3. MÉTODO DE LA RESISTENCIA ÚLTIMA

3. MÉTODO DE LA RESISTENCIA ÚLTIMA Los problemas se pueden considerar de dos tipos: 1. De Análisis: Se da la sección, el refuerzo, esfuerzos en el concreto y acero, para calcular la resistencia y comparar con unos esfuerzos admisibles. 2. De Diseño: Se evalúan las cargas, la luz o la geometría, para seleccionar la sección y el refuerzo. La ecuación de diseño es:

φMn ≥ Mu Donde:

Mn: Resistencia nominal o momento nominal resistente. φ: Factor de reducción de resistencia (C.9.3 del NSR-10) Mu: Momento producido por las cargas mayoradas.

El factor de reducción de resistencia φ se basa de acuerdo al CR9.3 en: • • • •

Probabilidad de existencia de elementos con una resistencia baja debida a variaciones en la resistencia de los materiales y las dimensiones. Inexactitudes en las ecuaciones de diseño. El grado de ductilidad y la confiabilidad bajo los efectos de la carga bajo consideración Importancia del elemento en la estructura

El ACI 318 del 2005, los factores de reducción de resistencia fueron ajustados para hacerlos compatibles con las combinaciones de carga del SEI/ASCE7, y que son los mismos del NSR-10. 3.1 TEORÍA DE LA FLEXIÓN. Se hacen las siguientes suposiciones: 1. Las secciones transversales de la viga, perpendicular al plano de flexión, permanecen planas durante la flexión. (Ver Figuras 3.1). 2. La deformación en el acero es igual a la del concreto en el mismo nivel. 3. Los esfuerzos en el concreto y en el acero, se calculan de la curva esfuerzo deformación del concreto. La distribución lineal de los esfuerzos, deja de ser válida para vigas peraltadas y con una luz menor a 4 veces la altura del elemento. 4. Se supone que el concreto no resiste esfuerzos de tensión, ya que la resistencia a la tensión f R = 0.62 f ′c para concretos de peso normal (C.9.5.2.3), es muy baja comparada con la del acero, por lo tanto la capacidad del concreto para resistir esfuerzos de tensión puede ser despreciada. 44

5. Se asume que el concreto falla cuando alcanza el valor límite. Esto ocurre cuando la pendiente en el diagrama Momento – Curvatura dM /dφ es negativa, correspondiente a una formación de una rotula y decremento de carga. (Ver Figuras 3.1)

Figura 3.1 Diagrama M – φ. Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor.

6. La deformación máxima unitaria en la fibra extrema sometida a compresión del concreto reforzado, obtenida de ensayos de vigas es: ε cu = 0.003 (C.10.2.3 del NSR-10) (Ver Figura 3.2)

Figura 3.2 Deformación compresión límite en el concreto. Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor

45

7. La relación esfuerzo – deformación, para el concreto se puede asumir rectangular, trapezoidal, parabólica, etc.

3.1.1 Esfuerzos en el Concreto Reforzado Los esfuerzos en el concreto, son los esfuerzos de compresión y tensión. Los esfuerzos de compresión adoptan una forma geométrica llamada el bloque de Whitney. Para facilidad de cálculos se ha transformado esta figura en un cubo.

Fuerza Compresión

Fuerza Tensión

La forma del bloque de esfuerzos de los ensayos en una viga sometida al momento último, se puede expresar en términos de 3 constantes k1, k2 y k3 46

k3: Relación entre el máximo esfuerzo f’’c de compresión de una viga en flexión y el esfuerzo de compresión f’c en el cilindro de concreto. k3 =

f ´´c f ´c

k2: Relación entre la distancia desde la fibra extrema en compresión, hasta la resultante de la fuerza de compresión y la distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el eje neutro.

k2 =

a/2 = β c

k1: Relación del esfuerzo promedio en compresión y el máximo esfuerzo. k1 =

Area sombreada Area del rectángulo

Para una viga rectangular de ancho b, la fuerza resultante en compresión es: =



Para simplificar, se puede usar un rectángulo equivalente como distribución de esfuerzos en el concreto, conocido como el bloque de esfuerzos de Whitney. CR10.2.7 — Para el diseño, el Título C del Reglamento NSR-10 permite el uso de una distribución rectangular de esfuerzos de comprensión (bloque de esfuerzos) como reemplazo de distribuciones de esfuerzos más exactas. En el bloque rectangular equivalente de esfuerzos, se utiliza un esfuerzo promedio de 0.85 fc′ con un rectángulo de altura a = β1c. Se ha determinado experimentalmente un valor β1 igual a 0.85 para concreto f´c 8000 psi En el SI es: β1 = 0,85 para f’c ≤ 28 MPa β1 = 1,09 − 0,008 f ′c para 28MPa < f’c ≤ 56 MPa β1 = 0,65 para f’c > 56 MPa Ensayos para cargas sostenidas en vigas y columnas, han dado como resultado que α1 se puede tomar como 0.85. La resistencia a compresión debe ser mayor a f´c > 17 MPa, según C1.1.1 del NSR-10. 49

