Herramientas digitales para el aprendizaje activo de los estudiantes Viviana Barile, Hugo Caerols y Jorge Gaona Universidad Adolfo Ib´an ˜ez y Universidad Par´ıs VII Jorge Gaona estudiante de Postgrado en Did´actica de la Matem´atica en Universidad Par´ıs VII Resumen Una tendencia creciente en colegios y universidades es incorporar al proceso de aprendizaje de los alumnos, herramientas tecnol´ogicas como ejercitaci´on en linea. Existen actualmente disponibles en la red una bateria de ejercicios en distintos temas y en diferentes plataformas. Este art´ıculo pretende dar a conocer la forma en que se construyen actualmente estas preguntas en Moodle, algunos tipos de preguntas y los cuidados que hay que tener al programarlas de modo que resulten un real aporte a quien las utiliza. Palabras clave: Moodle, Wiris, Evaluaci´on.
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Introducci´ on
muchas otras posibilidades.
Utilizamos un complemento de Moodle llamaUna corriente de creciente desarrollo en nues- do Wiris, que dota a Moodle de CAS (Computer tro pa´ıs y en el mundo es incorporar la tecnolog´ıa Algebra System), que fortalece de sobremanera el para mejorar los procesos de aprendizaje de los generador de preguntas de Moodle en matem´atica. alumnos. La ventaja fundamental de este complemento, versus la pregunta est´atica cl´asica, es que hace posible la aleatoriedad en una pregunta y posee una gran variedad de formas de respuesta. Para hacerse una idea, es como tener un peque˜ no Maple dentro de Moodle, es decir, una misma pregunta al ser ejecutada por distintos alumnos incluso simult´aneamente, tiene distintas presentaciones y resultados, lo que ayuda a mejorar la Para realizar este trabajo a nivel de un colegio ejercitaci´on de los alumnos en tareas matem´atise requiere instalar Moodle, que es un sistema cas espec´ıficas, evitando la mecanizaci´on. de gesti´on de cursos gratuito y de amplia difuTodas estas nuevas potencialidades requieren si´on en varias universidades y colegios de nuestro pa´ıs. Hablar de las potencialidades de este de un aprendizaje por parte del profesor que se sistema tomar´ıa mucho tiempo, alej´andonos del interese por construir evaluaciones con esta heobjetivo central de este trabajo. S´olo mencionare- rramienta. Por esta raz´on al momento de adaptar mos que permite: mejorar la interacci´on profesor- una pregunta y parametrizarla tendr´a que pensar alumno, subir gu´ıas de ejercicios, trabajar con en en una serie de elementos para que esta sea foros y dise˜ nar cuestionarios y encuestas entre v´alida matem´aticamente y adem´as tenga sentido En este art´ıculo pretendemos explicar detalles respecto a la construcci´on de un sistema electr´onico de ayuda a la ejercitaci´on de los estudiantes, con la idea de introducir a los profesores en las potencialidades de este trabajo y que quiz´as puedan generar grupos de desarrollo en sus respectivos colegios que les permitan apoyar y gestionar el trabajo de sus estudiantes.
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en el caso de una pregunta aplicada. Los problemas pueden generarse de distinta forma, por ejemplo, pueden obtenerse mirando los problemas de alg´ un libro o una gu´ıa y pas´andolos al formato digital o bien considerando un objetivo a desarrollar y generando un problema adecuado para lograrlo. A continuaci´on presentaremos algunos problemas que esperamos ilustren la capacidades de la herramienta.
2.
