18 de Noviembre de 2014
Problemas de crecimiento y decrecimiento Diego Salazar1 * 2 ** ´ David Benalcazar Abstract ´ Se estable un modelo matematico basados es ecuaciones diferenciales ordinarias de un sistema o de un ´ ´ ´ fenomeno con el fin de imitar una realidad en terminos matematicos. El objetivo evidentemente es explicar, ´ comprender y encontrar respuesta a problemas tecnicos y cient´ıficos. Keywords ´ proporciones - constantes Crecimiento y decaimiento - tiempo - poblacion 1 Departamento de Ciencias Exactas, Escuela Politecnica ´ ´ del Ejercito, Sangolqu´ı, Ecuador *
[email protected] 2 Departamento de Ciencias de la Tierra y Construccion, ´ Escuela Politecnica ´ ´ del Ejercito, Sangolqu´ı, Ecuador **
[email protected]
´ 1. Introduccion 1.1 Problemas de crecimiento y decrecimiento Existen en el mundo f´ısico, en biolog´ıa, medicina, demograf´ıa, econom´ıa, etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposici´on varia en forma proporcional a la cantidad presente, es decir: dx = kx dt
x(t0 ) = x0
(1)
En donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fen´omenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegraci´on). En biolog´ıa, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales peque˜nos) es proporcional a la poblaci´on presente en cualquier momento. Si conocemos una poblaci´on en cierto momento inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la soluci´on de (1) nos sirve para predecir la poblaci´on en el futuro esto es, para t > 0. En f´ısica, un problema de valor inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuaci´on diferencial (1) tambi´en puede describir la temperatura de un objeto que se enfr´ıa. En qu´ımica, la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuaci´on (1). La constante de proporcionalidad k, en (l), se puede hallar resolviendo el problema de valor inicial, con una determinaci´on de x en un momento tl > to.[1] 1 2
2. Ejemplos Ejemplo 2.1 Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t = 1h, la cantidad medida de bacterias es 32 N0 . Si la raz´on de reproducci´on es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos. Datos t =0 1 Proporci´ on: 2 Cultivo:
p = N0
Relaci´on de correspondencia entre las partes y el todo, o entre varias cosas relacionadas entre s´ı, en cuanto a tama˜no, cantidad, dureza, etc es un m´etodo para la multiplicaci´on de microorganismos
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3 p = N0 2
t = 1h Inc´ognitas t =?
p = 3N0
formulas dp = kp dt Soluci´on Primero se resuelve la ecuaci´on diferencial dp = kp dt
(2)
Es una ecuaci´on diferencia de variables separable Z
dp = p
Z
kdt
Integrando lnp = kt + c p = cekt De esta forma encontramos la ecuaci´on que relaciona la poblaci´on y le tiempo. Posteriormente se procede a encontrar el valor de las constantes sustituyendo las condiciones iniciales t = 0, p = N0 y posteriormente t = 1h, p = 32 N0 en la ecuaci´on obtenida para encontrar los valores de las constantes c y k N0 = c p = N0 ekt posteriormente se calcula la constante k 3 N0 = N0 ek 4 3 k = ln 2 k = 0.4055 el problema nos pide calcular en que tiempo t la poblaci´on es 3N0 3N0 = N0 e0.4055t t = 2.7092 En este ejemplo se observa que la cantidad real N0 de bacterias presentes ene l momento t = 0, no influyo para la definici´on del tiempo necesario para que le cultivo se triplicara. El tiempo requerido para triplicar una poblaci´on inicial de 100 a 1000000 bacterias siempre es de 2.71 horas.
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Ejemplo 2.2 La tasa de muerte de una colonia de hormigas es proporcional a la cantidad presente. Si no hay nacimientos que tengan lugar, la poblaci´on en el final de una semana se reducir´ıa a la mitad. Sin embargo debido a los nacimientos, la tasa que tambi´en es proporcional a la poblaci´on actual, la poblaci´on de hormigas se duplica en 2 semanas. Determinar la tasa de natalidad de la colonia por semana. Soluci´on En este problema, debemos determinar dos constantes proporcionales, una para los nacimientos que la llamaremos k1 , y otra para las muertes que lo llamaremos k2 . Utilizando primero el hecho de que la tasa de mortalidad es proporcional al n´umero presente y que las muertes sin nacimientos reducir´ıan la colonia en una semana a la mitad, tenemos: dx = −k2 x; dt
Z 0.5 dx x=1
x
= −k2
Z 1
dt
(3)
t=0
Donde x representa la poblaci´on de la colonia en cualquier tiempo t, y x = 1 representa el 100 por ciento. La soluci´on de (1) es: k2 = log2
(4)
Por lo tanto, la ecuaci´on diferencial que tiene en cuenta tanto los nacimientos y las muertes de la colonia es: dx = −k1 x − (log2)x; dt
dx = (k1 − log2)dt x
(5)
Integrando (3) e insertando las condiciones dadas, que reflejan el cambio neto en la poblaci´on, obtenemos Z 2 dx x=1
x
= (k1 − log2)
Z 2
(6)
dt t=0
La Soluci´on de (4) es: 1 k1 = log8 = 1.0397 2
log2 = 2k1 − log4;
Por lo tanto la taza de nacimiento es 103.97 por ciento por semana.
