2010 - Vol24 - Num1 - Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas con coeficientes constantes a través de valores y vectores propios

July 21, 2017 | Autor: Revista Uniciencia | Categoría: Informatica
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Descripción

UNICIENCIA 24 pp. 121-132 2010

RESOLUCIÓN DE RELACIONES DE RECURRENCIA LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES A TRAVÉS DE VALORES Y VECTORES PROPIOS Enrique Vílchez Quesada

Universidad Nacional de Costa Rica Escuela de Informática [email protected]

Resumen: La resolución de relaciones de recurrencia es un tema de vital importancia para abordar distintos tipos de problemas en matemática e informática. Tradicionalmente, los textos de Estructuras Discretas, que proponen métodos de resolución de recursividades lineales, se basan en el planteamiento de ecuaciones polinómicas difícilmente programables. Este artículo expone un método fundamentado en el uso de valores y de vectores propios, brinda la facilidad, por un lado, de ofrecer soluciones suficientemente generales y por otro, de utilizar un enfoque que permite su programación de una manera relativamente sencilla. Palabras clave: sucesiones, recurrencia, valores, vectores, propios, no homogéneas.

Abstract: The resolution of recurrencia relationships is a topic of vital importance to approach different types of problems in mathematics and computer science. Traditionally the texts of Discreet Structures that propose methods of resolution of lineal recursividades, are based on the position of polynomial difficultly programmable equations. This article exposes a method based in the use of values and own vectors, it offers the easiness on one hand of throwing sufficiently general solutions and for other, of using a focus that it allows its programming in a relatively simple way. Key words: successions, recurrencia, values, vectors, own, not homogeneous.

Introducción Las relaciones de recurrencia, por su naturaleza, manifiestan la necesidad de determinar

de forma explícita mediante algún método o técnica, el término n-ésimo de la sucesión que representan. El presente artículo tiene por objetivo resolver este problema para un tipo especial de relación de recurrencia llamada recurrencia lineal no homogénea con coeficientes constantes de orden k. La propuesta es el complemento de una serie de dos algoritmos desarrollados con anterioridad,para resolver relaciones de recurrencia lineales, pero estrictamente homogéneas. Una relación de recurrencia lineal no homogénea de orden k con coeficientes constantes para una sucesión (Sn)n INU{0} es aquella de la forma: Sn+k =βk−1 Sn+(k−1)+ βk−2 Sn+(k−2)+...+ β1 Sn+1+ β0 Sn+ f (n) Siendo los βj números reales fijos j, j IN U{0}, 0 ≤ j ≤ k−1 que junto con las k condiciones iniciales Sj = cj , cj IR, j , j

IN U{0}, 0 ≤ j ≤ k−1

determinan de manera única los elementos de la sucesión. Planteamiento del problema Pretendemos generar un método mediante la aplicación de los valores y vectores propios, que nos permita caracterizar el término n-ésimo de una sucesión definida por una

Recibido 3 de marzo de 2009 – aceptado 10 de junio de 2009

121

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Enrique Vílchez. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas (...)

relación de recurrencia lineal no homogénea de orden k con coeficientes constantes. Dada una relación de recurrencia de este tipo: Sn+k =βk−1 Sn+(k−1)+ βk−2 Sn+(k−2)+...+ β1 Sn+1+ β0 Sn+ f (n) junto con las k condiciones iniciales Sj = cj , 0 ≤ j ≤ k−1 siendo los βj y los cj números reales fijos j , j IN U{0}, 0 ≤ j ≤ k−1. El método que aquí desarrollamos se fundamenta en el siguiente sistema de ecuaciones: �k �−1 S n+(k �−1) + β �k �− 2 S n+(k �− 2 ) +  + β �1 S n+1 + β �0 S n + f (n ) �S n+ k = β �S −1) = S n + (k � −1) n + (k � � � �S n+(k �− 2 ) = S n+(k �− 2 ) � � �S n+1 = S n+1 �

Este sistema escrito, en forma matricial, puede expresarse como

X n+1 = AX n + B

(2.1)

siendo, ��β k �−1 � � 1 A=� 0 � �  � 0 �

� β1 β k �− 2  � 0  0  0 1    0  1

Si A es una matriz diagonalizable, sabemos que existe una matriz invertible P y una matriz diagonal D formada por los valores propios de A, tal que: A=PDP−1. Esto nos permite hallar Ah h, h IN, pues por inducción matemática se puede comprobar que: Ah=PDhP−1. En el artículo Valores propios y las sucesiones definidas de forma recursiva (Vílchez y Monge, 2001), se demostró que la matriz A es diagonalizable sí y solo sí todos sus valores propios son simples, además, se probó que: −1 k�

En 2.1 se observa aplicando un método iterativo progresivo que �X 1 = AX 0 + B �X = AX + B = A ×· (AX + B )+ B = A 2 X + A ×· B + B 2 1 0 0 � � 2 3 2 �X 3 = AX 2 + B = A ×· A X 0 + A ×· B + B + B = A X 0 + A ×· B + A ×· B + B � � −2 −1 n n� n� � �X n = A X 0 + A ×· B + A ×· B +  + A ×· B + B

)

En consecuencia, se intuye la siguiente generalización: Xn=AnX0+An−1·B+An−2·B+···+A·B+B, n IN (2.2) 122

Al observar 2.2 notamos que nuestro problema queda completamente resuelto si logramos calcular Ah con 1≤ h ≤ n, h IN, pues al desarrollar AnX0+An−1·B+An−2·B+···+A·B+B nos interesa obtener la última fila de esta matriz que nos devuelve de manera explícita a Sn.

��λ1 � β0 � � ÷ 0÷ �  P reales = � y1 X k con entradas 0 ÷ una matriz k � ÷ λ1  ÷ con entradas reales y �� ÷ �1 0� �

�S n + (k �−1) � � f (n )� ÷ � ÷ � �S n + (k �− 2 ) ÷ � 0 ÷ k Xn = � B , = , �  ÷ vectores en IR .  ÷ ÷ � ÷ � � 0 ÷ � S ÷ � � � n �

(

El resultado 2.2 se puede demostrar con mucha sencillez utilizando el primer principio de inducción matemática. Omitiremos esta demostración.

k �1 k �1  � � λ2 λk � ÷    ÷ 1 1 ÷ � λ2  � λk ÷ 1  1 ÷ � −



(2.3)

siendo λ1, λ1, ..., λk los valores propios de la matriz A. Adicionalmente, en la citada publicación, se demostró que el polinomio característico de A viene dado por: P(λ)=λ−βk−1λk−1−βk−2λk−2−...−β1λ−β0 (2.4) Entonces, si la matriz A no es diagonalizable (tiene valores propios de multiplicidad algebraica mayor estricta a uno), esta se puede reducir por medio de una matriz de Jordan. Por resultados conocidos de la teoría de matrices, con certeza sabemos que para cualquier matriz cuadrada A es posible encontrar su forma canónica de Jordan, sin embargo, ¿cuál es el procedimiento que se aplica para ello?

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Enrique Vílchez. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas (...)

En términos generales dada una matriz A Mk(IR) con valores propios distintos dos a dos λ1,λ2,...,λm de multiplicidad algebraica r1,r2,...,rm respectivamente, si suponemos que los subespacios propios Eλ j, j IN, 1≤ j ≤ m son de dimensión uno, y siendo X1j un vector propio asociado a λj j, j IN, 1 ≤ j ≤ m el método que utilizaremos se basa en formar y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

Es notable su estructura diagonal, en consecuencia se puede inferir que:

�(A � −λ � j I k )X 2j = X 1j � −λ � j I k )X 3j = X 2j �(A � ≠1 con r j � �  � �(A � −λ � j I k )X rjj = X rjj −�1 �

Es decir, la potencia n−ésima de una matriz de Jordan se puede calcular al obtener las potencias n−ésimas de los bloques que la constituyen, sin embargo, ¿cómo se calculan dichas potencias? Para dar respuesta a esta pregunta se enuncia el siguiente teorema.

j

(2.5)

A cada uno de los vectores X1j, X3j, Xr j, se les llama vectores propios generalizados o generalísimos de A asociados al valor propio λj. j

Hallando estos vectores propios generalísimos j, j IN, 1 ≤ j ≤ m , es posible obtener la matriz de transición P−1 la cual viene dada por: (X11 X21 ∏ Xr1 X12 X22 ∏ Xr2 ∏ X1m X2m ∏ Xr m) 1

2

m

Observe que por cada vector propio X1j se forman rj columnas en P−1 si rj=1 entonces el único vector que se requiere para completar las rj columnas correspondientes en esta matriz, es el vector propio X1j y en este caso, por tanto, no se debe hallar algún vector propio generalizado. Además, si algún subespacio propio Eλ es de dimensión tj IN, tj ≠ 1 existen tj vectores propios asociados a λj linealmente independientes y en consecuencia se requerirán rj −tj vectores propios generalizados para formar las rj columnas correspondientes en P−1.

n �(B1 (� λ1 )) � � 0 Jn =� � 0 �  � � � 0

λ1 ) 0 0 �B1 (� � B2 (� 0 λ2 ) � 0 λ3 ) J =� 0 0 B3 (� �   �  � 0 0 0 �

 0 � ÷  0 ÷  0 ÷ ÷   ÷ ÷  Bm (� λm )�

0 

0 0 (B3 (�λ3 ))n 

0

0

    

� 0 ÷ ÷ 0 ÷� n, n � IN 0 ÷ ÷  ÷ n÷ (Bm (�λm )) �

(2.6)

Teorema 1. Sea B = (bij) de Jordan de la forma:

Mr (IR) un bloque

λ si i = j

bij=

1 si i = i+1 0 en otro caso

λ 1 0  0 0� �� ÷ � �0 λ� 1  0 0 ÷ es decir: B = �      ÷ ÷ � �0 0 0  λ� 1 ÷ �0 0 0  0 � ÷ λ� � entonces Bn=(cij)

λ si i = j n! (n−l)!l! 0 si i > j n

j

Centremos ahora nuestra atención en cómo hallar la potencia n−ésima de una matriz de Jordan. Dada una matriz de Jordan de la forma:

0

(B2 (�λ2 ))n

cij=

Mr (IR) n, n

IN es tal que:

λn−l si j = i+1 con l=1,2,...,r−1

o bien: �λ �n � �0 Bn = �  � �0 � �0

� (n−�1)!1! λ

�1 n−

n!

