A singular-value decomposition approach to X-ray spectral estimation from attenuation data

@

語 A SINGULAR-VALUEDECOMPOSmONAPPROACHTO X-RAY SPECTRALESTIMATION FROMATTENUATIONDATA S h o j iTOMINAGA Department0 1P r e c i s i o nE n g i n e e r i n ， g OsakaElectro-Comm削 i c a t i o nU n i v e r s i t y ，Neyagaw ， a Osaka5 7 2 ，Japan

R e c e i v e d2 5May1 9 8 5andi nr e v i s e df o r m1 6S e p t e m b e r1 9 8 5

As i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o n(SVD)a p p r o a c hi sd e s c r i b e df o re s t i m a t i n gt h ee x p o s u r e r a t es p e c t r a ld i s t r i b u t i o n so fX r a y sf r o m b i se s t i m a t i o np r o b l e mw i t hn o i s ym e a s u r e m e n t si sf o r m u l a t e da st h ep r o b l e mo f a t t e n u a t i o nd a t am e a s u r e dw i t hv a r i o u sf i l t r a t i o n s .1 ep r i n c i p l eo ft h eSVDa p p r o a c hi st h a tar e s p o n s em a i r i x， s o l v i n gas y s t e m' o fl i n e a re q u a t i o n sw i t ha ni l l c o n d i t i o n e dn a t u r e .Th r e p r e s e n t i n gt h eX r a ya t t e n u a t i o ne f f e c tbyf i l t r a t i o n sa tv a r i o u se n e r g i e s，c a nb ee x p a n d e di n t osummationo fi n h e r e n t∞mponent m a t r i c e s ，andt h e r e b yt h es p e c t r a ld i s t r i b u t i o n sc a nb er e p r e s e n t e da sal i n e a rc o m b i n a t i o no fsomecomponentc u r v e s .A c r i t e r i o n f u n c t i o ni sp r e s e n t e df o rc h o o s i n gt h ec o m p o n e n t sn e e d e dt of o r mar e l i a b l ee s t i m a t e .Thef e a s i b i l i t yo ft h ep r o p o s e da p p r o a c hi s p u t e rs i m u l a t i o nu s i n gah y p o t h e t i c a lX r a ys p e c t r u m . τ1 t ea p p l i c a t i o nr e s u l t so ft h es p e c t r a ld i s t r i b u t i o n s s t u d i e di nd e t a i li na∞m e m i t t e df r o mat h e r a p e u t i cX r a yg e n e r a t o ra r es h o w n .F i n a l l ysomea d v a n t a g e so ft h i sa p p r o a c ha r ep o i n t e do u t .

R e p r i n t e d 斤' o mNUCLEARINSTRUMENTSANDMETHODS INPHYSICSRESEARCHA

5 3 0

N u c l e a rI n s t r u m e n t sa n dM e t h o d si nP h y s i c sR e s e a r c hA 2 4 3( 1 9 8 6 )5 3 0 5 3 8 N o r t h H o l l a n d， A m s t e r d a m

A SINGULAR-VALUE DECOMPOSITION APPROACH T O X-RAY SPECTRAL ESTIMATION FROMATTENUATIONDATA S h o j iTOMINAGA Department01P r e c i s i o nE n g i n e e r 初 g ， OsakaElectro-CommunicationUniversi 机 Neyagawa ，Osaka5刀" Japan

R e c e i v e d2 5May1 9 8 5a n di nr e v i s e df o r m1 6S 巴p t e m b e r1 9 8 5

As i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o n( S V D )a p p r o a c hi sd e s ぽi b e df o re s t i m a t i n gt h eexposur~トrate s p e c 位' a ld i s t r i b u t i o n so fX r a y sf r o m s t i m a t i o np r o b l e mw i t hn o i s ym e a s u r e m e n t si sf o r m u l a t e da st h ep r o b l e mo f a t t e n u a t i o nd a t am e a s u r e dw i t hv a r i o u sf i l t r a t i o n s .Thise 血 a ni l I ∞ ，n d i t i o n e dn a t u r e .Thep r i n c i p l eo ft h eSVDa p p r o a c hi st h a tar e s p o n s em a t r i x ， s o l v i n gas y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n sw i r e p r e s e n t i n gt h eX r a ya t t e n u a t i o ne f f e c tb yf i l t r a t i o n sa tv a r i o u se n e r g i e s ， c a nb ee x p a n d e di n t os u m m a t i o no fi n h e r e n t∞m p o n e n t 5 ， a n dt h e r e b yt h es p e c t r a ld i s t r i b u t i o n sc a nb er e p r e s e n t e da sal i n e a rc o m b i n a t i o no fs o m ec o m p o n e n tc u r v ，凶. Ac r i t e r i o n m a t r i α: p o n e n t sn e e d e dt of o r mar e l i a b l ee s t i m a t e . τ' h ef e a s i b i l i t yo ft h ep r o p o s e da p p r o a c hi s f u n c t i o ni sp r e s e n t e df o rc h o o s i n gt h e∞m s t u d i e di nd e t a i li nac o m p u t e rs i m u l a t i o nu s i n gah y p o t h e t i c a lX r a ys p e c t r u m .T h ea p p l i c a t i o nr e s u l t so ft h es p e c t r a ld i s t r i b u t i o n s h o w n .F i n a l l ys o m ea d v a n t a g e so ft h i sa p p r o a c ha r ep o i n t e do u t . e m i t t e df r o mat h e r a p e u t i cX r a yg e n e r a t o r釘 es