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor

En la figura anterior, la línea del contorno inferior corresponde a α1=0.85 y β1, el cual se toma de la ecuación anterior. Se presenta una buena correlación para α1 = 0.85 y β1 de la ecuación anterior con k1, k2 y k3 en vigas. En columnas la correlación es buena hasta f’c ≤ 6000 psi y se puede usar: α1= 0,85 para f’c ≤ 8000 psi α1 = 0,85 −

f c′ − 8000 ≥ 0,73 para f’c > 8000 psi 50000

β1 = 0,85 para f’c ≤ 4000 psi ′ β1 = 0,85 − 0,15 f c − 4000  ≥ 0,7 para f’c > 4000 psi  10000 

50

3.1.2 Falla en el concreto Reforzado Dependiendo de las propiedades geométricas de la sección, cantidad de acero y resistencia de los materiales, la falla puede ocurrir por: Falla en tensión o subrefrozada: El refuerzo fluye antes que el concreto falle en compresión. La viga es subreforzada Falla en compresión o sebrerefrozada: El concreto falla antes que el acero alcance la fluencia, la viga es sobre reforzada. Falla balanceada: El concreto falla simultáneamente cuando el acero alcanza la fluencia.

3.1.3 Ductilidad Este comportamiento se presenta cuando la relación en el diagrama Momento – Curvatura, Carga –Deflexión, Torque –Giro, etc. tiene una gran región plástica. Una falla dúctil avisa, ya que los ocupantes se dan cuenta por deflexiones excesivas y la aparición de grietas. Para un sistema elastoplástico se tiene que la ductilidad al desplazamiento se define como:

µ=

Uu Uy

µ: Ductilidad solicitada o demanda de ductilidad. Corresponde a la máxima ductilidad que se le puede exigir al sistema. Cuando el sistema no es elástoplástico, el límite de fluencia no está definido y debe ser conservador, la ductilidad µ se denomina coeficiente de daño. Según el A.13.1 del NSR-10, se define la ductilidad y algunos tipos de ductilidad. Ductilidad - Capacidad que tiene un material estructural de resistir, sin fallar, deformaciones que lleven al material estructural más allá del límite elástico, o límite donde las deformaciones son linealmente proporcionales al esfuerzo o fuerza aplicada. Dependiendo del parámetro que describe las deformaciones, la ductilidad puede hacer referencia, entre otras, a: (a) ductilidad de curvatura φ - cuando la ductilidad se mide con respecto a la curvatura de la sección del elemento estructural. La curvatura se define como el cociente entre el momento flector aplicado y la rigidez de la sección 51

(b) ductilidad de rotación θ - cuando la ductilidad se mide con respecto a la rotación que tiene un sector longitudinal del elemento estructural. La rotación se define como la pendiente de la línea elástica del elemento medida con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento. (c) ductilidad de desplazamiento δ - cuando la ductilidad se mide con respecto al desplazamiento o deflexión que tiene el elemento estructural. El desplazamiento se mide con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento. (d) ductilidad de deformación ε - cuando la ductilidad se mide con respecto a la deformación unitaria de una fibra paralela al eje neutro de la sección.

3.1.4 Tenacidad Se define como el área bajo la curva esfuerzo – deformación de un material que se lleva hasta la falla. Es una medida de la cantidad de energía por unidad de volumen que puede absorber o disipar un elemento hasta la falla.

3.1.5 Capacidad de disipación de energía. Si se tiene un sistema elástico y uno plástico. El coeficiente de reducción de resistencia se define como: Fe Ue = Fy Uy Fe Fy = Ro Ue Fe Uy = = Ro kRo Ro =

Uy: Desplazamiento en el nivel del fluencia Ue: Desplazamiento máximo del sistema elástico Fe Ue = Fy Uy Fe Fy = Ro Ue Fe Uy = = Ro kRo Ro =

Ro: Coeficiente de reducción de resistencia para un sistema de un grado de libertad, indicado por el subíndice o. La capacidad de disipación de energía de un sistema inelástico de un grado de libertad, corresponde a la capacidad que tiene el sistema para reducir la fuerza elástica Fe producida por una carga externa, a una fuerza necesaria para producir fluencia Fy. 52

De acuerdo al NSR-10 – Capítulo A.13.1 – Definiciones y nomenclatura del Título A, se tiene: CAP A.13.1