λ�

n

� (n �−2 )!2! λ

−2 n�

n!

n! (n−�1)!1!

λ�

�1 n−

 

 0

 0

 

0

0



� (n−�r +1)( ! r− �1)! λ

�r +1 n−

n!

n! (n−�r + 2 )( ! r− �2 )!



λ�

�1 n− n! (n−�1)!1! n

λ�

� ÷

λ�n−�r + 2 ÷

÷ ÷ ÷ ÷ �

Prueba. Procedamos por el primer principio de inducción. Para n=1, B=(λ)=> Bn=(λn) con lo cual queda probado el teorema en este caso. 123

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Enrique Vílchez. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas (...)

Supongamos por hipótesis de inducción que para algún k, k

IN, Bk = (c' ij) es tal que:

��λk si si i = j � k! � �' k− �l cij = � � si j = i + l con l = 1, 2,  , r � λ si −1 ( ) − � k l ! l ! � �0 si si i > j �

Probemos el teorema para Mr (IR): Bk+1= Bk· B por definición de r k+1. Sea Bk+1=(cij) potencia de matrices => cij =Σ por definición del producto de matrices. c' b h=1 ih hj Consideremos los siguientes casos: a) i=j

cii =Σ c'ih bhi=c'i1 b1i+ c'i2 b2i+...+ c'ii−1 bi−1i+...+ c'ir bri h=1 r

=0+0+...+0+λ·λk+0+...+0=λk+1 por definición de B y la hipótesis inductiva

b) j=i+l con l=1,2,...,r−1

cii+1 =Σ c' b =c'i1 b1i+l+ c'i2 b2i+l+...+ c'ii+l−1 bi+l−1i+l+ c'ii+l bi+li+l+ c'ii+l+1 bi+l+1i+l+...+ c'ir bri+l h=1 ih hi+l r

=0+0+...+ k! λk+1−l·1+λ· k! +0+...+0 por definición de B y la hipótesis inductiva (k+1−l)!(l−1) (k−l)!l!

=

k! λ k +1−�l [1 + � (k + 1 �− l )( !! l − � 1)!!

=

(k + 1)!! �λ k +1−�l k! �k + 1� λ k +1−�l � � = � − l )!l! (k + 1 �− l )( !! l − � 1)!! � l � (k + 1 �

c) i > j

k +1− �l l

[ [

]=

k! λ k +1−�l [l + k l+1−�l ] � − ! − ! (k + 1 � l )( ! l � 1)!

cii+1 =Σ c' b =c'i1 b1j+ c'i2 b2j+...+ c'ij−1 bj−1j+ c'ij+l bjj+ c'ij+1 bj+1j+...+ c'ir brj h=1 ih hj r

=0+0+...+0·1+0·λ+0+...+0=0 por definición de B y la hipótesis inductiva λ k +1 sisi i = j �� � � (k + 1)!! λ k +1−�l si � si j = i + l con l = 1, 2, , r − � �1 ··· cij = � l! � l )!!l! �(k + 1 − � si i > j �0 si Estos resultados nos permiten crear un modelo general para resolver relaciones de recurrencia no homogéneas lineales de cualquier orden cuando los valores propios tienen multiplicidad algebraica mayor estricta que uno. Supongamos que la ecuación característica tiene m soluciones distintas dos a dos λ1,λ2,...,m con multiplicidades algebraicas r1,r2,...,rm respectivamente. A partir de estas condiciones sabemos que An=P−1·Jn·P n, n IN u {0} con: 124

Enrique Vílchez. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas (...) n �(B1 (� λ1 )) � � 0 n J =� � 0 �  � � 0 �

0

0 0

n

(B2 (�λ 2 ))

(B3 (�λ 3 ))n

 0

 0

0 0

� ÷ ÷ ÷ por 2.6 0  ÷ ÷   n÷ ÷  (Bm (� λ m )) �  

0

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donde cada Bj (λj) es un bloque de Jordan de orden rj y P es la matriz de transformación de semejanza de la forma canónica de Jordan de A. Además, por el teorema 1 tenemos que: n �� �λ j �0 � n B j (�λ j )= �  �0 � �0 �

n� −1

n!

λj (n �−1)!1! � n � λj  0

n� −2



λj (n �−1)!1! �

n− �1



 0

 

0



n!

λj (n �−2 )!2! � n!

0

n� −r j +1

� ÷ n� −r j + 2 n! ÷ � (n−�r j + 2 )(! r j �−2 )! λ j ÷  ÷ n� −1 ÷ n! λj (n �−1)!1! � ÷ n ÷ � λj � n!

λj (n�−r j +1)(! r j �−1)! �

Así, para determinar las columnas de la matriz P−1, hemos observado que por cada valor propio λj de multiplicidad algebraica rj se forman rj columnas de P−1. La primera de ellas corresponde al vector propio (λjk−1, λjk−2,..., λj,1) asociado a λj y las otras rj −1 columnas están constituidas por rj −1 vectores propios generalísimos asociados a λj. El número máximo de vectores propios generalísimos que es necesario encontrar en este método, es igual a k−1 y lo anterior ocurre cuando de la ecuación característica se obtiene una única solución. Si a lo sumo se requieren k−1 vectores propios generalísimos, a continuación se explicará cómo encontrar estos vectores. Para el caso dos por dos, el vector propio generalísimo requerido es (1,0). Los vectores propios generalísimos asociados a λj para el caso tres por tres son (2λj,1,0) y (1,0,0). Para el caso cuatro por cuatro, los vectores propios generalísimos asociados a λj son (3λ2j, 2λj,1,0) (3λj, 1,0,0) y (1,0,0,0). Para el caso cinco por cinco son (4λ3j, 3λ2j , 2λj ,1, 0) (6λ2j, 3λj ,1,0, 0) (4λj,1, 0, 0, 0) y (1,0,0,0,0) y para el caso seis por seis corresponden a: (5λ4j, 4λ3j , 2λj ,1, 0) (10λ3j,6λ2j ,13λj ,1,0,0) (10λ2j, 4λj ,1,0,0,0) (5λj,1,0,0,0,0) y (1,0,0,0,0,0). Si formamos por cada grupo de vectores, añadiendo el vector propio original una matriz de coeficientes por fila para cada potencia de λj, se obtiene lo siguiente: 1 0 �λ� j λ� j � H 2j = �1 1 ÷ ÷ � �0 1 � 2 1 0 �λ� j λ� j λ� j � �1 1 1 ÷ � ÷ H 3j = �0 2 1 ÷ �0 0 1 ÷ ÷ � � �

3

2

�� j � j �1 1 � H 4j = �0 3

�1j

�0j

� 1 1÷ ÷ 2 1÷

125

�1 1 1 ÷ ÷ � H 3j = �0 2 1 ÷ �0 0 1 ÷ UNICIENCIA 24, 2010� ÷ Enrique Vílchez. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas (...) � � �λ� j �1 � H 4j = �0 �0 � �0 �

λ�2j

3

λ�1j

que corresponde al triángulo de Pascal con n=5. Lo anterior significa que las diagonales H6j de la matriz están constituidas por coeficientes binomiales.

λ�0j �

1 1 1÷ ÷ 3 2 1÷ 0 3 1÷ ÷ 0 0 1÷ �

En términos más generales, es posible concluir por inducción finita que: � λ� j − ��k −�1 � �� � ÷ ÷ �� 0 � � �0 � � j H i = �0 � � � �0 � � �0 �

λ�kj −�2

k �1

�λ �1 � �0 H 5j = �0 � �0 �0 �

λ

�4j

�λ� j �1 � �0 � H 6j = �0 �0 �0 � �0 � 5

λ

λ λ � 1 1 1÷ ÷ 3 2 1÷ 6 3 1÷ ÷ 0 4 1÷ 0 0 1÷ �

�3j

�2j

1 4 0 0 0

λ� j

4

1 5 0 0 0 0

λ� j 3

�1j

λ� j

2

1 1 4 3 10 10 6 0 10 10 0 0 0 0

�0j

λ� j 1

1 2 3 4 5 0

λ� j � 0

1÷ ÷ 1÷ 1÷ ÷ 1÷ 1÷ ÷ 1÷ �

La matriz H Mi (IR) i, i IN ≥ 2 representa la matriz de coeficientes del vector propio original y los vectores propios generalísimos asociados a λj para el caso i por i. Lo interesante de cada una de estas matrices triangulares superiores radica en sus i diagonales no nulas. Observe, por ejemplo, las diagonales no nulas de la matriz H6j el triángulo numérico que estas forman viene dado por: j i

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 10 10 5 1 126

λ�kj −�3

λ�1j



�k −�3 � � �0 ÷ ÷ � � �k −�2 � � ÷ ÷ � �1 � �k −�1 � � �2 ÷ ÷ � � 

0

0



0

0

 0

�k �−2 � � �0 ÷ ÷ � � �k �−1 � � ÷ ÷ � �1 � 0

   