I . I n 針。d u c t i o n

I ti sn'Ow a b ' O u tah a l fc e n t u r ys i n c et h ef i r s ta p P伺 r a n c e'Ofp a p e r sd e a l i n gw i t hameth ' O df ' O rd e t e n 凶n ' O n s'OfX r a y sf r ' O ma t t e n u a t i ' O n i n gt h es p e c t r a ld i s t r i b u t i me 俗 u r e m e n t sw i 白 f i l t r a t i ' O n[ 1， 2 ] .T h i se a r l i e s tmethod wasana n a l y t i c a la p p r ' O a c hu s i n gaL a p l a c et r a n s f ' O n n a ' O nf ' O rr e p r e s e n t i n gt h es p e c t r a ld i s t r i b u t i ' O n si na t i ' O n a lf ' O r m .Al t h ' O ughX r a ys p e c t r a ld i s t r i b u t i ' O n s f u n c t i t ' O dayc a nbed e t e r m i n e dbymeans'Ofas u i t a b l es pe c t r ' O m e t e r ， t h ea t t e n u a t i ' O nmeth ' O du s i n gf i l t r a t i ' O nd a t ai s s t i l lr e q u i r e di nc a s e swhereah i g hd'Os e r a t ep r e c l u d e s t h ed i r e c tmeasurementbyas p e c t r ' O m e t e r .V a r i ' O u st e c h ' O dh a v ebeen n i q u e si n c l u d i n gt h ec l a s s i c a lL a p l a c emeth ' O pedandr e f i n e df ' O re s t i m a t i n gr e l i a b l es p e c t r a l d e v e l d i s t r i b u t i ' O n s[ 3 9 ] .Asam a t t e r'Of∞u r s e ，t h er e c e n t ' O d sa r ed e f i n e d ぉ an u m e r i c a la p p r ' O a c hu s i n g meth c ' O m p u t e r sS'O白紙 t h ep e r f ' O rmancemayber e l a t e dt ' O t h ea b i l i t y'Ofc o m p u t e r sb e i n gu s e d . Th es p e c t r a le s t i m a t i ' O np r o b l e mw i t hn'Oi s ym e a s u r e ' Ot h ep r ' O blem'Ofs ' O l v i n gas y s t e m'Of mentsi sr e d u c e dt s .H'Ow e v e r ，i th a sbeens u g g e s t e dt h a t l i n e a re q u a t i'On q u a t i ' O n s'Of t e nh a sani l l c o n d i t i ' O ned s u c has y s t e m'Ofe h e∞mpun a t u r ew h i c hc a u s e sn u m e r i c a li n s t a b i l i t y'Oft ' O n.τbismeanst h a ts m a l le r r ' O r si nt h ei 凶t i a ld a t a t a t i andr ' O und ' O f fe r r ' O r s'0∞u r r i n gd u r i n gt h ec ' O m p u t a t i ' O n si nt h e v e r yl i k e l yr e s u l ti ng r e a t l ym a g n i f i e de π'Or computede s t i m a t e s . ' O u sp a p e r[ 8 ]，血ea u t h ' O rd e s c r i b e d an I n ap r e v i i t e r a t i v emeth ' O dt ' Op r ' O d u c e佃 a p p r ' O x i m a t es ' O l u t i ' O n， i n s t e a d 'Oft h en'On i t e r a t i v emeth ' O d 'Ofl e a s ts q u a r e s ・9 0 0 2 / 8 6 / $ 0 3 . 5 0@ E l s e v i e rS c i e n c ePu b l i s h e r sB . V . 0 1 6 8 (N'Or t h H'Ol l a n dP h y s i c sPu b l i s h i n gD i v i s i ' O n )

