubrir los 7 puntos anteriores se plantea lo siguiente: 1.
Variar porcentajes de mutación, cruzamiento y reproducción, así como,
las probabilidades empleadas en cada uno de ellos. Para hacer un análisis determinista se estudiará la pertinencia de emplear cadenas de Markov y un registro de los resultados obtenidos. 2.
Este punto está en relación con el anterior. Se enfoca principalmente a
ver que se pueda generar la solución óptima de Yang, la encontrada en la tesis de maestría (Gutiérrez 2007) o alguna otra que prometa ser mejor. 3.
Aplicar alguno de los optimizadores de búsqueda local que emplean:
Haftka y Gürdal (1992), Ratner (2003), Arora (2004), Jahn (2007), Christensen y Klarbring (2009). 4.
Para hacer esto es necesario conocer el dominio del problema
estructural. Además de hacer un análisis de sensibilidad analítico. 5.
Tener abierta la posibilidad de ampliar el número de parámetros a
optimizar. En la Figura 6-6 se muestra la evolución y la mejor solución de la corrida que se considera ya tiene el ajuste necesario para concluir que los factores de penalización - 50 -
son los adecuados, esto se logró tras verificar los resultados en 20 corridas con semillas distintas.
Figura 6-6Evolución ajustada en penalización por desplazamientos, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
6.2.
Sensibilidad de la solución Siguiendo los resultados obtenidos previamente se procede a hacer un
análisis de sensibilidad sobre los parámetros que definen a la solución del problema dado. Que en este caso son: las coordenadas de los nodos, las barras de los nodos y las secciones transversales de las barras. La característica a observar fue el desplazamiento de los nodos en la armadura. 6.2.1.
Sensibilidad por cambio de posición de nodos Para realizar este procedimiento se trabajó sobre un individuo en donde se
varió la posición de un nodo. En este caso el nodo libre en la armadura (Figura 6-7).
Figura 6-7Individuo estudiado por coordenadas, Fuente: Elaboración propia. - 51 -
Lo primero fue observar los desplazamientos por las cargas impuestas para luego hacer las variaciones. Se aplicaron cuatro casos de variación y a continuación se exponen. Caso del 1 al 2: La primera variación fue en un 90% para el nodo seleccionado y luego 90% para todos los nodos no obligados. Caso del 3 al 4: La segunda variación fue en un 110% para el nodo seleccionado y luego 110% para todos los nodos no obligados.
6.2.2.
Observaciones Se observó que en el caso 1 y 3 la rigidez del nodo se ve afectada casi
linealmente por lo que él % de variación afecta la variación en el desplazamiento del nodo en el mismo %. La rigidez de los nodos de la vecindad prácticamente no se afectaron. En cambio en los casos 2 y 4 la rigidez en los nodos varía de un 10% hasta un 60%. De lo anterior se concluye que se deben hacer variaciones por nodo para tener un control más uniforme de la estructura
6.2.3. Cambio de secciones transversales Para realizar estos cambios se tomaron dos casos principales. En el primer caso se cambiaron uniformemente todas las secciones en un porcentaje determinado, en el segundo caso se variaron uniformemente algunas diagonales en un porcentaje determinado. Los porcentajes de variación fueron 90 y 50. Casos 1,2 y 3 Porcentajes 90, 101 y 50 Casos del 5 al 9 Diagonal 1 porcentajes 90 y 50 Diagonal 3 porcentajes 90 y 50 Diagonal 8 porcentajes 90 y 50
- 52 -
6.2.4. Observaciones por cambio de secciones transversales Para el primer caso (1-3) se observó que la variación no es lineal, pero sí es uniforme en todos los nodos y varía en -10% cuando se emplea 90% y 19% cuando se emplea 50%. Para los casos en donde las diagonales son uniformes cuando son diagonales pequeñas y cuando son largas varían hasta un 6%. Por lo que bajos porcentajes de variación representan comportamientos casi lineales en ambos tipos de modificaciones, donde es más eficiente el caso de variación uniforme en todas las secciones transversales del individuo. También se observó que no es lineal cuando se quiere volver de un porcentaje a otro, esto es que si variamos las secciones en un x %, al querer regresarlas empleado el porcentaje inverso no se vuelven exactamente a las mismas secciones. Por lo que este tipo de mutación impide que se pueda regresar a una solución anterior con exactitud. 6.2.5. Sensibilidad por extracción de nodos y sus barras Se aplicó un caso en donde a la estructura se le removieron tres nodos. El primer nodo que se removió provocó que la estructura se volviera un mecanismo y fallará (ver Figura 6-8). En los dos siguientes casos, la estructura con un nodo removido en cada caso no falló y se comportó de manera similar. En los nodos aledaños al removido se observaron disminución en la rigidez desde un 15% hasta un 28% en el caso más afectado. En el resto de la estructura se observaron cambios en un rango del 5-15%.
Figura 6-8Individuo estudiado para variaciones en los nodos. Fuente: Elaboración propia.
De lo anterior se deduce que quitar nodos es la operación que más impacta en la armadura y que depende de la posición del nodo que se quite, así como, de las - 53 -
conectividades que tenga. Puede mitigarse el impacto de remover un nodo incrementando las secciones transversales de todo el conjunto en general. También se observó que hay una relación casi lineal entre la variación promedio de la rigidez de la estructura y la variación del peso por remover el nodo con sus conectividades. Por lo que se puede tomar un peso promedio por nodo que sirva para penalizar al individuo. 6.2.6.
Sensibilidad de la operación de mutación El algoritmo de generación de las soluciones trabaja generando 8% de
soluciones malas en promedio. Las malas soluciones se generan porque no salen barras hacia adelante ni hacia atrás en el mismo nodo, en algunos casos las soluciones cumplen con todo, pero no se forma la triangulación entre tres nodos, a pesar de que se tratan de considerar todos los casos que puedan generar mecanismos en la armadura, y aun así se generan malas soluciones. En extremos donde se usó un punto de partida en el que todas las secciones transversales tenían un mismo valor, el más alto, y otro caso usando el valor más bajo que se podía tomar; se observó que el algoritmo tiende a minimizar los resultados pero no tiende a converger en el caso de usar la menor sección transversal posible. Esto pasa por los factores de penalización que se toman, por la naturaleza del cruzamiento y la mutación que obligan a disminuir el tamaño del individuo sin tomar en cuenta la adaptabilidad que pudiera tener.