�1 � � �0 ÷ ÷ �� �2 � �÷ ÷ � �1 � �3 � � �2 ÷ ÷ ��  �k −�1 � � �k −�2 ÷ ÷ � �

λ� j � �0 � ÷ � �0 ÷ ÷ ÷ �� ÷ �1 � ÷ �÷ ÷ ÷ � �1 � ÷ �2 � ÷ � �2 ÷ ÷ ÷ �� ÷ ÷  �k −�2 �÷ � �k �2 ÷ ÷÷ � − �÷ �k �−1 �÷ � �k �1 ÷ ÷÷ � − �� 0

(2.7) La matriz Hij del vector propio original y los vectores propios generalísimos asociados a λ, nos permite completar las rj columnas de P−1 por cada λj con j=1,2,...m. A partir de los resultados es posible expresar la potencia h-ésima de la matriz A en 2.2 como: Ah=PThP−1

(2.8)

siendo T una matriz diagonal o una matriz de Jordan según sea el caso. Si en 2.2 sustituimos la matriz A utilizando 2.8 entonces, se obtiene: Xn=PTnP−1X0 + PTn−1P−1· B+ PTn−2P−1 · B+...+ PT0P−1· B =>Xn=PTnP−1X0 + P·(Tn−1+Tn−2+...+T0) ·P−1· B (2.9)

El resultado 2.9 proporciona un método general para resolver relaciones de recurrencia lineales no homogéneas con coeficientes constantes de cualquier orden. En la sección siguiente se exponen demostraciones formales que resuelven recursividades de orden dos y tres, sin embargo, el algoritmo explicado a

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través de estos casos particulares, permite deducir un método de resolución en recurrencias de orden mayor. Relaciones de recurrencia lineales no homogéneas de orden dos Método de resolución Dada la relación de recurrencia:



λ1n −1 λ1−1

0

=>Xn= f (n)

=>Xn=

Sn+2 = β1Sn+1+ β0Sn+ f (n)

λ1λ1n λ1n λ1 λ1−1 f (n) λ1−1

β 1 β0 corresponde a P(λ)= λ2−β1λ−β0. 1 0

Este polinomio puede tener dos raíces y distintas o iguales. Si las raíces λ1 y λ2 son distintas, la matriz T en 2.9 es una matriz diagonal de la forma:

Por tanto, en 2.9: λn 0 c Xn=P 1 n · P−1 · 1 +... 0 λ2 c0 P · (Tn−1+ Tn−2+...+ T0)·P−1 · =>Xn= P·

λ1λ1n λ1n

( (

c1 λ1−λ2 c1 λ1−λ2

c0

Sn=λ1n

1

2

1

2

c0

−λ2 λ −λ

λ1λ1n λ1n

( (

c1 λ1−λ2 c1 λ1−λ2

c0

) ( )− λ (

−λ2 λ −λ −λ2λ2n 1

2

1

2

c0

−λ2 λ −λ

n 2

2

) ( )− λ (

1

2

c0

n 2

c0

) +... )

c1 λ1−λ2 c1 λ1−λ2

−λ1 λ −λ

c1 λ1−λ2 c1 λ1−λ2

−λ1 λ −λ +... c −λ1 λ −λ +...

1

2

1

2

c0

−λ1 λ −λ

λ2 λ2n −1 λ2−1 λ1−λ2 n f (n) λ2 −1 λ2−1 λ1−λ2

−f (n) −

c1 λ1−λ2 c1 λ1−λ2

c1 λ1−λ2

c0

) ( )− λ (

−λ2 λ −λ −λ2λ2n 1

c0

2

−λ2 λ −λ 1

λ1 λ1−1 f (n) λ1−1

2

λ1n −1 λ1−λ2 λ1n −1 λ1−λ2

n 2

c0

1

2

0

1

2

) )

λ2 λ2n −1 λ2−1 λ1−λ2 f (n) λ2n −1 λ2−1 λ1−λ2

−f (n) −

c0

−λ2 λ −λ −λ2n 1

n 1

c1

λ1−λ2 c1 λ1−λ2

− λ2 − λ2

f (n)

2

λ1n −1 λ1−λ2

c1 λ1−λ2

f (n) λ2−1



c0

−λ1 λ −λ +... 1

2

λ2n −1 λ1−λ2

(3.1)

c1

λ1−λ2

c0

λ1−λ2 c0 λ1−λ2

λ1 λ1−1

− λ2

)− λ λ ( )− λ ( n 2 2 n 2

λ1n −1 λ1−λ2

−f (n)

c0

− λ2n

λ1−λ2

c1

λ1−λ2 c1 λ1−λ2

λ2 λ2−1

− λ1 − λ1

c0

λ1−λ2 c0 λ1−λ2

) +... )

λ2n −1 λ1−λ2

c1

λ1−λ2

− λ1

c0

λ1−λ2

(3.2)

f (n) 0

c1 λ1−λ2 c1 λ1−λ2

λ1n−1+ λ1n−2 +...+1 0 0 λ1n−1+ λ1n−1 +...+1

=>Xn=

( λ (

λ1λ1n

Sn=λ1n

n 2

1

−λ2 λ −λ

f (n) λ1−1

es decir:

) ( )− λ (

( (

c0

−λ2 λ −λ −λ2λ2n

Se asume en este desarrollo que ningún valor propio es igual a uno, si así fuera entonces. Finalmente, con esta restricción:

Xn=

1 − λ2 λ1−λ2 λ1−λ2 λ2 − 1 λ1−λ2 λ1−λ2

−λ2 λ −λ −λ2λ2n

c1 λ1−λ2 c1 λ1−λ2

En caso contrario:

Además, por 2.3: λ1 λ2 =>P−1= 1 1

( (

f (n)

λ 0 T= 1 1 λ2

P=

· P−1 · f (n) 0

λ1n −1 λ1−λ2 λ1n −1 λ1−λ2

λ1λ1n λ1n

sujeta a las condiciones iniciales S0= c0, S1= c1. Tenemos según 2.4 que el polinomio característico definido por la matriz A=

0

λ2n −1 λ2−1

c0

−λ1 λ −λ 1

2

1

2

c0

−λ1 λ −λ

) +... )

· P−1 · f (n) 0 c1 λ1−λ2 c1 λ1−λ2

c0

−λ1 λ −λ 1

2

1

2

c0

−λ1 λ −λ

) +... )

Si λ1=λ2, entonces según 2.6: T=

λ1 0 1 λ1

Además, por 2.7: P=

λ1 1 0 1 =>P−1= 1 0 1 λ1

127

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Finalmente:

En 2.9: λ1n nλ1n−1

Xn=P ·

1

λ

n � � 1 � 1 λ1 n − (n + �λ1 �− n�λ1 )÷÷ + n�λ1n�−1 (c1 �− �λ1c0 ) Sn = � � λ 1 c0 + f (n )� 2 2 �(� − 1) − 1) � λ1 (� λ1 � � � λ1 �

f (n) P · (Tn−1+ Tn−2+...+ T0)·P−1 · 0

λ n−1+ λ1n−2 +...+1 P· 1 0

j=1

Xn=

1

λn1 −1

(λ1−1)2

λ1−1

0

1



λn1

(n+λ1 −n λ1)

(λ1−1)2 λn1 −1

λ1

· P−1 ·

λ1−1

1

Σ (j · x

2

)=

j−1

j=1

1

1



(x−1)2

xn

x (x−1)2

(n+x −nx)

− S n+1 + 6 S n + 8n � −10 10 �S n+ 2 = � � �S n+1 = S n+1



Lo anterior es comprobable por inducción matemática. Luego:

f(n) λ1−1

λ1(λ1n c0 +nλ1n−1 (c1− λ1 c0))+λ1n (c1− λ1 c0) +... λ1n c0 +nλ1n−1 (c1− λ1 c0)

(λ1(λ1nc0+f (n) λ1 ( (λ 1−1) − λ1 (λ λ−1) (n+λ1− nλ1)) f (n) λ1 ( (λ 1−1) − λ1 (λ λ−1) (n+λ1− nλ1)) 1

=>Xn=

2

n 1

1

1

1

1

2

2

λ1(λ1n c0 +nλ1n−1 (c1− λ1 c0))+λ1n (c1− λ1 c0) +... λ1n c0 +f (n) λ1 ( (λ 1−1) − λ1 (λ λ−1) (n+λ1− nλ1)) + nλ1n−1 (c1− λ1 c0) 1

f(n) λ1−1

128

n 1

2

1

2

n 1

1

1

2

(λ1n −1)+f (n) λ1 ( (λ 1−1) 1

2

n − 1 λ1 λ1 (λ1−1)2

(n+λ1− nλ1))

λ1(λ1n c0 +nλ1n−1 (c1− λ1 c0))+λ1n (c1− λ1 c0) +f (n)n + 21 f (n)n λ1(n−1) λ1n c0 + 21 f (n)n(n−1)+ nλ1n−1 (c1− λ1 c0)

Ejemplo 1. Definamos la sucesión recursiva Sn+2=−Sn+1 +6Sn+8n−10 sujeta a las condiciones iniciales S0=2,S1 =1. Formando el sistema de ecuaciones:

0

(3.3)

=>Xn=

y

Ejemplos

f (n)

si x ≠1

n (n−1)

1 −1 n� − 1)+ n� −� f (n )n(n � λ1 (c1 � λ1c0 ) 2 (3.5)

si x =1

n (n−1)

1 2

n Sn = � λ1 c0 +

Este resultado se justifica pues: n−1

(3.4)

de donde:

(n−1) λ1n−2 + (n−2) λ1n−3+...+1 −1 f (n) ·P · λ1n−1+ λ1n−1 +...+1 0

λ1(λ1n c0 +nλ1n−1 (c1− λ1 c0))+λ1n (c1− λ1 c0) +... λ1n c0 +nλ1n−1 (c1− λ1 c0)

=>Xn=



si λ1≠1, en caso contrario, Σ (j · xj−1)= λ1n−1 + λ1n−2 +...+1=n es decir: n−1

λ1(λ1n c0 +nλ1n−1 (c1− λ1 c0))+λ1n (c1− λ1 c0) +... λ1n c0 +nλ1n−1 (c1− λ1 c0)

=>Xn=

)

(

c1 +... c0

· P−1=

n 1

se tiene que la matriz asociada al sistema es − 1 6� �� � ÷ A=� ÷y � 1 0�

las condiciones iniciales están

�− 1 dadas por X 0 = ��� �÷÷.. El polinomio caracte�2 �

rístico de la matriz A es: P(λ)= λ2+λ−6 cuyas raíz son λ1=2 y λ2=−3. Por 3.1 tenemos que Sn corresponde a: 8 2 − n − n 1 − n 5 − 2n + (� − IN � Sn = 2n n � 3) n � 2 + (� 3) + � n, n � U {0} 5 5 2 2

Ejemplo 2. Definamos la sucesión recursiva Sn+2=2Sn+1− Sn+3n sujeta a las condiciones iniciales Sn=1, Sn=3. Formando el sistema de ecuaciones: − Sn �S n+2 = 2 S n+1 � � �S n+1 = S n+1

UNICIENCIA 24, 2010

Enrique Vílchez. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas (...)

