U.N.S.C.H Escuela Profesional de Ingeniería Civil “Diseño de una Red de Abastecimiento de agua – Método del Gradiente Hidráulico” Curso : Abastecimiento de Agua Potable y Alcantarillado Profesor : Ing. Joel Oré Iwanaga Estudiante : CANCHARI GUTIÉRREZ, Edmundo. Cod. Est. : 16005011
Ejemplo #01: Obtener las presiones en cada nudo y los caudales en cada tubería de la red que se muestra, mediante el método del gradiente hidráulico.
El sistema se encuentra en el plano y la cota piezométrica del “nudo 1” es de 80m.
Solución: El primer paso es dividir el sistema en una serie de elementos finitos identificando sus puntos extremos como “nudos”, una tubería debe estar plenamente identificada en la red por su nudo inicial y final estableciendo implícitamente la dirección del flujo del caudal en la tubería. Se debe enumerar nudos y tubería como se muestra.
Donde: -
Número de tuberías
-
Numeración de nudos
-
Dirección flujo de caudal.
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Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
2.0 Argumentos 2.1 Definiendo la Red (RED) Cada fila representa la conectividad de la tubería en la red. Donde: Columna #1: Número del nudo inicial Columna #2: Número del nudo final Columna #3: Longitud de la tubería en metros [m] Columna #4: Diámetro de la tubería en milímetros [mm] Columna #5: Sumatoria de los coeficientes de pérdidas locales
RED :=
1
3
4
5
1
1
2
300
254
0
2
1
3
400
203.2
0
3
2
4
400
203.2
0
4
4
6
500
132.4
0
5
3
5
500
152.4
4
6
5
6
300
152.4
0
7
4
3
300
152.4
0
2.2 Cota Topográfica del terreno (CT) [msnm] CT :=
2
2.3 Demanda en nudos(Qd) [lt/s] Qd :=
1
2.4 Rugosidad absoluta de la tubería [m]
1
1
0
1
0
2
0
2
50
3
0
3
30
4
0
4
40
5
0
5
20
6
0
6
40
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k s := 0.06⋅ 10
−3
2.5 Viscocidad cinemática [m2/s] −6
ν := 1.14⋅ 10
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2.6 Reservorios que abastecen a la red (RSV) Son los nudos de cota piezométrica conocida y los argumentos son: Donde: Columna #1: Número de nudo de cota piezométrica conocida Columna #2: Cota piezométrica [m] RSV :=
1 1
2 1
80
2.7 Definiendo bombas en la red (BMB) Se debe definir el número de la tubería y la altura de agua(presión de agua) adicional con la cual colabora la bomba a la red Donde: Columna #1: Número de tubería La ecuación de la bomba es de la forma: γ = a(Qac^2) + b(Qac) + c, se debe ingresar: Columna #2: Coeficiente "a" de la ecuación siempre negativo Columna #3: Coeficneinte "b" de la ecuación de la bomba Columna #4: Coeficiente "c" de la ecuación de la bomba BMB :=
1
2
3
4
1
1
0
0
0
2
5
0
0
0
No existe Bombas en la RED!!!! Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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3. Proceso de cálculo Para realizar el cálculo de presiones y caudales en la red, es necesario el siguiente planteamiento de matrices y vectores teniendo en ceunta que: Número de nudos de cota piezométrica desconocida: NN := rows( CT ) − rows( RSV)
NN = 5
Número de tuberías (tramos) NT := rows( RED)
NT = 7
Número de nudos de cota piezométrica conocida NS := rows( RSV)
NS = 1
3.1 Resultados generales Todas las matrices obtenidas en esta sección se mantienen constante en todo el procedimeinto de diseño. 3.1.1 Obteniendo la matriz de conectividad total (At), su dimensión es NT*(NN+NS) asociada a ca uno de los nudos de la red, con solo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila
At :=
•
"-1" en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i
•
"1" en la columna correspondiente al nodo final del tramo i
for i ∈ 1 .. NT ni ← RED
i, 1
nf ← RED At
i , ni
At
i , nf
i, 2
← −1 ←1
⎛ −1 ⎜ ⎜ −1 ⎜0 At = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎝
1
0
0
0
0⎞
0
1
0
0
−1 0
0⎟
1
0
−1 0
0
0
0
−1 0
0
0
0
0
1
−1 0
1
⎟
0⎟ 1⎟
⎟
0⎟
−1 1 ⎟
⎟
0⎠
At
de la matriz At se obtiene las matrices A12 y A10.