Para corregir el punto anterior se cambió la penalización para que fuera n veces la penalización del desplazamiento cuando la estructura falla por ser un mecanismo, n depende de las conectividades que tienen menos de dos barras unidas a ella. Sin embargo, esto no garantiza la convergencia, debido a que las secciones transversales se mantienen constantes para el caso de partir de secciones menores, no como en el caso en el que empiezan en el número más alto de sección, donde estas tienden a disminuir. Situación relacionada directamente con el operador de mutación, ya que los operadores de cruzamiento y reproducción no
- 54 -
introducen nueva información a los nuevos individuos creados. Las opciones son que la mutación: 1.
Provoca cambios significantes para que las soluciones generadas le ganen a
una existente. 2.
Produce más soluciones malas que buenas.
3.
Los factores de penalización que se aplican no son congruentes, por esto, no
provocan cambios en los individuos. 4.
La mutación no explora regiones factibles. La tercera opción repercute sobre las dos primeras, porque se observan
cambios muy convincentes al aplicar factores diferentes a los ya empleados. Éstos provocarán cambios positivos en la topología de la estructura, aunque no se observa convergencia sí se tiende a ella (Figura 6-9).
Figura 6-9 Solución y evolución cuando se modifican factores de penalización.En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia. - 55 -
A continuación se procede a revisar si los cambios no provocan que se pierda la convergencia. Ver Figura 6-10.
Figura 6-10Solución partiendo de la sección más grande. Fuente: Elaboración propia.
Figura 6-11Evolución partiendo de la sección más grande.En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Se observa que no hay cambios desfavorables porque se considera que los cambios realizados favorecen a la convergencia, y se continúa con nuevas modificaciones. El siguiente paso es partir de un punto medio, en cuanto a sección transversal se refiere. Los parámetros de la corrida son: 101 generaciones, 200 individuos por generación. La corrida tiene un comportamiento intermedio a las dos anteriores, ésta se observa en las figuras. Es importante notar que la mejor solución tiene valores tanto por arriba de la sección intermedia como por debajo del valor de la sección intermedia.
- 56 -
Figura 6-12 Solución y evolución partiendo de secciones transversales medias, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
- 57 -
Figura 6-13 Solución y evolución partiendo de valores aleatorios de las secciones transversales, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
El siguiente paso es hacer una corrida con valores aleatorios de las secciones transversales. En seguida presentamos la
Figura 6-13 que muestran el
comportamiento. 6.2.7.
Observaciones El emplear la máxima sección transversal como punto inicial mostró que el
algoritmo tiende a llegar a la convergencia. También, se observa que el algoritmo de mutación es una búsqueda local que se hace sobre un espacio reducido de soluciones y que puede mejorar su eficiencia si se modifican sus parámetros de corrida. Para mejorar los parámetros de la corrida hay que emplear información del problema, en este caso características de la solución como las secciones transversales, posición de los nodos y el número de barras por nodo.
- 58 -
6.3.
Tipos de mutación En un análisis de sensibilidad, se prende un tipo de mutación y se apagan
todas las demás empleadas en Gutiérrez (2007). Se observó que dos tipos de mutación tenían el mejor desempeño en cuanto a convergencia se refiere. Estos dos tipos fueron: la mutación que quita o pone un arco y la mutación que cambia conectividades dentro de la armadura. De estas dos la mejor fue la que quita o pone unarco.
Figura 6-14Evolución con mutación de secciones transversales, en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
En todos los tipos por sí solos se observó que conduce a una convergencia en cierto grado aunque algunos la alcanzan y otros no. También se observa que las poblaciones muestran cambios importantes en la forma que evolucionan.
Figura 6-15Solución con mutación de secciones transversales - 59 -
Figura 6-16Evolución con mutación de coordenadas en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Figura 6-17Solución cuando se aplica sólo mutación de coordenadas. Fuente: Elaboración propia.
- 60 -
Figura 6-18Evolución con mutación por quitado de nodos con sus barras (células), en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Figura 6-19Solución cuando se aplica mutación por quitado de células. Fuente: Elaboración propia.
- 61 -
Figura 6-20Evolución cuando se quita o se pone una barra en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Figura 6-21Solución cuando se quita o se pone una barra. Fuente: Elaboración propia.
- 62 -
Figura 6-22 Solución y evolución por mutación cambiando barras; en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
En todos los tipos de mutación se observa que hay algo que influyen en la convergencia de la solución y hasta la llegan a provocar (Figura 6-22) 6.4. Variación en cruzamiento y porcentajes de individuos generados por operadores genéticos En esta parte el algoritmo se probó sin emplear la operación de mutación, se corre con cruzamiento al 80% y la reproducción al 20% de la población de una generación. Los resultados mostraron (Figura 6-23) que se conserva la tendencia a la convergencia, pero con un desempeño menor con respecto al mostrado empleando la mutación.