Luego, en 2.9:

se tiene que la matriz asociada al sistema es

− 1� �2 � A=� �1 0 ÷ ÷ y las condiciones iniciales están � � �3 � dadas por X 0 = �� ÷÷.. El polinomio característico �1 �

de la matriz es: cuya única raíz es Por 3.5 tenemos que corresponde a:

1 − 1)+ 1 � n, n � I N U S n = 2n + 3n n(n � � {0} 2 Relaciones de recurrencia lineales no Homogéneas de orden tres Método de resolución

  

� n ��1 �

(

(((

2 12 12 1

1 2 1 2 1 2

2 2 2 1 3 1 3 1 3

c2 �12 ��1�2 ��1�3 + �2�3

2 2 2

2 12 12 1

2 3 2 3 2 3

1 2 1 2 1 2

3 3 3 1 3 1 3 1 3

2 3 2 3 2 3

� c1 �2 �� ��2�+���3 +� � + �2 �3 1

1 2

1 3

      

2 3

c0

2 12 12 1

1 2 1 2 1 2

�12 ��1�2 ��1�3 + �2�3

))

0 0 0 1 3 1 3 1 3

2 3 2 3 2 3

)+ 

� �� ÷ ÷

÷ � ÷ ÷÷ ÷ � cc0 cc2 nn ÷÷ 3 ÷ + ÷ ��11 + � ++�  λ λ 3 0 2 ÷ � � � c � + � c c − n ÷÷ λ��22 �222 ��1�2 +�21�3 ��2λ��33 ��cc111 λ��2222�21−��+λ���113λ��22 −++1λ��11λ��333 ��−λ��22λ��33 ++λ��111λ��333c0λ��22222��−λ��11λ��22 −++λ��011λ��33−��λ��÷22λ��33 ++ � �� � �� � + � �3 �� �3 �÷ �2�3 2 �3c �n2 2 �λ�2�2�22−���λ���1λ�1+�c2�22−++�λ��1�λ�1��33�−��λ��2� �21��3 3 �2 �� � +� ��2����1��2 ++�1 1 �2 �� � 2+ � �1 �2� �1 + 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 �

((((

(

))

)

� �

       

((((

β 0 S n + f (n ) S n +3 = β �2 S n+ 2 + β�1 S n+1 + � sujeta a las condiciones iniciales S 0 = c0 , S1 = c1 y S 2 = c2 el polinomio característico definido para la matriz A según 2.4 está dado por: P(λ)=λ3−β2λ2−β1λ−β0. Las raíces λ1, λ2, λ3 de este polinomio derivan tres casos posibles: que sean distintas dos a dos, que dos de ellas sean iguales, o bien, que las tres raíces sean iguales. A continuación, resolveremos cada caso por separado. Si las raíces son distintas dos a dos, la matriz T en 2.9 es la matriz diagonal:

Por 2.3:

� �� � ��

 �> X =� ��  � = � XXnnn ==�� � +�  cc ���nnn �� �� ++�� �33 � �� � �cc�c � +� � +  � c λ�� λ� + � � + ���λ �λ cc11 �� �� �� ++� −c � � � � � � � � � � + 111 � � �222�λ �3 �λ� ���λ��λ� ���λ��λ�++�λ��λ� ++  � X n = �� � � � � � � � � � � � � � + � 1 �� λ� −�λ� λ� −�λ� λ� +λ� λ� �λ �− �λ �++�λ ��λ � �λ �λ λ� − − −

÷ � ÷� ÷ ÷÷+  ÷+  ÷÷+  + ÷ c c2 n ÷÷ − c 2�1 +�2 λ���111+++��λ�222 + λ� λ��22�c�0λ��322 +�λ��1λ��2 −�c÷÷λ�c0001λ�3−�λ�2λ�3 ÷ λ� ÷ � � � + ��3n33nn �λ��32 322+2++�1λ���12λ���c2�2−��1c�λ��c2321�λ���32��−�λ��3 2�λ��3 c� � � � + 1 λ 1� 2c 2� 2+ � � � � � � � � � ÷ 1��c 1 2 1 1 λ λ λ λ λ λ + 3 1 2 1 3 2 3 − − � � � � � � � � � + � � + ��1��3 ����2��3 � 3 11�322+ �11� 2 13�3 ��2 �3 3 11 2 2 � 1 332+ �12�2 3 �3 + �1 �2 ��1 �3 ��2 �3 �3 + �13�22��� �1�3 ��2�3 �3 + �1�3 2��� 3 1 2 1 3 2 3 1 3 2 3 �

Dada la sucesión:

�� λ 0 �1 T = �0 λ �2 �0 0 �

 

0� ÷ 0÷ λ�3 ÷ �

22 2 2 22 2 2 22 2 �� ����12�λ � �� �� 22 2�3� λ�� ÷33 3÷�÷ � ����11 1 2λ � � � � � PPP=P== � � ÷ �=���1�λ �11 1 2λ22 2 3λ33 3÷÷ �11 11 1÷1÷÷ �� � 1�1 1 1 � �� �� �

)))

)

�n1�1 �2n �2 n− n− �� (n )� � � 0 0 +1+ λ� �f � 1 0 00� + � �� �1�11nn��1+1 + ��11nn�+�22  +λ�+1� ++ ��fff ((nnn))� �� �� ÷ � ++11n−�1 n−�2 00 0÷ −�1 � ÷ ÷ 1 ÷� � �� ÷÷ 2+ 1 nn � ÷×P � 0 10 0 P × +nnn� λ�2 � λ���1121 + +� ÷×P × � · � 0÷ ÷ ���111×�  1 0 P + � n��22 + � � 0  1 0 PP·× P × × ×� + + + 2 2 ÷ � �� 000 ÷ ÷÷ − ÷ �22 0+ �22 +  0 0 P × × ×�� �1 1 �2 n+ n− ÷ � ÷ � � 0  1 0 + + + λ3 λ3 nn��11 ÷÷ � � ��� �� 0 ÷ ÷÷ � n�1 + �nnn���22�2 +  +�1÷ 0 0

