NOTAS SOBRE LOS FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS DE LA MATEMÁTICA PURA EN KANT Rav Dr. Williams Pitter Universidad del Zulia, Facultad de Ciencias, Departamento de Física Maracaibo, Zulia. Venezuela. E-mail:
[email protected] Rosh Yeshíva de Talmud Torá BESH
INTRODUCCIÓN En la Crítica de la razón Pura (CRP), Kant muestra el interés filosófico de su época por la epistemología -teoría del conocimiento- y por la metafísica. Considerado el interés y el impacto de la metafísica a lo largo de la historia de la filosofía, Kant aborda el estudio de la metafísica desde la perspectiva de su propia teoría del conocimiento, y en su construcción plantea la siguiente pregunta fundamental: ¿es, en general, posible la metafísica? Luego, habiendo mostrado tanto la existencia de juicios sintéticos a priori y que el conocimiento metafísico es un conocimiento sintético a priori, Kant afirma que la realidad de la metafísica descansa ahora en la contestación de esta nueva interrogante: ¿cómo son posibles los conocimientos sintéticos a priori? Según Kant, la Filosofía Trascendental que él propone tiene como tarea contestar esa interrogante. La respuesta de la Filosofía Trascendental se va construir a lo largo de cuatro etapas, cada una de las cuales tiene que ver a su vez con la respuesta a cuatro importantes interrogantes. La primera de ellas, y sobre la cual enfocaremos nuestra atención es la siguiente: ¿cómo es posible la matemática pura? La razón por la cual este trabajo se restringe a esta pregunta reside en el hecho de que Kant, en el proceso de construcción de la respuesta correspondiente, introduce un conjunto de nociones esenciales tales como Intuición, Objeto, Fenómenos. Y estas tres nociones antes mencionadas constituyen el punto de partida para establecer el fundamento epistemológico de la matemática pura según Kant. Mostraremos como Kant define esas nociones y como están articuladas entre ellas en vistas a su concepción de una teoría del conocimiento, y en particular del conocimiento de la matemática pura. Metodológicamente hablando, este trabajo sigue a grandes saltos el discurso de Kant, según se encuentra en su obra Prolegómenos. Procedemos por esta vía por cuanto Prolegómenos es la propia exégesis de la CRP, un esfuerzo de Kant orientado a explicar ideas claves y pasajes difíciles de la CRP; lo cual representa una manera para acceder a la propia CRP que en si misma es una obra de un elevado grado de dificultad. INTUICIÓN EN KANT Al indagar Kant de cómo es posible la metafísica, encuentra la diferencia radical entre juicios sintéticos y analíticos, y muestra además que, todos los juicios de la matemática son todos sintéticos, no obstante hace notar que las proposiciones matemáticas
2 son siempre juicios a priori, los cuales son expuestos en la intuición1. En la discusión de estos aspectos, analíticos y sintéticos, muestra que los juicios constitutivos de la matemática pura –y de la ciencia en general- son los juicios sintéticos a priori. Esta es una unificación de los juicios en una nueva llamados juicios sintéticos a priori es la novedad que le permite a Kant un giro fundamental en la historia de la teoría del conocimiento. La construcción del conocimiento sintético a priori es posible debido al hecho de que en el proceso cognitivo de tal construcción “debemos agregar con el pensamiento cierto predicado a un concepto dado”2, necesidad, según remata Kant ya está en los conceptos. Esta operación cognitiva se realiza, según postula Kant, por intermedio de la intuición 3. El ejemplo clásico de ello es el juicio, en apariencia analítico, 7+5=12, mostrando que la operación aritmética allí involucrada es sintética, al ampliar, mediante la intuición, el modo como contamos esa suma. Una vez que ha sugerido y mostrado “que hay realmente tales conocimientos sintéticos puros a priori”4, se pregunta ahora, ¿cómo son posibles los conocimientos sintéticos a priori?”5 . Hallar la respuesta a esta pregunta es hallar el fundamento sobre el cual descansa el conocimiento científico y, en particular el conocimiento matemático, aun más, como Kant mismo afirma, “de la solución de este problema depende enteramente que la metafísica se sostenga o caiga”6 . Al avanzar en la dirección de buscar una respuesta