1 1 Definicion y Origen de los Numeros Complejos

UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS

Definición y Origen de los números complejos

Una cantidad imaginaria no es más que las raíces indicadas pares para cantidades negativas. Así -1,-3,-8 son cantidades imaginarias. La cantidad imaginaria -1 es llamada "unidad imaginaria", así, la unidad imaginaria se denota como i i=-1 . En electricidad i se denota como j.
Un número complejo tiene la forma z=a+bi, en donde a y b son números reales e i es un símbolo con propiedad de que i2=-1, porque -1×-1=-1. El número a es la parte real de z, denotada como Re z y b es la parte imaginaria de z, denotada como Im z. Se considera que dos números complejos son iguales si, y solo si, sus partes real e imaginaria son iguales. Así, a+bi y (c+di) son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales; esto es, si a=c y b=d.
Se considera que un número real a es un tipo especial de numero complejo, al identificar a con a+0i. Más aún, las operaciones aritméticas con números reales pueden ampliarse al conjunto de los números complejos. El sistema de números complejos, denotado mediante c, es el conjunto de todos los números complejos.
Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo x2+ 1=0. Despejando a x se obtiene x=-1 , que se escribe x=i .

El origen de los números complejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llamó raíz ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces sordas.

En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma x2+c=0 donde c es cualquier número positivo. Fue el matemático Leonhard Euler quien designó por i a -1 .

Un número complejo a+bi puede identificarse con el punto (a,b) y graficarse en el plano complejo o de Argand creado por el matemático Gauss. En el plano complejo, el eje horizontal se llama eje real y el eje vertical se llama eje imaginario.
Im




b .a, b







0, 0 a Re

De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los números complejos, ya que en el plano R2 el número complejo a,0 coincide con el número real a, donde a R. En el caso de los números complejos de la forma 0,b son llamados imaginarios puros.