��33 ++��33 ++ 00 00 � ++11� �� 00 � �� �� 3 3 ��   � ��  =��> X   X ==��� � X nnn =���n n �2 +λ �3 � + c2 c λ −c 2 2 �+ 3 λ 2 �� �2 λ �3 +λ�2 ��λ� λ���cλ�0 λ� +2λ� λ� c +c0 � λ�� � 1 2 1� c + � �+ �+��33 1 − 12 2 −31 � 3 �2�3� 0 �� � + � � �1λ�31�2λ22�λ� 1�3 + �2�3+ � � 2 1 3 2 3+  ��1n1λ�1�−��2λ�12�1�λ��2�−�1�λ��12�λ�c�3�2+��λ1��2λ�3+3+���2�3 �λ�1c−�1λ�11λ��22�−��12λ�� ��� 2 3 �2 �1� � 1�� � � � � � � + 1 1 2 1 3 2 3 1 1 2 1 3 2 3 1 1 2 1�3 + �2 �3 �� �  � Xn = �  ÷ � n � �2 +�3 ��1 �2 �� � �c�2 � +� � � c �÷ + �2 �3 �2 �� � �c�0 � +÷� � +  ��1�2 ��1�3 + �2�3 1 1 2 1 3 2 3 � 1 1 2 1 3 2 3 1 �12 ÷÷ ÷ � � + c  c ÷ �n2 �2 �� � +�2 � �� � � c1 �2 �� � 1+� �3 �� + �1�3 �2 �� � +�0 � �� � + ÷ �3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 � 3 +2� 2 1 2 1 3 2 3c �� +  ÷÷ c 0 �nn2 �2 �� � +cc2�2 � �� � �−�cc1 �2 �� +λ��λ λ�1 +1 �λ3 3 1�3 2�2 �� � 0+ � � �÷ ÷÷ �  + + � � � � � � � + � λ� 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 λ 1 λ 1 3 λ �2 − �1λ �2 + �1λ �3 � �2 − �1λ �2 + �1λ �3 � �2λ �3 �2 � �1λ �2 + �1λ �3 − �2λ �3 �λ +λ �λ +λ +λ �λ λ λ −λ�2λ�3 − − �� � ÷  ÷ ÷ �3 c0 ÷  �n2 �2 �� � +c�2 � �� � � c1 �2 �� ��1++ � � + + 2 1 3 � �� � + � � �� � ÷+  �� 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 �1�3 � 2 1 2 1 3 2 3 � �� 2 3 ÷ ÷÷ �3n �2 +� � �c�2 � �� � � c1 �2 +� ��1�+���2 �� � + �1�2 �2 +� � �c�0 � �� � ÷ ÷+ 3 1 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3 � ÷+  �   ÷ ÷÷ c0 c0 −cc 2 �λ1�+1 +�λ�2 2 ÷ �3n3n λ�22 +nλ��1λ� �cc2�2 λ�n��2λ� λ� �� � � + λ� λ λ 2 ÷λ�+1λ� 1 �2  1 2 2 2λ �1λ �2 − �1λ �3 � �1λ �2 − �λ �÷ � �λ � � �λ � 1� 3�− 2� 3 +11 �λ 3 +λ −2λ��23λ�3+ �1� �3� �+ �3�+3�+1λ � + �1� 2+ �−�λ� � f (n )� 3 + �1�2 ��1�3 �0 2 ��1�0 ÷ 3 �3�−2�32 3�� ÷ �3 1 1 2 1 13 2 3 c0 � ÷ �P3n ×��2 +� � �c�2 � ��0� � c1 �2 +� ��1��+��n�2�1��+��n+�2�1+� 2 �2+ 11�2 ��1�3 ��2�3 ÷ ÷×P �1 ×� 0 ÷ 3 +� 3 1 2 1 3 2 3 3 1 2 �0 21 3 2 3 2 nn��22 ÷ ��nn��11 + n �1 n �2 �� � ÷ f� �  1 0 0 + + + � �  1 0 0 + + � � 0 0  1 0 + + + 1 1 1 1 3 3 �÷ ÷ � � � n �� ��λ�1 λ�1 � �1 �1 (n2nn2�)1��1++��n2�n22�2++++11 � f�� 0 P × ÷ P ×��λ�1λ�1 n0 00 0 ÷ 0 P × ×�×� ÷ � ÷ − � 1 � � 1 λ λ 2 P× · ��0 λ�2λ�1 0 0 ÷×· P ×· � 0 ÷ n �n1�1 � + n��n2�2 +  +÷1÷ � �� 0n ÷ 00 �� 3 3 + �3 3 +  + 1� � �� � 0 ÷ �0 0 λλ��33 λλ��11 ÷ � � � � � ��

((((

)

(

(

)

(((

( (

) )

(

)

((

))

)

))

)))

��   � ��  =��> X   Xnn ==���  � X n =���n n � � + c2 c − c 2 λ2 λ3 �2 + �+ 3 λ 2 �� �2 λ �3 +2 � �c0 � +c0 λ�� � 1 2 1� c + �� ��n1λ�1 −��λ�121�λ�2�−�1λ��12λ�c�32+�λ1��2λ�3 3+�2�3 �λ�1c−�λ�11λ�2�−�12λ��1λ��31�+�2λ�2+2�λ���331�3 +�2�3+ λ��1 −�λ��12λ�2 −�λ�31λ��3 +12λ��2�λ�13�c20��1�3 +�2�3+ 



((((

1 �2 �� � �� � + � � 1 1 2 1 3 2 3

)

1 �2 �� � �� � + � � 1 1 2 1 3 2 3



2 3 �2 �� � �� � + � � 1 1 2 1 3 2 3

))

� ÷ ÷ ÷ c0 + ÷ �22 ��1�2 + �1�3 ��2�3 � c0

� �÷ ÷÷ ÷ �n2 � �� � +c� � �� � � c1 � �� ��++��� �� � 1 3 ÷÷ �nn2 �2 �� � +cc2�2 � �� � �−�cc1 �2 �� λ��1�+1++�λ�3��3 �� � ++λ��λ �3 �2 �� �c0+� � �� � + + 1 ÷÷ � λ� 2 3 2 λ 1 λ 1 3 λ �222− �11λ �22+ �11λ �33� �22 2− �1λ �12 + �22 � �1λ �31− �2λ �32 3 �λ +λ �λ + +2λ �3λ λ�1λ�13 �− λ�2λ�23 3 −λ�22λ�33 −2λ�1λ�12 + ��

(

(((

2 2

 + � � 



2

1 2

1 3

2 3

2 2

1

3

1 2

1 3

2 3

)

))

+33�3 �� λ�� λ� �2 +� � �� �� 22�+ 2� �� 3+  − �+�1+��11��−1�� ��1�−1 −λ �� ��2��2�λ222+��λ�2�+3+2�λ�−��+3�λ3���2�3�λ33���323�−��123���� ÷ − −�311�1 � � � +� � � �322�� 1÷ λ�� λ� λ� λ�1233�� �2 +��� � �2 +� 1233λ�31 �� ÷1�÷ 22λ3+ 2�� 33λ2� 3�� 22�+ 2� 33� 3� ���� 322λ� 3+ 2� 2 3 2 3 31 ÷+  �  − � � + + � � 1 1 λ � + � 1 ��1� 1 λ � 1  31 3 �33 + 3 �33 3 �÷ 1 11 1 � � ÷ ÷ ÷ − �  − = � � � � � ���P=>PPP=1 =� � � ÷ = � 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ÷ −�� � �+� λ2 � λ22�� λ33�� λ�+ �� �3 ÷÷ � �� ��� ��� �3n (� +� � �c� � �� � � c1 � +� ���+��� �� � + �1�2 � +� � �c� � �� � )÷ 2− 2λ 3� 2�3+ 2 2+2�322 �233÷ � ����2 ���2�2λ�3�2���−��33�λ�2�3+��−��222�λ+2+2��+�322�λ��233�λ3 �2 �λ��22��3−�2��λ����33��−2�3+�λ+�λ��1�2�22�++2+21��+λ�+3122��λ�233�3 ÷+  � ÷+ � �   � λ � + � 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 −�� ÷ ÷ � ������λ��+��−��λ+2 �1+�22�λ�2���− �λ� �λ � � ÷ ÷ 2 2 2 2 2 2 c � � + c n ÷ c �λ+ �λ −cc ÷ � ���2 �223�2 333+3 �332�3 322�233 3 �2 �λ��22��−3�2+�λ��33�+3+3�λ�+�332��2�3��λ�322��λ�233�3 �λ2 �−��λ22��32+���λ33�+33�−�+�3λ32��23�λ��322��233�3� �� λ� �3n3 λ� +nλ��1λ� �c � λ�n��2λ� λ� �� � � + λ1λ2 2 λ� +λ� λ� −�λ�0λ� −�λ� λ�÷ � � 1 � +λ ��− ��λ ��0 � � � −λ��λ� + �1� �� �  +11 �λ �λ � � + � � �� � �� � +� � + �−�λ�� �−� + + ���λ

((� 2 3

2 23 3

2

1 2

1 3

2 3

2 2

1 11 22

1 3 1 13

2 3 2 3

2 3

1

2

1 2

2 23 3

1 3

1

n �1 2

00 00

1

2

2

1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3

� P ×� 0 ��nn��11 + ++11 + ��01n1n��22 ++ � � 11

P � � �

2 3

2 3

n �2 2

+�

++1

0

1 2

1 3

2 3

)�)) ÷

0 0 2 2 3 1 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3

0

� f (n )� � ÷ ÷×P �1 ×� 0 ÷ ÷ � ÷ f� � � 1 0 + 0+0 129 �÷ ÷ � � � � �1�

�3n�1 + �3n�2 0 00 n �1 n �2 ++11 ��n22�1 ++��n2�22 ++ 00 ÷×÷P×�P1 ×�×� n �n1�1 n �n2�2 � + � +  +÷1÷ � �� 00 3 3 + �3 3 +  + 1� � ��

�n2

(

2

�22 ��1�2 + �1�3 ��2�3

� c1 �2 �� � 1+� �3 �� � + �1�3 2

1 2

1 3

0

�22 ��1�2 + �1�3 ��2�3

2 3

)+ ÷�

� ÷ ÷+   ÷ c0 Resolución c2 �1 + �2 Enrique Vílchez. n UNICIENCIA 24, 2010 de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas (...) �3 �2 +� � �� � �� � � c1 �2 +� � �� � �� � + �1�2 �2 +� � �� � �� � ÷ 3 1 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3 � 

(

)