- 63 -
Figura 6-23 Solución y evolución aplicando 80% de cruzamiento y 20% de reproducción en línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Figura 6-24Solución aplicando variación a cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
- 64 -
Figura 6-25Evolución aplicando variación a cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Cruzando a la madre de igual posibilidad con los primeros cinco mejores de la generación y a los cinco peores por debajo de ella, se observa el siguiente comportamiento: En una segunda variación, esto cruzando a la madre con igual posibilidad con los
primeros
cinco
mejores
de
la
generación,
se
observa
el
siguiente
comportamiento:
Figura 6-26Solución aplicando una segunda variación al cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
- 65 -
Figura 6-27Evolución aplicando segunda variación al cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
En un tercer caso, esto cruzando a la madre con igual posibilidad con los cinco de arriba y de abajo de la generación con respecto a ella se observa el siguiente comportamiento:
Figura 6-28Solución aplicando una tercera modificación al cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
- 66 -
Figura 6-29Evolución aplicando una tercera modificación al cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
En una cuarta modificación, esto cruzando a la madre con igual posibilidad con los cinco extremos de arriba y abajo de la generación con respecto a ella se observa el siguiente comportamiento:
Figura 6-30Solución aplicando una cuarta modificación al cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
- 67 -
Figura 6-31Evolución aplicando una cuarta modificación al cruzamiento.En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
En una quinta modificación, al cruzar la madre con igual posibilidad con los primeros quince mejores de la generación y a los quince peores por debajo de ella, se observa el siguiente comportamiento:
Figura 6-32Solución aplicando un quinto caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
Figura 6-33Evolución aplicando el quinto caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia. - 68 -
Sexto caso, cruzando a la madre con igual posibilidad con los primeros veinte mejores de la generación y a los veinte peores por debajo de ella, se observa el siguiente comportamiento:
Figura 6-34Solución con un sexto caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
Figura 6-35Evolución con un sexto caso de cruzamiento.En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Séptimo caso, cruzando a la madre con igual posibilidad con los primeros 50 mejores de la generación y a los 50 peores por debajo de ella, se observa el siguiente comportamiento:
Figura 6-36Solución con un séptimo caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
- 69 -
Figura 6-37Evolución del séptimo caso de cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Octavo caso, cruzando a la madre con igual posibilidad con los primeros 35 mejores de la generación y a los 35 peores por debajo de ella, se observa el siguiente comportamiento:
Figura 6-38Solución del octavo caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
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Figura 6-39Evolución del octavo caso de cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Siguiendo la búsqueda se aplica un noveno caso, cruzando a la madre con igual posibilidad con los primeros 25 mejores de la generación y a los 25 peores por debajo de ella, se observa el siguiente comportamiento:
Figura 6-40Solución aplicando el noveno caso de cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
- 71 -
Figura 6-41Evolución aplicando el noveno caso de cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Se utilizó el mejor de los casos del cruzamiento con el mejor de los casos de las mutaciones prendidas. El resultado fue el siguiente:
Figura 6-42Solución aplicando mejores casos de mutación y cruzamiento. Fuente: Elaboración propia.
- 72 -
Figura 6-43Evolución aplicando los mejores casos de mutación y cruzamiento. En línea horizontal número de generación y en línea vertical peso de la solución miles de kg. Fuente: Elaboración propia.
Como no se llegó a una solución satisfactoria se hicieron variaciones de los porcentajes de mutación, cruzamiento y reproducción. Los resultados se ven el Cuadro. Cuadro 6-1. Tabla con casos de variación de porcentajes de uso de operadores genéticos Caso
Mutación %
1 2 3 4 5 6 7 8
15 20 10 25 30 50 100 0
Reproducción Cruzamiento % %
15 20 10 25 30 0 0 0
70 60 80 50 40 50 0 100
- 73 -
Converge
Si Si Si No No No No No
Generación
Valor de convergencia
97 80 55
71.23 67.01 72.4
-
-
-
-
6.4.1.
Observaciones por variaciones de porcentajes
Los porcentajes aplicados permitieron determinar un porcentaje adecuado de individuos que producen las mejores soluciones, en este caso un 10% en cruzamiento y reproducción. Al comparar los porcentajes se observa que hay algunas combinaciones que demuestran un buen desempeño, casos 1-3, no se puede determinar cuál fue la mejor combinación que aplicó las tres operaciones genéticas, pero sí se puede determinar que combinaciones no usar. 6.5.
Aplicación de la Matriz de Adyacencia Modificada Los resultados mostrados anteriormente fueron aplicando la representación
de Gutiérrez (2007). Una matriz donde las filas representan barras con todas sus propiedades, coordenadas, secciones transversales, longitudes, nodo inicial y nodo final. Los resultados que se muestran a continuación son empleando la representación por adyacencia introducida en esta tesis. En esta corrida dos individuos resultaron ser mejores que la solución encontrada por Yang and Kiong (2002) y ambos en menos iteraciones. Su resultado fue encontrado en la generación número 83 y con un peso de 45,404 kg contra un individuo encontrado en la generación 58 con un peso de 44,667.9 kg y el mejor individuo encontrado en la generación 74 con un peso de 43,079.1 kg. El Cuadro 6-2 muestra la representación del mejor individuo, los números corresponden a 30 secciones transversales W, 1 representa la sección W14x22 y crece hasta 30 que representa la sección W14x426.
Figura 6-44Individuo en la generación 74 generado con el caso de Yang y Kiong. Fuente: Elaboración propia.
- 74 -
Los resultados que se muestran a continuación son empleando la representación por adyacencia introducida en esta tesis. En esta corrida dos individuos resultaron ser mejores que la solución encontrada por Yang and Kiong (2002) y ambos en menos iteraciones. Su resultado fue encontrado en la generación número 83 y con un peso de 45,404 kg contra un individuo encontrado en la generación 58 con un peso de 44,667.9 kg y el mejor individuo encontrado en la generación 74 con un peso de 43,079.1 kg. El Cuadro 6-2 muestra la representación del mejor individuo, los números corresponden a 30 secciones transversales W, 1 representa la sección W14x22 y crece hasta 30 que representa la sección W14x426. Agarwal (2005) solucionó una variación de la estructura del puente de 70x10m. Esta variación consiste en cambiar el soporte deslizante con una conexión articulada con el objetivo de tener un dominio completamente simétrico, también varió la posición de las cargas puntuales. Él intenta presentar diferentes topologías geometrías con esta aproximación. Agarwal presentó una mejor solución de 36,304 kg, sin embargo, su topología es la misma que la de Yang y Kiong (2002). Agarwal menciona que en comparación con otras metodologías no es directa, y da un rango de 10 a 100 en las que su solución fue encontrada. El resultado de esta investigación desarrolla una solución de 33,903 kg dentro de la generación número 41 y una solución de 29,906 kg dentro de la generación 74 de la misma corrida (Figura 6-45), la mejor solución está representada en Cuadro 63.
- 75 -
Cuadro 6-2. Representación del mejor individuo en la generación número 74 generado con el caso de Yang y Kiong (2002).