3.1.2 Matriz de conectividad A12 asociada a cada uno de los nudos de la red de cota piezométrica Comentarios:
[email protected] desconocida, de dimensión NT*NN Universidad Nacional San CristóBal de Huamanga Escuela Profesinal de Ingeniería Civil
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Los nudos de cota piezométrica desconocida son(NCPD):
NCPD := submatrix( NODE , rows( RSV) + 1 , rows( NODE) , 1 , 1 )
⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎜ ⎟ NCPD = ⎜ 4 ⎟ ⎜5⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠
y la matriz A12 resulta: A12 :=
〈( NCPD1 , 1)〉 A12 ← At
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ −1 A12 = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎝
for n ∈ 2 .. rows( NCPD) i ← NCPD
n, 1
(
〈i〉 A12 ← augment A12 , At
)
A12
0 −1 0
0
0
−1 0
1 0
0
0 1
−1 0
0 0
0
1
−1
0 0
1
0
1
0
0
0
0⎞
1
0
0
0⎟
0
1
0
0
−1 0
−1 0
1
⎟
0⎟ 1⎟
⎟
0⎟
−1 1 ⎟
0
0
1
−1 0
⎟
0⎠
T
A21 := A12
su traspuesta es A21: ⎛1 ⎜0 ⎜ A21 = ⎜ 0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0
⎞ ⎟ 1 ⎟ −1 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠ 0
3.1.3 Matriz topológica tramo a nodo, que asocia a las tuberías con los nodos de cota piezométrica conocida(Los reservorios) de dimensión NT*NS Los nudos de cota piezométrica conocida son(NCPC): 〈1〉 NCPC := RSV NCPC = ( 1 )
la matriz A10 resulta:
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A10 :=
〈( NCPC1 , 1)〉 A10 ← At if rows( NCPC) ≥ 2 for n ∈ 2 .. rows( NCPC) i ← NCPC
n, 1
(
〈i〉 A10 ← augment A10 , At
)
A10 A10
⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜0 ⎟ A10 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠
A10 es la matriz topológica tramo a nodo, para los NS nodos de cota piezométrica conocida, su dimensión es NT*NS con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados a los reservorios(Nudos de cota piezométrica conocida) 3.1.4 Vector de Cotas piezométricas fijas, cuya dimensión es NS*1 〈2〉 Ho := RSV Ho = ( 80 )
3.1.5 Vector de consumo, de dimensión NN*1 En este vector no interviene los nudos de cota piezométrica conocida.
q :=
submatrix( Qd , rows( RSV) + 1 , rows( Qd) , 1 , 1 ) 1000
3.1.6 matriz identidad, de dimensión NT*NT
⎛ 0.05 ⎞ ⎜ 0.03 ⎟ ⎜ ⎟ q = ⎜ 0.04 ⎟ ⎜ 0.02 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.04 ⎠
en m3/s
3.1.7 matriz diagonal M, de dimensión NT*NT
I := identity( NT) Ndw := 2 ⋅ I
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 I = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎝
0 0 0 0 0 0⎞
⎛2 ⎜ ⎜0 ⎜0 Ndw = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎝
⎟
1 0 0 0 0 0⎟ 0 1 0 0 0 0⎟ 0 0 1 0 0 0⎟
⎟
0 0 0 1 0 0⎟ 0 0 0 0 1 0⎟
⎟
0 0 0 0 0 1⎠
0 0 0 0 0 0⎞
⎟
2 0 0 0 0 0⎟ 0 2 0 0 0 0⎟ 0 0 2 0 0 0⎟
⎟
0 0 0 2 0 0⎟ 0 0 0 0 2 0⎟
los elementos de la diagonal principal son iguales al coeficiente "m", que depende de qué ecuación para la pérdida de carga se esté utilizando, en este caso utilizaré la de Darcy-Weisbach, para lo cual m=2 Universidad Nacional San CristóBal de Huamanga Escuela Profesinal de Ingeniería Civil
⎟
0 0 0 0 0 2⎠
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3.1.6 Ordenando el coeficiente de las ecuaciones para cada tubería BOMB :=
f ( x , y) ← 0 BOMB ← matrix( NT , 3 , f ) for i ∈ 1 .. rows( BMB) t ← BMB