Generando los primeros problemas
Nuestro primer ejemplo es de la unidad de combinatoria que permite adaptar las preguntas de manera bastante amigable. Problema 1 ¿De cu´antas maneras puedo escoger 14 personas de un total de 37 ?
hacemos el c´alculo con nuestra calculadora ob40 tendremos = 1,378465288 × 1011 . Co20 mo queremos que los alumnos puedan entregar este resultado en forma num´erica acotaremos el n´ umero total de personas n en 5 ≤ n ≤ 36, de esta umero m´as grande que aparecer´a es forma el n´ 36 = 9,875, 135, 300 que cabe en una calcu18 ladora de 10 d´ıgitos. Lo que explicamos anteriormente es muy importante. Al parametrizar debemos tener el cuidado que la elecci´on aleatoria de los valores de los par´ametros se haga de forma que no se estropee la pregunta para alguna iteraci´on del programa, que como buen programa har´a lo que nosotros le digamos que haga. El codigo inicial de la pregunta ser´a algo como: n aleatorio entre 5 y 36 m aleatorio entre 2 y n − 1 ¿De cu´antas maneras puedo escoger m personas de un total de n ?
El algoritmo para esta pregunta aparece en la Aqu´ı los n´ umeros 14(m) y 37(n) pueden esco- Figura 1. gerse como par´ametros de modo que cada vez que los alumnos ejecuten esta pregunta, estos n´ umeros cambien y les fuercen a utilizar en este caso las combinaciones para contar. La persona que confecciona la pregunta debe tener cuidados b´asicos pero importantes. Programar´a algo como lo siguiente:
m y n deben ser n´ umeros enteros aleatorios en cierto rango por ejemplo 1 ≤ n ≤ 40 y 1 ≤ m ≤ n. Miremos esta elecci´on de forma mas cuidadosa. ¿Tiene sentido que en alguna iteraci´on el total de personas sea 1 ? Esto nos hace refinar esta elecci´on inicial y escoger por ejemplo 5 ≤ n ≤ 40. Note que con estas restriciones Figura 1: Algoritmo pregunta combinatoria la cantidad de personas de un grupo parte de 1. ¿Tiene sentido grupos de una persona o del total Al ejecutar la pregunta tiene la presentaci´on de personas ? Esto nos hace refinar la elecci´on que aparece en la Figura 2. del otro par´ametro y escoger 2 ≤ m ≤ n − 1. El alumno ingresar´a un valor como respuesta Otra cosa que se nos hab´ıa pasado: Tratemos de contestar la pregunta ¿De cu´antas maneras y el programa internamente compara el resultapuedo escoger 20 personas de un total de 40 ? Si do del alumno con el valor que se le asocia en la
Figura 2: Enunciado pregunta combinatoria
programaci´on y de acuerdo a esto asigna como correcta o incorrecta la respuesta. No hemos incluido la ventana en que se escribe la pregunta, Figura 3: Enunciado pregunta de trigonometr´ıa iremos con un poco mas de detalle en el siguiente ejemplo que tiene relaci´on con las aplicaciones de tamos una respuesta como correcta si coincide la trigonometr´ıa. hasta un cierto valor decimal que podemos indiProblema 2 Desde un punto A un observa- carle al programa. dor ve la cima C de una monta˜ na con un a´ngulo de elevaci´on ∠DAC = γ = 30◦ . Luego se traslada hasta un punto B, 130 metros, los ´angulos ∠CAB = α y ∠ABC = β miden 45◦ y 60◦ respectivamente. Determine la altura de la monta˜ na.
Otro elemento a tener en cuenta es el hecho que al hablar de una monta˜ na, esta altura deber´ıa estar en un rango razonable digamos entre 1000 y 8848 metros que es la altura del monte Everest, del Himalaya, la monta˜ na m´as alta de nuestro planeta.