a la interrogante planteada precisa el dominio de su búsqueda: Kant se limita sólo a dos ciencias: la matemática pura y las ciencias de la naturaleza; pues, según Kant, “sólo estas ciencias pueden presentarnos los objetos a la intuición”7. Este es un pensamiento clave en el desarrollo de la CRP, ya que a partir de aquí Kant va a definir con mayor exactitud el carácter y el rol cognitivo de la intuición y, los modos como la intuición percibe a los objetos, en vista a la construcción del conocimiento científico. Ahora bien, la pregunta fundamental Kant la subdivide a su vez en cuatro, una de ellas concierne con la matemática: ¿cómo es posible la matemática pura?8. Dada la peculiaridad del conocimiento matemático: un conocimiento con certeza apodíctica que para nada se remite o se apoya en la experiencia y, no obstante, también es sintético. Es decir, el conocimiento matemático presenta “su concepto previamente en la intuición, y ello a priori [pura]... medio sin el cual este conocimiento no puede dar ni un solo paso”9. Es aquí donde Kant subraya la importancia cognitiva de la intuición pura sin referencia empírica alguna, y reorienta su indagación en esa dirección: “Si podemos encontrar esta intuición pura y la posibilidad de una tal, entonces a partir de allí se explica fácilmente 1
Prolegómenos, 269-270. La manera como son expuestos a la intuición es aclarada más tarde. Prolegómenos, 269-270 3 Prolegómenos, 269-270 4 Prolegómenos, 277-278. 5 Prolegómenos, 279-280. 6 Prolegómenos, 276-277 7 Prolegómenos, 279-280 8 Prolegómenos, 279-280 9 Prolegómenos, 280,281 2
3 cómo son posibles las proposiciones sintéticas a priori en la matemática pura, y por consiguiente, se explica también cómo es posible esta ciencia misma” 10. Ahora la pregunta es la siguiente: “¿cómo es posible intuir algo a priori?” 11. INTUICIÓN, OBJETOS DE LA INTUICIÓN Y SENSIBILIDAD Al intentar contestar esa pregunta Kant introduce una definición importante en cuanto a la intuición: “Una representación es intuición, en tanto que depende inmediatamente de la presencia del objeto”12. (Mas adelante dirá que la representación es lo que está contenido en el objeto, es decir, sus propiedades13). En otras palabras, la intuición no nos puede dar una representación del objeto sin que éste esté presente. En este contexto distingue en la intuición sensible dos facultades cognitivas, y como veremos cada una de ellas tiene sus propios objetos los cuales los percibe también de manera distinta: la intuición empírica sensible y la intuición pura. La intuición empírica construye sintéticamente sus objetos, se apoya en la experiencia; la intuición pura también construye sintéticamente sus propios objetos, pero en este caso la diferencia el juicio sintético será cierto a priori y apocadicticamente cierto14; (aquí están definidos el espacio y el tiempo como a priori de la intuición pura, lo que servirá de base a Kant para la fundamentación del conocimiemto matemático puro). Es decir, la construcción del concepto de objeto, en tanto como intuición pura a priori, está enlazada inseparablemente con el concepto mismo antes de toda experiencia. Sin embargo, hay un problema importante: hay conceptos –como el de cantidad, de causa, etc- que no requieren de la presencia de un objeto, pero para darles una aplicación concreta es pertinente que tales conceptos tengan sentido y significado, estos se adquieren mediante la intuición, la cual, en virtud de su carácter nos da el objeto de tales conceptos15. En vista de eso Kant se formula una nueva pregunta a la paradoja que se esconde detrás: “¿cómo puede la intuición del objeto preceder al objeto mismo?” 16. Para contestar esto, Kant pasa a averiguar con precisión el rol esencial de la intuición, esto es, la manera cómo la intuición representa a sus objetos. Kant afirma que la intuición nunca representa a los objetos tales como ellos son en si mismos, ya que las propiedades de los objetos no se trasladan ni pueden trasladarse a la facultad representativa de la intuición. Los objetos de la intuición son provistos por las formas de la sensibilidad17, las cuales hacen posible la percepción. Pero estas formas de sensibilidad pertenecen al sujeto, esto es a la intuición, y nada tiene que ver con los objetos en si mismos, y según Kant, precede “a todas las impresiones reales mediante las cuales soy afectado por los objetos”18. Esta es la única manera, a juicio de Kant, por medio de la cual 10
