Aceleración Instantánea

Aceleración Instantánea
La aceleración instantánea de un cuerpo es la que tiene el cuerpo en un instante específico, en un punto determinado de su trayectoria. Para definir el concepto de aceleración instantánea con precisión podemos partir de laaceleración media en un intervalo y hacer este infinitamente pequeño ( t 0 ). Este proceso es análogo al que seguíamos con la velocidad media para calcular la velocidad instantánea.
Se define la aceleración instantánea, o simplemente aceleración, como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Su expresión viene dada por:
a =lim t 0a m=lim t 0 v t=dv dt
donde:
a : Es la aceleración del cuerpo
a m : Vector aceleración media 
v : Vector variación de la velocidad
t : Intervalo de tiempo que tiende a 0, es decir, un intervalo infinítamente pequeño
La aceleración es una magnitud vectorial. La ecuación de dimensiones de la aceleración instantánea es [a] = LT--2 y por tanto su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado [m/s2].
Podrás encontrar el vector aceleración escrito mediante sus componentes cartesianas quedando:
vector aceleración en 3 dimensiones coordenadas cartesianas:
a =axi +ayj +azj =(lim t 0 vx t)i +(lim t 0 vy t)j +(lim t 0 vz t)j =dvxdti +dvydtj +dvxdtj
vector aceleración en 2 dimensiones coordenadas cartesianas:
a =axi +ayj =(lim t 0 vx t)i +(lim t 0 vy t)j =dvxdti +dvydtj
Como puedes observar, la aceleración instantánea es una magnitud vectorial que cumple:
Su módulo se puede expresar:
Mediante coordenadas cartesianas en 3 dimensiones:
a =a2x+a2y+a2z
Mediante coordenadas cartesianas en 2 dimensiones:
a =a2x+a2y
Su dirección y sentido, en general, no coincide con la del vector velocidad sino que dependen del cambio que experimente esta.

No confundas las componentes cartesianas de la aceleración con las componentes intrínsecas, que estudiaremos en apartados posteriores. Las componentes cartesianas son, simplemente, la descomposición del vector aceleración en los ejes cartesianos. Las componentes intrínsecas son la descomposición del vector aceleración en el sistema de referencia propio o intrínseco del movimiento, como estudiarás en el apartado dedicado a ello.
Por último indicarte que, al igual que cualquier otro vector, es posible que en ocasiones encuentres el vector aceleración escrito en función de su módulo. Para ello basta multiplicar el módulo del vector aceleración por unvector unitario con la misma dirección y sentido que a y que llamaremos u a por ser el vector unitario que contiene la dirección del vector aceleración.
 
a =a u a
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Un meteorito se desplaza por el cielo con una velocidad v (t) = (1+4·t) i +t2 j m. Calcular:
a) Su aceleración media entre los instantes t1=2 sg y t2=4 sg.
b) Su aceleración en el instante t3=6 sg.
Solución
Cuestión a)
Datos
v (t) = (1+4·t) i +t2 j m
t1=2 sg y t2=4 sg
Resolución
Para calcular la aceleración media debemos hacer uso de la siguiente ecuación:
a m=v 2 v 1t2 t1= v t
Conocemos t1 y t2. Ahora nos falta calcular la velocidad en el instante t1 (v 1) y en el instante t2 (v 2). Para ello basta sustituir en la ecuación de velocidad que nos han proporcionado en el enunciado del ejercicio:
Para t1=2 sg
v 1=v(2)=(1+4 2) i +(2)2 j m/sg v 1=9 i +4 j m/sg
Para t2=4 sg
v 2=v (4)=(1+4 4) i +(4)2 j m/sg v 2=17 i +16 j m/sg
Sustituyendo en la primera ecuación:
a m=(17 9) i +(16 4) j 4 2 m/sg2 a m=8 i +12 j 2 m/sg2 a m=4 i +6 j m/sg
2
Cuestion b)
Datos
v (t) = (1+4·t) i +t2 j m
t3= 6 sg
Resolución
Para calcular la aceleración en el instante t3 debemos calcular previamente la aceleración instantánea:
a =lim t 0a m=lim t 0 v t=dv dt
Aplicando la derivada de la velocidad con respecto al tiempo obtenemos que:
a(t) =4 i +2 t j m/sg2
y sustituyendo el valor de t3=6 sg.
a(6) =4 i +2 6 j m/sg2 a(6) =4 i +12 j m/sg2