Este problema fue extra´ıdo de un libro cl´asico El lector puede verificar que la altura es una vez parametrizado e ingresado a la plataforAB sen(β) sen(γ) ma los estudiantes ver´an la pregunta como aparece en la Figura 3. La imagen que aprece en a sen(α + β) Figura 3 se hizo aparte y se insert´o en el texto de la pregunta, es decir es una imagen fija que Otra condici´on que no se puede pasar por alto, aparece cada vez que se ejecuta la pregunta. es que al ser ABC un tri´angulo α + β debe ser ◦ Aqu´ı los valores iniciales de los posibles menor que 180 , lo que restrige la elecci´on de los par´ametros iniciales. par´ametros son: Para conctruir esta pregunta con Moodle y Wi0 < α < 180◦ , 0 < β < 180◦ , 0 < γ < 90◦ y ris siga los siguientes pasos: la distancia AB mayor que cero. Una primera disyuntiva es si deseamos que los ´angulos sean valores conocidos, como 30◦ , 45◦ , 60◦ en cuyo caso esperaremos respuestas exactas con ra´ıces y fracciones que una calculadora ordinaria no puede entregar o bien permitimos valores razonables en estos rangos y acep-
Ingrese a su plataforma Moodle para luego ingresar al ambiente Banco de Preguntas. En Banco de Preguntas, seleccione el tipo de pregunta que crear´a. En este caso crearemos una pregunta de Respuesta corta.
Se desplegar´a una ventana donde tiene que llenar el espacio denominado Texto de la pregunta donde se escribe el enunciado de esta. Se escribe el problema de manera normal, salvo que los elementos que queremos que sean variables se escriben precedidos del signo #. Estos elementos se definen m´as tarde en la ventana de algoritmo de la pregunta que se muestra en la Figura 4. Se define la soluci´on que tambi´en es una variable precedida de # pues depende de los par´ametros aleatorios de los que se habl´o m´as arriba. En Respuesta abra la pantalla indicada por el s´ımbolo del editor de ecuaciones (amarillo). Esto le permitir´a llegar al ambiente de trabajo donde se programan las preguntas. En la Figura 4 se muestra en deatalle el algoritmo de esta pregunta. Guarde todos los cambios y realice una vista previa del problema.
3.
Retroalimentaci´ on
Figura 4: Algoritmo pregunta de trigonometr´ıa
Un elemento muy importante que se puede agregar a cada una de las preguntas es la retroalimentaci´on. Esta puede mejorar de manera personal) y adem´as se le da una posible soluci´on sustancial los aprendizajes y la motivaci´on de los paso a paso (retroalimentaci´on de proceso). estudiantes. Note que esta u ´ltima cambia en funci´on de los La plataforma Moodle, por defecto, permite re- valores aleatorios de los a´ngulos y de la ditancia troalimentar de tres formas diferentes. Retroali- que se traslada para hacer la medici´on. Este desamentaci´on de tarea, retroalimentaci´on personal y rrollo paso a paso puede ser tan detallado como lo quiera el profesor que construye la pregunta y retroalimentaci´on de procesos. puede incluir m´as de una soluci´on. En el caso de la retroalimentaci´on de proceso, Para escribir la retroalimentaci´on siga la mises posible dar un desarrollo paso a paso del problema planteado, en funci´on de los par´ametros ma estructura que en la escritura del enunciado. Cada vez que se quiera escribir un objeto aleatorios de la pregunta. que contenga un elemento variable se antepone el En la Figura 3 se muestra la retroalimentaci´on s´ımbolo # y a su vez estos se tienen que definir de tarea que le indica al alumno que la respues- en el mismo espacio dedicado a la programaci´on. ta ingresada es la correcta, En la Figura 5 se le En esta pregunta hubo que definir dos variables entrega una frase de felicitaci´on por haber in- nuevas c1 y c2 que son c´alculos intermedios que gresado la respuesta correcta (retroalimentaci´on permiten explicar el desarrollo.
Figura 5: Retroalimentaci´on pregunta trigonometr´ıa
4.