which'Of t e np r ' O du 回 s t h eu n s t a b l es ' O l u t i ' O n .A∞mp 釘 i ・ s ' O n'Oft h e s emeth ' O d swasmadebyKr amere ta l .[ 9 ]， b u t i s c u s s i ' O nwasg i v e n'Ont h em'Os ts i g n i f i c a n tp r ' O blem n'Od ' O ft h ee f f e c t'Ofi l l c o n d i t i ' O n i n g . Ani t e r a t i v ec ' O m p u t a t i ' O n a la p p r ' O a c hh a st h em e r i t'Of e v e rwemusta l s ' Op ' O i n t'Ou tt h ed e m e r i t s i m p l i c i t y .H'Ow t h a tat h e o r e t i c a lands y s t e m a t i ct r e a t m e n tf ' O rn u m e r i nt h ep r e v i ' O u spap 町， t h e c a li n s t a b i l i t yi sd i f f i c u lt. I l w a y su n i f ' O n n l y i t e r a t i v e l yg e n e r a t e de s t i m a t e sd i dn'Ota c ' O n v e r g e ， ands ' O m e t i m e sf l u c t u a t i ' O n' 0 ∞u r r e dbyr ' O u n d ' Of fe r r ' O r s， e v e nt h ' O ughi t st h e ' O r e t i c a lc ' O n v e r g e n c ewas g u a r a n t e e d . Th ep r e s e n tp a p e rd e s c r i b e sas i n g u l a r v a l u ed e c ' O mi t i ' O n(SVD)a p p r ' O a c hf ' O ra n a l y z i n gt h ee s t i m a t i ' O n p'Os ' O blem 'Of X r a ys p e c t r a ，s y s t e m a t i c a l l y and w i t h p r en ' O ugha c c u r a c y . τ b eSVDwas'Or i g i n a l l yan'Or t h ' O g ' O n a l ' O s i t i ' O n 'Ofa m a t r i x . Th et e c h n i q u eh a s been d民'Omp a p p l i e ds u c c e s s f u l l yi nt h ef i e l d'Ofs i g n a landimage 'O田s s i n g[ 1 0 1 4 ] ，buti twasn'Ot凶 e di nt h eX r a y p r s p e c t r a la n a l y s i s .Th eu s e'OfSVDi n'Ou rp r ' O blemi s ' O ma k : ei tp'Os s i b l et ' Op r e d i c tt h ed e g r e e'Of e x p e c t e dt ' O n i n gand ，a tt h esamet i m e ，t h en u m e r i c a l i l l c o n d i t i ' O u s i n s t a b i l i t y . τ b er e s p o n s em a t r i xr e p r e s e n t i n gv a r i f i l t r a t i ' O n si sd e c ' O mp'Os e di n t ' Oi t si n h e r e n tc ' O mp ' O n e n t s yt e n n sw i t he 町'O r sa r ed e t e c t e d .A t e n n sw h e r en'Oi r e l i a b l ee s t i m a t e'Oft h es p e c t r a ld i s t r i b u t i ' O ni st ' Ob e f ' O nnedbye x c l u d i n gt h en'Oi s yt e n n sandch ' O ' O s i n gs ' O me l y . s i g n i f i c a n tt e n n s'On τbee s t i m a t i ' O np r ' O blem'OfX r a ys p e c t r ai sp'Os e di n S 田t. 2 .I ns e c t . 3wed e v e l ' O pt h e出 回r y'OfaSVD a p p r ' O a c h .I ns e ct.4as i m u l a t i ' O ns t u d yi sc a r r i e d'Ou tf ' O r

S .T o m i n a g a/X r a ys p e c t r a le s t i m a t i o n

i n v e s t i g a t i n gt h ef e a s i b i l i t yo ft h ep r o p o s e da p p r o a c h . .5s howst h ea p p l i c a t i o nr 巴: s u l t st oa t t e n u a t i o nd a t a S e ct fromat h e r a p e u t i cX r a yg e n e r a t o r .S e c. t6i sasummary

5 3 1

se x p e c t e di nt h eform e s t i m a t eo fx i

x=[RTRr1RTy

( 6 )

a sas o l u t i o no ft h ee q u a t i o n s RTRx=RTy，

2 .P roblemf o r m u l a t i o n

We c o n s i d e rt h ea t t e n u a t i o n measurement o fe x p o s u r e r a t e su n d e rani d e a lnarrowbeamc o n d i t i o ns o t h a ts c a t t e r e dp h o t o n sa r en o td e t e c t e d .Ther e l a t i o n s h i pb e t w e e na no b j e c t i v ee x p o s u r e r a t es p e c t r a ld i s t r i b u t i o n X(E) and t h et o t a le x p o s u r e r a t eI ( t )a f t e r a t t e n u a t e dbyaf i l t e ro fat h i c k n e s sti sg i v e nby

的 )= f o E川 whereEmaxi st h emaximumphotone n e r g yc o r r e s p o n d st h emassa t t e n u a i n gt oa nX r a yt u b ev o l t a g e，μ(E)i t i o nc o e f f i c i e n to ft h ef i l t e rm a t e r i a la te n e r g yE，andp i st h ed e n s i t y .Moreover，t a k i n gt h en o i s ymeasurement i n t oa c c o u n t，wes u b j o i na no b s e r v a t i o ne q u a t i o nt oe q . ( 1 )a s Y(t)=I(t)+N(t)，

( 2 )

.•

R e w r i t t i n gt h e s ee q u a t i o n si nm a t r i xformy i e l d s y= Rx+n，

( 4 )

wherey，xandna r ecolumnv e c t o r sw i t ht h ed i m e r ト s i o n so fm，n，andm r e s p e c t i v e l y ，ands oRi sam X n m a t r i x .T h e s ea r ed e f i n e da s

::lx=l:::ln=11

R=o州 v i+σ内 v I+・ ・ ・ + O n U n v J .