Coord
Nodo # x
Y
Matriz de adyacencia
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
0 0 16
0
0
0
0
0
0 15
0
0
0
0
0
0
0 19
0
0
0
0
0
9
7
0
0
0
0
0
0 20
0
0
0
0
0
8
3
0
0
0
0
0 18
0
0
0
0
0
8
3
0
0
0
0 20
0
0
0
0
0
3
8
0
0
0 19
0
0
0
0
0
3
8
0 9
1
0
2
10
0
3
20
0
4
30
0
5
40
0
6
50
0
7
60
0
0 16
0
0
0
0
0
7
8
70
0
0
0
0
0
0
0
0 15
9
4.5
5
0 19
0
0
0
0
0
10
13
8
0 20
0
0
0
0
0 22
0
0
0
0 22
0
0
0 20
0
Simétrica
11 23.5 10 12
35 10
13 46.5 10 14
57
8
0 19
15 65.5
5
0
Figura 6-45Individuo en la generación 74 del caso Agarwal (2005). Fuente: Elaboración propia. - 76 -
Cuadro 6-3. Representación del mejor individuo de la generación 74 en el caso Agarwal (2005).
Coord
Matriz de adyacencia
Nodo #
x
y
1
0
2
1
2 3 4 5 6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
0 0 13 0 0 0 0 0
0 18
0
0
0
0
0
0
10
0
0 3 0 0 0 0
0
5
9
0
0
0
0
0
3
20
0
0 3 0 0 0
0
0
1
3
0
0
0
0
4
30
0
0 3 0 0
0
0
0
3
3
0
0
0
5
40
0
0 3 0
0
0
0
0
3
3
0
0
6
50
0
0 3
0
0
0
0
0
3
1
0
7
60
0
0 13
0
0
0
0
0
9
5
8
70
0
0
0
0
0
0
0
0 18
0 19
0
0
0
0
0
0 22
0
0
0
0
0 21
0
0
0
0 21
0
0
0 22
0
9
7 4.5
10
15.5 6.5
11
25.5 8.5
12
35
Simétrica
9
13
44.5 8.5
14
54.5 6.5
0 19
15
63 4.5
0
6.5.1.
Observaciones Las variaciones en porcentajes de cruzamiento, mutación y reproducción; la
introducción de una nueva representación; modificaciones en el cruzamiento y mutación producen resultados satisfactorios en los problemas de comparación.
- 77 -
6.6.
Resultados en casos de estudio A continuación se muestran los resultados de aplicar la metodología a nuevos
problemas de comparación. En primer problema es el de Hasancebi (2007). Aplica una variación en la altura del dominio, 35 m contra los 10 m del caso de Yang y Kiong (2002), obtiene una solución de 35,573 kg, encontrada en 500,000 pasos de iteración. A continuación, se muestran los resultados al momento. Se aplican 101 generaciones y 2000 individuos, 202,000 pasos de iteración.
Figura 6-46Evolución en caso Hasancebi. Fuente: Elaboración propia.
Figura 6-47Solución en caso Hasancebi. Relación esfuerzo/resistencia en figura 0-0.2, 0.20.4, 0.4-0.6, 0.6-0.8, 0.8-1.0. Fuente: Elaboración propia.
- 78 -
Figura 6-48Mejor solución de caso Hasancebi y su evolución. Relación esfuerzo/resistencia en figura 0-0.2, 0.2-0.4, 0.4-0.6, 0.6-0.8, 0.8-1.0. Fuente: Elaboración propia.
Figura 6-49Solución encontrada en corrida corta con un peso de 39, 684 kg. Relación esfuerzo/resistencia en figura 0-0.2, 0.2-0.4, 0.4-0.6, 0.6-0.8, 0.8-1.0. Fuente: Elaboración propia. Haciendo un recuento de los resultados obtenidos en este trabajo se presenta el Cuadro 64.
- 79 -
La mejor solución encontrada de para el caso de Hasancebi se presenta a continuación junto con la corrida que la generó. La solución se encontró en la generación 174 y usando 2000 individuos por generación. En una de las corridas cortas se encontró una solución donde se exploran soluciones atípicas, además, se encontró en un tiempo de 5 minutos,Figura 6-49.
Cuadro 6-4. Resumen de resultados obtenidos en caso de validación H=10m un apoyo
H=10m rugosos los dos
deslizante
apoyos
H=35 m
Investigación
Año
Masa kg
Iteraciones
Masa kg
Iteraciones
Masa kg
Iteraciones
1998
73,937
540,000
60,329
975,400
ND
ND
2002
ND
ND
45,404
166,000
ND
ND
2006
ND
ND
ND
ND
36,304
1,000-200,000
Shrestha and Ghaboussi Yang and Kiong
Agarwal
Gutierrez
2007
ND
ND
46,222
394,000
ND
ND
Hasançebi
2007
35,573
500,000
ND
ND
ND
ND
Esta 2009
35,502
358,000
43,079
106,000
29,906
148,000
0.2 %
28.4%
5.1%
36.1%
18.4%
ND
investigación
Mejoras
6.7.
Problema propuesto, casa de madera Se propuso un nuevo problema en tres dimensiones donde se encuentran las
secciones transversales de una casa hecha de madera. Cabe mencionar que este - 80 -
trabajo se desarrolló junto con un alumno de la licenciatura, él reportará otros datos adicionales. En este momento su tesis sigue en proceso de edición pero los resultados ya son los definitivos Los parámetros de diseño fueron los siguientes: El
reglamento
de
diseño
empleado
fueron
las
Normas
Técnicas
Complementarias para el Diseño de Estructuras de Madera (NTC-04) del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal. La función objetivo podría estar definida como: f(x)=min (V)
Sujeto a: σ ≤σ permisible ν ≤ ν permisible μ ≤ μ permisible λ ≤ λ permisible El detalle arquitectónico del problema se muestra en la siguiente figura:
- 81 -
1.75
m m
1.31
1.8 m
2.08
1m
2.5 m
3.23 m
2.6 m
Cuarto de servicios
2m
Baño
2.5 m
Zona común
Habitación
2.5 m
2.5 m
2.5 m
1.68 m
Cocina
Figura 6-50. Plano de casa de madera. Fuente: Elaboración propia.
Las cargas se definen por viento y por peso propio de los elementos según van cambiando sus secciones transversales durante la corrida. En este caso se hace el análisis estructural usando el código presentado por Ferreira (2009). La solución se generó por la metodología aquí propuesta con una modificación en la que se usa el concepto de “eras”, Figura 6-51.