Capacidad de disipación de energía — Es la capacidad que tiene un sistema estructural, un elemento estructural, o una sección de un elemento estructural, de trabajar dentro del rango inelástico de respuesta sin perder su resistencia. Se cuantifica por medio de la energía de deformación que el sistema, elemento o sección es capaz de disipar en ciclos histeréticos consecutivos. Cuando hace referencia al sistema de resistencia sísmica de la edificación como un todo, se define por medio del coeficiente de capacidad de disipación de energía básico R0, el cual después se afecta debido a irregularidades de la estructura y a ausencia de redundancia en el sistema de resistencia sísmica, para obtener el coeficiente de disipación de energía R (R = φa φp φr Ro). El grado de capacidad de disipación de energía se clasifica como especial (DES), moderado (DMO) y mínimo (DMI). Capacidad de rotación de la sección - Es la capacidad que tiene una sección de un elemento estructural de admitir rotaciones en el rango inelástico sin perder su capacidad de resistir momentos flectores y fuerzas cortantes. Se mide en términos de su capacidad de disipación de energía a la rotación A continuación se presentan 4 vigas con la misma sección, pero con variación en el refuerzo

53

54

55

Las vigas 3 y 4 desarrollan una falla en tensión y tiene un diagrama Momento - Curvatura dúctil, mientras que en las Vigas 1 y 2 el concreto en la fibra extrema a compresión alcanza el agrietamiento más rápido, aunque el acero fluye mucho después, y el diagrama momento – curvatura no tiene una respuesta dúctil, aunque la resistencia es mucho mayor que en las vigas 3 y 4.

3.2 VIGAS RECTANGULARES CON REFUERZO EN TENSIÓN Para satisfacer las condiciones de análisis y diseño, se debe cumplir que los esfuerzos en cualquier punto deber ser siempre proporcionales a las deformaciones y debe existir equilibrio entre las fuerzas internas y externas. Para vigas cortas y peraltadas, lo anterior no se cumple.

La fuerza en compresión es: donde a = β1 c

C=0.85 f´c* b*a La fuerza en tensión es: T = As fy Del equilibrio: T=C As fy = 0.85 f’c b a a=

Asfy 0.85 f ´cb

Profundidad del rectángulo de esfuerzos equivalente en compresión

56

As como la cuantía o porcentaje de acero en la sección efectiva. Reemplazando As bd = ρbd se obtiene:

Se define ρ =

a=

ρbdfy 0.85 f ´cb

=

ρdfy 0.85 f ´c

(1)

El par interno en la sección es:

Mn = Tjd a  Mn = Asfy  d −  2  El par interno en la sección también es:

Mn = Cjd a  Mn = 0.85 f ´cba d −  2 

φ

C.9.3.71-La resistencia de diseño proporcionada por un elemento, sus conexiones con otros elementos, así como sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial, cortante y torsión, deben tomarse como la resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones del Título C del Reglamento. C.9.3.2.1 — Secciones controladas por tracción como se define en 10.3.4 ................................. 0.90

CR9.3.2.2 — Con anterioridad a la edición de 2002, el Reglamento ACI 318 especificaba la magnitud del factor φ para los casos de carga axial o de flexión, o ambos, en términos del tipo de carga. Para estos casos, el factor φ queda ahora determinado por las condiciones de deformación unitaria en las secciones transversales, en el estado de resistencia nominal. Se usa un factor φ más bajo para las secciones controladas por compresión que para las secciones controladas por tracción porque las secciones controladas por compresión tienen menor ductilidad, son más sensibles a las variaciones en la resistencia del concreto y, en general, se presentan en elementos que soportan mayores áreas cargadas que los elementos con secciones controladas por tracción. A los elementos con espirales se les asigna un φ más alto que para las columnas con estribos ya que poseen mayor ductilidad o tenacidad. Para secciones sometidas a carga axial con flexión, se determina las resistencias de diseño multiplicando tanto Pn como Mn por un único valor apropiado de φ. Las secciones controladas por compresión y controladas por tracción se encuentran definidas en C.10.3.3 y C.10.3.4 como aquellas con deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, en el estado de resistencia nominal, menor o 57

igual al límite de deformación unitaria de secciones controladas por compresión, e igual o mayor a 0.005 respectivamente. Para las secciones con deformación unitaria neta a tracción εt en el acero extremo en tracción, en resistencia nominal, entre los límites anteriores, el valor de φ puede ser determinado por interpolación lineal, como se aprecia en la figura CR9.3.2. El concepto de la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, ε t , se discute en CR10.3.3 Como en C.10.2.3 se supone la deformación unitaria a la compresión del concreto, en el estado de resistencia nominal, igual a 0.003, los límites de deformación unitaria neta de tracción para los elementos controlados por compresión también pueden ser establecidos en términos de la relación c/dt , donde c es la distancia desde la fibra extrema en compresión al eje neutro cuando se llega a la resistencia nominal, y dt es la distancia desde la fibra extrema en compresión hasta la fibra extrema del acero en tracción. Los límites de c/dt para las secciones controladas por compresión y controladas por tracción son 0.6 y 0.375 respectivamente. El límite de 0.6 se aplica a las secciones reforzadas con acero Grado 420 y a las secciones preesforzadas. En la figura CR9.3.2 también se presentan las ecuaciones para φ como una función de c/dt .