3. Problemas de aplicaciones Problema 3.1 La poblaci´on de una colonia se duplica en 50 d´ıas. en cu´antos d´ıas estar´a el triple de la poblaci´on? Soluci´on 0.5 dx 1 dx = −k2 x; = −k2 dt dt x=1 x t=0 Donde x representa la poblaci´on de la colonia en cualquier tiempo t, y x = 1 representa el 100 por ciento. La soluci´on de (1) es:
Z
Z
k2 = log2 Por lo tanto, la ecuaci´on diferencial que tiene en cuenta tanto los nacimientos y las muertes de la colonia es: dx = (k1 − log2)dt x
dx = −k1 x − (log2)x; dt
insertando las condiciones dadas, que reflejan el cambio neto en la poblaci´on, obtenemos Z 3 dx x=1
x
= (k1 − log2)
Z 2
dt t=0
x = Cekt y considerando las condiciones iniciales se tiene que x(79) = 603e0.366t Respuesta : 79 d´ıas
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Problema 3.2 Un reactor de cr´ıa convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isotopo radiactivo. Al cabo de 15 a˜nos, se ha desintegrado al 0.043% de la cantidad inicial, de una muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese isotopo, si la raz´on de desintegraci´on es proporcional a la cantidad presente. Soluci´on dx = kx dt Donde x representa el porcentaje de pureza, integrando se establece la ecuaci´on que relaciona el tiempo y el porcentaje de pureza x = cekt Las condiciones iniciales establecen: t = 0, x = 100 y para t = 15h, x = 99.957, se reemplaza en la ecuaci´on anterior y se establece los valores para las constantes c y k. c = 100 k=
ln0.99957 = −0.00002867 15
(7)
Hay que tomar en cuenta que la constante k tiene signo negativo por que es un ejercicio de decrecimiento, 1 = e−0.0002867t 2 ln2 =t 0.000022867 t = 24176.74 El periodo medio de ese isotopo es de 2416.74 a˜nos Problema 3.3 Se analizo un hueso fosilizado y se encontr´o que conten´ıa la cent´esima parte de la cantidad original de C-14. determine la edad del f´osil Soluci´on tenemos condiciones iniciales t = 0 x = N0 , condici´on de del C-14 t = 5600 x = N0 /2 dx = kx dt integrando para encontrar la ecuaci´on que relacione el tiempo y la cantidad de C-14 x = cekt remplazando con las condiciones iniciales para obtener el valor de las constantes c y k c=x k = −0.0001237 1 = e−0.0001237t 1000 t=
ln1000 = 55842.80 0.0001237
La edad del f´osil es 55842.80 a˜nos
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Problema 3.4 La bacteria contada en un cultivo es 100,000. En 2 12 horas, el n´umero ha incrementado en un 10 por ciento. a) En cuantas horas la cuenta llegar´a a 200,000? b)cual sera la cantidad de bacterias en 10 horas? Soluci´on Sea x(t) el n´umero de bacterias contadas en t horas. De ahi se tiene que: x(2.5) = 110000
y
x(0) = 100000
(8)
umero de bacterias. y dx dt es la velocidad a la que crece el n´ Por lo que se formularia de la siguiente forma: dx = kx dt
x(2.5) = 110000
x(0) = 100000
cuya soluci´on es ya conocida Z
dx =k x
Z
dt
Integrando ln(x) = kt eln(x) = ekt x = Cekt y considerando las condiciones iniciales se tiene que x(18.2) = 200000e0.366t Respuesta a): 18.2 horas y en 10 horas se tiene que: x(10) = 146400e0.366t Respuesta b): 146,400 bacterias
´ 4. Conclusion Ciertos problemas apegados al crecimiento o decrecimiento de poblaciones u descomposici´on de sustancias presentan un m´etodo de resoluci´on a trav´es de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales, plante´andolos por medio de las condiciones iniciales, formando al problema a trav´es de una edo capaz de resolverse por medio del m´etodo de variables separables.
References [1]
M.Tenenbaum, H.Pollard,Ordinary diferential equations, Harper, Row, 1919
[2]
https://deymerg.files.wordpress.com/2011/07/capitulo-3.pdf
[3]
http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/Aplicaciones.pdf
[4]
http://matematicas.udea.edu.co/ jescobar/docs/libroED.pdf