Prolegómenos, 281 Prolegómenos, 281 12 Prolegómenos, 281 13 Prolegómenos, 282 14 Prolegómenos, 281 15 Prolegómenos, 282 16 Prolegómenos, 282 17 Sensibilidad es una facultad humana, la sensación es la sensibilidad en acción. 18 Prolegómenos, 282. 11
4 la intuición del objeto precede al objeto y, así, los objetos de los sentidos pueden ser intuidos a priori19. (De aquí que, los objetos de la matemática pura, según Kant, son construidos por la intuición pura sin referencia empírica alguna). OBJETOS Y FENÓMENOS Kant pasa ahora a distinguir entre la intuición empírica y la intuición pura en cuanto a su rol en la producción de conocimiento. Kant aclara que estas dos facultades cognitivas tiene sus respectivos objetos de conocimiento no a las cosas en si mismas, sino a las cosas o a los objetos como se nos aparecen20. Usando una especie de hilemorfismo aristotélico, Kant llama a esta aparición de los objetos el fenómeno; y este fenómeno es percibido por la intuición de dos maneras: como forma del fenómeno y como materia del fenómeno. En este sentido, la intuición sensible es la facultad cognitiva que percibe la materia del fenómeno, es decir, es la percepción de los objetos del mundo natural. La intuición pura en cambio, es una facultad cognitiva que percibe la forma del fenómeno en términos del espacio y del tiempo, que es la base para la producción del conocimiento en matemática pura. Pero no hay dicotomía aquí, la intuición pura es más fundamental que la sensible21 en virtud de que la intuición pura y por tanto a priori “no es otra cosa que la mera forma de la sensibilidad, que precede a la aparición real de los objetos haciéndola, en verdad, ante todo, posible” 22. Así pues, la pregunta “¿cómo es posible intuir algo a priori?”, tiene una respuesta: es posible intuir algo a priori en virtud de que las formas de la sensibilidad que nos son propias determinan las condiciones bajo las cuales los objetos del mundo natural afectan nuestros sentidos -ya sea que estén presentes o noPara Kant, entonces, no conocemos a los objetos del mundo natural como son en si mismos, sino más bien como fenómenos, es decir, como se nos aparecen en la intuición en términos de materia y forma; pero materia y forma no son propiedades de los objetos –y en esto se distingue de la metafísica clásica- sino más bien las condiciones formales de nuestra sensibilidad. Así que, la intuición –en cualquiera de sus formas- percibe al fenómeno, no al objeto en si mismo. De esta manera el objeto cognoscente no es el objeto en si mismo sino el fenómeno. GEOMETRÍA PURA Y ESPACIO Escapa de los límites de este ensayo exponer las razones básicas que sustentan la posibilidad de un conocimiento –como el de matemática pura23- por razón pura. Prefiero remitir al lector a las consideraciones kantianas acerca de las condiciones del uso de este 19
Prolegómenos, 282. Prolegómenos, 283-284. 21 Esta conclusión la saca de los ejemplos de la geometría y la aritmética: la geometría está referida al espacio, y la aritmética al tiempo. La matemática pura está referida a la intuición empírica en tanto que sus objetos son los objetos de los sentidos, sin embargo, en la base de esta intuición sensible yace una intuición más fundamental: la intuición pura: la del espacio y del tiempo. 22 Prolegómenos, 283-284. 23 Prolegómenos, 41ss. En esta sección Kant muestra que aunque las proposiciones de la matemática pura son proposiciones a priori, no obstante sus juicios son sintéticos. 20
