1tintoan edu vn Acgumen Cua1So Phuc

III.ACGUMEN CỦA MỘT SỐ PHỨC KHÁC 0 3.1 Acgumen là gì ? Điều đó hoàn toàn xa lạ với các bạn về mặt ngôn ngữ, tuy nhiên chúng ta có thể tìm hiểu thông qua định nghĩa sau . 1. Định nghĩa Cho số phức z ≠ 0 và M là ảnh của z trong mặt phẳng phức. JJJJG JG JJJJG JG Acgumen của z là số đo của góc e1 , OM (đó là góc giữa 2 vectơ e1 và OM ). Kí hiệu là

(

)

Arg(z) Như vậy nếu θ là một acgumen của z thì arg(z) = θ + k 2π , k ∈ Z . arg(z) = θ + k 2π Người ta thường coi acgumen là giá trị không âm nhỏ nhất của θ . Còn ký hiệu khác : arg(z) = θ modulo 2π Hay arg(z) = θ ( 2π ) Ta thường ký hiệu tắt là Arg(z) = θ (hiểu ngầm là θ + k 2π ) Ví dụ VD1. Bằng hình vẽ, ta có thể dễ dàng xác định được các kết quả sau : arg(1) = 0 arg(-1) = π arg(2i) =

π

2

arg(-3i) = −

π

2 3π arg(-1 + i) = 4 VD2. Số phức z = 2 + i có acgumen bằng bao nhiêu ? Giải : Đặt α = arg ( z )

1 ⎞ ⎛ 2 đặt z = 5 ⎜ +i ⎟, 5⎠ ⎝ 5 2 1 ảnh M1 của số phức +i là một điểm 5 5 JG JJJJG JG JJJJJG của đường tròn lượng giác (bán kính bằng 1) và arg(z) = e1 , OM = e1 , OM 1 Bởi vì z = 22 + 12 = 5 ,

(

2 1 và sin α = . 5 5 Dùng máy tính sẽ tìm được α ≈ 0, 46rad

Từ đó suy ra cos α =

) (

)

2. Sự bằng nhau của hai số phức ⎧⎪ z = z ' ⎧z = z ' ⇔⎨ ⎨ ⎩ z vaø z' khaÙ c 0 ⎪⎩arg ( z ) = arg ( z ')

Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi mođun và acgumen tương ứng của chúng bằng nhau.

3. Số phức liên hợp và số phức đối Dựa vào đồ thị trên ta sẽ được các hằng đẳng thức sau : arg z = − arg ( z )

()

arg ( − z ) = arg ( z ) + π

( )

arg − z = π − arg ( z ) 3.2 Dạng lượng giác của một số phức 1. Định lí 5 : Cho số phức z = a + ib khác 0 với r = z và α = arg ( z ) .

Nếu z được viết dưới dạng z = r ( cos α + i sin α ) (*) thì (*) được gọi là dạng lượng giác của số phức z. Minh họa Dễ thấy , nếu r và α tương ứng là môđun và acgumen của số phức z = a + ib thì : ⎧ 2 2 ⎪r = a + b = z ⎪ a ⎪ ⎨cos α = r ⎪ b ⎪ ⎪⎩sin α = r Từ công thức trên ta suy ra a = r cos α và b = r sin α Do đó số phức z = a + bi có thể viết dưới dạng mới z = r ( cos α + i sin α )

Trong đó r = z và α = arg ( z ) . Đó là dạng lượng giác của số phức z.

Ngoài ra ta còn có thể xác định được sự liên hệ giữa M và M1 (với M1 thuộc đường tròn lượng giác) như hình sau

Ví dụ Biểu diễn dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) z = -1 – i b) z = 4 + 3i Giải a) r = a 2 + b 2 = 1 + 1 = 2 vì toạ độ của –1 - i nằm ở góc vuông thứ 3 của mặt phẳng phức nên : 1 1 sin α = − cos α = − 2 2 3π và α = − −π < α ≤ π 4 ⎛ ⎛ 3π 2 ⎜ cos ⎜ − ⎝ 4 ⎝ b) Ta có :

Vậy -1 – i =

r=

⎞ ⎛ 3π ⎟ + i sin ⎜ − ⎠ ⎝ 4

⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠

a 2 + b 2 = 16 + 9 = 5

3 ⇒ α ≈ 36o 52 ' 4 4 + 3i = 5 ( cos 36o52 '+ i sin 36o 52 ')

và tan α =

trong đó z = 5 và argz ≈ 36o52 ' Ngoài ra ta còn biểu diễn cách khác như sau : 3 4 + 3i = 5 ( cos α + i sin α ) với tgα = 4 2. Sự liên hệ giữa dạng lượng giác và dạng đại số

Như ta đã biết dạng lượng giác của một số phức z là z = r ( cos α + i sin α ) và dạng đại số là z = a + ib Với z ≠ 0 ta luôn có : r = z = a 2 + b 2 ; cos α =

a b ; sin α = r r

3. Chú ý : - Số phức 0 không có dạng lượng giác. - r và α được gọi là toạ độ cực của điểm M(z). - Số phức z có mođun bằng 1 là z = cos α + i sin α . Ví du VD1 : Xác định dạng lượng giác của các số phức sau : a. 2 = 2 ( cos 0 + i sin 0 ) ; −5 = 5 ( cos π + i sin π )