i, 1
BOMB
← BMB
BOMB
← BMB
BOMB
← BMB
t, 1 t, 2 t, 3
i, 2 i, 3 i, 4
⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 BOMB = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎝
0 0⎞
⎟
0 0⎟ 0 0⎟ 0 0⎟
⎟
0 0⎟ 0 0⎟
⎟
0 0⎠
BOMB
3.2 Valores iniciales para las iteraciones. 3.2.1 Caudales que circulan en cada tubería f ( x , y ) := 0.2 Q := matrix( rows( RED) , 1 , f ) T
Q = ( 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 )
3.2.2 Diámetro de la tuberías [m] D :=
〈4〉 RED 1000
T
D = ( 0.254 0.203 0.203 0.132 0.152 0.152 0.152 )
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4. Proceso Iterativo: 4.1 Iteración #1 El caudal para la iteración actual es:
Qac := Q
⎛ 0.2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0.2 ⎟ ⎜ 0.2 ⎟ Qac = ⎜ 0.2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.2 ⎟ ⎜ 0.2 ⎟ ⎜ 0.2 ⎟ ⎝ ⎠
1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
γi + βi + Qi
1.1 Obteniendo el coeficiente α α :=
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
π⋅ D
i, 1
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1 ⎛ ks 2.51 ⎞⎟ ⎞⎟ + 2 ⋅ log ⎜ + , fa ⎜⎝ fa ⎜⎝ 3.7⋅ Di , 1 Re⋅ fa ⎟⎠ ⎟⎠
fa ← root⎜
0.08262686⋅ fa⋅ RED α
i, 1
←
i, 3
(Di, 1)
5
α
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⎛ 355.534 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1.485 × 103 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1.485 × 103 ⎟ ⎜ 4⎟ α = ⎜ 1.692 × 10 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 8.17 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 4.902 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ 4.902 × 10 ⎠ Comentarios:
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac β
i, 1
←
2
i, 1
( i, 1)
9.807 ⋅ π ⋅ D
⋅ RED
4
i, 5
β T
β = ( 0 0 0 0 122.576 0 0 )
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT γ ← BOMB
(
⋅ Qac
i, 1
i
)
2
i, 1
+ BOMB
⋅ Qac
i, 2
i, 1
+ BOMB
i, 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0 )
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
i, i
←α
(
⋅ Qac
i, 1
)
i, 1
2− 1
γ +β
i, 1
+
i, 1
Qac
i, 1
A11 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 71.107 ⎜ ⎟ 0 0 0 0 296.902 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 296.902 0 0 0 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 3 3.385 × 10 0 0 0 0 0 A11 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 3 0 0 0 0 1.757 × 10 0 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 0 980.399 0 0 0 ⎜ 0 ⎟ 980.399 ⎠ 0 0 0 0 0 ⎝
•
Vector de cargas piezométricas ⎡
Hnext := −⎢⎛ A21 ⋅ Ndw ⎣⎝
−1
⋅ A11
⋅ A12 ⎞
−1
− 1⎤
(
)
−1 −1 ⎤ ⎥⎡ ⎠ ⎦ ⋅ ⎣A21 ⋅ Ndw ⋅ Qac + A11 ⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac⎦
T
Hnext = ( 69.275 136.656 54.186 373.69 545.202 )
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•
Vector de caudales en las tuberías Qnext := ⎛ I − Ndw ⎝
− 1⎞
−1 −1 ⎠ ⋅ Qac − Ndw ⋅ A11 ⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
⎛ 0.175 ⎞ ⎜ − 3⎟ ⎜ 4.589 × 10 ⎟ ⎜ 0.125 ⎟ ⎜ ⎟ Qnext = ⎜ 0.027 ⎟ ⎜ 0.033 ⎟ ⎜ 0.013 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.058 ⎠ •
Comparando los caudales(en listros): ⎛ −24.589 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −195.411 ⎟ ⎜ −74.589 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( Qnext − Qac )⋅ 1000 = ⎜⎜ −172.529 ⎟⎟ ⎜ −167.471 ⎟ ⎜ −187.471 ⎟ ⎜ −142.059 ⎟ ⎝ ⎠