CURVA DE VARIACION DE φ CR3.2.2

 

a 2

φMn = φAsfy  d −   

(2) Ecuación básica de capacidad en flexión de vigas a 2

φMn = φ 0.85 f ′cba d − 

(3)

Reemplazo (1) en (3) 58



ρdfy

  2(0.85) f ′c    ρfy  φMn = φρbd 2 fy 1 − 0.59 f ´c   Solución:

φMn = φρbdfy d −

2

  f ´c f ´c Mu * f ´c  − 2 ρ= −  2 * 0.59 * fy bd φ * 0.59 * fy 2  2 * 0.59 * fy  Ecuación de diseño para encontrar la cuantía en una sección de concreto con refuerzo a tensión. 3.2.1 Diseño Balanceado Se debe revisar que fs = fy. Se supone que el concreto falla cuando el acero empieza a fluir. Para la siguiente viga, la profundidad del eje neutro cb se define para falla balanceada. C.10.3.2 — La condición de deformación balanceada existe en una sección transversal cuando el refuerzo en tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy al mismo tiempo que el concreto en compresión alcanza su deformación unitaria última supuesta de 0.003. C.10.3.3 — Las secciones se denominan controladas por compresión si la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, εt , es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el concreto en compresión alcanza su límite de deformación supuesto de 0.003. El límite de deformación unitaria controlada por compresión es la deformación unitaria neta de tracción del refuerzo en condiciones de deformación unitaria balanceada. Para refuerzo Grado 420, y para todos los refuerzos preesforzados, se permite fijar el límite de deformación unitaria controlada por compresión en 0.002.

CR10.3.3 — La resistencia nominal a la flexión de un elemento se alcanza cuando la deformación unitaria en la fibra extrema en compresión alcanza el límite de deformación unitaria asumido de 0.003. La deformación unitaria neta de tracción ε t es la deformación unitaria de tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción en el estado de resistencia nominal, sin considerar las deformaciones unitarias debidas 59

al preesforzado, flujo plástico, retracción y temperatura. La deformación unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción se determina a partir de una distribución de deformaciones unitarias lineal en el estado de resistencia nominal, como se aprecia en la figura. CR10.3.3, usando triángulos semejantes. Con anterioridad al desarrollo de estas disposiciones, el límite de deformación unitaria por tracción para los elementos sometidos a flexión no estaba establecido, pero se encontraba implícito en la cuantía máxima de refuerzo a tracción dada como una fracción deρb , que dependía de la resistencia a la fluencia del refuerzo. El límite de deformación unitaria neta de tracción de 0.005 para las secciones controladas por tracción se eligió de manera que fuera un valor único para todos los tipos de refuerzo de acero (preesforzado y no preesforzado) permitidos por este Título C del Reglamento NSR-10.

De la semejanza de triángulos

ε cu cb

=

εy + ε cu d

cb = ε cu = 0.003 d ε y + ε cu ε y + 0.003 Multiplicando por Es = 200.000 MPa y se tiene que ε cu = 0.003 (C.10.3.2 del NSR – 10) cb 600 = d fy + 600

Si el eje neutro c ≤ cb, la deformación en el acero excede εy entonces se toma fs = fy. Donde fs es el esfuerzo en el acero. Como a = β1 c, es la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos, para diseño balanceado se tiene:

ab = β 1 cb a cb = b β1  600  ab  = β1  d  fy + 600 

fy en MPa

Para diseñar se revisa que fs (esfuerzo en el acero) = fy (Esfuerzo de fluencia) y se debe cumplir que:

a ab ≤ d d

ab = β1 *cb 60

NSR-10 C.10.3.3 Los elementos sometidos a flexión en general son controlados por tracción, mientras que los elementos en compresión en general son controlados por compresión. La resistencia nominal a la flexión de un elemento se alcanza cuando la deformación unitaria en la fibra extrema en compresión alcanza el límite de deformación unitaria asumido de 0.003. Cuando la deformación unitaria neta de tracción en el acero de refuerzo extremo en tracción es suficientemente grande (igual o mayor a 0.005), la sección se define como controlada por tracción donde se puede esperar un claro aviso previo de falla con deflexión y agrietamiento excesivo. Cuando la deformación unitaria neta en tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción es pequeña (menor o igual al límite de deformación unitaria controlada por compresión), se puede esperar una condición de falla frágil, sin un claro aviso de una falla inminente.

Gráficamente:

A continuación se calculará la cuantía balanceada. Para diseño balanceado se tiene que fs = fy; c se puede usar b , donde cb es la profundidad del eje neutro balanceado. d ab =

ρ b dfy

0.85 f ´c ρ dfy cb β1 = b 0.85 f ´c cb ρ b fy = d 0.85β1 f ´c

Para ab = cb β1

Pero

cb ε cu = d εy + ε cu

Igualamos las 2 expresiones

61

ρb =

0.85 β 1 f ′c  ε cu ε +ε fy cu  y

   

ρb =

0.85 β 1 f ′c  0.003  ( 200000 MPa )  ε + 0.003  fy y  

ρb =

0.85β1 f ′c  600    fy  fy + 600 

Donde f’c y fy en MPa.