Incluyendo gr´ aficos aleatorios
Figura 6: Enunciado pregunta que incluye un Como u ´ltimo ejemplo para mostrar las distin- gr´afico aleatorio tas posibilidades de programaci´on mostraremos como generar gr´aficos aleatorios. El lenguaje puede parecer un poco t´ecnico pero hemos decidido Observe la siguiente recta escribirlo de esta forma, para dar una mayor cla#graf ridad a quienes comiencen a construir sus proDetermine su ecuaci´on. pias preguntas. La idea de esta pregunta es ir desde la representaci´on gr´afica de la recta a su En el espacio de respuesta se escribe: ecuaci´on, que es lo contrario a lo que se solicita Respuesta 1 usualmente. El enunciado se muestra en la Figu#sol ra 6. Detallamos ahora todos los pasos a seguir Calificaci´on 100 % en la plataforma Moodle. En la definci´on del enunciado, #graf representa el gr´afico y #sol la respuesta correcta, ambos elementos dependen de par´ametros aleatorios y se definen en la pesta˜ na Variables que se abre al hacer click sobre el s´ımbolo de ra´ız que est´a al costado del espacio donde se escribe la respuesta Esto abrir´a una ventana de edici´on de la pre- correcta. El algoritmo que define estos objetos se gunta donde hay dos elementos que se tienen que muestra en la Figura 7. definir como m´ınimo para que cualquier pregunta Para definir #graf se necesita, a su vez, definir funcione: el enunciado y la respuesta correcta. dos elementos previos: el plano cartesiano sobre el que se va a graficar y el objeto a graficar. En el enunciado se escribe:
Para poder crear esta pregunta hay que ir al men´ u Crear una nueva pregunta de Moodle, se elige Matem´aticas y Ciencias Wiris, se despliegan varias opciones de preguntas y se hace un click sobre Respuesta Corta - Ciencias.
debe extraer informaci´on del gr´afico, la imagen debe mostrar pares ordenados (x1 , y1 ) de la recta que sean n´ umeros enteros para que se los pueda identificar. Por esta raz´on m y b tomar´an valores enteros tales −4 ≤ m ≤ 4, observe que si, por ejemplo, se eleg´ıa c´omo m´ınimo y m´aximo a −5 y 5 para las variables m y b respectivamente, pod´ıa aparecer la recta y = 5x + 5 que s´olo tiene el par ordenado (−1, 0) con coordenadas x e y enteras dentro del cuadrado definido previamente. Otro elemento importante a considerar es que tanto m como b podr´ıan tomar como valor el 0, por lo que podr´ıan aparecer las siguientes rectas: y = mx con m 6= 0. Figura 7: Algoritmo de pregunta que incluye un gr´afico aleatorio
La configuraci´on del plano cartesiano es bastante flexible, pero para simplificar el ejemplo y centrarse en la definici´on del objeto, se eligieron las dimesiones de los ejes de una medida est´atica y se defini´o de tal forma que el eje x y el eje y est´en entre −5 y 5. Estas caracter´ısticas se configuran mediante el comando tablero: t1 = tablero(punto(0, 0), 10, 10), donde punto(0, 0) es el centro del tablero y los n´ umeros 10 que aparecen dos veces, corresponden a la distancia que hay entre el m´ınimo y m´aximo que hay entre los valores del eje x y eje y. Una vez definido el plano, se define el objeto a graficar. En este caso es una recta por lo que hay que elegir una de las varias maneras que hay para definirla: con dos puntos, un punto y una pendiente o utilizando algunas de sus ecuaciones caracter´ısticas.
