Simulación del Número PI aplicado diversos Métodos de Prueba

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA

Simulación del Número PI Simulación Aplicado Diversos Métodos de Prueba Pedro Salas Vergara Diciembre 2013

Escuela de Informática Asignatura Simulación de Sistemas

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Índice Introducción ......................................................................................................................... 3 Historia del número PI.......................................................................................................... 4 Enunciado del Problema....................................................................................................... 6 Algoritmos de simulación ..................................................................................................... 6 Algoritmo de Gauss-Legendre …..…........................................................................... 6 Algoritmo de Borwein ........................................……................................................ 8 Métodos generadores de números aleatorios.................................................................... 9 Generadores Congruenciales - Lineales (GCL).......................................................... 9 GCL Multiplicativos................................................................................................... 9 Resultados: Tablas y Gráficos de Salida .............................................................................. 12 Método de Montecarlo .......................................................................................... 12 Método del Teorema de Pitágoras .......................................................................... 15 Conclusión .......................................................................................................................... 20 Referencias.......................................................................................................................... 21

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Introducción El numero π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: 3,1415. El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo, notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones (1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó. El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro.

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Historia del Numero PI Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado 8/9 del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14). "Uno de los documentos más importantes de origen egipcio es el "Papiro Rhind" que data del siglo XVII a.C. En dicho papiro aparece un método para calcular el área de un círculo. Este conocimiento, según el copista, es anterior al siglo XIX a.C. La regla para calcular el área dice: tomar el diámetro. Restar la novena parte. De esta diferencia tomar nuevamente la novena parte y restar de la anterior. Multiplicar el resultado por el diámetro. Tal es el área del círculo.""Pi, letra griega (π) usada en matemáticas como el símbolo del cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El matemático griego Arquímedes afirmó correctamente que el valor de Pi se encuentra entre 3 +1/7 y 3 + 10/71". El valor asignado a pi surgía de un círculo cuyo diámetro era un número entero y su longitud un número muy próximo a otro entero. Trata de descubrir cuáles eran estas dimensiones en el siguiente simulador, en donde variarás el valor del diámetro y observarás los valores de las longitudes de circunferencias correspondientes.

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Efectivamente, se tomaba como referencia una circunferencia de diámetro igual a 7 y longitud muy próxima a 22. 22/7 = 3,1428571 "En 1652, William Oughtred utilizó π /δ para referirse al cociente entre la circunferencia y el diámetro, usando sin duda la letra griega π (pi) para indicar la circunferencia o periferia y la letra δ (delta) para indicar el diámetro." "El símbolo π fue usado por primera vez para representar esta razón en 1706 por el matemático inglés William Jones, pero su uso no se generalizó hasta su adopción por el matemático suizo Leonhard Euler en 1737. En 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que pi es un número trascendente, esto es, no puede ser la raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. De esta manera, Lindemann fue capaz de demostrar la imposibilidad de la cuadratura del círculo algebraicamente o usando la regla y el compás. Aunque pi es un número irracional, es decir, tiene un número infinito de cifras decimales, se puede calcular con la exactitud deseada utilizando series. Pi ha sido calculada con cien millones de cifras decimales utilizando ordenadores, aunque esta precisión carece de utilidad práctica."

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Enunciado del Problema La simulación de procesos es una de las más grandes herramientas de la ingeniería industrial, la cual se utiliza para representar un proceso mediante otro que lo hace mucho más simple y entendible. De esta manera, simularemos el cálculo del número PI a través de 2 métodos, el de Montecarlo y el de Buffon.

Algoritmos de Simulación Algoritmo de Gauss-Legendre El algoritmo de Gauss-Legendre es un algoritmo para computar los dígitos de π. El método se basa en los trabajos individuales de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y Adrien-Marie Legendre (1752-1833) combinados con algoritmos modernos para la multiplicación y la raíz cuadrada. Sustituye repetidamente dos números por sus medias aritmética y geométrica, para obtener una aproximación a su media aritméticogeométrica. La versión que se presenta aquí se conoce también como el algoritmo de Brent-Salamin (o Salamin-Brent); que fue descubierto en 1975 y de forma independiente por Richard Brent y Eugene Salamin. Se usó entre el 18 y el 20 de septiembre de 1999 para calcular los primeros 206.158.430.000 dígitos decimales de π, y el resultado se comprobó usando el algoritmo de Borwein. 1- Establecimiento del valor inicial:

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2- Repetir las siguientes instrucciones hasta que la diferencia entre An y Bn se encuentre dentro de la precisión deseada:

3- π se aproxima usando An , Bn y Tn como:

Las primeras tres iteraciones dan: 3.140… 3.14159264… 3.14159265358979…

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Algoritmo de Borwein El algoritmo de Borwein es un algoritmo desarrollado por Jonathan y Peter Borwein que permite el cálculo de 1/π. Se procede de la siguiente forma: Se comienza con los valores

Después se itera con las siguientes fórmulas

Se tiene que Ak posee una convergencia cuártic 1/π; es decir, en cada iteración se multiplica por cuatro, aproximadamente, el número de dígitos correcto. El grado de convergencia se obtiene de la siguiente desigualdad:

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Métodos Generadores de Números Aleatorios Generadores Congruenciales - Lineales (GCL) Los generadores de números aleatorios que más se usan son los generadores congruenciales lineales (LCG) ideados por Derrick Henry Lehmer en 1951, y poseen la siguiente forma:

El éxito de este tipo de generadores de valores de una variable aleatoria depende de la elección de los cuatro parámetros que intervienen inicialmente en la expresión anterior: El valor inicial o semilla: X0 La constante multiplicativa: A El número M respecto al cual se calculan los restos GCL Multiplicativos Al Igual que en el caso anterior, el algoritmo es el mismo, solo cambia la formula a utilizar:

El valor inicial o semilla: Xn-1 La constante multiplicativa: A El número M respecto al cual se calculan los restos Estos cuatro valores deben ser números enteros no negativos y que cumplan la siguiente condición:

La mayor parte de los generadores de números aleatorios son, en realidad, pseudoaleatorios; se calcula (o introduce internamente) un valor x0, que llamaremos semilla, y, a partir de él, se van generando x1, x2, x3, ...

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Siempre que se parta de la misma semilla, se obtendrá la misma secuencia de valores. Por la condición anterior, es evidente que todos los valores generados por este procedimiento son números enteros entre 0 y M-1. El número máximo de cifras distintas que pueden obtenerse con el procedimiento descrito es M, así que llegará un momento en que el primer número generado se repetirá produciéndose un ciclo. El ciclo dónde inevitablemente caerá el generador interesa que sea de la mayor longitud posible (como máximo), para evitar que se repitan pronto los valores aleatorios. Por ejemplo, para los valores A=3, C=5, X0=2 y M=32, se obtiene la siguiente secuencia de valores: 2-11-6-23-10-3-14-15-18-27-22-7-26-19-30-31-2-11-6 La secuencia generada tiene como longitud 16 números (el número generado en la decimoséptima posición es el 2 inicial, por lo que toda la secuencia se repite a partir de ahí), muy inferior a la longitud máxima que podría tener (M=32). Determinadas elecciones de parámetros del generador (X0, A, C y M ) conducen a ciclos de amplitud máxima.

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Por ejemplo, tomando como valores M = 25 = 32, A=5, X0=1 y C=3 2df112896cb252b1a2b333525b4bd05d.png" MERGEFORMATINET |c=3} 2df112896cb252b1a2b333525b4bd05d.png" \* MERGEFORMATINET |c=3} se obtiene la siguiente secuencia de números, que tiene longitud máxima: 1-8-11-26-5-28-15-14-9-16-19-2-13-4-23-22-17-24-27-10-21-12-31-30-25-0-3-18-29-20-76-1.

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Resultados: Tablas y Gráficos de Salida Método de Montecarlo Para la simulación con el método Montecarlo se procedió siguiendo la forma en que se desarrolla este método, la cual se encuentra en las instrucciones de este taller como también en la web, se utilizo una planilla en Excel para realizar los cálculos con 1000, 10000 y 30000 ensayos. Los resultados fueron los siguientes:  Simulación con 1000 ensayos: (π = 3.096)

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 Simulación con 10000 ensayos: (π = 3.1564)

 Simulación con 30000 ensayos: (π = 3.134)

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Finalmente podemos observar que el numero resultante es 3.134, aun lejos del número real de pi, pero se aproxima mientras se aumenta el número de ensayos, ya que en el intento anterior se paso, obteniendo 3.1564, y ahora se fue ajustando mas al número real de PI. A continuación se de pueden observar algunos de los primeros cálculos de este experimento, no pondré todos los resultados ya que son muy extensos y se pueden simular con la planilla adjuntada a este informe.

