MODELO DE SOLOW-SWAN CON DESIGUALDAD (UNA REVISIÓN)

MODELO DE SOLOW-SWAN CON DESIGUALDAD (UNA REVISIÓN) Douglas Ramírez1

RESUMEN El modelo de Solow-Swan permite la sustitución factorial y flexibiliza las relaciones capital-producto a través de una función neoclásica que permite mostrar un crecimiento convergente y máxima el bienestar de los consumidores. El modelo de Solow-Swan no considera el problema de la distribución, pero al introducir desigualdades en las dotaciones los resultados no son socialmente eficientes, como postula el modelo y los resultados divergen. En el crecimiento no sólo es necesario considerar cuanto crece sino también los problemas de distribución, este ejercicio teórico sirve para mostrar este hecho. Este trabajo parte de una revisión del artículo de Baños (2002) y se muestra que no importa si se asume la distribución de la dotación igual a la participación del factor capital, los resultados igual difieren de la tasa socialmente óptima, por lo que no se requiere introducir supuestos adicionales.

INTRODUCCIÓN Robert Solow presentó su modelo de crecimiento neoclásico en «A contribution to the theory of economic growth», de 1956 y Trevor Swan, en «Economic Growth and Capital Accumulation», publicado el mismo año 1956, presentó un modelo similar, por eso el modelo neoclásico es conocido como el modelo de Solow-Swan. Este modelo permite la sustitución factorial y flexibiliza las relaciones capital-producto a través de una función neoclásica. El propósito de este modelo era mostrar que la economía capitalista puede crecer a la tasa de crecimiento de su fuerza laboral, y que este crecimiento es estable o converge a su equilibrio de largo plazo entre oferta y demanda agregada y sus resultados son socialmente óptimos al maximizar el bienestar de los hogares a través de la maximización del consumo. En este ejercicio se pretende mostrar que al introducirse ciertas condiciones de desigualdad entre los agentes, los resultados socialmente óptimos no se cumplen y por tanto no se garantiza las condiciones de bienestar.

Economista y M.Sc. en Economía. Profesor de Economía adscrito al Instituto de Investigaciones Económicas y Sociales de la Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela. http://webdelprofesor.ula.ve/economia/dramirez/ . Email [email protected] 1

MODELO DE SOLOW-SWAN EN DESIGUALDAD SUPUESTOS: Para definir las condiciones y los resultados se parte de las proposiciones neoclásicas de los modelos de crecimiento y desde ahí derivar las condiciones de equilibrio por tanto se supone que en esta economía se cumple los siguientes supuestos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Economía cerrada y sin gobierno La población crece a una tasa exógena n Existe pleno empleo en el largo plazo El mercado es de competencia perfecta Los mercados se vacían Los planes de ahorro e inversión se cumplen Razón ahorro-ingreso permanecen constantes Los derechos de propiedad están asignados a las familias Existe un único bien que se consume y se invierte La tecnología es una y se deprecia a la misma tasa. La función de producción es de tecnología regular, es decir que existe sustitución entre los factores, homogeneidad lineal y se satisfacen las condiciones de INADA.

FORMULACIÓN DEL MODELO2 La función de producción se define en términos de sus factores:

Y  FK, L (1) Dónde K es el stock total del capital de la economía, L es total de personas ocupadas en la economía. La función de producción por familia sería: Yj  F ( K j , L j ) (2) Donde Yj es el producto, 𝐾𝑗 el capital y L𝑗 el trabajo contratado para la familia j-ésima, por simplicidad se ha omitido el subíndice del tiempo pero todas las variables son función del tiempo. Las condiciones de tecnología regular y de Inada implica que para todo K>0 y L>0 los producto marginales tienen rendimientos marginales decrecientes, se requiere la concurrencia de ambos factores para generar un producto.

F K  0 , F KK  0 , F L  0

F LL  0 , FmK, mL  mFK, L ,

 fk , FK, 0  F0, L  0 limK0 F K K, L  limL0 F L K, L   , limK F K K, L  limL0 F L K, L   F

K ,1 L

El producto agregado se divide en consumo e inversión y tenemos (en el ejemplo) dos tipos de consumidores cuyas diferencias parten de las dotaciones iniciales y de sus propensiones marginales a ahorrar, los de dotación mayor poseen una propensión a ahorrar mayor a los de Esta es una versión a partir del artículo de Baños (2002). En particular en este trabajo se tiene algunos resultados que difieren de la autora. Pero el resultado general se llega sin necesidad de introducir algún supuesto adicional como lo hace la autora (pág. 41). 2

dotación menor. Se tiene que el producto agregado de la economía sería:

Y  C  I  C a  C b  Ia  Ib

(3)

Donde 𝐶𝑗 es el consumo de la familia tipo 𝑗 = 𝑎, 𝑏 y 𝐼𝑗 es la Inversión de la familia tipo 𝑗 = 𝑎, 𝑏.