y = b con b 6= 0. y = 0. ¿Cu´al de estos casos se descartan? y ¿por qu´e? La elecci´on que se hizo en este caso fue descartar s´olo la u ´ltima opci´on y es por razones pr´acticas: la gr´afica de y = 0 no se distingue tan f´acilmente en la imagen que ven los estudiantes, raz´on por lo cual se utiliza el comando repetir ... hasta, de tal forma que WIRIS haga iteraciones hasta que uno de los dos par´ametros sea distinto de cero o hasta que ambos sean distintos de cero. Por u ´ltimo, se define la soluci´on simplemente como sol = y = m · x + b y el gr´afico mediante el comando dibujar : graf = dibujar(t1, sol). Cabe observar que al estudiante no se le est´a solicitando una forma particular de responder, por lo que a pesar de que el objeto es u ´nico, para un valor particular de m y b este puede ser escrito de varias maneras,
Por ejemplo, si la respuesta fuese y = 3x + 2 el En este caso elegimos la ecuaci´on principal, por estudiante podr´ıa responder entre otras posibililo que se necesita definir la pendiente m y el coe- dades: y − 3x − 2 = 0 o 2y = 6x + 4. ficiente libre b. Para que acepte las infinitas posiblidades de Teniendo en cuenta la restricci´on de la respuesta, en el caso particular de objetos definicuadr´ıcula, la recta debe estar en el cuadrado dos mediante una igualdad, es necesario activar [−5, 5] × [−5, 5] y adem´as, como el estudiante la casilla ecuaciones equivalentes que est´a en la
pesta˜ na Validaci´on de Wiris y que se muestra en la Figura 8, de tal forma que el sistema use el CAS incorporado para comparar la respuesta del estudiante con la definida previamente y concluir que son equivalentes matem´aticamente.
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Comentarios sobre la construcci´ on de las preguntas
Para trabajar en el desarrollo de bancos de preguntas hay ciertas condiciones que son necesarias para que el banco construido sea de buena calidad en relaci´on al proyecto que se est´e comenzando a desarrollar. Un primer elemento que hay que considerar, es Figura 8: Opci´on para que el sistema acepte ecua- tener claridad de los objetivos de aprendizaje del ciones equivalentes curso o tema y que estos objetivos se traduzcan en criterios de evaluaci´on que gu´ıen la construcci´on de las preguntas. Observe que cada vez que usted ejecuta la preUna vez que est´an claros los objetivos de gunta aparecen datos diferentes. aprendizaje que se pretenden desarrollar, es reDe esta forma usted puede confeccionar un comendable no hacer doble trabajo y utilizar las banco de preguntas de distintos temas y niveles. preguntas que est´en en l´ınea con los objetivos Puede seleccionar estas preguntas para construir descritos m´as arriba y que otras instituciones y un cuestionario de preguntas aleatorias. profesores ya confeccionaron y que han comparnada para Cada vez que un alumno ingrese quedar´an re- tido de manera libre en un p´agina dise˜ este prop´ o sito [2]. gistrados una serie de indicadores: como el tiempo que demora en contestar, la respuesta que ingres´o en cada pregunta, el n´ umero de intentos y la distribuci´on en el tiempo de su trabajo en la plataforma. Con esta informaci´on es posible determinar temas que no han sido asimilados por sus alumnos de la forma esperada. El lector interesado se dar´a cuenta que reci´en comienza a introducirse en un mundo en el que no s´olo hay que considerar restricciones matem´aticas sino tambi´en de espacio y presentaci´on. Al aprender y aplicar todo esto, podr´a hacer buenas preguntas, que adem´as resulten muy flexibles en t´erminos de presentaci´on.
Estas preguntas, pueden ser descargadas y subidas a la plataforma Moodle donde est´e trabajando y dentro ella puede modificar tanto los elementos del enunciado como los elementos del algortimo que no se ajusten a sus requerimientos. Una vez definidos estos dos primeros elementos, es muy importante trabajar en equipo. No s´olo para repartir el trabajo, sino que para discutir sobre las dudas que a cada profesor le ir´an surgiendo en el proceso de construcci´on y obtener un resultado de mejor calidad.