•
la norma del vector es:
Error :=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Qnext − Qac
(
)
Error = 0.397
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El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4. Proceso Iterativo: 4.1 Iteración #2 El caudal para la iteración actual es:
⎛ 0.175 ⎞ ⎜ − 3⎟ ⎜ 4.589 × 10 ⎟ ⎜ 0.125 ⎟ ⎜ ⎟ Qac := ⎜ 0.027 ⎟ ⎜ 0.033 ⎟ ⎜ 0.013 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.058 ⎠ 1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
γi + βi + Qi
1.1 Obteniendo el coeficiente α α :=
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
π⋅ D
i, 1
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1 ⎛ ks 2.51 ⎞⎟ ⎞⎟ + 2 ⋅ log ⎜ + , fa ⎜⎝ fa ⎜⎝ 3.7⋅ Di , 1 Re⋅ fa ⎟⎠ ⎟⎠
fa ← root⎜
0.08262686⋅ fa⋅ RED α
i, 1
←
i, 3
(Di, 1)
5
α
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⎛ 358.304 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2.403 × 103 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1.518 × 103 ⎟ ⎜ 4⎟ α = ⎜ 1.864 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 9.004 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 6.037 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ 5.167 × 10 ⎠ Comentarios:
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac β
i, 1
←
2
i, 1
( i, 1)
9.807 ⋅ π ⋅ D
⋅ RED
4
i, 5
β T
β = ( 0 0 0 0 20.225 0 0 )
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT γ ← BOMB
(
⋅ Qac
i, 1
i
)
2
i, 1
+ BOMB
⋅ Qac
i, 2
i, 1
+ BOMB
i, 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0 )
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
i, i
←α
(
⋅ Qac
i, 1
)
i, 1
2− 1
γ +β
i, 1
+
i, 1
Qac
i, 1
A11 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 62.703 0 ⎜ ⎟ 0 0 0 0 0 11.026 0 ⎜ ⎟ 0 0 0 0 189.781 0 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 503.185 0 0 0 A11 = ⎜ ⎟ 0 0 317.367 0 0 0 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 78.476 0 0 0 0 ⎜ 0 ⎟ 299.683 ⎠ 0 0 0 0 0 ⎝
•
Vector de cargas piezométricas ⎡
Hnext := −⎢⎛ A21 ⋅ Ndw ⎣⎝
−1
⋅ A11
⋅ A12 ⎞
−1
− 1⎤
(
)
−1 −1 ⎤ ⎥⎡ ⎠ ⎦ ⋅ ⎣A21 ⋅ Ndw ⋅ Qac + A11 ⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac⎦
T
Hnext = ( 75.216 78.852 70.226 64.595 62.639 )
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•
Vector de caudales en las tuberías Qnext := ⎛ I − Ndw ⎝
− 1⎞
−1 −1 ⎠ ⋅ Qac − Ndw ⋅ A11 ⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
⎛ 0.126 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0.054 ⎟ ⎜ 0.076 ⎟ Qnext = ⎜ 0.021 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.039 ⎟ ⎜ 0.019 ⎟ ⎜ 0.015 ⎟ ⎝ ⎠ •
Comparando los caudales(en listros): ⎛ −49.353 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 49.764 ⎟ ⎜ −49.353 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( Qnext − Qac )⋅ 1000 = ⎜⎜ −5.961 ⎟⎟ ⎜ 5.961 ⎟ ⎜ 5.961 ⎟ ⎜ −43.392 ⎟ ⎝ ⎠
•
la norma del vector es:
Error :=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Qnext − Qac
(
)
Error = 0.097
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4. Proceso Iterativo: 4.1 Iteración #3 El caudal para la iteración actual es:
⎛ 0.126 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0.054 ⎟ ⎜ 0.076 ⎟ Qac := ⎜ 0.021 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.039 ⎟ ⎜ 0.019 ⎟ ⎜ 0.015 ⎟ ⎝ ⎠