ρb se compara con la cuantía ρ de la ecuación de diseño y se puede asumir ρ max = 0.75ρ b , según NSR-98, pero para NSR-10 usar ρ max = 0.65ρ b .

1. Problema: Hallar el momento nominal resistente de una viga de concreto simplemente reforzado, con f’c = 21 MPa, As = 3φ7/8” y fy = 420 MPa. 1. Se asume que fs = fy en tensión T = As f y As = 3(3,87) = 11,61 cm2 fy = 420 MPa

T = As * fy =

11.61 * 420 *10 6 = 487.6 kN 2 100

Si el acero ha fluido, se soluciona normalmente, sino, es una solución más compleja. 2. Cálculo del área del bloque a compresión El bloque de esfuerzos en compresión, consiste en una carga uniformemente distribuida de altura a = β1c y base 0.85 f’c. C = T = 487.62 kN

C = 0.85f’c β1 c b c=

C 0.85 f ´cβ 1b

Para f’c < 28 MPa β1 = 0.85 62

c=

487.6 * 10 3 = 8.03 * 10 − 2 = 8.03cm 6 0.85 * 21 * 10 * 0.85 * 0.40

a = β1 c = 0.85 (8,03) = 6,83 cm 3. Revisión fs = fy. Por triángulos semejantes.

ε cu ε ε = s = t c d − c d − ct εt =

d − ct 0.45 − 8.03 * 10 −2 ε cu = * 0.003 = 1.38 * 10 − 2 m −2 c 8.03 * 10

Para un acero grado 60

εy =

420 * 10 6 = 0.0021 200 * 10 9

Por lo tanto ε S = 0.0140 ≥ 0021y fs = fy, es decir que el acero fluye 4. Cálculo del Momento nominal resistente φMn

Mu = jdT jd: distancia entre la fuerza resultante a tensión y la fuerza resultante a compresión

jd = d −

a 6.83 = 45 − = 41.59 cm 2 2

 a   φMn = φ  Asfy d −  2    φ: Coeficiente de reducción de resistencia igual a 0,9 para flexión. (C.9.3 del NSR98) φMn = 0,9 [487,6 *103 *0,4159]= 182,5 kN.m

Momento nominal de diseño o resistente

2. Problema: Calcular el momento nominal resistente φMn para la siguiente Viga, fc=21 MPa y fy = 420 MPa

63

Calcular a a=

Asfy 0.85 f ´cb

a=

15.3 / 100 2 * 420 * 10 6 = 0.12m 0.85 * 21 *10 6 * 0.3

As= 3(5,10) = 15,3 cm2

Revisar fs = fy

a 0.12 = = 0.218 d 0.55  600  ab  600   * 0.65 = 0.85  * 0.65 = 0.5 * 0.65 = 0.325 * 0.65 = β1  d  fy + 600   fy + 600  a ab ≤ Por lo tanto fs = fy d d Calculo del momento nominal

 a   φMn = φ  Asfy d −  2     15.3  ( 420 * 10 6 )(0.55 − 0.06) = 283.4 Kn.m 2  100  

φMn = 0.9

64

3.2.2 Diseño de Vigas Rectangulares K1 wl 4 La Tabla C.9.5.2.del NSREI 10, se especifican los espesores mínimos de losas y vigas en una dirección para que no haya necesidad de calcular deflexiones. La deflexión máxima en una viga es de la forma:

δ MAX =

C.7.7 Recubrimientos: Se debe recubrir el acero de refuerzo con un espesor de concreto para: 1. Evitar que la carbonatación (Electrolito) producida por el CO2 del medio ambiente sobre el concreto llegue al refuerzo y se produzca corrosión en el acero. El recubrimiento varía dependiendo del medio ambiente. 2. Que actué como un solo material. 3. Protección contra el fuego y pérdida de resistencia de las barras de acero. En el C.7.7 del NSR 10 se dan los recubrimientos mínimos para concreto vaciado en sitio. A continuación se transcribe lo que dice el reglamento al respecto. C.7.7 - RECUBRIMIENTO DEL REFUERZO C.7.7.1 - CONCRETO VACIADO EN SITIO (NO PREESFORZADO) - Las barras del refuerzo deben tener los recubrimientos mínimos dados a continuación. En ambientes agresivos deben utilizarse recubrimientos mayores que los mencionados, los cuales dependen de las condiciones de exposición. Recubrimiento mínimo (a) Concreto colocado directamente sobre el suelo y en contacto permanente con la tierra ....................................................................... 75 mm (b) Concreto expuesto a la intemperie o en contacto con suelo de relleno: Barras Nº 6 (3/4") y 18M (18 mm) a Nº 18 (2-1/4") y 55M (55 mm)..................................................................... 50 mm Barras Nº 5 (5/8") y 16M (16 mm) y menores............................................. 40 mm (c) Concreto no expuesto a la intemperie, ni en contacto con la tierra: 65