Them d i m e n s i o n a lv e c t o r sU; ( i=1，2，..• ， n)a nd n d i m e n s i o n a lv ω t o r sv ;a r eo r t h o g o n a le i g e n v e c t o r so f T and t a t r i x RR h e nXn m a t r i x RTR t h e m Xm m r e s p e c t i v e l y，and m o r e o v e rt h es c a l a r s 0; c a l l e dt h e s i n g u l a rv a l u e sa r et h es q u a r er o o t so ft h ee i g e n v a l u e so f To RR rRTR.Weassumet h a tt h es i n g u l a rv a l u e sa r ei n d e s c e n d i n go r d e ra s0 ;ミ0 ; + 1・ Note t h a tu ; v T( i= 1，2， ・ ・ ・， n)a r em a t r i c e so fr a n koneandu n c o r r e l a t e d e a c ho t h e r .E q .( 8 )i m p l i e st h a tt h er e s p o n s em a t r i xc a n u n i q u e l ybee x p r e s s e di nal i n e a rc o m b i n a t i o no ft h e m u t u a l l yi n d e p e n d e n tcomponentm a t r i c e s，wheret h e s i n g u l a rv a l u e sa r et h ew e i g h t i n gc o e f f i c i e n t sf o r t h e n d i c a t e st h i scomponente x p a n s i o n c o m p o n e n t s .F i g .1i p i c t o r i a l l y . Nowc o n s i d e rt h ee s t i m a t i o no ft h ee x p o s u r e r a t e .Them a t r i xRi su s u a l l yan o n s p e c t r a ld i s t r i b u t i o nx ande v e ns oi ti sn o ta l w a y so ff u l lr a n k . s q u a r em a t r i x， I ti sd e s i r a b l et oo b t a i nar e l i a b l ee s t i m a t ebyp s e u d o i n v e r s i o no ft h em a t r i x .Thee a s i e s t wayt od e r i v et h e p s e u d o i n v e r s ei sfromi t sSVDf o r m .T h i sp s e u d o i n v e r s e R+c a nb eo b t a i n e da s 司

= 。

= -

. . ! _V . U ;+ + . . ! _v .ur+ ' " + . . ! _v . . u" _ f . R+= U = V 1 I ~ui +・ ・・ + 一 1 -02 - O n ~u~.

( 9) ( 円 、，

d

、‘.，，， 、 ε 〆，，、、

心

A c c o r d i n gt ot h ep r i n c i p l eo fSVD[ 1 5 ]，t h er e s p o n s e a t r i c e s m a t r i xRcanb edecomposeda st h esumo fnm F

J

f o ri=1 ，2 ， ・ ・ ・， m

3 . 1 .SVDr e p r e s e n t a t i o n

00

、 ， ， ' ' a ‘ 吋、 ‘ ‘

j=l

3 .Th e o r yo ft h ee s t i m a t i o nmethod

， ‘ 、〆a

L :x(毛)exp{一μ(EJρt;}!:'E+n(t;)，

y(t;)=

wheret h es u p e r s c r i p t sT and -1d e n o t et r a n s p o s i t i o n andi n v e r s i o no fam a t r i xr e s p e c t i v e l y .T h i ss o l u t i o ni s u n i q u eo n l ywhen m ミ n andR h a sr a n k n，i . e .，t h e .I ft h em a t r i xi sa l l o w e dt o m a t r i xRTRi sn o n s i n g u l ar t may o c c u rt h a tt h ee q u a t i o n sh a v ea b es i n g u l a r，i m u l t i t u d eo fs o l u t i o n so r no s o l u t i o na ta l l .I nt h e p r e s e n te s t i m a t i o nproblemi th a p p e n st h a t ，w h i l eRTR i sn o n s i n g u l a r， i ti si l l c o n d i t i o n e d，makingt h e∞mput a t i o no fi t si n v e r s en u m e r i c a l l yu n s t a b l e .T h i sd i f f i c u l t y s e e m st obeduet ot h ep a r t i c u l a rformo ft h er e s p o n s e m a t r i xR whosee l e m e n t sa r ea ne x p o n e n t i a lf u n c t i o n . Thec o n c e p to fs i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o np r o v i d e sa meansf o rf i n d i n gana p p r o x i m a t eo ro p t i m a ls o l u t i o n .

、 ・

where N(t) i st h e random measurement e r r o r . The problemi st oe s t i m a t et h eo r i g i n a ls p e c t r a ld i s t r i b u t i o n X(E) w i t h o u tf i l t r a t i o n by knowing t h ea t t e n u a t i o n d a t aY ( t )，o b t a i n e dw i t hv a r i o u sf i l t e rt h i c k n e s s e s ，and 巴f f i c i e n t s μ (E). t h ea t t e n u a t i o nc o T h i se s t i m a t i o nproblemi sf o r m u l a t e da st h ep r o b lemo fs o l v i n gas y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s .Wed i v i d e t h ee n e r g yi n t e r v a lO-E n t one q u a ls u b i n t e r v a l so f m a xi e p r e s e n tt h ec o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o n e n e r g y! : .E，andr X(E) ( 0豆 E 豆 E max) i n t h e d i s c r e t e f a s h i o n {x(E ) ，x(E ，・ ・ ・ ，x(E } . The m e a s u r e m e n t sy ( t ; ) 1 2) n) ( i=1 ，2 ， ' " ， m)w i t hm f i l t e rt h i c k n e s s e sa r ed e s c r i b e d a s

( 7 )

Ie-p.( E j ) P 1 t ! : . E R =I L e -p .(Ej)σ t m ! : ' E

. . . . . .

e-p .( E ) ρt t ! : . EI n : I e-p .( E ，，) P l m ! : . EI

Nowi fwea p p l yt h eu s u a l l e a s t s q u a r e smethod，t h e

Thee s t i m a t eo fxi st h e nr e p r e s e n t e da s x=R+y {1 1 I- v ， u ' ，+-v， u~ + 1 σ1 02 - T

=

↑

1 Iv O n 一一 l T

・・・+一弘 u~

¥

( 1 0 )

B =σ'， U， Y : +σ'，u2Y~

S .T o m i n a g a/Xr a ys p e c t r a le s t i m a t i o n

V

V

ハ パ V パ ハ リv ハ パ

ハ パ

5 3 2

+… +σ;.YnY~

F i g .1 .S i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o no far e s p o n s em a t r i x .

