Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Funciones de Variable Compleja

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja Departamento de Matem´ aticas Funci´ on Ejercicios 1 Ejercicios 2

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Funciones de Variable Compleja

Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos

Departamento de Matem´aticas

L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

MA3002

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Mapeo

´ n de variable compleja Funcio Cuando el dominio de una funci´ on f es un conjunto de n´ umeros complejos y cuando el codominio mismo es tambi´en el conjunto de n´ umeros complejos diremos que f es una funci´on de variable compleja o simplemente que f es una funci´on compleja. Como la imagen de un elemento en el dominio z = x + y i es un n´ umero complejo w = f (z), entonces w debe ser de la forma: w = f (z) = u(x, y ) + v (x, y ) i

Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

donde u(x, y ) es la parte real de w y v (x, y ) es la parte imaginaria.

Continuidad

w = f (z)

Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

y dominio

v

imagen

z

Analiticidad

w

Ejercicios 7

x

u

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Ejercicios Escriba las siguientes funciones en la forma f (z) = u + v i: • f (z) = 6 z − 5 + 9 i • f (z) = 7 z − 9 i z − 3 + 2 i • f (z) = z 2 − 3 z + 4 i • f (z) = 3 z 2 + 2 z • f (z) = z 3 − 4 z • f (z) = z + 1/z • f (z) = z 4 z • f (z) = z+1

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Gr´aficas de f (z) = 6 z − 5 + 9 i Parte real

Parte imaginaria

Funci´ on Ejercicios 1 Ejercicios 2

Mapeo

1

Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Argumento

M´ odulo

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Gr´aficas de f (z) = z 2 − 3 z + 4 i Parte real

Parte imaginaria

Argumento

M´odulo

Departamento de Matem´ aticas Funci´ on Ejercicios 1 Ejercicios 2

Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

1

Analiticidad Ejercicios 7

1

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Ejemplo 3 anterior realizado en la calculadora TI.

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Mapeo Ejercicios 3

Ejercicios Evalue la funci´ on f (z) en los valores dados. • f (z) = 2 x − y 2 + (x y 3 − 2 x 2 + 1) i en:

z1 = 2 i, z2 = 2 − i y z3 = 5 + 3 i • f (z) = (x + 1 + 1/x) + (4 x 2 − 2 y 2 − 4) i en:

z1 = 1 + i, z2 = 2 − i y z3 = 1 + 4 i

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

• f (z) = 4 z + i z + Re(z) en:

z1 = 4 − 6 i, z2 = −5 + 12 i y z3 = 2 − 7 i • f (z) = e x cos(y ) + e x sen(y ) i en:

z1 = π i/4, z2 = −1 − π i y z3 = 3 + π i/3

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

En las siguientes figuras se ilustran las soluciones de los problemas 1 y 3 anteriores en la TI. Observe la diferencia entre las definiciones de la funci´ on f y la forma de evaluarla.

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Transformaciones del plano complejo

Note que ante la imposibilidad de graficar en R4 no es posible graficar una funci´ on de variable compleja. Una representaci´on alternativa consiste en graficar las im´agenes de rectas en el plano complejo. Por ejemplo, para la funci´ on w = f (z) = z 2 = (x + y i)2 = (x 2 − y 2 ) + 2 x y i

Funci´ on Ejercicios 1 Ejercicios 2

Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Aqu´ı u(x, y ) = x 2 − y 2 y v (x, y ) = 2 x y . Ilustremos c´omo se mapea el segmento que va de (2, 0) a (2, 1), en rojo en la figura. y v z =x +yi x 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000

y 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000

f (z) = u + v i u 4.000 3.990 3.960 3.910 3.840 3.750 3.640 3.510 3.360 3.190 3.000

v 0.000 0.400 0.800 1.200 1.600 2.000 2.400 2.800 3.200 3.600 4.000

x

u

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Ejercicios

Para la funci´on f (z) = z 2 encuentre la imagen de la l´ınea indicada: • y =2 • x = −3 • x =0 • y =0

Continuidad

• x =y

Derivada

• y = −x

Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

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Mapeo Ejercicios 3

´ n complejas como fluidos Funcio Una funci´on compleja w = f (z) se puede interpretar como un flujo de un flu´ıdo bidimensional considerando el n´ umero complejo f (z) como un vector basado en el punto z. A veces, ser´a conveniente ilustrar el flujo con vectores normalizados. Por ejemplo, para la funci´ on w = f (z) = z 2 generaremos el flujo graficando en cada punto z = (x, y ) el vector 1 (uesc , vesc ) = 2 |w | (u, v ). y

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

x -1.0 -1.0 -1.0 -1.0

y -1.0 0.0 1.0 2.0

u 0.0 1.0 0.0 -3.0

v 2.0 0.0 -2.0 -4.0

|w | 2.0 1.0 2.0 5.0

uesc .000 .500 .000 -.300

vesc .500 .000 -.500 -.400

. . . 4.0 4.0 4.0 4.0

. . . 1.0 2.0 3.0 4.0

. . . 15.0 12.0 7.0 0.0

. . . 8.0 16.0 24.0 32.0

. . . 17.0 20.0 25.0 32.0

. . . .441 .300 .140 .000

. . . .235 .400 .480 .500

x

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´n L´ımite de una funcio Suponga que f (z) est´a definida en una vecindad de zo , excepto posiblemente en el mismo zo . Entonces se dice que f (z) posee como l´ımite L en zo , escrito como