Todos los tipos de refuerzo en losas, muros y viguetas: Barras Nº 14 (1-3/4"), 45M (45 mm), Nº 18 (2-1/4") y 55M (55 mm)..............................................................40 mm Barras Nº 11 (1-3/8") y 32M (32 mm) y menores................................. 20 mm En vigas y columnas: Refuerzo principal..................................................................................40 mm Estribos y espirales................................................................................ 30 mm En cascarones y losas plegadas Barras Nº 6 (3/4") y 18M (18 mm) y mayores...................................... 20 mm Barras Nº 5 (5/8") y 16M (16 mm) y menores...................................... 15 mm Para ver los recubrimientos de elementos prefabricados ver el numeral C.7.7.2 y para pre esforzado ver el C.7.7.3. 3.2.2.2 Refuerzo mínimo a Flexión: Si el momento de falla es excedido por el momento actuante en una viga, puede ocurrir una falla súbita y colapsar, por esto es necesario las normas sismo resistentes NSR 98, que limita la cantidad de refuerzo a tensión. Según el C.10.5 del NSR 98, el As suministrado para un elemento a flexión, no debe ser menor a: As min = ρ min dbw =

f ′c 1 .4 dbw ≥ dbw 4 fy fy

Para fy = 420 MPa

ρ min =

f’c en M Pa

1.4 = 0,0033 fy

3. Problema: Diseñar una viga de luz exterior que carga su propio peso, una carga muerta de 10 kN/m, una carga viva de 5 kN/m. f’c =21 MPa y fy = 420 MPa, y la planta se presenta a continuación. 1. Pre dimensionamiento Se supone inicialmente b = 0,30 m b ≥ 0,25 m (C.21.3) l 8.0 h= = = 0.43 ≈ 0.45 m , Usaremos 0.5m 18.5 18.5

Sección de vigas: 40cm*50cm

66

Separación Viguetas Smax

2.5hlosa

Smax

2.5(0.5m)

Smax

1.25m

Smax

1.20m

8/1.2 = 6.67 vigas 8m/(7vigas) = 1.14m Utilizaremos separación de 1.14m de centro de vigueta a centro de vigueta hloseta = Luz libre entre viguetas/20 hloseta= 1.14/20 ≃0.06 No de Viguetas= 8/1.25 =6.4 viguetas ≈ 7 viguetas Separación de eje a eje=luz / viguetas= 8/7=1.14m h (Altura de viguetas ) h 5bw h 5(0.12) 67

h 0.6

Para efectos prácticos se utilizara una altura igual a la losa.

Evaluación de Cargas. Viguetas…..(24kN/m3)*0.12*(0.5-0.05)/(Separación entre viguetas) 1.137 kN/m2 Muros…. 3.5kN/ m2 Baldosa…… 1.0 kN/m2 Cielo raso…. 0.3 kN/m2 Alistado……….. (22 kN/m3)*0.05 = Casetón….

1.1 kN/m2 0.3 kN/m2

-------------------7.34 kN/m2 Carga muerta = 7.34*L aferente = 7.34*4 = 29.36 kN/m Peso propio( 24 KN/m3)*0.4*0.5 =4.8 kN/m

Carga viva(vivienda ) : 1.8kN/m2 Peso carga viva ( 1.8 KN/m2 )*4 =7.2 kN/m Se realiza el avaluó de la carga ultima mediante 2 combinaciones, el primero es 1.4D (Carga Muerta) y la otra es 1.2D (Carga Muerta) + 1.6L(Carga viva), de estos 2 combos se deja el que arroje mayor carga. (NSR-10) Combo #1 = 1.4( 29.36+4.8) = 47.83 kN/m Combo #2 = 1.2( 29.36+4.8)+1.6(7.2 KN/m) = 52.52 kN/m Utilizare Wu= 52.52 kN/m. Utilizaremos f´c = 28MPa.

ρb =

0.85β 1 f ′c  600    = 0.02125 fy  600 + fy 

ρ max = 0.02125 * 0.65 = 0.0138 ρmax (28mpa) = 0.01842

68

+∗, 9

+∗, 16

 wl 2   9  = 373.48 kN-m  

 wl 2   14  = 240.1 kN-m  

 wl 2   16  = 210.08 kN-m  

3. Calculo del refuerzo 3.1 Refuerzo positivo en centro de la luz

 ρfy  φMn = φρbd 2 fy 1 − 0.59 f ´c   2

  f ´c f ´c Mu * f ´c  − 2 −  ρ= 2 2 * 0.59 * fy  2 * 0.59 * fy  bd φ * 0.59 * fy Luz Larga

L = 8,0 m, b = 0,40, d = 0,4

φ Mn= Mu(-) kN-m φ Mn= Mu(+) kN-m ρ (−) ρ (+) As (-) [cm 2] As (+) [cm 2]

210.1 0.00754 0.0033 13.572

∗(

0.01478 0.0033 26.61

15.74

Refuerzo superior Refuerzo inferior Separación

Separación ( S=

373.5 240.1 0.0033 0.008744

2#8 + 1#7 3#6 12.27cm 12.14cm

(()'













3#6 2#8 + 2#7 12.14cm 9.4cm



*

69

!