Por tanto, en 2.9: � � �   � ÷ � ��n 1n nn�−�11n�1 0 � � Xn = � ÷ �c �   � �� � 0 � ÷ �c2�� 2 ÷ λ1 n� λ1 � f (n ) ���λ1nn�λ1 λn2 � λ1 �2 + λ3n � λ1 � � f (n ) �3 c0 ÷ c2 f (n ) n �1 ÷ ÷ × � � � λ�1 �λ1 λ�2 �− �λ���λ ��−1�λ �λ�2+��λ��λ� �+� ��λ+2 λ��1��λ2��− �λc�λ1 +��λ2 ��λ��−��λ��λ� �++��λ�3 λ�1+�λ� ÷  + − n � 1 X P P c ÷+  � 0 0 × = × ÷ � 2 2 �3 − 2 − n λ� λ ��� λ� λ ���� λ �� λ� � + � � +� · 0 · P ·×�c1 � � λ1 1 0 ÷× 1 3 2 3 2 1�2 1 31 21 32 1 2 1 1 31 2 2 31 3 � X 1= � ÷+1   2 3 3 1 2 11 3 1 22 31�3 2 3 X n = P ×�� � n n÷ � ÷ ÷ � n � n � ÷ c � 0 0 0 0 � λ2 �2 � �c0�� 0 � ��1 � �� � �c� � +� � � c1 � �� ���+��� +� � + �2 �3 � �� � �c� � +� � +  �� � � acuerdo con De lo anterior: ÷ ÷  c c c λ� +λ� � + � nn � f (�nf)�(n )� c0 � 2 3+ λ 2 SSn ==λ �� � c � � +  − λ 1 1� 2 3+ �� �c��� � +� � � �3 � � � ÷ ÷ � � �c � +λ �λ � � � ��+ � λ λ� −2λ��λ� ÷ ÷+�2�3 +  nn�−�11 n�n2−�2 0 0 �1 − �1� �23�3 2 λ −λ 2λ0 −3λ λ�12 λ��λ1�+ +1�2�23 λ −1λ1 λ� �2n �2 �� �1λ�+c�−��21λ�2��λ���1−���λ�2�λ���+� � + �1 · 1�3c 1 1�2 � 31+� 2 �1�3÷ · · �2 ��1�2 + �1�3 ��2�3 �2 ��1�2 + �1�3 ��2�3 P ××TT ++TT + +  + T+ T ×P×P×� ×0� ÷0 ÷ 2 1 2 1 3 2 3 ÷�  ÷ �λ c + �+ � cc � 0� ÷ ÷ nn � λ −cc �� �1λ �13λ � ��λ�+λ�� �+cλ���λ� ��λ� cλ�+0  + ÷ λ� +� + + 1 1� �� � + � � � 0 � � � � λ� λ��1��−�λ�3λ� −3 +2 − �+  �22n2 �λ��2�−���λ���λ��+++�λ�+c��λ�2 ���−�λ���λ�� � � cλ�1−�λ��2λ���++ +�3��λ��1� �2 ��1�2 + �1�3 �� �2�3 2 1 2 1 3 2 3 2 1�2 + �1�3 ��2 �3 ÷ nn � ÷ ���� n�λ1n1�n1−�1 00 �� �c2c�2 � �3n � +� � �c� � �� � � c1 � +� ���+� + �1�2 � +� � �c� � �� � +  � + � �� � ��λ11 nn� ÷÷ �1 �� � ÷÷ �12+ �2 c2c2 nn c2 �2 + �3 λ�1 +�λ c0 c0 c0 ÷ ÷ n − − n �× 1 c � + + � c � �  ÷ � � c � + 2 λ λ S n = �1 �2 ��λ�33�λ���3232�++λ��+1λ�1��2 2−���λ�1�λ�1� c � �  + � 0 0 X P P × = × 12 +��2 +����� ����+� � ÷ · · 2 1 � 21 �2 2 1 2 �·×�1c÷1 +÷ � X P P 0 0 × + = × � � � � � � � � � � � � � � + � � λ 1 2 3 ÷ � n 1 � � � � � � � � + � � ÷ 3λ2λ23 � 3 1 ��1�λ 1−� 1λ32λ3 2 3 2 3 λ311�λ3 λ212λ�33− λ3� λ311λ+32�−2λ�213λ33 + �1 �λ�31�λ21� 2+ 2− � n 1 1 1 2 1 3 2 3 3− 23�� 1� � �1 f (n ) ��0 0 n n÷÷ �c� ÷ ÷ + �f (�n1) � ����+�+���1� �� � + �f (�n1) � +� � ����c1� �� � ÷ c � � n�1 � �� � � � � � � + 0 2 � c 0 0 λ � � ÷ �3 � +�n�1 �� �n �n��2� � c1 � +� � �� � �� �n + �1�2 � +� � �� � �� � n �� 2�� � 0� 1 f (n ) � f (n ) f (n ) λ�1 −�1 �++ λ�2 −�1 0 λ�3 −�� � c+ 0 � f (n )� 1 �3++ 1 0 1 c+ �1 �n2 �2 �� � +c�2 � λ��1�λ�1�� λ�2 � λ1 + λ�3 �λ1 λ�2 ++ ÷ �1n � �λ�12� − −λ −λ −λ −λ �λ �� �λ � � �1λ �12 � �λ � �λ λ�� λ�2λ�3 λ�22 −�� λ�1λ��+3λ� λ�2 � λ� λ� ÷ 3 +� ��221� n n �11 2 1�n23��2�12�23+ �1�3 ��2�3 3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 1 2 + �1�3 ��2 �3 λ�1 −� 0 P ×� ×1 0 1 � �1 λ�1 2 (n + λ�1 − ��n�1 + �n�02 +  + 1 �2 + �02 +  + 1 λ(1n))�0 � ��nf� −1f�(n )� ÷2 − � ÷×P� 0(4.1) λ��� λ � f (n )� 1 ÷ ÷ �1� �1n��1 (λ�÷n1−�−n1÷�) 2 1 (λ�1 �−1) 0 �1 � ÷ ÷ n �1 n �2 � ÷ �1 n �1 n �20 � 1 � � � 0  1 0 + + + λ � 1 3 3 �0+λ�T÷�−1� +  + T ×P ×� 0 ÷0 ÷·×P−�1 ·×� 0 ÷ c0+ 1 �1 + �2 c2 P ×� n · T � � 0  0 P × × + + � ÷ 0 P × � 2 2 �3 �2 +� � �� � �� � � c1 �2 +� � �� � �� � + �1�2 �2 +� � �� � �� � +  1 ÷ � 3 1 2 1 3 2� 3 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3n �1 n �2 � ÷ � 0 ÷λ�n2 �−1 ÷ � 0 ÷ 01 2 1 3 siempre  + 1÷ +de 3 + �3 la cual es válida y0 cuando �ninguno � �λ�2 �−1 � �0� 0 0� � � � � � �  � �3n �1 si para algún �1n �1los valores �n2 �1 sea igual f (n ) f (n ) propios f (n ) a uno, + + 2 2 2 � 1 �2 ��1�2 +�1�3 ��2�3 �3 �1 �3 +n−1 �1 �1 �1 ��1�2 ��1��  ��2�3 1�2 ��1�3n−2 i,3 +1�2X�≤3n i=≤���2 �3, λ = 1, entonces λ�2i+� + λi +... + 1=c0n �3 ���1n 2 i c2 �3 �2 �� � �� � +� � +  Al resolver este producto y tomar la última c � + �2 aplicado 2 1 � ��1�2 mismo �1 ��1�2 ��1�3 + �2�3 ��1�3 + �2�3 y� seX recurre procedimiento 1 1 2 1 3 2 3  = �� 1 al

( (

)

2

2 1

( ((( ((( 2 1

(

1 3

1 2

2

2 3

2 3

1 2

3

1 3

1 3

2 3

1 3

2 3

2 3

2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 2 3 1 2 1 3 2 3

2

1 2

0 0 2 21 2 1 21 3 1 23 3 2 3

2 3

1 2

0

n 3

2 32

3

1 3

1 2

3

2 3

0

)

1 3

1 2

(

)

2 3

1 3

0

1 2

1 3

2 3

)

)) ) (( )) )

1 3

2 2

n 2

1 3

0

2 1

2 3

2

1 2

2 1

2 3

3

1 3

1

2

1 2

1 3

2 23 3

2

1 2

1 2

11 3 3

n 1

21 3

2

2 1

2 3

2

2 3

(

2

1 2

2 1

2 3

1 1 3 3 2 2 2 2 1 12 2 1 31 3 2 32 3

11 22

( (( 1

1 3

22

22 22

(

1 2

2 3

))) )

)

(

)

(

)

)

� n � +� c para obtener 4.1, se+obtiene: �� ( lac expresión �� �c n

))