1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
γi + βi + Qi
1.1 Obteniendo el coeficiente α α :=
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
π⋅ D
i, 1
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1 ⎛ ks 2.51 ⎞⎟ ⎞⎟ + 2 ⋅ log ⎜ + , fa ⎜⎝ fa ⎜⎝ 3.7⋅ Di , 1 Re⋅ fa ⎟⎠ ⎟⎠
fa ← root⎜
0.08262686⋅ fa⋅ RED α
i, 1
←
i, 3
(Di, 1)
5
α
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⎛ 366.414 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1.618 × 103 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1.57 × 103 ⎟ ⎜ 4⎟ α = ⎜ 1.909 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 8.871 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 5.736 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ 5.916 × 10 ⎠ Comentarios:
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac β
i, 1
←
2
i, 1
( i, 1)
9.807 ⋅ π ⋅ D
⋅ RED
4
i, 5
β T
β = ( 0 0 0 0 23.902 0 0 )
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT γ ← BOMB
(
⋅ Qac
i, 1
i
)
2
i, 1
+ BOMB
⋅ Qac
i, 2
i, 1
+ BOMB
i, 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0 )
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
i, i
←α
(
⋅ Qac
i, 1
)
i, 1
2− 1
γ +β
i, 1
+
i, 1
Qac
i, 1
A11 0 ⎞ 0 0 0 0 ⎛ 46.168 0 ⎜ ⎟ 0 ⎟ 0 0 0 0 87.371 ⎜ 0 0 ⎟ 0 0 0 119.333 0 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 400.972 0 0 0 A11 = ⎜ ⎟ 0 ⎟ 0 369.885 0 0 0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 ⎟ 108.988 0 0 0 0 ⎜ 0 ⎟ 88.739 ⎠ 0 0 0 0 0 ⎝
•
Vector de cargas piezométricas ⎡
Hnext := −⎢⎛ A21 ⋅ Ndw ⎣⎝
−1
⋅ A11
⋅ A12 ⎞
−1
− 1⎤
(
)
−1 −1 ⎤ ⎥⎡ ⎠ ⎦ ⋅ ⎣A21 ⋅ Ndw ⋅ Qac + A11 ⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac⎦
T
Hnext = ( 75.656 72.495 70.393 60.581 59.25 )
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•
Vector de caudales en las tuberías Qnext := ⎛ I − Ndw ⎝
− 1⎞
−1 −1 ⎠ ⋅ Qac − Ndw ⋅ A11 ⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
0.11 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0.07 ⎜ ⎟ 0.06 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0.024 Qnext = ⎜ ⎟ 0.036 ⎜ ⎟ 0.016 ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ −4.344 × 10 ⎠
•
Comparando los caudales(en listros): ⎛ −15.949 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 15.949 ⎟ ⎜ −15.949 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( Qnext − Qac )⋅ 1000 = ⎜⎜ 3.395 ⎟⎟ ⎜ −3.395 ⎟ ⎜ −3.395 ⎟ ⎜ −10.656 ⎟ ⎝ ⎠
•
la norma del vector es:
Error :=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Qnext − Qac
(
)
Error = 0.03
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4. Proceso Iterativo: 4.1 Iteración #4 El caudal para la iteración actual es:
0.11 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0.07 ⎜ ⎟ 0.06 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0.024 Qac := ⎜ 0.036 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.016 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ 4.344 × 10 ⎠
1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
γi + βi + Qi
1.1 Obteniendo el coeficiente α α :=
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
π⋅ D
i, 1
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1 ⎛ ks 2.51 ⎞⎟ ⎞⎟ + 2 ⋅ log ⎜ + , fa ⎜⎝ fa ⎜⎝ 3.7⋅ Di , 1 Re⋅ fa ⎟⎠ ⎟⎠
