Universidad Tecnológica de Santiago. UTESA.
Escuela de Graduados.
Transformada de Laplace.
Aplicaciones Matemáticas
Ing. Francisco Alberto Cabrera Rosario.
[email protected]
De nición de Transformada de La place: Es un caso especial de serie de potencia, es
continua en tramos que converge a una función: ∞ X
an xn = A(x)
n=0
Demostración : Si f es una función que depende de n, es decir: f :N →<
y por medio de esta función llegamos a an , la reescribimos: f
n → f (n) = an
La reescribimos en forma funcional: ∞ X
an xn = A(x)
n=0
Donde la función de n la convertimos en una función de x: an → A(x)
Para mayor compresión citaremos dos ejemplos en el espacio discreto, por que estamos desde 1 : los naturales a los reales donde an = 1, es una serie geométrica que converge a 1−x a) 1 → b)
1 n!
1 , 1−x
si |x| < 1, es decir, entre (−1, 1)
→ ex , ∀x es decir, entre (−∞, ∞)
1
Entonces si t es continua en el espacio continuo, cambiaríamos la sumatoria por la integral. Donde n = t y an por f (t), es decir, 0 < t < ∞ donde x es una constante, donde la integral
de nida es del tipo impropia:
∞ X
n
Z
∞
f (t)xt dt
an x = 0
n=0
Esto es por cambio de variable, es decir : Si
x = elnx ∧ xt = [elnx ]t
Análisis:
Pero x no puede tener valor negativo, porque si t esta elevado a una fracción nos daría una función compleja por lo que, x > 1, la exponencial crece demasiado rápido con respecto a f (t), lo que indica que el valor de x tiene que ser x < 1, entonces el lnx estará entre −∞ y 0 entonces el lnx < 0 pero como el resultado dará un numero no natural hacemos un cambio de variable de −s por ln indicando que el valor es negativo. Entonces nos queda.De nición de Transformada de
La place:
Z
∞
f (t)e−st dt = F (s) Si (s) > 0
0
Se denota: L{f (t)} = F (s) Es decir de una f(t) se transforma en F(s): F (t) → operador → F (s)
Nota: por ser una integral impropia la transformada de La place hereda la linealidad: Z
Z [αf (x) + βg(x)]dx =
Z αf (x)dx +
Z α
Z f (x)dx + β
g(x)dx
L{f + g} = L{f } + L{g}
**k es una constante L{kf } = kL{f }
2
βg(x)dx
Hallar la transformada de La place de f (t) = t: Z
∞
e−st tdt
L{t} = 0
Cambio de variable de los limites: Z
p
e−st tdt
l´ım
p→∞
0
Resolviendo la integral por partes: t 1 e−st t e−st − 2 + c = st − st 2 + c s s se e s
sustituyendo t por p y evaluando: l´ım
p→∞
p 1 1 − sp 2 + 2 sp se e s s
Aplicando limite: l´ım =
p→∞
1 s2
La función se transforma: F (t) → operador → F (s)
Es decir: t→
1 s2
Nota: Recordar que cuando existe una indeterminación se utiliza L'opital y eαx dx = R
3
eαx α
+c
1. Teorema de una constante k: Encontrar L{k} =? si f (t) = k Por de nicion: ∞
Z
e−st f (t)dt
L{f (t)} = o
Sustituyendo a k por t ∞
Z
e−st f (k)dt
L{f (t)} = o
Aplicando linealidad y cambio de variable: Z L{f (t)} = k l´ım
p→∞
p
e−st dt
o
Resolviendo la integral: k l´ım
p→∞
e−st +c −s
Evaluando los limites en p: k l´ım
p→∞
−k k k + = sp e s s
La transformada de una constante k es: L{k} =
k s
L{6} =
6 s
Ejemplo:
2. Teorema de una exponencial: Encontrar L{eat } =? si f (t) = eat Por de nición: at
Z
L{e } = o
4
∞
e−st tdt
Sustituyendo a eat por t: ∞
Z