2 3

) fila de la matriz resultante, se concluye que: ) ) (

+ �  ÷ ÷ c0 S = λ�n2 λ� −�2λ�c �λ +λ� + λ�12 λ� �−2λ�c λ� +λ� − � 2� λ1 λ� �−2λ�c λ� +λ� +  � �+λ�c1 �2 �+���2��+���3 +� � c + �2 �+3  S�nn = �1n c�2 �� � ��c�2 c� +� � λ� ��12÷��1�2 ��1�3 +�2�n3 +  Sn = λ 1 1 2 −1 13 �2 + 3� 1 1λ22λ31 3 2c 3 1 λ� c− �λ �− � λ� + � �λ �3 � �2 λ �λ λ λ� λ� � λ� λ� +λ� λ� λ� �−λ� � λ0� λ� � λ +λ� � λ 1λ − − − ÷ ÷ �2 �2 �� � +� � �� � � c1 �2 �� � +� � �� � + �1�3 �2 �� � +� � �� � +  2 1 2 1 3 2 3 2 1 2  1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 ÷� λ�1n c0 λ� λ�−�2−�λ�2λλ�� λ�+λ� − λ1 λ� −�2λ�c λ� +λ� +  � λ� �−2 �λc λ� +λ� + 2� �λ c c + �+ � c c �1 + �3 c0 ÷ nn � 1 λ3 0 � + +�1λ�13λ + ÷ + + �  �  + λ�2n22 �λ��22�−�2�λ��1�λ��2+�++c�λ�2�1+λ��3�2�−��λ�2λ��3���−�cc1 1� 2c 2 �� 2� �� � 2 �λ � � � � � � � � � � + � + � 3 1 1 3 �2 − �1λ �� � �1λ �3�− �� ��31�2 + �1�3� �λ +2λ +λ �2λ �1λ�13� −λ2�2+λ��31�3 ��2�3 λ�2 �−λ�1λ�2 + 2+ 2λ 2 1 2 1 3 2 3 � ��2�3  ÷ �1λ �2 λ� c−�λ� )+  nλ�1n−�1 (λ� c−�λ� − � c1 λλ�� −+�λλ�� + λ c � + � c n ÷+  �3n � +� � �� �c�� � � c1 � +� � �� � �  + + � 1 2 c � � + � �� �1 � + � � �� � �� � 0 2 2 ÷ ÷ c � � + c n � � + c + �3 c2�2 2 +� � 2����c�� ��− c� c22 1 �3λ21+�λ2� �+� ��+�� 02 0 2 � + �1�2 � �3 ��2�3 λ3 �22+�λ��32�+�λ1�1� λ�23�1� +÷��1 S n = �1n �2 ��λ� 3+ � �1 �2� � 1��3 � 3 �� 1� 2�� �1 3 2 � 3 � �13� ��23λ �3÷ + � �2λ λ�� λ�31λ�+33�− �λ31λ3 −λ2λ13 2�123��11�λ�23�+�λ�11�λ�3 1λ�22− 2+ 2− −�λ12λ�33−λ2λ3  1 1�2 �λ 3λ+ 1 1 2� 1� − c1 λ� +λ� λ�λ�−�+λ�λ�λ� −�λ� �λ + λ�1� λ�n2 λ� +λ� λ� −�cλ� λ� −�λ� λ� � λ 2 λ� +λ� λ� −�cλ� λ� −�λ� λ� +  � �1 � �1 � �1 f (n ) f (n ) f (n ) ÷ + + c � � + c n �� 3�1 ��2 +��n���1 ���2��� �+n���2�� � c�1�1�2�+���� �1��+��2 ��n��−��� + ��1��12 ��2++��������0������� ��n �−÷1 �2 �213 f (n3) 1 2 1 3λ 3 f 1(n 2 )n1 3 2 λ33 � � �3 + 1 �� 0 +c0 3�λf (�λn11)2 21 3+  0 + �1 2 3�++ � f (n )� 1 + 1 λ2 λ�1 � �n2 �2 �� � +c�2 � λ��12��−�λ� −2� −λ −λ ÷nλ�n−�1�1 � c ÷ − � � �� �� �1� �3� +� � � 3 λ22 −�+ λ�1� λ�1+� λ 3λ� � λ� λ λ +� λ� λ � λ� λ λ2 −�λ�c11� λ3 �+2λ��2λ� �1λ�3 λ� −�λ� λ� +cλ� λ� −�λ� λ� +  � c1 λ� −�λ� λ�λ�++λ�λ�λ� −�λ� λ� + λ n �21 1 3�n2��22�13�2 + �1�3 ��2�33 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1�3 ��2 �3 1 λ�×−�λ� λ�0+λ� λ� −�λ� λ� 0 P ×� P × ÷ ��n�1 + �n�02 +  + 1 �2 + �02 +  + 1 �(n )� ÷ � 0 f � 1 1 (4.2) 1÷ �1 � � 0÷ ÷ � n �1 n �20 �3n�1 + �3n�2 +  +÷ 0 ÷×�P ×� �0 ÷ λ��λ λ (n+λ� �− nλ� ) �3n �2 +� � �c�2 � P��×�� � c1 �2 +0� ��1�+���2 �� � �+2 �1+��2 2�2 ++� ��c�0+�1�� � +  0 − − ÷ 3 1 2 1 3 2� 3 3 1 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3n �1 n �2 − f�(n )0(λ −÷) (λλ� −�−λ�) � λ�f (−�n1) λ� −�2λ�λ� �λ�1 +λ� + λ�f (−�n1) λ� −�2λ�λ� �λ�1 +λ� � � 0 0  1 + + + 3 � � � � En un segundo caso, si λ = λ3 entonces

( (( ((( 2 2

( ((

2 3

1

(

(

1 2

2 1

1 3

2 3

2 2

1 2

1 3

2 3

2 3

1 2

2

1 2

n 1

1 2

1 3

2

2 3

2

1 2

1

1 3

0

2 2

1 2

2 3

2 3

1 2

1 3

1 3

1 3

1 3

1 2

)

2 3

)

)

(

)

1 3

2 3

)))

)

(

1

�2 �1 �22 ��1�2 + �1�3 ��2�3

�3n �1

(

2 2

�� λ 10 �1 T = �0 λ �12 �0 0 �

Además, según 2.7: 22 ��� λ� � �1 1 P = � P = ��1λ�1 �1� �1 �

��2211 22λ 1�12 001



0� ÷ 0÷ λ�23 ÷ �

÷÷

÷ λ�� 23 2 ÷ 1÷ 1 �÷



�2 + �3 �� 1 � �2 +��3 �−�2�3 �1 1 �2 +�3 �2�λ�2�1 3 �1 � 2 1 � P = �� � �����2 +(�λ�1�−�λ�2 ) � ��(λ���31�+−�21λ�+2�)2� 3 2 2 3 2 3 2 2 3 � �−1 2 � 1 − �λ��λ21++�−1 �λ�λ2 �=> P � � �=� +1�2 ��λ��1 �−�λ2 � � �� 2 2 1 2 �3 + �3 ��2 �3 � 2 3 �3 2 3 − �2 λ �

� �

130

1 (�λ1 −�λ�2 )2

1

(λ�1−�λ�2 )2

��

2 2

2

2 1

2

1 2

1 3

�1n 1 �1 � �1 2 1 1

1 2

2

1

2

1 2

2 2

1 2

1

2 1

)

2 2

1 2

0

1

2

2

1 3

1

2 2

2 3

2

1

1

2 3

2 3

1

1

2 1

2 2

1 2

2

2 2

1 2

3

1 3

1

2 1

1 2

n 1

1 2

2 2

1 3

2 3

)

0

2 2

2 3

1

0

2 3

2 3

1 2

2

1 3

2 1

2 3

n 2

1 2

) 2 2

(4.3)

Esta fórmula se puede utilizar cuando todos los valores propios son distintos de uno, en caso n contrario si λ = 1, Σ (j·xj−1)= 1 n (n−1) 1 j=1 2 y λ1n−1 + λ1n−2 +...+1=n posteriormente el procedimiento de resolución es equivalente a lo expuesto con anterioridad. Podría ocurrir también que λ2= 1, en dicho caso simplemente λ1n−1 + λ1n−2 +...+1, se sustituye por n

22 2 � � 23 2 �

�1

1 3

1 �1 �1 2

�3 �1 �32 + �1�2 ��1�3 ��2�3

1 2

1 2

2

1 2

(

3

2 2

0

2 1

2

2 3

(n ) matriz T en 2.9 por 2.6 + f la + f (n ) corresponde a:

f (n ) �1 �1 �12 ��1�2 ��1�3 + �2�3

�n2 �1

2 1

2 2

1 2

1

)

�1n �1

2

2 1

))

n 3

2 3

))

2 3

2 3

0

3

2 3

1 2

0

2 3

n 2

1 2

0

2 1

2 3

2

1 3

2 3 �2 �� � �� � + � � 1 1 2 1 3 2 3

3

1 3

3

1 3

1

2 2

3

1 �2 �� � �� � + � � 1 1 2 1 3 2 3

2 1

2 3

2

1 2

((

( 2

2 1

2

2

1 �2 �� � �� � + � � 1 1 2 1 3 2 3



�3



2−2�λ �21+)�� λ�2 (λ�2 � 3 ��2 �3 �1 ÷ 3 ÷ (λ��1−�λ�2 )2 �÷ � �� ��22 + �2�3 ÷ λ�1� λ22 3� ÷ 2 ÷ � �λ �2 2 λ1�− ��2�3 22��3 + �3÷ � λ�1 ÷ (λ�1−�λ�2 )2 �

Por último, si λ1=λ2=λ3 distintos de uno, tendríamos por 2.6 que la matriz T en 2.9 es: �� λ 10 �1 T = �0 λ �12 �0 0 �

0� ÷ 0÷ λ�13 ÷ �

UNICIENCIA 24, 2010

Enrique Vílchez. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas (...)

Si λ1=λ2=λ3 por 3.3 y 4.4 se reemplaza

Además, de acuerdo con 2.7: n �−1

�� λ2 2� λ1 1 � ÷ �1 P = �� 0÷ λ1 1 �1 0 0÷ � � 0 �0 � =� > P �−1 = �0 1 �1 − 2 � � λ1 �

Entonces n en 2.9: n �1

j �−1 1

j =1

1 2

)

− 1)(n � − 2) ×·�λ1j �2 = 16 n(n �

j j �−1) 2

j =2



y λ1n−1 + λ1n−2 +...+ 1 = n en 2.9, lo que nos da como resultado:

(

)

Sn = � �� λ1n c0 + n� λ1n �1 (c1 − λ1c0 )+ 12 n� λ1n �2 (n � −1) c0 � λ12 � − 2c1� λ1 + c 2 +  −

1 � ÷ �1 ÷ �−λ � λ12 ÷ �

n (n �1)

n�1

��1

n �−1

� (j ×·�λ )= n(n �− 1), � ( (



f (n )16 n(n � −1)(n � − 2)

(4.6)

�c2 �Ejemplos

�1n � 2 �

− − − ÷�c � � ÷ �� λ�n n� λ n�1 n (n�1) � λ1n�n2��1 ÷ �−1 ÷�×2P÷�1 ×�c1 ÷ +  X n = P�×�1 0 n 1�1n 2n�−1n� 1 λ1 ·÷�c1 ÷ +  X n = P ·×�0� λ�1 n� ÷·×P × recursiva n ÷Ejemplo 1. Definimos la sucesión ÷� ÷ � 2 n c � ÷ �0�0 0 0 � n S = S +S + 2S + n + 3 sujeta a las 0 1 � � λ c �� 0 � n+3 n+3 n+2 n+1 1 � ��

2

f (n )� � (n + �1 � n�1 ) � � � n �−1 � ÷ n �− 2 0 �−1 �+�1T ·�0T ·P  P×× ++T × ×· � 0 ÷ P � �1 � � 0 ÷ 0 �0 � � �1n �1 �1 �1

n

�1 1 �1 (� �1)2 1

1 (�1 �1)2

(

n 1

)