A modo de ejemplo, compartiremos algunas experiencias que conocemos, e indicaremos aquePor lo anterior, se hace muy necesario formar llos factores que han hecho que el resultado no equipos de trabajo en los que participen distin- haya sido tan bueno como se esperaba, las que tas personas, algunas de las cuales deben tener sin embargo, han dejado valiosas lecciones. habilidades de programaci´on, creatividad y sobre todo conocimientos de matem´atica, para que el Una primera modalidad de trabajo observada material desarrollado resulte interesante y de un fue totalmente horizontal. Se estableci´o una lista nivel adecuado con respecto a los prop´ositos re- de los criterios de evaluaci´on. En base a esta lisqueridos. Esto lo trataremos en el siguiente pun- ta, cada profesor del equipo creaba una pregunta to. para completarla. Efectivamente se construyeron
las preguntas, pero como no hubo mucha comuni- que de esta forma se sientan parte del proceso. caci´on, los niveles de dificultad estaban un poco No hemos tocado a´ un un tema muy importante desalineados y en general no se ve´ıa un hilo conque es c´ o mo se integra este trabajo en la estrucductor entre ellas. tura metodol´ogica de un curso y este es un gran En un trabajo de autoevaluaci´on que se hizo tema del que se puede escribir mucho. No hay m´as tarde, los profesores mencionaron que todos una receta espec´ıfica sino distintas experiencias tuvieron dudas en las elecciones que hac´ıan, pero que integran este trabajo en los cursos de diferenque no encontraron los canales de comunicaci´on te manera. Tareas semanales, pruebas semanales, para expresarlas, por lo que recurrieron a la in- ejercitaci´on libre. Esperamos m´as adelante tener tuici´on para salir del paso. algunos resultados a este respecto y poder contarles algunas experiencias. Una segunda modalidad observada, fue totalmente opuesta, el coordinador del equipo de Finalizamos este art´ıculo con una serie de reconstrucci´on indicaba a cada profesor qu´e pre- ferencias de manera que los lectores interesados gunta construir, por lo que la responsabilidad del puedan comenzar a entrar en este nuevo mundo dise˜ no reca´ıa en una sola persona. al que nos lleva la tecnolog´ıa, cuyo avance nos hacen reflexionar permanentemente sobre las esAl hacer una autoevaluaci´on se pudo constatar trategias metodol´ogicas utilizadas. que se desaprovech´o la capacidad creativa de los profesores, lo que conlleva una baja en su comLa tecnolog´ıa ha cambiado definitivamente la promiso con el proyecto. Adems, toda la arqui- forma en que se accede al conocimiento y es nuestectura de la construcci´on depend´ıa de una s´ola tro deber estar al d´ıa en los avances de manera persona, lo que impidi´o que los distintos puntos de mejorar la formaci´on de nuestros futuros prode vistas que enriquecieran el trabajo de crea- fesores y estudiantes. ci´on. Para contactar a los autores Entonces, ¿c´omo encontrar un equilibrio? Una
[email protected],
[email protected], posibilidad es trabajar en un punto intermedio entre las dos experiencias presentadas anterior-
[email protected] mente, es decir, que se formen peque˜ nos grupos de trabajo, de 2 o 3 personas, que est´en a cargo de unidades espec´ıficas, pero, que a su vez cada una de las personas de ese equipo sepa pe´ tiri´odicamente lo que est´an construyendo los otros [1] Blog sobre aprendizaje de matema ´ equipos con el fin de visualizar conexiones entre cas con tecnologıa. las distintas preguntas. http://www.matematicacontecnologia.org
Referencias
Recomendamos establecer reuniones para con- [2] Comunidad colaborativa de preguntas construidas con Wiris. versar sobre los c´odigos utilizados y analizar en http://stemcollection.com equipo las preguntas. A trav´es de esta interacci´on se pueden mejorar las preguntas, pueden apare´ cer nuevas preguntas, y a veces, se constata la [3] Manual y librerıa de comandos Wiris CAS. necesidad de redise˜ narlas por que no se adecuan http://www.wiris.net/demo/wiris/manual/es/ a los niveles de dificultad o a los objetivos de aprendizaje para los cuales fueron construidas. [4] Manual Wiris CAS. http://www.infoymate.es/wiris/ Es importante que los profesores que trabajan en los cursos se involucren de alguna manera en la [5] Manual Wiris Quizzes. generaci´on y/o validaci´on de las preguntas para http://www.wiris.com/es/quizzes/docs/moodle