'

) #$







4#8 + 1#7 3#6 4.86 cm 12.14cm ∗% á' )



)

4. Refuerzo balanceado (C.8.5.12.2) 4.1 Cuantía

ρb =

0.85β 1 f ′c  600    = 0.02125 fy  600 + fy 

ρ max = 0.02125 * 0.65 = 0.01381 < 0.01478 No cumple 4.2 Alternativamente se puede usar: Borde con mayor refuerzo (Si cumple la fluencia para el extremo con mayor acero requerido, cumplirá para el centro de la luz y el otro extremo de la viga ya que requieren menor acero lo que mantendrá el diseño dúctil ) 26.61 Asfy 100 2 * 420 * 10 6 = 0.11739 = 11.74cm a= = 0.85 f ´cb 0.85 * 21 * 10 6 * 0.4

a 0.1174 = = 0.261 d 0.45     ab ε cu   600   = β1 = 0.85  = 0.5 *0.65=0.325,  ES  d 420 + 600    ε cu +  fy   0.261   a  a  lim El acero f’s no fluye 4. Recalcular a 98

0,85 f ' cba 2 + (0,003EsA' s − Asfy )a − 0,003EsA' sβ 1 d ' = 0 5355 x10 3 a 2 − 367,2 x10 3 a − 46818 = 0 a = 3,4286 x10 − 2 + 1,1755 x10 −3 + 8,743 x10 −3 a = 0,134m ≈ 13,4cm

5. Revisar fs = fy a a 0,134 = = 0,24 ≤ b * 065 = 0,5 * 0.65 = 0.325 d 0,56 d 5.1 Sección controlada por tensión.

a 0,134 a = = 0,23 ≤   = 0,375β1 = 0,32 Bien d lt 0,65 − 006  d  lt 5.2 Método grafico (NSR -10)

εt X.XX Z„… X.ƒ^

=

„… = 7.6*10

X.XX

X. ƒq^

CUMPLE OK

φMn = 573.86 kN.m

10. Problema: Diseñar el refuerzo a flexión en la viga de luz interior con una luz de 8.0m, f´c = 21Mpa, fy = 420mpa, CM = 7.16 KN/m2 (Incluye pesos propio de viga) , CV=2.0kn/m2 (Oficinas) , Longitud aferente de 6.0m . Usar sección de 30*50cm 99

1) Carga Ultima

Wu = 1.2*6(7.16)+1.6*6(2) = 70.8Kn.m

2) Momentos actuantes (Vano interior)

3. Momento Nominal Resistente.

φMn=φρbd2fy (1-0.59

ρzy z´w

)

Calculamos el φMn, con el

ρMax y si es menor que el M actuante, diseñamos la viga como

doblemente reforzada

ρMax = 0.65ρbal ρb =

0.85β 1 f c′  600    = 0.02125 fy  600 + fy 

ρ max( 21Mpa ) = 0.02125 * 0.65 ≈ 0.014

φMn2 = 0.9*0.014*0.3*0.452*420*106 (1-0.59* φMn2 =268.4Kn.m 4. φMn1 = Mu - φMn2 4.1 Bordes φMn1 = Mu - φMn2 φMn1 = 411.93 – 268= 143.53 100

X.X o∗o X∗ Xi ∗ Xi

)

4.2 Centro de luz φMn1 = 283.2 – 268 = 14.8 5 Refuerzo en tensión As = Asmax+As1 As = ρMax*b*d +

†‡

φzy({ {´)

5.1 Borde As =0.014*30*42+

qˆ. ƒ∗ X‰ X.Š∗(o X∗ Xi )(X.o

X.Xƒ)

As = 18.6 + 9.5cm2 = 28.1 cm2 Usar 6 #8 =30.6 cm2

5.2 Centro de la Luz As =0.014*30*42+

oŠ.ƒƒ∗ X‰ X.Š∗(o X∗ Xi )(X.o

X.Xƒ)

As = 17.64+ 3.12 = 20.76 Usar 7#6+1#5 = 21.87cm2

6. Refuerzo a compresión f´s= fy-0.85f´c †‡ A´s =

φz´}({ {´)

6.1 Borde A´s =

qˆ. ˆ∗ X‰ X.Š∗(o X X.ˆƒ∗ )∗ Xi ∗(X.o

X.Xƒ)