at
e−st eat dt
L{e } = o
Como tiene potencias de bases iguales: at
∞
Z
(−st+at)
L{e } =
e
Z
∞
=
o
et(a−s) dt
o
cambiando de variable: Z
at
p
L{e } = l´ım
p→∞
et(a−s) dt
0
resolviendo la integral: et(a−s) +c a−s
L{eat } =
Sustituyendo t por p y evaluando los limites: l´ım
p→∞
ep(a−s) 1 − = s−a s−a
* Artilugio multiplicando por −1 y efectuando la fracción: l´ım
p→∞
1 −1 1 −e−(s−a)p + = (s−a)p + s−a s−a e s−a s−a
Aplicando limite: L{eat } = l´ım = p→∞
1 s−a
La transformada de una exponencial es: L{eat } =
1 s−a
L{e−3t } =
1 s+3
Ejemplo:
L{8 + e2t } = L{8} + L{e2t } =
5
8 1 + s s−2
3. Teorema de una potencia: Encontrar L{tn } =? si f (t) = tn
Por de nición: ∞
Z
n
e−st tdt
L{t } = o
Sustituyendo a tn por t: Z
n
∞
e−st tn dt
L{t } = o
cambiando de variable: p
Z
n
e−st tn dt
L{t } = l´ım
p→∞
0
resolviendo la integral por partes, la integral marcada es una transformada: e−st n n L{t } = t + −s s n
Z
e−st tn−1 dt {z } | T rans.Laplace
Cambiando variables : L{tn } = l´ım
p→∞
e−sp pn n + l´ım L{tn−1 } p→∞ −s s
Expresando con exponente positivo y evaluando el limite: L{tn } = l´ım
p→∞
pn n + l´ım L{tn−1 } sp p→∞ s −se
me queda: l´ım
p→∞
n L{tn−1 } s
Reduciendo en 1 por recurrencia: n n−1 n n−1 n−2 . ∗ L{tn−2 }; L{tn } = . . .L{tn−3 }; s s s s s 1 n n−1 n−2 1 Hasta llegar a la transformada de t = s2 , es decir, s . s . s ........ s2 Entonces la L{tn } =
de una potencia es:
L{tn } =
6
n! sn+1
transformada
4. Teorema del seno: Hallar la transformada de La place de f (t) = sen(kt): Por de nición:
Z
∞
e−st f (t)dt
L{sen(kt)} = 0
Sustituyendo f (t) por sen(kt): Z
∞
L{sen(kt)} =
e−st sen(kt)dt
0
Efectuando cambio de variable: Z
p
l´ım =
p→∞
Si:
Z
e−st sen(kt)dt
0
eax e .sen(bx)dx = 2 (asen(bx) − bcos(bx)) a + b2 ax
Sustituyendo a por s, x por t y b por k tenemos: Z e
−st
e−st (−ssen(kt) − kcos(kt)) .sen(kt)dt = 2 s + k2
Luego: Evaluando los limites y cambio de variables: e−sp 1 L{sen(kt)} = l´ım 2 (−ssen(kp) − kcos(kp)) − 2 (−k) p→∞ s + k 2 s + k2
Es decir: L{sen(kt)} = l´ım
p→∞
k −ssen(kp) − kcos(kp) + 2 sp 2 2 e s +k s + k2
Me queda que la transformada del seno es: L{sen(kt)} =
s2
k + k2
Ejemplo: L{e3t + 6sen(3t)} = L{e3t } + 6 L{sen3t} =
1 s−3
7
3 + 6 ( s2 +3 2) =
1 s−3
−
18 s2 +9
Función
Transformada
1 tn eat sen(kt) cos(kt) senh(kt) cosh(kt)
f (s) = 1s s > 0 n! f (s) = S n+1 s>0 1 f (s) = s−a s>a k f (t) = s2 +k 2 s > 0 s f (s) = s2 +k2 s > 0 k f (s) = s2 −k 2 s > |k| k f (s) = s2 −k2 s > |k|
Cuadro 1: tabla 1 Estas son las transformadas básicas, demostrar para práctica cos(kt), senh(kt) y cosh(kt)
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA: Transformada de una derivada: l{F˙ (t)} = sf (s) − F (0)
En forma generalizada: L{F˙ (t)} = sn f (s) − sn−1 F (0) − sn−2 F˙ (0)......sF n−2 (0) − F n−1 (0)
1- L{y} ˙ = sy(s) − f (0) 2- L{¨ y } = s2 y(s) − sy(0) − y(0) ˙ 3- L{y000} = s3 y(s) − sy 2 (0) − sy(0) ˙ − y¨(0) 4- Calcular: L {y0000}
a-Transformada de una integral: Z L 0
t
f (s) F (u)du = s
b-Transformada de multiplicación por potencia: L{tn F (t)} = (−1)n
dn f (s) dsn
c-Transformada de multiplicación por exponenciales (traslación): Si α ∈
