Sobre analiticidad en funciones y señales

Comunicación rápida

Sobre analiticidad en funciones y señales Alejandro R. Urzúa Pineda Grupo de Óptica Matemática Instituto de Ciencias Físicas, UNAM

Las señales analíticas pueden definirse como distribuciones de contorno de funciones analíticas. Las funciones analíticas son aquellas que, dentro de un intervalo cerrado [a, b], satisfacen el criterio de convergencia de Cauchy así como la fórmula integral I Ψ(ζ) 1 dζ, (1) Ψ(z) = 2πi C ζ − z donde z = t + iτ . Es posible escribir a Ψ(z) en el plano complejo de la forma Ψ(z) = Ψ(t, τ ) = u(t, τ ) + i v(t, τ )

(2)

con lo cual se puede probar que la función es analítica en u y v si cumple con las condiciones de CauchyRiemann ∂v ∂u ∂v ∂u = , = , (3) ∂t ∂τ ∂τ ∂t con v(t, τ ) una función construida a partir de u(t, τ ) mediante una transformación. La función v(t, τ ) es la cuadratura de u(t, τ ), las cuales sumadas, transforman cualquier oscilación en un vector desfasado por π/2 radianes. La finalidad de obtener Ψ(t, τ ) a partir de u(t, τ ) es suprimir las amplitudes pertenecientes a frecuencias negativas y duplicar las frecuencias positivas, con lo cuál el contenido de la señal original se conserva. Si no existen polos en un lado del eje t, es posible entonces obtener dos funciones (reales) en cuadratura, en especial aquellas con u(t, 0) y v(t, 0), las cuales son funciones conjugadas que generan una señal analítica para Ψ(t, 0) = u(t, 0) + i v(t, 0). Ejemplo de esto es Ψ(t) = eiz = cos(t) + i sin(t), con z = t + i 0. La definición de señal analítica en el dominio del tiempo introducida por Denis Gabor en 1946 [1] tiene la forma Ψ(t) = u(t) + i v(t), (4) con v(t) = H[u(t)] como la transformada de Hilbert dada por Z Z 1 u(t) H[u(t)] = v(t) := dτ = u(t)h(t − τ ) dτ, π R t−τ R

(5)

donde h(t) = 1/πt. Ya que u : u(t) y v : v(t), la ecuación (4) es analítica si se satisfacen las condiciones establecidas por (3) en la forma ∂u =0 ∂t ∂v = 0. ∂t

(6) (7)

Se elige la transformada de Hilbert ya que, al ser el único operador singular en una dimensión, cumple con las condiciones de continuidad de amplitud y diferenciabilidad, independencia de fase y escala, así como la correspondencia armónica formuladas por Vakman [2].

Referencias [1] D. Gabor, “Theory of Communications,” Trans. Inst. Electr. Eng., vol. 3, pp. 429-456, 1946 [2] D. Vakman, “On the analytic signal, the Teager-Kaiser energy algorithm and other methods defining the amplitude and phase,” IEEE Trans. Signal Proc., vol. 44, pp. 791-797, April 1996.