A´s = 13.313 cm2 Usar 2#8 + 1#7 = 14.07 cm2 6.2 Centro de la Luz

101

A´s =

oŠ.ƒƒ∗ X‰ X.Š∗(o X X.ˆƒ∗ )∗ Xi ∗(X.o

X.Xƒ)

A´s = 3.7 cm2 Usar 1#5+1#6= 4.83 cm2 GRAFICAMENTE EL REFUERZO DE LA VIGA SERIA ASI

7 Revision de cuantías (ρ−ρ ´)max= 0.65ρbal 0.85β1 f c′  600    ρb = fy  fy + 600  ρbal(21mpa) = 0.02125 ρmax (21mpa)= 0.02125*0.65 = 0.014 7.1 Bordes (ρ−ρ ´) =

X.^

o.Xq

X∗o

= 0.01312

7.2 Centro de luz

(ρ−ρ ´) =

.ˆq o.ˆ X∗o

{´ zy 8 ( )Lim = β (1- ^XX ) = € m

= 0.01352

X.ˆƒ

(1-

o X ^XX

)

‹´

( )Lim =0.3529 Œ

102

9. (Profundidad de compresión) 0=

[|} |´}d



n.Žk•´• h]zy •‘

X.ˆƒz´w ~

9.1 Bordes

0 =

X.^

9.1.1

´

€

=

o.Xq(

X.ˆƒ∗(

X.Xƒ

X.

n.Žk(Wm∗mni ) )o jWn∗mni ∗ Xi )∗X.



X∗ Xi

´

=0.3723, como

o

€

= 0.1343 {´ > ( )Lim, El acero en compresión no fluye €

9.2 Centro de la Luz

0 =

.ˆq o.ˆ (

X.ˆƒ∗(

n.Žk(Wm∗mni ) )o jWn∗mni i ∗ X )∗X.



X∗ Xi

= 0.135257 = 13.526cm

9.2.1 ´

€

=

X.

X.Xƒ

ƒ ƒq

= 0.36966 como

´

€

{´ > ( )Lim, El acero en compresión no fluye €

Como el acero en compresión no fluyo, hay que recalcular a con la sgte ecuación 0.85f´cba2+(0.003EsA´s-As.fy )a-0.003EsA´sβ1d´= o Después de recalcular a, hay que recalcular el Mn con la siguiente ecuación

*Momento Nominal resistente €

φMn = φ [Cc(d- )+Cs(d-d´)] €

φMn = φ0.85f’c ba(d - )+ φ0.003EsA´s( 1-

βm {´ €

)(d-d´)

Este momento nominal seria el Mn Con este momento se recalcularía de nuevo la sección y el refuerzo tanto en tensión como en compresión.

Nota: Mayor acero en compresión garantiza un diseño controlado por tensión 10. Recalcular 0 10.1 Recalculando a (Borde) 0 = 0.1328 10.1.1 Chequeo mediante el método grafico para saber si el diseño es controlado por tracción 103

εt X.XX Z•‚ X.o

=

X.XX

X. ƒ^

„… = 0.005263 CUMPLE OK 10.2 Recalculando a (Centro de luz) 0 = 0.13451 10.2.1



X.XX Z”‚ X.o

εt

=

X.XX

X. ƒˆ

Et= 0.005 CUMPLE OK

11 Recalcular Mn 11.1 Recalculando Mn (Borde) Mn = 417.47 Kn.m 104

11.2 Recalculando Mn (centro de luz) Mn = 294.68 Kn.m

Conclusiones 1) El doble refuerzo mejoro significativamente el momento nominal resistente de la viga haciendo que el φMn sea ligeramente mayor que el momento actuante, tanto en los bordes, como en el centro de la luz. 2) Una opción alternativa a realizar el diseño de una viga doblemente reforzada es aumentar las dimensiones de la viga y otra opción es aumentar la resistencia al concreto f´c., La decisión de cambiar el diseño de la viga por alguna de estas 2 alternativas mencionadas anteriormente, recae en evaluaciones técnicas (Arquitectónicas) y económicas. 3) Se puede apreciar que el diseño es controlado por tracción, ya que „… ≥0.005 y que el acero en compresión no fluyo, esto da como resultado un aumento significativo del Momento nominal resistente. (Mayor acero en compresión mejora la resistencia a la flexión y garantiza con mayor seguridad un diseño controlado por tracción). 4) El despiece en vigas se debe hacer con barras de refuerzo con el menor diámetro posible esto disminuye los efectos de la fisuración por retracción de fraguado y flujo plástico., usando un refuerzo base o principal con barra no menor a la #5, se pueden usar taches (barras rectas) y bastones de barra #3 y #4, siempre y cuando no haya más de un diámetro de por medio en las barras utilizadas. En columnas es preferible lo contrario, se despieza con barras de mayor diámetro.

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