1

Ca Y



Cb Y

Ia Y





Ib Y

 c a  c b  ia  ib

(4)

Donde 𝑐𝑗 son los consumos per cápita de las familias tipo 𝑗 = 𝑎, 𝑏 y 𝑖𝑗 es la inversión per cápita de la familia tipo 𝑗 = 𝑎, 𝑏. Del lado de las familias, el producto se divide.

Y  C  S  C a  C b  Sa  Sb

(5)

Donde 𝑆𝑗 son los ahorros de las familias tipo 𝑗 = 𝑎, 𝑏.

1

Ca Cb S a S b Y



Ca Y



Cb Y



Sa Y



Sb Y

 c a  c b  s a  s b (6)

Donde 𝑠𝑗 es la tasa de ahorro per cápita de la familia tipo 𝑗 = 𝑎, 𝑏. Si hay una proporción entonces se puede expresar.

 de familias tipo a y 1   de familias tipo b ,

c a  sa   1  c b  sb   1

(7)

También se puede decir que el producto de cada familia respecto al consumo o el ahorro es función de sus ingresos, por tanto se tiene que.

C j  1  s j Yj , por tanto,

S j  s jY j , por tanto Y j 

Y j  1 sj j c

Sj sj

(8) (9)

El producto total en esta economía se define en términos de consumo o ahorro planeado como:

Y   Nj 1 sj j

(10)

Y   Nj

(11)

C

Sj sj

ESTADO ESTACIONARIO Las familias ahorran una proporción constantes de sus ahorros

respecto al ingreso

s a  s b . En términos del ahorro agregado las familias ahorran. S  sa Y  1  sb Y  sY (12)

teniendo en cuenta que

La depreciación es exógena e igual para las familias por lo que el cambio en el Stock neto de capital para cada familia sería dK i dt

 Ii  K i

(13)

Donde 𝛿, es la tasa de depreciación de la economía, 𝐾𝑗 es el stock de capital y (

𝑑𝐾𝑗 𝑑𝑡

) es la tasa de

cambio del stock de capital o inversión neta, como se expresa al lado derecho de la ecuación. La inversión bruta agregada por familia y total sería.

I  sa FK, L  1  FK, L

(14)

Nótese que las inversiones de las familias son diferentes así como sus propensiones ahorrar pero la tasa de depreciación es la misma.

K a  K b   K

(15)

Partiendo de la homogeneidad lineal (rendimientos constantes a escala) podemos expresar en términos per cápita en la ecuación fundamental de Solow-Swan por tanto se tiene: 

K L

 s a fk a   1  s b fk b   k a  k b 

Donde 𝐾̇ es la tasa de cambio del stock del capital. El capital per cápita crece a una tasa constante: 

K L

(16)



k nk

(14) Donde 𝑘̇ representa el cambio del capital per cápita y n es la tasa de crecimiento de la población que se asume que crece igual que el número de contratos o empleo generado en la economía. Por tanto 

k nk  s a fk a   1  sb fk b   k a  k b 

(15)



Despejando a Solow-Swan.

k

se tiene la ecuación fundamental de acumulación per cápita de



k s a fk a   1  s b fk b   k a  k b   nk

(16)

Nótese que el primer término entre corchetes representa el ahorro y el segundo término la 

función de depreciación neta. En estado estacionario (

k 0 ) la solución sería:

sa fk a   1  sb fk b   k a  k b   nk a  k b  (17) Para encontrar una solución específica se requiere definir las funciones de producción, pero nótese intuitivamente que las condiciones de estado estacionario son diferentes para cada familia, por las dotaciones y las propensiones de ahorrar diferentes y al peso relativo de cada familia. Pero por ahora, el interés se encuentra en ver las condiciones en que se maximiza el bienestar de los agentes económicos.

REGLA DE ORO El bienestar de los agentes económicos depende del consumo y la inversión es solamente un medio para alcanzar un producto mayor asociado a un consumo superior en el futuro. Este consumo que maximiza el bienestar se denomina regla de oro o Golden Rule en inglés (GR). Definiendo el consumo per cápita agregado se define como: c  1  sfk se busca maximizar el consumo agregado y ver cómo afecta a las familias. La elección es elegir el nivel de cápita regla de oro que maximiza el consumo agregado en el estado estacionario es decir:

maxk c  1  sfk  maxk fk  sfk  maxk fk  n  k (18) La solución vendría dada por: 



f k  n    0  f k GR   n  

(19) Es decir, la maximización del consumo regla de oro, está dada por la solución donde la productividad marginal per cápita es igual a la tasa de depreciación neta del capital.