π π⎞ 3π 3π ⎞ ⎛ ⎛ + i sin b. 2i = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ; −i = 1⎜ cos ⎟ 2 2 ⎠ 2 2⎠ ⎝ ⎝ π π⎞ ⎛ c. 1 + i = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ 4 4⎠ ⎝

VD2 : Hãy tính mođun và acgumen cuả số phức z, sau đó viết dưới dạng lượng giác cuả nó a. cos α − i sin α b. −2 ( cos α − i sin α ) Giải : Bạn nên chú ý kĩ về dạng tổng quát của một số phức dưới dạng lượng giác, đó là z = r ( cos α + i sin α ) ( r>0 ) a. cos α − i sin α = cos ( −α ) + i sin ( −α ) với mođun cuả z bằng 1 và acgumen cuả z bằng −α b. −2 ( cos α − i sin α ) = 2 ⎡⎣cos (α + π ) + i sin (α + π ) ⎤⎦

với mođun cuả z bằng 2 và acgumen cuả z bằng α + π VD3.

2π 2π ⎞ ⎛ + i sin Biểu diễn : z = 2 ⎜ cos ⎟ dưới dạng đại số 3 3 ⎠ ⎝ Giả sử z = x + iy 2π Ta có : r = 2, α = 3 2π = −1 x = rcos α = 2 cos 3 2π và y = r sin a = 2sin = 3. 3 Vậy : z = -1+ i 3

3.3 Các phép toán trên acgumen Định lí 6 Với mọi số phức z và z’ khác 0 ta luôn có: arg ( zz ') = arg ( z ) + arg ( z ')

Chứng minh : Ta có z = r ( cos α + i sin α ) và z ' = r ' ( cos α '+ i sin α ') (r > 0 và r’ > 0) zz ' = rr ' ⎡⎣( cos α cos α '− sin α sin α ') + i ( sin α cos α '+ cos α sin α ') ⎤⎦ Bằng công thức cộng trong lượng giác ta được : zz ' = rr ' ⎡⎣cos (α + α ') + i sin (α + α ') ⎤⎦

Vì r,r’ > 0 nên theo dạng lượng giác của một số phức ta được α + α ' = arg ( zz ' ) + k2π

Vậy arg ( zz ') = arg ( z ) + arg ( z ') + k2π Hệ quả :

⎛1⎞ Với mọi số phức z và z’ khác 0 và n là số tự nhiên ta luôn có arg ⎜ ⎟ = − arg ( z ) ; ⎝z⎠ ⎛z⎞ arg ⎜ ⎟ = arg ( z ) − arg ( z ') ; ⎝ z'⎠ arg ( z n ) = n arg ( z ) . Ví dụ VD1 :

π π⎞ 5π 5π ⎞ ⎛ ⎛ Cho : z1 = 4 ⎜ cos + i sin ⎟ và z2 = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ 3 3⎠ 6 6 ⎠ ⎝ ⎝

7π 7π ⎞ ⎛ Ta có : z1 z2 = 8 ⎜ cos + i sin ⎟ . 6 6 ⎠ ⎝

(

VD2 : Tính 1 + i 3

)

5

Giải : 1 + i 3 có mođun bằng 2 và acgumen bằng

π 3

(

)

5

. Từ đó ta có : 1 + i 3 có mođun

5π . Từ đó suy ra 3 5 ⎛1 5π 5π ⎞ 3⎞ ⎛ 1 + i 3 = 32 ⎜ cos + i sin ⎟ = 16 1 − i 3 ⎟ = 32 ⎜⎜ − i 3 3 ⎠ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎝2 - Nhận xét : dựa vào tính chất của mođun và acgumen ta đã tính toán luỹ thừa trên một cách nhanh chóng , còn không các bạn khai triển luỹ thừa bậc 5 của nhị thức trên , bài toán sẽ khá dài . VD3 : Giải phương trình có dạng : z3 = 1 Đặt r = z và α = arg ( z ) , vấn đề đặt ra là cần xác định r và α là 25 và acgumen bằng

(

)

(

)

Mođun của z = r 3 và arg ( z 3 ) = 3α 3

Vì 1 = 1 và arg (1) = k 2π . Áp dụng điều kiện bằng nhau của hai số phức , ta có : ⎧r = 1 (r ∈ R; r > 0) ⎧⎪r 3 = 1 ⎪ ⇔⎨ 2 kπ ⎨ ⎪⎩α = 3 ( k ∈ Z ) ⎩⎪3α = 2kπ ( k ∈ Z ) Vậy phương trình trên có 3 nghiệm có mođun là 1 và acgumen lần lượt là 0 , Tập nghiệm của phương trình trên được biểu diễn dưới dạng đại số : ⎧⎪ 1 3 1 3 ⎫⎪ S = ⎨1 ; − + i ; − −i ⎬. 2 2 2 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 1 3 1 3 - Chú ý : Nếu đặt j = − + i . thì j = − − i 2 2 2 2

2π 4π ; 3 3