5 tipo de conocimiento, de su extensión y de sus límites24. Mi objetivo es más modesto, ya que me contentaré, siguiendo a Kant, en afirmar que la matemática pura –y también la física- contiene un conjunto de proposiciones que son universalmente reconocidas como independientes de la experiencia, ello en virtud, por una parte, de la sola razón con certeza apodíctica, y por otra, por el consenso general fundado en la experiencia. Por supuesto, todo esto pasa, riguroso estudio, de los juicios analíticos –a priori sin referencia a la experiencia- y los juicios sintéticos –empíricos o referidos a la experiencia; y también se debe examinar con no menos detalles el hecho de que para Kant que el conocimiento de la matemática pura es un conocimiento sintético a priori25. Más arriba hemos mostrado que el pensamiento epistemológico kantiano postula que, la intuición pura, concibe a los objetos matemáticos como formas del fenómeno los cuales se describen a su vez en términos de espacio y tiempo. En este caso, Kant invoca a la geometría y a la aritmética como ejemplos representativos del conocimiento matemático puro. Con relación a la geometría pura26, aunque tenga una realidad objetiva no obstante sus proposiciones no están referidas a objetos reales – y esto es muy importante tenerlo claro- “sino que valen de modo necesario para el espacio y por tanto también para todo lo que pueda encontrarse en el espacio, porque el espacio no es otra cosa que la forma de todos los fenómenos externos, forma sólo bajo la cual nos pueden ser dado los objetos a los sentidos. La sensibilidad, cuya forma es puesta como fundamento de la geometría, es aquello sobre lo cual descansa la posibilidad de los fenómenos externos; éstos, por consiguiente, nunca pueden contener otra cosa que lo que le prescribe la geometría”27. En este punto es pues importante como el geómetra concibe el espacio, el cual según Kant, es un fundamento a priori junto con todas las propiedades que éste contenga. En este sentido Kant precisa que los matemáticos jamás piensan que una línea recta, por ejemplo, es una sucesión de puntos físicos; pero a pesar de ello, “no advirtieron que ese espacio del pensamiento hace posible el espacio físico, esto es, la extensión misma de la materia; que ese espacio no en ningún modo de ser de las cosas en si mismas, sino sólo una forma de nuestra facultad de representación sensible, que todos los objetos que se hallan en el espacio son meros fenómenos, esto es, no cosas en si mismas, sino representaciones de nuestra intuición sensible, y puesto que el espacio, tal como lo piensa el geómetra, es precisamente la forma de la intuición sensible...”28. En la CRP, Kant expone sus conceptos fundamentales para el espacio y el tiempo en el marco de su doctrina trascendental de los elementos29. Ambos conceptos, los del espacio y el tiempo, son a prioris necesarios porque son el presupuesto esencial para que se produzca la intuición sensible; son universales; y en cuanto al tiempo, es la intuición fundamental para todo conocimiento. El tiempo y el espacio son la fuente del conocimiento en tanto que facilita la intuición sensible y posibilita el conocimiento matemático. Tanto el 24
Prolegómenos, 35ss. Prolegómenos, 44. 26 Prolegómenos, 49ss. Por supuesto que Kant está hablando aquí de la geometría Euclidiana, las otras geometrías, como la de Riemann, por ejemplo, estarían un poco más adelante en el tiempo. 27 Prolegómenos, 49. 28 Prolegómenos, 50. 29 CRP, p. 65ss. 25
6 espacio 30 como el tiempo31 tienen, por supuesto, una realidad empírica, pero también una idealidad trascendental32. Ahora bien, dado que el espacio es el fundamento a priori de la geometría euclidiana, habría que revisar la exposición metafísica y trascendental del espacio que hace Kant en su CRP, cuáles de esos argumentos permanecen o pueden ser modificados para una geometría como la Riemann, por ejemplo. En otras palabras, se impone la necesidad de una investigación crítica sobre la validez universal de la concepción kantiana del espacio para todas la geometrías y, si no es así, acotar epistemológicamente el dominio de su validez para la geometría Euclidiana y al mismo tiempo fundamentar razones para una renovada exposición metafísica y trascendental del espacio para geometrías como las de Riemann. El mismo procedimiento vale para el concepto de tiempo 33.
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CRP, 72ss. CRP, 78ss. 32 Es decir, un idealismo en el sentido trascendental (de Kant) porque se trata de los a priori que suministran el conocimiento. 33 Aunque basta una simple inspección, en el marco de la física relativista, para darse cuenta que las nociones de simultaneidad que manejan Kant son completamente erróneas. Pero ello es perdonable, porque como hombre de su tiempo, estaba sujeto a las virtudes y limitaciones de la concepción newtoniana de la física. 31