SOLUCIÓN CON FUNCIÓN COBB-DOUGLAS (CD) AGREGADA

Asumamos una función tipo Cobb-Douglas (1928) per cápita como

y  Ak  , donde

0    1 , en ese caso la solución bajo la regla de oro (Golden rule, GR) sería: A k 1

 n    k GR 

A n

1 1

 y GR  A

A n

 1

 c GR  1  sA

A n

 1

No se conoce la tasa de ahorro. Se puede deducir la tasa de ahorro de la condición de optimización o se busca por otra vía. Por optimización la tasa de ahorro socialmente eficiente en el caso de la CD sería igual a la elasticidad producto del capital (Cobb-Douglas 1928). Pero se va a obtener por otra vía y luego se verá la consistencia del resultado. En equilibrio la inversión es igual al ahorro o lo consumido es el producto menos lo que se invierte por tanto:

sy  n  k

(20)

c GR  Ak   n  k

(21)

Supongamos que la función agregada es resultado para la economía agregada sería:

k GR 

5 0.6  0.040.05

y  5k 0.6 , 1 10.6

n  4%

 6415. 0

y GR  56415. 0 0.6  962. 25 c GR  962. 25  0. 04  0. 056415. 0  384. 9

sGR  962. 25  384. 9  577. 35

y

  5% . El

577. 35

 0. 6 . Este La tasa de ahorro promedio de la economía con regla de oro sería 962. 25 resultado es consistente con la tasa óptima esperada por el modelo derivado de las condiciones de maximización; como se ve en la demostración de la ecuación (22).

s GR  n 

 fkk GR  GR

A n

 s GR  n   A

A n

1 1



 1

(22)

La hipótesis es que las familias tienen propensiones a ahorrar diferentes y las familias con mayor dotación inicial tendrán una propensión a ahorrar mayor. Supongamos que las familias tipo

a poseen el 60% del capital y las familias tipo b poseen el 40% restante. En este caso: k a  0. 66415. 0  3849. 0

k b  0. 46415. 0  2566. 0

y a  53849. 0 0.6  708. 24

y b  52566. 0 0.6  555. 30 c a  708. 24  0. 04  0. 053849. 0  361. 83 c b  555. 30  0. 04  0. 052566. 0  324. 36

sa  708. 24  361. 83  346. 41 sa  555. 30  324. 36  230. 94 Los resultados se muestran en la figura anexa, donde la línea roja muestra la función de ahorro de la familia de dotación inicial mayor con tasa de ahorro superior y la línea azul es la función de ahorro de la familia de dotación inicial menor. Figura 1 Regla de Oro con Tasas de Ahorro Diferentes por Tipo de Familia. y 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

2000

4000

6000

La tasa de ahorro de la familia

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

a sería del 49.911%:( 230. 94

22000

24000

346. 41 708. 24

26000

x

 0. 489 11 ) y la tasa de

ahorro de la familia b sería del 41.588%:( 555. 30  0. 415 88 ), sin embargo la tasa de ahorro es diferente a la socialmente óptima que conduce a la regla de oro, pero nótese que la sumatoria de los

346. 41230. 94

 0. 6 ). ahorros sobre el producto total, si cumple la regla de oro de ahorro agregado ( 962. 25 También se observa que la tasa de ahorro de la familia de mayor dotación inicial posee a su vez la propensión a ahorrar mayor y la media de las propensiones no es igual a la suma de las propensiones, difiere a la socialmente óptima, asumiendo que las familias tipo tienen igual peso para el ejemplo que se está desarrollando ( 12 0.4911  12 0.41588  0.45349 ). Sí adicionalmente se tiene

que la familia de mayor dotación es una proporción menor de la población total, se introduciría un mayor nivel de desigualdad en los resultados.

CONCLUSIÓN El modelo de Solow-Swan no considera el problema de la distribución, pero al introducir desigualdades en las dotaciones los resultados no son socialmente eficientes, como postula el modelo y los resultados divergen. En el crecimiento no sólo es necesario considerar cuanto crece sino también los problemas de distribución, este ejercicio teórico sirve para mostrar este hecho. No importa si se asume la distribución de la dotación igual a la participación del factor capital, los resultados igual difieren de la tasa socialmente óptima, por lo que no se requiere introducir supuestos adicionales (2002:41) para tener divergencia. En todo caso si se extrapola a la economía de un país por sus regiones o a la economía mundial se puede intuir en que aun cuando se tenga funciones de producción iguales, tasas de crecimiento y depreciación iguales, las diferencias en dotaciones llevan a resultados desiguales. Es decir, el punto de partida (distribución factorial) sí importa. Adicionalmente, una condición que provoca una mayor divergencia o desigualdad, en el resultado, sería suponer que los que poseen la mayor dotación adicional de factores representan una proporción menor de la población total.

REFERENCIAS 

Baños, M. R. (2002) “El modelo de Solow con diferentes propensiones al ahorro”. Economía Teoría y Práctica 17,:31-44 Diciembre.http://148.206.107.15/biblioteca_digital/estadistica.php?id_host=6&tipo=ARTICULO&id=51

61&archivo=2-334-5161ppa.pdf&titulo=El%20modelo%20de%20Solow%20con%20diferentes%20prop ensiones%20al%20ahorro

   

Cobb, C. W.; Douglas, P. H. (1928). "A Theory of Production". American Economic Review 18 (Supplement): 139–165. Solow, R. (1956). "A Contribution to the Theory of Economic Growth"; Quarterly Journal of Economics 70: 65-94. Solow, R. (1957). "Technical Change and the Aggregate Production Function"; Review of Economics and Statistics 39: 312-20. Swan, Trevor W. (1956). Economic Growth and Capital Accumulation. Economic Record 32.63: 334-361.