企k=C内 +C2~+ ・ ・ ・

+CkVk>

( 1 2 )

wherek~ n，andt h ec o e f f i c i e n t sC ;a r eg i v e nby C;=y;/O;，

i=1， 2， " ' ， k.

I=k+l

Anotherc r i t e r i o nf u n c t i o ncanbep r o p o s e db a s e don 1 8 ]a sf o l 1 o w s : t h eA k a i k e ' si n f o r m a t i o nc r i t e r i o n[ Jk=m l o gPk+2k.

( 1 6 )

Themostr e l i a b l ee s t i m a t ei sg e n e r a t e dw i t ht h ev a l u eo f k whichg i v e st h eminimumo fJk • Wep r e f e rt h el a t t e r f u n c t i o n( 1 6 )f o rt h ep r e s e n tp a p e rfromo u re x p e r i e n c e . I tsf u n c t i o n a lformi smores h a r pf o rv a r i a t i o no fk .I ti s 1 6 )t h a tt h ef i r s tt e r mo ft h er i g h t h a n ds i d e s e e ni neq~ ( i s al o g a r i t h mt r a n s f o r m a t i o no ft h er e s i d u a l sandi s d e c r e a s i n gw i t hk，w h i l ec o n v e r s e l yt h es e c o n dt e r mi s i n c r e a s i n gw i t hk .Sot h ef u n c t i o ncanbem i n i m i z e dby c h o o s i n gkp r o p e r l y .

ム=Cム7C2~+...+Ck~

( 1 3 )

Theo r t h o g o n a 1n a t u r eo ft h ee i g e n v e c t o r sV; i m p l i e s t h er e 1a t i o n 'jLlj -U 8 ; ， ; w here 8 d e n o t e s Kr one 氾k e r ' s i j d e l t a .Sowec a ni n t e r p r e tV 1 '~，・・・ ， Vk a su n c o r r e 1a t e d c u r v e s( w a v e s )w i t hu n i tp o w e r .Fromt h i sv i e w p o i n t ， e q .( 1 2 )s u g g e 山 t h a tt h ec o n t i n u o u ss p e c t r a ld i s t r i b u -

旬 、 =

L y/

Pk=1y-R九 12=

d

Thenas i m p l i f i e de x p r e s s i o nf o rXk canbeo b t a i n e da s

wheret h es c a l a rPkd e n o t e st h er e s i d u a l sf o rt h eu s eo f

九 whichi scomputedfrom 噌EA

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i=1，2， ・ ・ ， n .

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L e tu sd e f i n eX ka st h es p e c t r a 1d i s t r i b u t i o nformed e r m s . Notet h a tt h e by t r u n c a t i o na f t e rt h ef i r s tk t J yi ne q .( 1 0 )a r es c a 1 a r s .L e ty ;d e n o t et h e s e p r o d u c ωu t e r m sa s

( 1 4 )

y 、 r

3 . 2 .G e n e r a t i o n0 1theestimatedspectra

4 = l d 万r ぺ

‘ 、 ，，.‘、

T h i ss o l u t i o ni si n t i m a t e 1 yr e l a t e dw i t ht h el e a s t s q u a r e s s av e c t o rmi 凶m i z i n g prqblem i nt h es e n s et h a t xi Ta 2=a 1y- Rx12， where 1・1 i sd e f i n e da sI l a l I .E q . ( 1 0 )i se q u i v a l e n tt oe q .( 6 )whent h es y s t e mh a sn o n 1u e s( i . e .，f u l 1r a n k ) .However，t h etwo z e r os i n g u l a rva l 1 yd i f f e r e n t ， and e x p r e s s i o n sf o rt h es o l u t i o na r ee s s e n t ia t h eSVDe x p r e s s i o ni smuchmoret r a c t a b l ef o ra n a l y z a 1s i n g u l a r i t y . i n gt h en u m e r i c Fort h equa 1 it a t i v ei n f o r m a t i o nont h ee f f e c to fi 1 ・ c o n d i t i o n i n g，t h er a t i oσ 1 / σ" r( i . e .，σm 田 / σ ' r n i n )i so f t e n c a l 1 edt h e∞n d i t i o nnumber， andt h es i z ei n d i c a t e st h e d e g r e eo fi l l c o n d i t i o n i n g . The l a r g e rt h i sr a t i o ，t h e 1 圃c o n d i t i o n i n gandt h u st h emore d e e p e rt h ee x t e n to fi d i f f i c u l t yi se x p e c t e dw i t hn u m e r i c a li n s t a b i l i t yo ft h e ，t h ec o n d i t i o nnumbersf o r c o m p u t a t i o n s .Fori n s t a n c e somer e s p o n s em a t r i c e swet r e a th e r ea r e( σ 1 / 句)>1033 whiche x c e e d st h ep r e c i s i o nl i m i ti nt h ef l o a t i n g p o i n t s e .T h i smeans o p e r a t i o n so fc o m p u t e r s泊 commonu c 1 ude t h a th i g h e ro r d e rt e r m si nt h eSVDe x p a n s i o ni n e 1 i a b i l i t y . c o n s i d e r a b l e 'r o u n d o f fn o i s eandh a v el i t t l er Thes i n g u l a rva 1 u e swhicha r ev e r ysma l 1don o tr e 1 0 ) . c i p r o c a t eandc a u s eanu n s t a b l es o l u t i o ni ne q .( Th e r e f o r e ，t h es p e c t r a le s t i m a t i o ni sformedbyt r u n c a ・ t i o no ft h eSVDe x p a n s i o n .