- 82 -
Figura 6-51. Diagrama propuesto con la incorporación de eras.Fuente: Elaboración propia.
Las eras se refiere a qué algoritmo se usa de manera recursiva y que permite realizar ajustes durante la corrida. El término recursivo se emplea de manera que, dentro del proceso de evolución hay otro proceso evolutivo que se va ajustando conforme pasan las eras. Una era es un número finito de generaciones que evoluciona normalmente. En la primera era de una corrida se tiene que en la primera generación todos los individuos se generan de manera aleatoria. Mientras que, en la segunda era de esa misma corrida se toma el mejor individuo de la primera era y se usa en la primera generación de la segunda era junto con individuos inicializados aleatoriamente. Lo anterior permite acelerar el proceso de convergencia debido a que los individuos introducidos en eras posteriores tienen una mejor adaptación y generan individuos con menos penalizaciones que pasan por menos operaciones. - 83 -
El cuadro 6-5 muestra las dimensiones de las secciones transversales que se obtuvieron en la corrida y la Figura 6-52 muestra su evolución. Cuadro 6-5. Dimensiones de las secciones transversales de los elementos en el caso de la casa.
No. Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
Mejor solución b d m m 0.0479 0.1907 0.0326 0.2658 0.0906 0.0967 0.0428 0.1393 0.047 0.141 0.1212 0.168 0.0965 0.1129 0.0389 0.1667 0.0986 0.1208 0.047 0.1521 0.0726 0.2219 0.0568 0.1645 0.0388 0.217 0.0382 0.2813 0.0417 0.1558 0.0787 0.1021 0.0752 0.114 0.0768 0.1387 0.0785 0.1197 0.0758 0.1353 0.0777 0.1226 0.1004 0.154 0.0962 0.118 0.0952 0.0952 0.0771 0.1212 0.0836 0.1592 0.0741 0.1075 0.0763 0.1075 0.0967 0.1353 0.0793 0.1375 0.0938 0.1529 0.0564 0.1452 0.0543 0.2053 0.0452 0.1026 0.0471 0.1034 0.0487 0.2148 0.0291 0.1795 0.0429 0.1846 0.027 0.2364 0.0285 0.0895 0.0304 0.2721 0.0401 0.1223 0.059 0.1141 0.0529 0.1551 0.0162 0.2287 0.0239 0.0879 0.0179 0.1665
No. Elemento 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
b m 0.0405 0.0481 0.0292 0.0307 0.0357 0.0695 0.0229 0.0593 0.0423 0.0883 0.0157 0.0848 0.0173 0.0207 0.0159 0.0319 0.058 0.0272 0.027 0.0807 0.0376 0.0164 0.0204 0.0304 0.0402 0.0689 0.1081 0.0371 0.0281 0.0376 0.0319 0.0196 0.0239 0.0284 0.0526 0.0754 0.0244 0.0712 0.0239 0.0223 0.076 0.0614 0.0272 0.0211 0.0263 0.016 0.054
- 84 -
d m 0.1801 0.114 0.2697 0.255 0.2048 0.1147 0.1553 0.1072 0.1708 0.1168 0.1275 0.118 0.1271 0.16 0.1049 0.1394 0.0953 0.1633 0.17 0.0956 0.1505 0.188 0.2383 0.2917 0.1378 0.1508 0.1209 0.1236 0.2876 0.1227 0.2918 0.1513 0.2166 0.1543 0.1595 0.2119 0.2388 0.1089 0.2131 0.165 0.1193 0.1679 0.1306 0.2019 0.1138 0.0931 0.1143
No. Elemento 95 96 97 98 99 100 101 102 103
b m 0.0238 0.0286 0.1105 0.0182 0.0313 0.0347 0.0522 0.024 0.0324
d m 0.2523 0.1475 0.1111 0.2698 0.112 0.1722 0.1177 0.2204 0.1617
Figura 6-52. Evolución de caso de la casa de madera.Fuente: Elaboración propia.
En la solución mostrada las barras no rebasan los esfuerzos resistentes y los desplazamientos se encuentran dentro de los permisibles por las NTC-04.
- 85 -
7.
CONCLUSIONES Se logra una automatización parcial en el proceso de diseño de una
armadura, debido a que el tamaño de las poblaciones y el número de generaciones los tiene que dar el usuario. Sin embargo, una contribución importante es que se logra incorporar información del dominio desde un enfoque estructural. Enfoque que permite tener una memoria de cómo se comportan partes de la solución para realizar operaciones especializadas ayudando a acelerar el proceso de convergencia sin sacrificar la capacidad de exploración del algoritmo. Se encuentran soluciones que otras metodologías no habrían podido encontrar, soluciones asimétricas, soluciones que toman muy poco tiempo de cómputo, 5 minutos. El análisis de sensibilidad aquí usado permitió encontrar los valores adecuados de los parámetros sensibles en un algoritmo evolutivo, como son: las penalizaciones, los porcentajes de individuos que generan los operadores genéticos y la representación. Este análisis se ejecutó sobre corridas aleatorias que representaron una muestra lo suficientemente grande para tener un comportamiento parecido al de una corrida normal, y que permitiera hacer ajustes de una forma más rápida. Los ajustes a penalizaciones y a los porcentajes de individuos generados por operadores genéticos permitieron observar comportamientos con potencial de generar soluciones cercanas a óptimos globales. Lo anterior se estimó del comportamiento en las corridas cortas debido a que en ellas se podía observar que los parámetros ajustados tendían a converger en situaciones aleatorias, y mostraban un comportamiento constante aun cambiando la semilla. Lo anterior permitió suponer que en una corrida con un mayor número de iteraciones los parámetros ajustados podrían dirigir la evolución a óptimos globales aun cuando en corridas cortas sólo se demostrará tendencia a la convergencia. Durante el proceso de
ajuste
de
