10 zadanii integraly i differencialnye uravneniya

2











Контрольная работа
по дисциплине «Математика»
Часть 2


Выполнила: студентка 1 курса
Специальность «Финансы и кредит банковского дела»
.












г. Нальчик, 2011

Задание 1. Найти интеграл: (1+ex)2dx.
Решение:

(1+ex)2dx = 1+2ex+e2xdx=dx+2exdx+e2x=x+2ex++ 12e2x+C.
Ответ: x+2ex+12e2x+C.
Задание 2. Найти интеграл: xdx3x2+a.
Решение:

xdx3x2+a=12dx23x2+a.
Пусть x2=t, получим:
12d(t+a)3t+a=12(3t+a)232+C=343(x2+a)2+C.
Ответ: 343(x2+a)2+C.
Задание 3. Найти интеграл: xcosxdx.
Решение:

xcosxdx=xdsinx.
Выполним интегрирование по частям.
Пусть u=x, v=sinx. По формуле udv=uv-vdu получим:
xdsinx=xsinx-sinxdx=xsinx+dcosx=xsinx+cosx+C.
Ответ: xsinx+cosx+C.
Задание 4. Найти интеграл: 3x2+8x3+4x2+4xdx.
Решение:

Применим метод неопределенных коэффициентов.
Пусть 3x2+8x3+4x2+4x=3x2+8xx+22=Ax+Bx+2+Cx+22. Ax+Bx+2+C(x+2)2=Ax2+4x+4+Bxx+2+Cxx(x+2)2=x2(A+B)+x4A+2B+C+4Ax(x+2)2.
Приравнивая коэффициенты при x2, x и x0, получим систему:
A+B=34A+2B+C=04A=8 откуда A=2, B=1, C=-10.
Тогда 3x2+8x(x+2)2=2x+1x+2-10(x+2)2.
3x2+8x3+4x2+4xdx=2xdx+1x+2dx-10(x+2)2dx=2lnx+lnx+2+10x+2+C.
Ответ: lnx2(x+2)+10x+2+C.
Задание 5. Найти интеграл: (4-x2)3x6dx.
Решение:

(4-x2)3x6dx. Сделаем замену t=4-x2x2, тогда x2=4t2+1, x=2t2+1 ,
dx=2-122tdtt2+1t2+1=-2tdtt2+132.
(4-x2)3x6dx=4-x2x23dxx3=t38t2+13 -2tdtt2+132=-14t4dt=-14t55+C=-t520+C=-1204-x2x25+C=-1204-x25x5+C.
Ответ: -4-x2520x5+C.
Задание 6. Вычислить интеграл: 05xdx1+3x.
Решение:

05xdx1+3x. Пусть 1+3x=t, тогда a=1, b=4.
1+3x=t2, 3x=t2-1, x=13t2-13, dx=23tdt.
05xdx1+3x=1413t2-1323tdtt=2914t2-1dt=29t33-t41=29433-4-13+1=29 18=4.
Ответ: 4.
Задание 7. Найти решение уравнения: xdx+ydy=0.
Решение:

xdx+ydy=0. Разделяя переменные, получим: xdx=ydy.
Интегрируя, получим: x22=-y22+C2, y2=C-x2.
Ответ: y2=-x2+C.


Задание 8. Найти решение уравнения: dydx-2x+1y=x+13.
Решение:

dydx-2x+1y=x+13. Пусть y=uv, тогда y'=u'v+v'u.
Получим u'v+v'u-2x+1 uv=x+13 или u'v+u(v'-2x+1v)=x+13.
Пусть v'-2x+1v=0, тогда dvv=2dxx+1, значит lnv=2lnx+1, т.е.
v=x+12. Следовательно, u'x+12=x+13, u'=x+1,
u=x22+x+C. Имеем y=x22+x+Cx+12.
Ответ: y=x+12x22+x+C.
Задание 9. Найти интеграл уравнения: dydx=xyx2-y2.
Решение:

dydx=xyx2-y2 – уравнение однородное.
Введем вспомогательную функцию: u=yx или y=ux, тогда y'=u'x+u.
Уравнение примет вид:u+xu'=x xux2-x2u2, u+xu'=x2ux2(1-u2), xu'=u1-u2-u, xdudx=u31-u2, 1-u2duu3=dxx, duu3-duu=lnx+C, -12u2-lnu=lnx+lnC.
Возвращаясь к переменной y, находим общее решение:
-x2y2=lnCxy, Cxy=e-x2y2
Ответ: e-x2y2=Cxy.


Задание 10. Найти общее решение уравнения: y''-10y'=x2.
Решение:

y''-10y'=x2
Составим характеристическое уравнение: r2-10r=0.
Его корни r1=0, r2=10 – действительные и различные, значит, решение ищем в виде: y=C1er1x+C2er2x. Оно имеет вид y=C1+C2e10x, т.к. правая часть исходного уравнения равна x2, т.е. имеет вид pxemx, где m = 0, то частное решение имеет вид y=xkQxemx, т.к. m=0, а r1=0 - корень характеристического уравнения, то k=1 (плотность корня).
Qx - многочлен второй степени, т.е. имеет вид Qx=Ax2+Bx+C, следовательно, частное решение имеет вид y=xAx2+Bx+C=
=Ax3+Bx2+Cx. Значит, y'=3Ax2+2Bx+C, y''=6Ax+2B.
Подставим y' и y'' в исходное уравнение 6Ax+2B-30Ax2-20Bx--10C=x2. Приравнивая коэффициенты при x2, x и x0, получим систему:
-30A=16A-20B=02B-10C=0 отсюда A=-130, B=-0,01, C=-0,02.
Значит, частным решением является функция:
y=x-130x2-0,01x-0,02=-130x3-0,01x2-0,02x,
а общим решением – функция y=C1+C2e10x-130x3-0,01x2-0,02x.
Ответ: y=C1+C2e10x-130x3-0,01x2-0,02x, где C1и C2- постоянные.