t i o n so fX r a y sc a nbee s t i m a t e di nac o m b i n a t i o no ft h e ki n d e p e n d e n tcomponentc u r v e s .F i g .2i l l u s t r a t e st h i s p r o p e r t y . Thes e l e c t i o no ft h et e r m i n a t i o ni n d e xk h a st obe madew i t hc a r e .Thi sproblemmaybec o n s i d e r e da st h e problemo fd e t e r m i n i n gt h er a n ko fR fromam a t r i x omp紅 a r et h esma l 1s i n g u l a r c o m p u t a t i o ns t a n d p o i n t .We∞ c v a l u e sw i t hat o l e r a n c ewhichr e f l e c t st h ea c c u r a c yo f 凶 1 ta r i t h m e t i cb e i n g t h eo r i g i n a ld a t aandt h ef l o a t i n g p o i n u 凶s 吋 e d .A n u m e r i c a 1rankandane f f e c t i v ep s e u d o i n v e r s e e r m so fs u c hat o l e r a n c e[ 1 6 ， 1 7 ] . maybed e f i n e d泊 t Howeverwes h o u l dn o t et h a ti ti sd i f f i c u l tt od e t e r m i n e t h er a n ko rt h et o l e r a n c ei t s e l fb e c a u s eo fr o u n d o f f ，note i np r a c t i c et h a tar e a s o n a b l e n o i s e . Moreover 組 n o tbed e t e r m i n e du n i q u e l ya st h er a n ko f i n d e xkc b u tt h es e l e c t i o nmustbeb a s e dont h ep r o p e r t i e so f R， . b o t ht h er e s p o n s em a t r i xRandt h em e a s u r e m e n t sy T h e r e f o r e ， t h en u m e r i c a 1r a n ko far 巴s p o n s em a t r i xi s n o tn e c e s s a r i l ys u i t a b l ef o rt h ec r i t e r i o nf u n c t i o nf o r 1 1 y .S i n c e we t r e a tt h e c h o o s i n gt h ei n d e x k optima ti smost e s t i m a t i o nproblemw i t hn o i s ym e a s u r e m e n t s，i n a t u r a lt od e c i d et h ec r i t e r i o nf u n c t i o nfromas t a t i s t i c a l .Weh e r ep r e s e n ttwos u c hc r i t e r i o nf u n c s t a n d p o i nt 1 .[ 1 0 ]i sshowna sa t i o n s .A c r i t e r i o nbyLawsone ta f u n c t i o no fka sf o l 1 o w s :

金k

=

C品 + C必 + … + CkYk

F i g .2 . Est i m a t i o no ft h es p e c t r a ld i s t r i b u t i o nb yal i n e a r c o m b i n a t i o no fs o m ec o m p o n e n tc u r v e s .

S .T ominaga/Xr a ys p e c t r a /e s t i m a t i o n

4 .S t i m u l a t i o ns t u d y Wehaveproducedah y p o t h e t i c a ls p e c t r a ld i s t r i b u amerst h e o r y .Thea t t e n u a t i o nd a t a t i o nbasedont h eKr havebeenmadew i t ha d d i t i o n a lf i l t r a t i o n st ot h i sd i s t r i b u t i o n .Thep r o c e d u r ef o rmakingt h e s ed a t ai st h esame mannera ss t a t e di nt h ep r e v i o u spaper[ 8 ] .Theo r i g i n a l d i s t r i b u t i o nw i t h o u tf i l t r a t i o ni s reproduced from t h e ，accordingt ot h ep r i n c i p l ep r e s e n t e di n a t t e n u a t i o nd a t a t h ep r e c e d i n gs e c t i o n . 4 . 1 .Numericalexamples