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Método del Teorema de Pitágoras Para simular el cálculo del número PI, utilizare el teorema de Pitágoras, ayudado de la teoría y ciertas instrucciones simulare el cálculo en una planilla Excel tal como se hizo la vez anterior. La manera de calcular PI consiste en calcular la probabilidad realizando un gran número de pruebas. Las preguntas que nos surgen son: 1.- ¿Cómo generar puntos aleatorios? Con la función aleatoria podemos definir la coordenada x y la coordenada y que definen un punto. 2.- ¿Cómo sabemos si el punto está dentro del círculo o no? Lo sabremos si calculamos la distancia entre el punto generado al azar y el punto (1,1) que es el centro del círculo. Si la distancia es mayor que 1, indica que esta fuera del círculo de radio 1. 3.- ¿Cómo calculamos la distancia de un punto?: Pitágoras nos dice que:

Con lo que si queremos calcular la distancia entre el punto P1 y P2 lo que debemos hacer es:

Pasos a realizar para calcular el valor de PI En la fila 6 pondremos la cabecera y realizaremos el cálculo de PI con 3000 puntos escogidos aleatoriamente

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Columna A: Cabecera: Paso Indica en qué numero de prueba nos encontramos, en la fila 7 pondremos un contador desde 1 hasta llegar a 3000 (Este valor puede ser cambiado si se desea mayor precisión). Columna B y C: Cabecera: X, Y Indica la posición de los puntos respecto del eje horizontal (x) y del eje vertical(y) Pondremos la siguiente fórmula: =ALEATORIO()*2 La función ALEATORIO devuelve un número entre 0 y 1, que al multiplicarlo por 2 dará un valor entre 0 y 2; con esto conseguimos crear puntos aleatorios que estén dentro del cuadrado Columna D: Cabecera: Dist Es la distancia respecto del punto central de la circunferencia, para calcular la distancia recordamos la fórmula que debemos aplicar:

=RAIZ((ABS(Bxi-1)^2)+(ABS(Cx-1)^2)), donde x es la fila, en esta fórmula asumimos que el punto x2, y2 es el punto central del círculo, es decir, el punto (1,1)

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Columna E: Cabecera: Dentro Indica con un 1 si el punto definido en la columna B y C está dentro del círculo o no =SI(DxGráfico... 2.- Elegir el del tipo Dispersión 3.- Pulsar Siguiente 4.- Poner en rango de datos: =pi!$A$6:$A$3006:pi!$G$6:$G$3006: 5.- Indicar Series en Columnas 6.- Pulsar Siguiente 7.- Pulsar Siguiente 8.- Pulsar Finalizar Para ajustar y ver mejor la tendencia del gráfico vamos a convertir el eje x a escala logarítmica. Para ello debemos: 1.- Pulsar sobre el eje de las x 2.- Botón de la derecha del ratón 3.- Opción de “Formato de Ejes” 4.- Ir a la pestaña de Escala 5.- Marcar Escala logarítmica Adicionalmente ponemos un eje con el valor 3,141592 que nos señala el punto PI: Doble click sobre el eje de la y, en la pestaña Escala, poner el valor cruza en 3.141592, para colocar una línea de referencia al número PI, y finamente aceptar.

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Grafico y Tabla

En el grafico se pude observar como el número tiene a acercarse a PI.En las siguientes tablas se pueden observar las simulaciones de los números que se calcularon, cabe recordar que son números aleatorios, y cada vez que se ejecuta la plantilla de Excel los números pueden cambiar. Solo se muestran una parte de la tabla, ya que son una gran cantidad de valores, además pueden observarse en la planilla propiamente tal.

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Conclusión Con este experimento pude concluir que cada método o algoritmo para calcular el número PI se acercan al número real mientras más iteraciones se van realizando, además de comprender lo importante que es este número en nuestra vida cotidiana, y lo fácil que es poder encontrarlo en el día a día, como en las ruedas de un automóvil, en un triangulo, etc. Así también, pude investigar aun más en la relación que existe entre el número pi y la circunferencia de un círculo, al utilizar el método de Montecarlo, también aprender de cómo poder calcular el número pi a través de Pitágoras, ya que, personalmente, lo desconocía. Espero haber desarrollado de la manera más eficiente y clara cada parte solicitada de este taller, y no haber dejado duda alguna.

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Referencias  http://www.estadisticaparatodos.es/taller/aleatorios/aleatorios.html  http://antiguo.itson.mx/dii/atorres/NumAlea.htm  http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/computacionestadistica/pdfs/tema3.pdf  http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Gauss-Legendre  http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Borwein  http://webs.adam.es/rllorens/pidoc.htm

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