parámetros emergió
una
nueva
representación que permitió incorporar información de una manera explícitaimplícita, ya que, por el acomodo de la matriz y los valores de memoria se pudo incorporar información adicional sobre la geometría de la solución y su comportamiento ante las cargas aplicadas. Esta información adicional permitió - 86 -
reconocer qué partes de la estructura tienen un mejor comportamiento y, así poder dirigir operaciones especializadas sobre partes de la solución y no aplicar sólo operaciones genéricas. Las variaciones encontradas en las condiciones de frontera del diseño de un puente de 70 m de claro fueron resueltas en menos iteraciones, encontrando soluciones más ligeras en todos los casos. Dichas soluciones no se encontraron en las primeras corridas, con los parámetros ya ajustados, sin embargo se encontraron en menos de 20 corridas en todos los casos con una desviación estándar menor al 5 por ciento. Entre cada corrida únicamente se cambiaron las condiciones de frontera y el número de iteraciones. Se encontró que la solución más difícil de superar fue la de Hasancebi (2007). Sin embargo, no se logró superar mediante el uso de operaciones especializadas, ya que, Hasancebi (2007) uso tambiénoperaciones especializadas aunque en una metodología de estrategias evolutivas, sino con el empleo de una representación que permitiera incorporar la memoria del comportamiento de las barras ante cargas en la estructura que fue lo que permitió acelerar la convergencia y llegar a una solución ligeramente menor. Las soluciones cercanas a óptimas globales encontradas en menos iteraciones se obtuvieron debido a que el algoritmo hace una búsqueda local dentro de las soluciones y toma de ellas las partes que mejor se adaptan al problema. La búsqueda local se realiza en una microrregión (toma lo mejor de dos individuos en el caso del cruzamiento y lo mejor de un individuo en el caso de la mutación) y no se queda en ella, ya que, los mismo operadores pueden desechar esa información si encuentran algo mejor en otra solución. La integración de la nueva representación y sus operaciones especializadas permitieron que se logre una búsqueda más rápida sin sacrificar capacidad de exploración. Es más rápida debido a que sus operaciones se centran en grupos de barras y nodos dentro de la representación que tienen características constantes durante toda la corrida, como las barras en los nodos que quedan fijos, esto reduce el tamaño de la búsqueda en la representación, por lo tanto en el dominio general del problema. Además sobre cada segmento de la representación se conocen limitantes y estructura, ésta puede ser diagonal y/o simétrica. En las operaciones - 87 -
genéticas la representación ayuda a conservar la topología de los individuos. En esta investigación no se observó una sensibilidad significativa en la variación de las coordenadas de los nodos, pero no significa que no tenga impacto sobre la solución final. Las coordenadas están directamente relacionadas con la geometría de la estructura, por ende, podrían impactar en la velocidad de convergencia en la corrida. Se presenta el diseño de una casa de madera, donde se logra que la corrida converja a una solución factible en 5 horas. En ella se consideran esfuerzos distintos a los tomados en la armadura. Por el número de barras, se puede decir que es un problema tan complejo como el de la armadura. En este problema no se sobrepasa ningún esfuerzo resistente (axial, cortante, flexión) y se llega a una solución construible. Las limitaciones que se observaron durante las corridas es que si no se hace un ajuste adecuado de los operadores especializados de optimización, la corrida tiende a estancarse en óptimos locales rápidamente. Por lo anterior, una prospectiva en la investigación es la introducción de las eras. Una era representa el comienzo de una corrida que puede contener el mejor individuo de una corrida inmediata anterior, además de los parámetros ajustados. Sin embargo, se sigue trabajando en reducir los parámetros iniciales que tiene que dar el usuario del algoritmo y en ampliar la gama de problemas que se pueden resolver sin ajustar la metodología. Otra aplicación importante se vislumbra en el complementar herramientas de software como lo son los software paramétricos: Bentley Systems‟ Generative Components o McNeel‟s Grasshopper para Rhino (Oxman y Oxman, 2010). Estas herramientas ya usan procesos evolutivos para generar modelos en tres dimensiones de modelos de edificios y otras aplicaciones de la vida real, pero ellas no toman en cuenta directamente las demandas estructurales en dichos modelos.
- 88 -
8.
LITERATURA CITADA
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9.
APENDICEPrograma generado en MatLab
(más información sobre el programa:
