Una Ecuación Escalar de Movimiento

Una Ecuaci´on Escalar de Movimiento Antonio A. Blatter Licencia Creative Commons Atribuci´ on 3.0 (2015) Buenos Aires Argentina Este trabajo presenta una ecuaci´ on escalar de movimiento que es invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia y que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias.

Introducci´ on Un par de part´ıculas es una bipart´ıcula. El sistema de part´ıculas { a, b, c y d } puede formar el sistema de bipart´ıculas { ab, ac, ad, bc, bd y cd } o tambi´en el sistema de bipart´ıculas { ad, bd y cd }

P

. La masa m ij de una bipart´ıcula ij, est´ a dada por: m ij = mi mj /M , donde mi es . la masa de las part´ıcula i, mj es la masa de la part´ıcula j y M ( = k mk ) es la masa del sistema de part´ıculas en observaci´ on. La posici´on escalar r ij , la velocidad escalar v ij y la aceleraci´on escalar a ij de una bipart´ıcula ij, est´an dadas por: . r ij = 1/2 [ (ri − rj ) · (ri − rj ) ] . v ij = 1/1 [ (vi − vj ) · (ri − rj ) ] . a ij = 1/1 [ (ai − aj ) · (ri − rj ) + (vi − vj ) · (vi − vj ) ] donde ri es el vector de posici´ on de la part´ıcula i y rj es el vector de posici´on de la . . part´ıcula j ( v ij = d(r ij )/dt ) y ( a ij = d2 (r ij )/dt2 ) . El momento escalar P ij de una bipart´ıcula ij (m ij ) est´a dado por: P ij = m ij v ij , donde v ij es la velocidad escalar de la bipart´ıcula ij. La fuerza escalar F ij que act´ ua sobre una bipart´ıcula ij (m ij ) est´a dada por: R . F ij = m ij [ (Fi /mi − Fj /mj ) · (ri − rj ) + 2 (Fi /mi − Fj /mj ) · d(ri − rj ) ] donde Fi es la fuerza neta que act´ ua sobre la part´ıcula i, Fj es la fuerza neta que act´ ua sobre la part´ıcula j, mi es la masa de las part´ıcula i, mj es la masa de la part´ıcula j, ri es el vector de posici´on de la part´ıcula i y rj es el vector de posici´on de la part´ıcula j. 1

Din´ amica Escalar La ecuaci´on escalar de movimiento para una bipart´ıcula ij (m ij ) est´a dada por: F ij = d(P ij )/dt = m ij a ij donde F ij es la fuerza escalar que act´ ua sobre la bipart´ıcula ij, P ij es el momento escalar de la bipart´ıcula ij y a ij es la aceleraci´ on escalar de la bipart´ıcula ij. W, K, U, E y L El trabajo W ij realizado por las fuerzas (vectoriales) que act´ uan sobre una bipart´ıcula ij, est´a dado por: . R2 . W ij = 1 F ij d(r ij ) = ∆ 1/2 m ij (v ij )2 = ∆ K ij donde F ij es la fuerza escalar que act´ ua sobre la bipart´ıcula ij, r ij es la posici´on escalar de la bipart´ıcula ij, m ij es la masa de la bipart´ıcula ij, v ij es la velocidad escalar de la bipart´ıcula ij y K ij es la energ´ıa cin´etica de la bipart´ıcula ij. El trabajo W ij realizado por las fuerzas (vectoriales) conservativas que act´ uan sobre una bipart´ıcula ij es igual y de signo opuesto a la variaci´on en la energ´ıa potencial U ij de la bipart´ıcula ij. R2 . ∆ U ij = − 1 F ij d(r ij ) Por lo tanto, la energ´ıa mec´ anica E ij de una bipart´ıcula ij permanece constante si la bipart´ıcula ij est´a sujeta s´ olo a fuerzas (vectoriales) conservativas. . ∆ E ij = ∆ K ij + ∆ U ij = 0 . E ij = K ij + U ij = constante donde K ij es la energ´ıa cin´etica de la bipart´ıcula ij y U ij es la energ´ıa potencial de la bipart´ıcula ij. Finalmente, el Lagrangiano L ij de una bipart´ıcula ij, est´a dado por: . L ij = K ij − U ij donde K ij es la energ´ıa cin´etica de la bipart´ıcula ij y U ij es la energ´ıa potencial de la bipart´ıcula ij. 2

Observaciones Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ficticias sobre Fi ni sobre Fj . Todas las magnitudes de este trabajo (r ij , v ij , a ij , P ij , F ij , W ij , K ij , U ij , E ij y L ij ) son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia. Las magnitudes (W ij , K ij , U ij , E ij y L ij ) son en realidad magnitudes escalares nuevas que por comodidad en este trabajo se les quit´o el adjetivo ((escalar)) La integral de la definici´ on de F ij es una integral indefinida. Si ninguna fuerza act´ ua sobre las part´ıculas i y j entonces la integral da como resultado una constante. La definici´on de F ij podr´ıa modificarse de manera tal que no haya necesidad de trabajar con una integral indefinida. Sin embargo, este cambio podr´ıa obligar a tener que modificar tambi´en otras ecuaciones del trabajo. Por otro lado, este trabajo no contradice la din´ amica de Newton. De hecho, si un sistema de referencia inercial est´ a fijo sobre la part´ıcula j (rj = vj = aj = Fj = 0) de una bipart´ıcula ij (m ij ) entonces de la ecuaci´ on escalar de movimiento, se obtiene: R m ij [ Fi /mi · ri + 2 Fi /mi · dri ] = m ij [ ai · ri + vi · vi ] R m ij [ (Fi /mi − ai ) · ri + 2 Fi /mi · dri − vi · vi ] = 0 R → (Fi /mi − ai ) · ri = 0 → 2 Fi /mi · dri − vi · vi = 0 puesto que en todo sistema de referencia inercial siempre ai = Fi /mi (as´ı como en todo sistema de referencia no inercial introduciendo las fuerzas ficticias sobre Fi ) Finalmente, este trabajo considera que es posible desarrollar una din´amica escalar alternativa basada en el Lagrangiano L ij que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias.

Bibliograf´ıa A. Einstein, Sobre la Teor´ıa de la Relatividad Especial y General. E. Mach, La Ciencia de la Mec´ anica. H. Goldstein, Mec´ anica Cl´ asica. 3