F i g .3showsan0切e c t i v ee x p o s u r e r a t es p e c t r a ld i s amers t r i b u t i o nwhichwas producedbasedon t h e Kr u b e t h e o r y by assuming a t u b ev o l t a g e 140 kV，a t 巴n t1 0m A ， ani n h e r e n tf i l t r a t i o no f2m mAlf o rt h e c u r r i s t a n c 巴 o f2 m from t h e X-rayt u b eh o u s i n g，and ad t a r g e t .Thef i l t e rm a t e r i a lf o ra t t e n u a t i o nmeasurement i sAlwhoset h i c k n e s s e swerechosent obet h esamea s .ColumnA o ft a b l e1l i s t st h e t h er e a lmeasurement h emeasurement e r r o r swere a t t e n u a t i o nd a t a，where t . assumeda sabout1% Fort h es p e c t r a le s t i m a t i o n，s e t t i n gt J .E= 5keVand n= 27，weexpresst h ec o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o nd i s c r e t e l y 0，E2=1 5，• • • ， E27=140k e V .Thes i z eo fR on El=1 i s 28x2 7 . The mass a t t e n u a t i o nc o e f f i c i e n td a t a by wheret h el a c k i n g Hubbe11[ 1 9 ]wereusedf o rmakingR， c o e f f i c i e n t sont h ei n t e r m e d i a t ee n e r g i e swereo b t a i n e d q . byi n t e r p o l a t i o n .Concemingt h eSVD∞mputation，e butt h ewe11-knownand ( 8 )e x p r e s s e sau s e f u ld e f i n i t i o n， w i d e l yusedcomputerprograma r ea v a i l a b l efromr e f s . 2 0 2 3 ] . [ 1 7， i v e nt h ef o 1 1 o w i n g TheSVDo ft h em a t r i xR hasg s i n g u l a rv a l u e s :

。=0.927X 10 ，

0-35， ・ ， O27〈 1 =0.139X 102γ ・

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1 8 2 2 . 8 1 1 7 3 8 . 8 3 1 6 5 4 . 2 6 1 4 7 6 . 2 5 1 4 3 6 . 1 3 1 3 51 . 26 1 2 6 4 . 9 6 1 1 0 3 . 3 3 1 0 0 6 . 9 0 8 7 9 . 7 5 8 1 0 . 7 5 7 7 5 . 7 6 7 0 3 . 9 8 6 4 5 . 9 8 6 3 9 . 3 2 5 51 . 39 5 1 7 . 7 5 4 8 7 . 3 5 4 6 7 . 8 3 4 3 0 . 7 5 4 3 5 . 8 7 3 7 9 . 2 7 3 5 9 . 0 5 3 4 9 . 2 5 3 0 6 . 3 2 3 2 3 . 0 6 2 4 6 . 9 4 2 3 8 . 1 2

9 3 3 . 1 1 9 0 6 . 7 8 8 7 6 . 6 1 8 0 9. 15 7 9 2 . 5 4 7 5 3 . 8 7 7 2 0 . 3 6 6 5 0 . 3 6 5 9 3 . 6 4 5 4 8 . 4 5 5 0 5 . 0 7 4 7 0 . 6 9 4 3 3. 41 4 0 6 . 3 5 3 8 9 . 3 0 3 6 7 . 2 5 3 4 3 . 6 1 3 26 . 63 3 0 9 . 0 8 2 9 5 . 0 8 2 81 .0 1 2 6 6 . 7 9 2 5 3 . 7 3 2 3 4. 4 4 2 1 4 . 6 4 1 9 6. 4 3 1 8 0 . 2 5 1 5 8 . 2 8

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where t h en u m e r i c a l computation h a s been done i n y t e s )onanACOS quadruplep r e c i s i o n( 1 2 8b i t s，1 6b h epr 陀e c i s 幻 i o ni お 1000computer .Theorderoft sabout3 3 1 1 . h巴 m . lC l e a r l y白 a t r i xi i 屯o n d i t i o n e d d i g i t si nd巴cima t s出 . h es o l u t i o no fas y s t e s p∞ e 旬emo i n e a re q u a w i t h閃 r c tt ω ot fl 叩 t i o n s .Thecomputationo 1 2 )hasi fe q .( n d i c a t e dt h a tt h e s t i m a t e dd i t ha shapeo ft h 巴e i s t r i b u t i o n sv a r i e sg r e a t l yw c h o i c eo ft e r m i n a t i o ni n d e xk .F i g . 4 shows t h i s h et ・ ・ ，6，wheret v a r i a t i o nf o rk= 1，2，. 巴 i n d i h ebrokenl i n i s t r i b u t i o n x showni nf i g .3 . Obc a t e st h eo r i g i n a ld simproveda s e r v et h a tt h ea p p r o x i m a t i o no fXkt oxi t n c r e a s e s， buta f t e rt h a ti ti sg e t t i n gworseand f i r s ta ski w o r s e .V i s u a 1 1 ya good f i ta p p e a r st b t a i n e da obe o t .T h i sp o i n ti smadec a l c u l a t i n gt aboutk= 4 l e a rbyc h e a t ne e s t i町l lO r r o r

I I x一企 k1 12.

Qk=

( 1 7 )

F i g .5i n d i c a t e st h er e s u l t i n ge r r o r sa u n c t i o no fk .A saf ら c l o s egooda c c u r a c yi sfounda taboutk= 3-5，wher st h eminimum st h eb e s te s t i m a t e . ，andん i Q4i

s .Tominaga/X-rayspectralestimation

5 3 4

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道 x ! ;

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5

F i g .6 .V a r i a t i o no ft h ec r i t e r i o nf u n c t i o nJk a saf u n c t i o no fk .