[email protected]) %%optimización de armaduras por Cigoto % Datos de entrada clear all; global claro alto si pvol so nsec minlb mxlb maxbar global Ey Fy Fy9 n ngen simetria clc ngen=51; %constante para el numero de generaciones n=100;%constante para el numero de individuos % topologia=1; %1 variable 2 fija % simetria=2; %1 asimetrico 2 simetrico % maxn=24;%constante para el maximo numero de nodos en toda la est % minnod=5; % claro=70;%claro del dominio espacial puente % alto=35; %alto del dominio espacial puente % mxlb=claro/2; %maxima longitud de barra % minlb=5; %minima longitud de barra % maxbar=10; %maximo numero de barras que salen de un nodo % minbar=3;%minimo numero de barras que salen de un nodo % Ey=2.039432e+010; %Modulo de elasticidad del acero % Fy=2.537054e+007; %Esfuerzo de fluencia del acero A36 % Fy9=0; cuando se indica otro material u otro esfuerzo de fluencia f1=1e0;%penaliza maxima longitud%mejor factor encontrado 1e0 f2=1e0;%penaliza minima longitud%mejor factor encontrado 1e0 f3=1e0;%penaliza maximo desplazamiento%mejor factor encontrado 1e0 - 96 -
f4=1e0;%penaliza conectividades%mejor factor encontrado 1e0 f5=1e0;%penaliza resistencia%%mejor factor encontrado 1e0 f6=1e0;%penaliza esbeltez%mejor factor encontrado 1e0 factores=[f1 f2 f3 f4 f5 f6]'; indiv=cell(1,1); deform=cell(1,1); dua=cell(1,1); malos=zeros(n,1); malosgen=zeros(ngen,1); masa=zeros(n,1); masapenal=zeros(n,6); caso='10barras';%caso a resolver %puente70,10barras,25barras,72barras [oblig, topologia, simetria... ,maxn,minnod,claro,alto,mxlb,minlb,maxbar,minbar,... Ey,Fy,Fy9,pvol]=parametrosiniciales(caso); if strcmp('puente70',caso) load si; %base de datos de secciones cambiar segun se ocupen else pasoarea=0.00064516*.1; si=(1*pasoarea:pasoarea:(90*pasoarea))'; %m2; tope=length(si); si=[(1:tope)' si ones(tope,1) pvol.*si]; end nsec=length(si); wnod=length(oblig); maxnod=maxn-wnod(1); %nodos no cargados o apoyados - 97 -
so=size(oblig); tribu=1e6;%factor de reducción para memoria de eficiencia supremo=0; era=[]; evolsierra=[]; semilla=[]; warning off all tic semen=50; eras=4; for sem=1:semen for era=1:eras n=n+(era-1)*0; evol=zeros(ngen,5); evol(:,1)=(1:ngen)'; semilla=era+sem-1; rand('seed',semilla); %para iniciar con semilla conocida semilla valiosa 31 for ig=1:ngen %ciclo generaciones resist=[]; esbeltez=[]; clc in=ig*n-n+1;%numero inicial en la generación fin=ig*n;%numero final de la generación for i=in:fin %ciclo población if ig==1 %topologia = 1 variable 2 fija - 98 -
if simetria==1&& topologia==1 [indiv]=genIndiv(i,indiv,oblig,maxnod,minnod); elseif topologia==1 [indiv]=genIndivSim(i,indiv,oblig,maxnod,minnod); elseif topologia==2 [indiv]=genIndivfijo(i,indiv,oblig,caso,nsec); end end if era>1&&ig==1 indiv{i}=supremo; end if topologia==2 indiv{i}(:,1:2)=oblig(:,1:2); end [indef,displacements,reactións,L,radios,elementNodes,indiv]=arm2d(... Ey,si,indiv,i); %drawInd(indiv,i,1,'-','black'); if topologia==1 [resist,esbeltez,indef,relacEsbel]=datosEval(resist,esbeltez,indef,... radios,L,ig,i); else [resist,esbeltez,indef,relacEsbel]=datosEvalFija(resist,... esbeltez,indef,radios,L,ig,i); end %indef= esfuerzos|areas|relación de esbeltez| resistencia if topologia==1 - 99 -
[masapenal,masa,malos]=penal(masapenal,indiv,claro,i,ig,n,indef,... pvol,masa,displacements,si,L,mxlb,minlb,nsec,malos,alto); if malos(i-(ig-1)*n)==1 resist(i-(ig-1)*n)=max(masa); esbeltez(i-(ig-1)*n)=max(masa); end else masa(i-(ig-1)*n)=sum(L'.*indef(:,2)*pvol); end masapenal(i-(ig-1)*n,5:6)=[resist(i-(ig-1)*n)... esbeltez(i-(ig-1)*n)]; deform{i}=[indef L']; presist=resist(i-(ig-1)*n); pesbeltez=esbeltez(i-(ig-1)*n); if topologia==1 [indiv]=tribulación(indiv,i,deform,displacements,relacEsbel,... presist,pesbeltez,tribu); else [indiv]=tribulaciónFija(indiv,i,deform,relacEsbel,... presist,pesbeltez,tribu); end dua{i}=displacements; %[x]=IndDef(indiv,deform,i,1,'-'); end resist=0; esbeltez=0; - 100 -
m1=masapenal*factores; gerarquia=sortrows([ m1+masa ((1:n)+(ig-1)*n)']); padres=gerarquia(1:round(n*.85),2); %guardado(gerarquia(1,2),indiv,deform,dua); if ig1 for j=n*(ig-2)+1:n*(ig-1) indiv{j}=[]; deform{j}=[]; end - 101 -
end %drawInd(indiv,gerarquia(1,2),1,'-','black'); b=gerarquia(1,2); evol(ig,2:5)=[b masa(b-(ig-1)*n) gerarquia(1,1) sum(masa)/n]; %
semilla=[semilla n ngen]; %
name=['evol' int2str(semilla) '.txt '];
%
save (name, 'evol','-ascii');
car=sprintf('Gen: %i',ig-1); disp (car) masa=zeros(n,1); clear displacements indef end a=toc; evol(:,3:5)=evol(:,3:5)/1000; c1=evol(:,1); c2=evol(:,3); c3=evol(:,4); c4=evol(:,5); mind=sortrows([evol(:,1) (evol(:,4)-evol(:,3))+evol(:,3) evol(:,3)],2); a(1,2)=sum(malos); a(1,3)=max(malosgen); a(1,4)=find(max(malosgen)==malosgen,1); a(1,5)=max(sum(masapenal)); evolsierra=[evolsierra; [evol(:,1)+(ngen*(era-1)) evol(:,2:end)]]; evol=[a;evol; evol(mind(1),:)]; semilla=[semilla n ngen]; - 102 -
name=['evol' int2str(semilla) '.txt ']; save (name, 'evol','-ascii'); %
figure;
%
plot(c1,c2,'b-',c1,c3,'r--',c1,c4,'g:','LineWidth',1)
%
%axis equal
%
xlabel('Generatión Number')
%
ylabel('Weight in thousands of kilograms')
%
title('Evolutión Optimum__Average W-.-Grade...')
%
text(mind(1,1),mind(1,3),'\leftarrow Best',...