fa ← root⎜
0.08262686⋅ fa⋅ RED α
i, 1
←
i, 3
(Di, 1)
5
α
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⎛ 370.362 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1.581 × 103 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1.602 × 103 ⎟ ⎜ 4⎟ α = ⎜ 1.884 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 8.933 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 5.864 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ 7.304 × 10 ⎠ Comentarios:
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac β
i, 1
←
2
i, 1
( i, 1)
9.807 ⋅ π ⋅ D
⋅ RED
4
i, 5
β T
β = ( 0 0 0 0 22.064 0 0 )
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT γ ← BOMB
(
⋅ Qac
i, 1
i
)
2
i, 1
+ BOMB
⋅ Qac
i, 2
i, 1
+ BOMB
i, 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0 )
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
i, i
←α
(
⋅ Qac
i, 1
)
i, 1
2− 1
γ +β
i, 1
+
i, 1
Qac
i, 1
A11 0 ⎞ 0 0 0 0 0 ⎛ 40.74 ⎜ ⎟ 0 ⎟ 0 0 0 ⎜ 0 110.648 0 0 ⎟ 0 0 0 96.124 0 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 452.194 0 0 0 A11 = ⎜ ⎟ 0 ⎟ 0 343.658 0 0 0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 ⎟ 93.832 0 0 0 0 ⎜ 0 ⎟ 31.728 ⎠ 0 0 0 0 0 ⎝
•
Vector de cargas piezométricas ⎡
Hnext := −⎢⎛ A21 ⋅ Ndw ⎣⎝
−1
⋅ A11
⋅ A12 ⎞
−1
− 1⎤
(
)
−1 −1 ⎤ ⎥⎡ ⎠ ⎦ ⋅ ⎣A21 ⋅ Ndw ⋅ Qac + A11 ⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac⎦
T
Hnext = ( 75.815 71.451 70.746 59.973 58.716 )
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•
Vector de caudales en las tuberías Qnext := ⎛ I − Ndw ⎝
− 1⎞
−1 −1 ⎠ ⋅ Qac − Ndw ⋅ A11 ⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
0.106 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0.074 ⎜ ⎟ 0.056 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0.025 Qnext = ⎜ ⎟ 0.035 ⎜ ⎟ 0.015 ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ −8.935 × 10 ⎠
•
Comparando los caudales(en listros): ⎛ −3.633 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3.633 ⎟ ⎜ −3.633 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( Qnext − Qac )⋅ 1000 = ⎜⎜ 1.301 ⎟⎟ ⎜ −1.301 ⎟ ⎜ −1.301 ⎟ ⎜ 4.591 ⎟ ⎝ ⎠
•
la norma del vector es:
Error :=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Qnext − Qac
(
)
−3
Error = 8.109 × 10
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4. Proceso Iterativo: 4.1 Iteración #5 El caudal para la iteración actual es:
⎛ 0.106 ⎞ ⎜ 0.074 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.056 ⎟ ⎜ ⎟ 0.025 Qac := ⎜ 0.035 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.015 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ 8.935 × 10 ⎠ 1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
γi + βi + Qi
1.1 Obteniendo el coeficiente α α :=
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
π⋅ D
i, 1
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1 ⎛ ks 2.51 ⎞⎟ ⎞⎟ + 2 ⋅ log ⎜ + , fa ⎜⎝ fa ⎜⎝ 3.7⋅ Di , 1 Re⋅ fa ⎟⎠ ⎟⎠
fa ← root⎜
0.08262686⋅ fa⋅ RED α
i, 1
←
i, 3
(Di, 1)
5
α
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⎛ 371.505 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1.574 × 103 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1.612 × 103 ⎟ ⎜ 4⎟ α = ⎜ 1.877 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 8.956 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 5.916 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ 6.398 × 10 ⎠ Comentarios:
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac β
i, 1
←
2
i, 1
( i, 1)
9.807 ⋅ π ⋅ D
⋅ RED
4
i, 5
β T
β = ( 0 0 0 0 21.451 0 0 )
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT γ ← BOMB
(
⋅ Qac
i, 1
i
)
2
i, 1
+ BOMB
⋅ Qac
i, 2
i, 1
+ BOMB
i, 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0 )
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
i, i
←α
(
⋅ Qac
i, 1
)
i, 1
2− 1
γ +β
i, 1
+
i, 1
Qac
i, 1
A11 0 ⎞ 0 0 0 0 ⎛ 39.379 0 ⎜ ⎟ 0 ⎟ 0 0 0 0 116.44 ⎜ 0 0 ⎟ 0 0 0 90.293 0 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 469.214 0 0 0 A11 = ⎜ ⎟ 0 ⎟ 0 334.902 0 0 0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 ⎟ 88.739 0 0 0 0 ⎜ 0 ⎟ 57.171 ⎠ 0 0 0 0 0 ⎝
•
Vector de cargas piezométricas ⎡
Hnext := −⎢⎛ A21 ⋅ Ndw ⎣⎝
−1
⋅ A11
⋅ A12 ⎞
−1
− 1⎤
(
)
−1 −1 ⎤ ⎥⎡ ⎠ ⎦ ⋅ ⎣A21 ⋅ Ndw ⋅ Qac + A11 ⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac⎦
T
Hnext = ( 75.706 71.738 70.375 60.001 58.666 )
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•
Vector de caudales en las tuberías Qnext := ⎛ I − Ndw ⎝
− 1⎞
−1 −1 ⎠ ⋅ Qac − Ndw ⋅ A11 ⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
0.108 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0.072 ⎜ ⎟ 0.058 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0.025 Qnext = ⎜ ⎟ 0.035 ⎜ ⎟ 0.015 ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ −7.455 × 10 ⎠
•
Comparando los caudales(en listros): ⎛ 1.522 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1.522 ⎟ ⎜ 1.522 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( Qnext − Qac )⋅ 1000 = ⎜⎜ −0.023 ⎟⎟ ⎜ 0.023 ⎟ ⎜ 0.023 ⎟ ⎜ −1.48 ⎟ ⎝ ⎠
•
la norma del vector es:
Error :=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Qnext − Qac
(
)
−3
Error = 3.024 × 10
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4. Proceso Iterativo: 4.1 Iteración #6 El caudal para la iteración actual es:
⎛ 0.108 ⎞ ⎜ 0.072 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.058 ⎟ ⎜ ⎟ 0.025 Qac := ⎜ 0.035 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.015 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ 7.455 × 10 ⎠ 1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
γi + βi + Qi
1.1 Obteniendo el coeficiente α α :=
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
π⋅ D
i, 1
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1 ⎛ ks 2.51 ⎞⎟ ⎞⎟ + 2 ⋅ log ⎜ + , fa ⎜⎝ fa ⎜⎝ 3.7⋅ Di , 1 Re⋅ fa ⎟⎠ ⎟⎠
fa ← root⎜
0.08262686⋅ fa⋅ RED α
i, 1
←
i, 3
(Di, 1)
5
α
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⎛ 370.925 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1.577 × 103 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1.607 × 103 ⎟ ⎜ 4⎟ α = ⎜ 1.877 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 8.956 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 5.916 × 10 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ 6.599 × 10 ⎠ Comentarios:
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac β
i, 1
←
2
i, 1
( i, 1)
9.807 ⋅ π ⋅ D
⋅ RED
4
i, 5
β T
β = ( 0 0 0 0 21.451 0 0 )
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT γ ← BOMB
(
⋅ Qac
i, 1
i
)
2
i, 1