1



condiciones S0 = 1, S1 = 1, S2 = 1. Formando el sistema de ecuaciones:

�S n+3 = S n+ 2 + S n+1 + 2 S n + n 2 + 3n � �S n+ 2 = S n+ 2 �S = S n +1 � n+1

Para continuar con este desarrollo, es � 1 (n 2utilizar: �12 � 2n 2 �1 + n 2 � 3n�12 + 4n�1 � n + 2�12 )� (� 1�1) � necesario 2 � (� �1) ÷

(

3

1

)

1 − − 6 n(n � 1)(n � 2 ) �1n � − 1) 1 j �−2 � �� �1 j ( j � xn 1 1 ×1 × = ·x 2 2 2 − (x �−1)3 + 2 x1 � ÷ � Σ � � (x �−1)3 (j =�21��1) 2 1 (�1��1) 2 �� − 3n − 2n 2 x + n 2 x 2 + 4n −n� x xnx + n 2 + 2 x 2 � nx n � � �1 n �−1

1



(n + �

(

� n� )

)

ssi i

x =1

ssi i

=1 x�

�1 �1

(4.4)

� f (n )� � ÷ P × × ÷ demostrar sin mayor dificultad lo cual�se0puede � 0 ÷ por inducción � � matemática. Luego: �1







÷� �



�� λ n n� λ n�1 n (n�1) � λ n�2 � �c � �� �1n 1 n�1n�1 n (n2�1)2�−1n�2 1� ÷ �−c2 � 2 ÷ �1 ÷ n n �1 n n (n �1) n �2 n �1 ÷ � � λ11� · c1 ÷ +  X = P�·×�100 n�n��11λn�1 n(n�12)n�n�n�n12�� �÷c�·× � × 1P X nn = P��×��1n� �÷ ÷ n�1 1 �×cP ��2 ÷×�c1 � ÷+  2 n� �11 1 n÷ �1� 2÷÷ � X n = P ×��0��0 �n1n 0 n� ×�c1 ÷ + ÷×�P1 ÷ n �11 n� λ � ÷c0 ÷ �1 0 n�1 � 1÷×÷P ×�c1�÷ + c � X n = P ×��0 � 0 n 1 � � ÷� 0 � � � ��00 �

0

�1n 1

0

�nn−� 11 λ� n 11�

n λ�1n �1

�c�c÷0 � � 0�

(

���1���11�1 1 1 12 2� 1 n1 −)1n� λ1n)�1 �� n1�)� ���λ�1��1111�−1 (�11(�λ�(11�)�−211��)�1�)1�λ11 �(λ��11���11(1λ�)(21n(�−(�1n+1)2�+1�()1n2��1+n�nλ��+ � 1 �� 1 � (�n�1n) −n (� �1) λ�11��11�1 � � � � � �0000 ��1��λ�11��−1�1 P××·×× P   P �� � � 1�1 1 1 � 0 0 �� 0 0 0 0 � 0 �0 �� � n 1 1

1 n 1

n 1

2

1

1

1

÷

 se tiene ÷ que la matriz asociada al sistema es ÷

�1 �1 2 � � ÷ A = �1 0 0 ÷ �0 1 0 ÷ � �

El polinomio característico de la matriz A es: P(λ)=λ3−λ2−λ−2 cuyas raíces son − 1 + 1 i 3, � −1� − 1 i 3 . Por 4.1 se tiene 2, � 2 2 2 2 que corresponde a:

((

− 1 S n = 21212 n 2 �− 12 i 3 � 2

) 

2

21 21



2 −1 λ� n� �1� 1�1 1� � 1 1�1 �1n��11

(

)

22 22

22

2 2

2 2

2

)) 2

1

1

� n� )

� �1 (� �1)2 (n + �1 � n�1 ) 1 ��ff ((nn))��

� �

�� ÷÷ × ·P P �1 ×·×���0f0 (n÷÷)� × � � f ÷n÷ ×P �1 �×��000�÷ � �1 ��1−1

��� � ÷ ×P �1 ×�� 00 ÷÷ �Al tomar � � 0 ÷ la última fila de este producto � �

se obtiene:

(

)

S n = λ�1n c0 + nλ�1n�1 (c1 − �� λ1c0 )+ 12 n� λ1n�2 (n � −1) c0 � λ12 � − 2c1� λ1 + c2 �+

f (n )((

1 λ�1 �−1)3

� − 21λ�2 1





λ�1n

(λ�1 �−1)3

(n �λ 2

2 1

(

� − 2n 2 � λ1 + n 2 � − 3nλ�12 + 4n� λ1 �− n + 2� λ12

))

(4.5)

((

− 1 n 2 1212 i 3 � 2

2

21 21

)) + nn

)) + ((�− nn

2 7

((

)) + nn

2 2121

((

− 1 3n �− 12 i 3 � 2

1 7

i 3 �− 12 i 3 �− 12

1 2

− 1 i 3� 2

)) + 

nn

nn

)) + ( i nn

)) + 

))

nn

− 1 + 3� 2

2 1 7 2

�21 i3 ((�− 2 i 3 �− 2 )) �− 21 i3 (2 i 3 � 2 )) +  ÷ ÷ ÷ 17 2 n n 2 + 73 2 n �− 13 n 2 �− 13 3n + 17 6 n +  ÷ ÷ ÷ ÷2 − 1 − 1 nn − 1 �1 nn 2 1 1 3 i n 21 �((� 2 i 3 � 2 )) � 21 i 3n (2 i 3 �− 2 )) � n, n � I N �U {0} 21

( ÷)

nn

− 1 3n 12 i 3 � 2

(

(n (�( ��2n2n� �+) )n+ n� 3�n�3n�+ 4+n�4n��n +� 2n�+)2�� )� �÷ (n + �

)) +

�− 17 i 3 12 i 3 �− 12

−� −� −1 n�+n 2+� −1 � 3 �2 3 � 1 λ�211 � λ� λn1�+ λ2n1 �� λ12�� nn � nn� 3n32� 4n4� + 2 22 2 +nn � 1 1+ (λ�1 �λ1()�1 ÷ �1) ÷ 2 21 21 2 3 12 (� �11 )3 n n 2 1 2 1 1 1 1 2� 1 1 1 3 λ ÷÷(1�1 �1) (� �1)3 11 1 1 1 1 1) �� − − λ λ 2 �1112 22(�� � 1 ��n� � n 2 2n nn++�� 1 λ��1 1 1 1 1 1 � − (λ��11��−111)) � ( ) � � 1 λ 1 1(� ÷ ÷ 1 1 �1)1 n nn − 1 1 �11 (� �� 12 λ� (1�1 �1�1�111)2 � ÷ ÷ 1 1) nn

�1� �÷ �1÷ ��



λ��11 n 1 �13n3 λ�11�−�11� 2λ�11212 ((� ))

y las condiciones iniciales están

dadas por X 0 = �1÷. .

2

1

(((n �

3

1

21

n + 12

1

1

21

nn

1

21

n + 12 1

1

nn

A

n 1

2 1

Ejemplo 2. Definamos la sucesión recursiva Sn+3 = 5Sn+2 −3Sn+2 − 3Sn+1 + 9Sn − 5n + sin n sujeta a las condiciones iniciales S0=1, S1=0, S2= −1. Formando el sistema de ecuaciones: 131

UNICIENCIA 24, 2010

Enrique Vílchez. Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas (...)

− 3S − − n �S n+3 = 5S n+ 2 � n +1 � 9 S n � 5 + sin n � �S n+ 2 = S n+ 2 �S = S n +1 � n+1

se tiene que la matriz asociada al siste−3 � − 9� �5 � � ÷ ma es A = �1 0 0 ÷ y las condiciones �0 1 ��− 1� 0 ÷ � � � ÷ iniciales están dadas por X 0 = � 0 ÷. . El �1 ÷ � �

polinomio característico de la matriz A es: P(λ)=λ3−5λ2+3λ+9 cuyas raíces son λ1=3 de multiplicidad algebraica dos y λ2= −1 de multiplicidad algebraica uno. Por 4.3 tenemos que Sn corresponde a: − 13 3n n � − 24241 1 − 32321 (� − 1) sin n � − 32323 3n sin n + 12 (� − 1) +  S n = 18 sin n � 515 n n � n 1 n 1 − −1 n 35 15 n + 24241 3n n sin n � n, n � I N U � {0} 2 3 + 3232 (� 5) � 8 5 + 3232 1 n

n

A

Conclusiones El algoritmo desarrollado en este trabajo finaliza una serie de resultados conducentes a la resolución de relaciones de recurrencia lineales con coeficientes constantes tanto homogénea como no homogénea. Los resultados permiten programar formas de resolución de recursividades de una manera rápida y eficiente. A futuro se espera desarrollar una aplicación que se fundamente en estos insumos teóricos para solucionar completamente el problema.

132

Referencias Apostol, T. (1985). Calculus. México: Reverté. Hill, R. (1997). Álgebra lineal elemental con aplicaciones. México: Prentice-Hall. Hoffman, K. y Kunze, R. (1971). Álgebra lineal. México: Prentice-Hall. Johnsonbaugh, R. (1988). Matemáticas Discretas. México: Iberoamérica. Vílchez, E. y Monge, J. (2001). Valores propios y las sucesiones definidas de forma recursiva. Revista Virtual de la Escuela de Matemática del Instituto Tecnológico de Costa Rica, 2(2). Vílchez, E. (2004). Resolución de sucesiones definidas por una relación de recurrencia homogénea lineal con valores propios de multiplicidad algebraica mayor estricta que uno. Revista Virtual de la Escuela de Matemática del Instituto Tecnológico de Costa Rica, 5(2).

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