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K=6 _ _.-勺 ζL ー←

ー ー ー モ ラ ラ r

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120

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P h o t o nE n e r g y( k e V ) .Est i m a t e ds p e c t r a ld i s t r i b u t i o n sv a r y i n gw i t ht h ep a r a m F i g .4 . e t e ro ft h et e r m i n a t i o ni n d e xk

1020

Qk ' 0 10

Nextl e tu si n v e s t i g a t et h ec r i t e r i o nf u n c t i o nJ fe q . ko ( 1 6 )s i n c eQki sunknowni nt h er e a lmeasurement .F i g .

6i n d i c a t e si t sv a r i a t i o n .Therninimump o i n ti sn o ts o ，and moreoverfluctuationωcurs a tt h eh i g h e r c l e a r i n d i c e so fk .T h i sf l u c t u a t i o nb e h a v i o rh a snoa n a l y t i c a l l ym e a n i n g f u lr e s u l t s， b e c a u s eo ft h en u m e r i c a li n s t a h ec o n d i t i o n b i l i t y due t or o u n d o f fn o i s e .I nf a c t，t numberi s( ( 11 1 σ27)>1 037，w h i c he x c e e d st h em a c h i n e os m a l l e rs i n g u l a rv a l u e sbecomeu n r e l i p r e c i s i o n，ands a b l e .A l t h o u g hi ti sd i f f i c u l tt oi n f e rwhent h es i n g u l a r ，al o c a li n s t a b i l i t yphenomenoni s i t yb e g i n st oo c c u r s u s p e c t e dt oa p p e a ra tl e a s tk= 1 0 . n o t i c et h a tt h el o w e rr e g i o no fk Ont h eo t h e rhand， i ss t a b l ew h e r eJk s t e e p l yd e s c e n d st oal o c a lr n i n i m u m . ，i ti sc o n f i r m e dt h a t Whenc o m p a r i n gf i g .6w i t hf i g .5 t h edomaino fk a t t a i n i n gt h i sl o c a lr n i n i m u ma g 問団 w i t ht h er e g i o nr n i n i r n i z i n gQk・T h e o r e t i c a l l yano p t i h o u l dbeb a s e donana b s o l u t er n i n i r n i z a mali n d e xk s t i o no fJk • However ，t h en u m e r i c a li n s t a bi 1 it yd o e sn o t ，b u t o f t e na l l o wu st oo b t a i ns u c hau n i q u erninimum . n o i s yf l u c t u a t i o no c c u r si nt h eh i g hi n d e x e dr e g i o no fk T h e r e f o r e ， t h emostp r o b a b l ee s t i m a t ec a nbeg e n e r a t e d byc h o o s i n gt h ef i r s ti n d e xr e a c h i n gal o c a lrninimumo f Jk ( i .e .，k= 4i nt h i sc a s e ) . 4 . 2 .D i s c u s s i o n s

100

o

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13

K ~Fig. 5 .V a r i a t i o no ft h ee s t i m a t i o ne r r o rQka saf u n c t i o no fk .

L e tu sf i r s tc o n f i r mt h a ts u c hat e r r n i n a t i o ni n d e x i m u e x i s t ss t a b l yd e s p i t et h en u m e r i c a li n s t a b i l i t y .Thes l a t i o nh a sb e e nr e p e a t e dmanyt i m e s .Wes u p p o s ei nf i g . 7t h a tt h es p e c t r a le s t i m a t i o nh a sb e e ndones i xt i m e s ti s，d i f f e r e n t u n d e rt h esamem e a s u r i n gc o n d i t i o n s，出a

s .Tominaga/Xr a ys p e c t r a le s t i m a t i o n

5 3 5

s a s z a s 3a・5Eふさυろ

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P h o t o nE n e r g y ( k e V )

5

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15

20

25

F i g .7 .V a r i a t i o n so ft h ec r i t e r i o nf u n c t i o nJ o rv a r i o u s k f a t t e n u a t i o nd a t ao b t a i n e dw i t ht h es a m eh y p o t h e t i c a lm e a s u r i n gc o n d i t i o n s .

randomnumbershavebeeng e n e r a t e de a c ht i m ef o rt h e r es t a b l ei nt h e measuremente r r o r s .Thes h a p e so fJk a lowi n d e x e dr e g i o no fk， andt h eminimump o i n t so fJk a l m o s ta g r e earound k= 4 .I tshows s t a b i l i t yo ft h e i n d e xs e 1e c t i o n . L e tu sn e x tc o n s i d e r an e x t e n s i o no ft h ep r e s e n t t e c h n i q u e .C o n v e n t i o n a le s t i m a t i o nt h e o r yr e q u i r e st h a t t h enumbero fo b s e r v e dd a t ai sg r e a t e rt h a no re q u a lt o t h enumbero funknownp a r a m e t e r st obee s t i m a t e d .I n ourproblem， t h e s enumbersc o r r e s p o n dt ot h ea t t e n u a u r e m e n t sandt h ee n e r g ys u b i n t e r v a l sr e s p e c t i o nm回 s t i v e 1 y，andt h e r e f o r em孟n i sn e c e s s a r y .I fm く n，t h e problemi su n d e r d e t e r m i n e d，and t h es o l u t i o ni sn o t u n i q u e l yd e t e r m i n e d .Wes o m e t i m e se n c o u n t e rt h ec o n d i t i o no fm