+ BOMB
⋅ Qac
i, 2
i, 1
+ BOMB
i, 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0 )
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
i, i
←α
(
⋅ Qac
i, 1
)
i, 1
2− 1
γ +β
i, 1
+
i, 1
Qac
i, 1
A11 0 ⎞ 0 0 0 0 0 ⎛ 40.06 ⎜ ⎟ 0 ⎟ 0 0 0 ⎜ 0 113.545 0 0 ⎟ 0 0 0 93.21 0 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎟ 0 0 469.214 0 0 0 A11 = ⎜ ⎟ 0 ⎟ 0 334.902 0 0 0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 ⎟ 88.739 0 0 0 0 ⎜ 0 ⎟ 49.192 ⎠ 0 0 0 0 0 ⎝
•
Vector de cargas piezométricas ⎡
Hnext := −⎢⎛ A21 ⋅ Ndw ⎣⎝
−1
⋅ A11
⋅ A12 ⎞
−1
− 1⎤
(
)
−1 −1 ⎤ ⎥⎡ ⎠ ⎦ ⋅ ⎣A21 ⋅ Ndw ⋅ Qac + A11 ⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac⎦
T
Hnext = ( 75.74 71.636 70.489 59.98 58.666 )
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•
Vector de caudales en las tuberías Qnext := ⎛ I − Ndw ⎝
− 1⎞
−1 −1 ⎠ ⋅ Qac − Ndw ⋅ A11 ⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
⎛ 0.107 ⎞ ⎜ 0.073 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.057 ⎟ ⎜ ⎟ 0.025 Qnext = ⎜ 0.035 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.015 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ −7.93 × 10 ⎠ •
Comparando los caudales(en listros): ⎛ −0.832 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0.832 ⎟ ⎜ −0.832 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( Qnext − Qac )⋅ 1000 = ⎜⎜ 0.098 ⎟⎟ ⎜ −0.098 ⎟ ⎜ −0.098 ⎟ ⎜ 0.475 ⎟ ⎝ ⎠
•
la norma del vector es:
Error :=
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Qnext − Qac
(
)
−3
Error = 1.526 × 10
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
5. Ordenado Resultados Programa que Corrige H y Q con los argumentos establecidos en el capítulo 3, culmina cuando la norma del vector es menor a 0.0001 ⎛ H ⎞ := f ( x , y) ← 0.2 ⎜ ⎟ ⎝Q⎠
Qan ← matrix( NT , 1 , f )
DQ ← Qan H ← Qan Q ← Qan while DQ > 0.0001 for i ∈ 1 .. NT 4 ⋅ Qan Re ←
i, 1
π⋅ D
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1 ⎛ ks 2.51 ⎞⎟ ⎞⎟ + 2 ⋅ log ⎜ + , fa ⎜⎝ fa ⎜⎝ 3.7⋅ Di , 1 Re⋅ fa ⎟⎠ ⎟⎠
fa ← root⎜
0.08262686⋅ fa⋅ RED
i, 3
α←
(Di, 1) 8 ⋅ Qan
β←
5
i, 1
(
)
⋅ RED
i, 5
( i, 1) 2 γ ← BOMB ⋅ ( Qan ) + BOMB ⋅ Qan + BOMB i, 1 i, 1 i, 2 i, 1 i, 3 2
4
9.807 ⋅ π ⋅ D
A11
i, i
(
← α⋅ Qan
⎡ ⎣⎝
H ← −⎢⎛ A21 ⋅ Ndw
)
2− 1
i, 1
−1
⋅ A11
+ β+
−1
⋅ A12 ⎞
Q ← ⎛ I − Ndw ⎞ ⋅ Qan − Ndw ⎝ ⎠ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → DQ ← ⎡⎣( Q − Qan )⎤⎦ ⎯→ Qan ← Q −1
γ Qan
i, 1
− 1⎤
(
)
−1 −1 ⎤ ⎥⎡ ⎠ ⎦ ⋅ ⎣A21 ⋅ Ndw ⋅ Qan + A11 ⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qan⎦
−1
⎛ H⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Q⎠ Universidad Nacional San CristóBal de Huamanga Escuela Profesinal de Ingeniería Civil
⋅ A11
−1
⋅ ( A12 ⋅ H + A10 ⋅ Ho)
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Los caudales resultantes(que circulan) en cada tubería son(en litros/s): El signo negativo indica el flujo del caudal en sentido contrario al supuesto inicialmente. T
1000⋅ Q = ( 107.237 72.763 57.237 25.074 34.926 14.926 −7.837 )
Las cotas piezométricas en cada nudo son(en metros):
(
T
Hf := augment Ho , H
)
Hf = ( 80 75.732 71.657 70.461 59.983 58.664 )
Las presiones en los puntos son(en metros): T
P := Hf − CT
P = ( 80 75.732 71.657 70.461 59.983 58.664 )
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