%
'HorizontalAlignment','left')
[indiv]=pureza(indiv,gerarquia(1,2)); %
%drawInd(indiv,gerarquia(1,2),1,'-','black');
%
[seguridad]=IndDef(indiv,deform,gerarquia(1,2),1,'-');
supremo=indiv{gerarquia(1,2)}; clear evol mind; end toc c1=evolsierra(:,1); c2=evolsierra(:,3); c3=evolsierra(:,4); c4=evolsierra(:,5); figure; plot(c1,c2,'b-',c1,c3,'r--',c1,c4,'g:','LineWidth',1) xlabel('Generatión Number') ylabel('Weight in thousands of kilograms') title('Evolutión Optimum__Average W-.-Grade...') - 103 -
mind=sortrows([evolsierra(:,1) (evolsierra(:,4)-evolsierra(:,3))... +evolsierra(:,3) evolsierra(:,3)],2); text(mind(1,1),mind(1,3),'\leftarrow Best',... 'HorizontalAlignment','left') evolsierra=[]; end warning on all;
functión[indiv]=genIndiv(gen,indiv,oblig,maxnod,minnod) global claro alto so nsec minlb mxlb nnod=round(rand(1)*(maxnod-minnod))+minnod; nx=(claro/nnod:claro/nnod:claro)'-rand(nnod,1)*claro/nnod; nodos=sortrows([nx rand(nnod,1)*(7*alto/10)+3*alto/10]); nodos=round(nodos*10)/10; [nodos]=redon(nodos); nodos(:,3:8)=0;%restricciones y cargas nodos(:,3:4)=1;%carga conocida indiv{gen}=[oblig;nodos]; l=sqrt(sum((indiv{gen}(1:end-1,1:2)-indiv{gen}(2:end,1:2)).^2,2)); l=find(l(so(1)+1:end)=minlb&long.8 if size(mut,1).8 %agrega celula pfija=[pfija; pfija(end,:)]; cd=[mut(1,1:2); mut(so(1)+1:end,1:2); mut(so(1),1:2)]; - 112 -
L=sqrt(sum((cd(1:end-1,1:2)-cd(2:end,1:2)).^2,2)); Lmax=max(L); Lmax=Lmax(1); Lmax=find(L==Lmax,1); cd1=(cd(Lmax+1,1:2)-cd(Lmax,1:2))/2+cd(Lmax,1:2); cd1(1)=round(cd1(1)*10)/10; cd1(2)=round((((alto-cd1(2))*rand(1))+cd1(2))*10)/10; mut(end+1,:)=0; mut(:,end+1)=0; mut(so(1)+Lmax:end,:)=mut(so(1)+Lmax-1:end-1,:); mut(:,2+so(1)+Lmax:end)=mut(:,Lmax+1+so(1):end-1); mut(Lmax+so(1),1:2)=cd1;mut(Lmax+so(1),Lmax+so(1)+2)=0; mut(Lmax+so(1):end,Lmax+so(1)+2)=0; mut(2:Lmax+so(1),Lmax+so(1)+2)=mut(1:Lmax+so(1)-1,Lmax+so(1)+2); mut(1,Lmax+so(1)+2)=0; [mLong]=matrizLongitud(mut(:,3:end),mut); m1=mut(:,3:end); m1(mLong>mxlb)=0; m1(mLong0 quita=find(sum(mut,2)==0); mut(quita,:)=[]; mut(:,2+quita)=[]; pfija(quita,:)=[]; end - 113 -
else %quita celula sm=size(mut); sm=so(1)+round((sm(1)-so(1))/2); quita=round((sm(1)-so(1)-1)*rand(1))+so(1)+1; mut(quita,:)=[]; mut(:,quita+2)=[]; pfija(quita,:)=[]; end end if rd10))/nsec); arcmut=round(rand(1)*2+1); %arcos 1 ppales, 2 sec y 3 terci if arcmut==1 %arcos principales fmut=(fmut-.5)*rand(1)+.5;%garantiza que no desaparecen arcos mut(1:so(1),3:2+so(1))=round(mut(1:so(1),3:2+so(1))*fmut); else if arcmut==2 %arcos secundarios fmut=(fmut-.5)*rand(1)+.5;%garantiza que no desaparecen arc mut(1:so(1),3+so(1):end)=round(mut(1:so(1),3+... so(1):end)*fmut); else %arcos terciarios fmut=(fmut-.5)*rand(1)+.5;%garantiza que no desaparecen arc mut(so(1)+1:end,3+so(1):end)=round(mut(so(1)+1:end,3+... so(1):end)*fmut); - 114 -
end end secmut=mut(:,3:end); else secmut=mut(:,3:end); fensec=fenotipo(:,3:end); fensec=(fensec-round(fensec))*1e6; fensec=fensec*(rand(1)*.3+.8); fensec(fensec0)=.5; secmut=round(secmut.*fensec); end secmut(secmut>nsec)=nsec; mut(:,3:end)=secmut; end if rd1>=.8 %quita o pone un arco mv rd1>=.8 secmut=mut(:,3:end); posibles=secmut; posibles(:,:)=1; posibles=posibles-tril(posibles); posibles(1:so(1),1:so(1))=0; [mLong]=matrizLongitud(posibles,mut); posibles(mLongmxlb)=0; posibles(round(so(1)/2)+1:so(1),:)=0; ter=posibles(so(1)+1:end,so(1)+1:end); ter=rot90(ter); - 115 -
ter=ter-triu(ter,1); ter=rot90(ter,-1); posibles(so(1)+1:end,so(1)+1:end)=ter; posibles=find(posibles==1); if posibles elejido=round((length(posibles)-1)*rand(1)+1); elejido=posibles(elejido); if secmut(elejido)==0 secmut(elejido)=round((nsec-1)*rand(1)+1); else secmut(elejido)=0; end end mut(:,3:end)=secmut; end if rd10); receptores=find(receptores>0); if receptores lcamb=length(cambios); lrec=length(receptores); cambio=round((lcamb-1)*rand(1)+1); recibe=round((lrec-1)*rand(1)+1); s1=ady(cambios(cambio)); ady(cambios(cambio))=0; ady(receptores(recibe))=s1; mut(:,3:end)=ady; end end [mut(:,1:2)]=redon(mut(:,1:2)); - 117 -
if simetria==2 [coord]=crdsim(mut(:,1:2)); szcrd=size(coord,1); szmt=size(mut); if szcrd~=szmt(1) dif=szcrd-szmt(1); nula=zeros(szcrd,szmt(2)+dif); if difround(mutación*n+in-1)&&imachos,20); machosrecesivos=find(madre300&indef(:,4)>0); b=indef(:,3)./300.*indef(:,2); a(d,1)=abs(L(d)'.*(b(d)-indef(d,2))); end elCompresión=(indef(:,1)indef(:,4)); b4=abs(indef(a,1))./indef(a,4).*indef(a,2).*L(a)'*pvol; resist(i-(ig-1)*n)=sum(b4); relacEsbel=elTensión*0; relacEsbel(elTensión)=indef(elTensión,3)./300; relacEsbel(elCompresión)=indef(elCompresión,3)./200; radiosideales=relacEsbel.*radios; for i=1:length(relacEsbel) if find(si(:,3)>radiosideales(i),1) radiosideales(i)=si(find(si(:,3)>radiosideales(i),1),3); else radiosideales(i)=si(end,3); end end relacEsbel=radiosideales./radios;
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