Al mercato con Euclide

VOL. 37B N. 1 - FEBBRAIO 2014 Poste Italiane s.p.a. - Spedizione in Abbonamento Postale - D.L. 353/2003 - (conv. In L. 27/02/2004 n° 46) art. 1, comma 1, NE/PD - Rivista mensile - Tiratura inferiore a 20.000 copie - Taxe Perçue

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AL MERCATO CON EUCLIDE

B.JANNAMORELLI

Al mercato con Euclide Bruno Jannamorelli

Marta è una brava casalinga assillata dalla preoccupazione di risparmiare denaro per arrivare a fine mese. Una mattina, al mercato rionale, è attratta da un venditore di stoffe che offre a buon prezzo spezzoni di tessuti per tovaglie. “Forse ho trovato la soluzione che cercavo per ricoprire il tavolo della taverna con una bella tovaglia!”, pensa fulmineamente Marta e acquista il pezzo di tessuto che le piace di più. Appena rientrata in casa, stende il tessuto sul tavolo della taverna ma… il tavolo è un hquadrato 3m x 3m mentre il tessuto è un rettangolo 2m x 5m. Marta si rende conto che il tessuto è più che sufficiente per ricoprire il atavolo, ma come bisogna tagliarlo e ricucirlo utilizzandolo interamente senza buttarne via nemmeno un pezzettino? Inoltre è b necessario che il numero di tagli sia il più piccolo possibile, in modo da economizzare il tempo per effettuare le cuciture. Dopo qualche notte insonne, Marta trova la soluzione ottimale: con tre tagli ottiene cinque pezzi che, opportunamente accostati, formano un quadrato. Primo taglio 2 1 2

Secondo taglio

1 2

3

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I due rettangoli 3 x 1 si sovrappongono e si tagliano lungo una diagonale (Terzo taglio). Ecco i cinque pezzi ottenuti da Marta:

Ed ecco il quadrato, di lato

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√

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La storia non finisce qui … Marta racconta alla sua amica Carla la soluzione trovata per trasformare un rettangolo in un quadrato equivalente ad esso e, per puro caso, anche Carla da tempo vuole ricoprire un tavolo quadrato 4m x 4m. Passa qualche giorno e Carla chiede aiuto all’amica per quadrare un tessuto rettangolare 3m x 6m acquistato al mercato dal solito venditore. Questa volta il problema si presenta più difficile e la soluzione di Marta fallisce. Però Nicòl, la nipotina di Marta trova un’altra soluzione sempre con tre tagli…

1° taglio

2° taglio

3° taglio

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Ottiene un quadrato di lato

√

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Il problema della quadratura di un rettangolo si diffonde in tutto il mercato rionale … Ancora una volta è Nicòl che risolve il problema di”quadrare” un rettangolo rivolgendosi a nonno Beppe, un professore di matematica in pensione. “Se il rettangolo ha dimensioni a, b allora il quadrato ad esso equivalente ha il lato ”. Questa è la conclusione della √ spiegazione di nonno Beppe, accompagnata da una figura che richiama a Nicòl il secondo teorema di Euclide. Dopo aver chiesto conferma al nonno se la figura da lui disegnata è proprio quella vista sul libro di Geometria, la ragazza esclama con forza: “Finalmente ho capito a cosa serve il secondo teorema di Euclide! Serve a quadrare un rettangolo.”

h

a b

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La soluzione trovata da Nicòl è applicabile a tutti i rettangoli di dimensioni a, b, con b = 2a. Il quadrato equivalente al rettangolo ha il lato √ √ √ come previsto da Euclide. Il quadrato ottenuto con i tre tagli di Marta ha il lato √ √ , sempre in accordo con il teorema di Euclide. La Geometria non risolve tutto … però aiuta! Quando sembra tutto risolto e in piazza non si parla più di quadrare rettangoli di stoffa, una mattina Francesca compra un pezzo di stoffa 30cm x 90cm per coprire un tavolo quadrato di lato 50cm. Ricordando la lezione del nonno di Nicòl, Francesca e le sue amiche sanno che il quadrato equivalente al rettangolo di stoffa deve avere il lato √ √ . Ben presto scoprono che, in questo caso, non si possono applicare né i tagli di Marta né quelli di Nicòl. Lo sconforto assale le sarte perché Euclide non suggerisce loro la soluzione. “Ho capito – esclama Nicòl – il teorema di Euclide ci dice come deve essere lungo il lato del quadrato, ma non risolve il problema pratico della realizzazione del quadrato”. “La geometria è solo teorica – rincara Marta – non risolve i problemi pratici!”. Dopo svariati tentativi andati a vuoto, Nicòl si rivolge nuovamente a nonno Beppe il quale fornisce una soluzione con sei tagli.

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Ecco il quadrato di lato

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√

Le amiche di Nicòl si convincono che con la geometria è possibile risolvere problemi pratici diversi da quegli esercizi scolastici contrabbandati per problemi, ma bisogna conoscere gli strumenti di questa nobile disciplina. La soluzione trovata da nonno Beppe è stata facilitata dal secondo teorema di Euclide che gli ha fornito la lunghezza del lato del quadrato, ma poi bisogna saper costruire quel lato come altezza di un triangolo equilatero di lato 60. “La soluzione di nonno Beppe è un Tangram a rovescio. Non ho i sette pezzi per ricostruire il quadrato come nel Tangram, ma devo ritagliare dal rettangolo i pezzi necessari a costruire un quadrato. È molto più interessante! Altro che i problemi sull’applicazione dei teoremi di Euclide che devo risolvere a scuola…”

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