Funci´ on Ejercicios 1 Ejercicios 2

lim f (z) = L

z→zo

Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad

si para cada aproximaci´ on  a L existe distancia δ de cercan´ıa a zo de manera que todo valor de z1 que est´e a una distancia de zo menor que δ tendr´a una evaluaci´ on f (z1 ) que cuya aproximaci´on a L es menor que . En terminos matem´aticos:

Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

0 < |z1 − zo | < δ garantiza que |L − f (z1 )| < 

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´n Propiedades del l´ımite de una funcio

Departamento de Matem´ aticas

Suponga que las funciones f (z) y g (z) est´an definidas en una vecindad de zo y ambas poseen l´ımite en zo y que

Funci´ on

lim f (z) = L1 y lim g (z) = L2

Ejercicios 1 Ejercicios 2

Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

z→zo

z→zo

entonces: • lim (f (z) + g (z)) = L1 + L2 z→zo

• lim (f (z) · g (z)) = L1 · L2 z→z o

f (z)

L1

• Si L2 6= 0, lim = z→zo g (z) L2

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Ejercicios Determine cada uno de los l´ımites siguientes o argumente en su caso porqu´e no existe. • limz→i (4 z 3 − 5 z 2 + 4 z + 1 − 5 i) 2 −2 z+2 • limz→1−i 5 z z+1 4 −1 • limz→i zz−i 2 z+2 • limz→1+i z z−2 2 −2 i • limz→0 zz

−1 • limz→1 x+y z−1

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

En las siguientes figuras se ilustran las soluciones de los problemas 2 y 3 anteriores en la TI. Recuerde que para expresiones fraccionarias el problema potencial es el valor del denominador: si es diferente de cero, podemos calcular el l´ımite evaluando, pero si el denominador se evalua en cero entonces debemos hacer un tratamiento adicional. Conviene almacenar por separado el numerador y denominador. Cuando ambos se evaluan en cero, se debe cancelar factores tanto arriba como abajo; para ello hay que dividir cada uno entre el factor (z − zo ) y trabajar la expresi´ on restante. En el segundo problema el l´ımite es L2 = 8/5 − 16/5 i y en el tercero es L3 = −4 i.

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Continuidad en un punto Se dice que la funci´ on f (z) es continua en el punto zo si: lim f (z) = f (zo )

z→zo

¿Ejemplos de funciones continuas? Toda funci´on polinomial es continua en la totalidad de los puntos del plano complejo: las funciones racionales, que son cociente entre dos polinomios, son continuas en todos los puntos del plano complejo, excepto en aquellos puntos donde el denominador se hace cero.

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´ n en un punto Derivada de una funcio Sup´ongase que f (z) es una funci´ on de variable compleja definida en la vecindad de un punto zo . La derivada de f (z) en el punto z = zo es

Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite

f 0 (zo ) = lim

∆z→0

f (zo + ∆z) − f (zo ) ∆z

Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

siempre y cuando tal l´ımite exista.

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Ejercicios Funci´ on Ejercicios 1 Ejercicios 2

Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Obtenga la f´ormula de la derivada de cada una de las siguientes funciones por medio de l´ımites. • f (z) = z 2 • f (z) = 1/z

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

En las siguientes figuras se ilustran el c´alculo de la derivada por medio de su definici´ on de l´ımite. Note que a veces es importante obligar a una simplificaci´ on extra a la expresi´ on antes de evaluar en ∆z = 0.

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Propiedades de la derivada Las reglas de derivaci´ on de funciones complejas son las mismas que las usadas en el c´alculo en variables reales: d d • dz c = 0 y dz c · f (z) = c · f 0 (z) d • dz (f (z) + g (z)) = f 0 (z) + g 0 (z)

Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

d • dz (f (z) · g (z)) = f 0 (z) · g (z) + g 0 (z) · f (z) d • dz



f (z) g (z)



=

g (z)·f 0 (z)−f (z)·g 0 (z) (g (z))2

d • dz f (g (z)) = f 0 (g (z)) · g 0 (z) d n • Para n entero: dz z = n z n−1

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Ejercicios Por f´ormulas, obtenga la derivada de las siguientes funciones. • f (z) = 4 z 3 − (3 + i) z 2 − 5 z + 4 • f (z) = 5 z 3 − i z 3 + (8 − i) z 2 − 6 i • f (z) = (2 z + 1)(z 2 − 4 z + 8 i) • f (z) = (z 5 + 3 i z 3 )(z 4 + i z 3 + 2 z 2 − 6 i z) • f (z) = (z 2 − 4 i)3 • f (z) = (2 z − 1/z)6 i • f (z) = 3 z−4+8 2 z+i 2

−z • f (z) = 5zz3 +1

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

En la siguientes figura se ilustra el c´alculo de la derivada por f´ormula. De hecho, por calculadora.

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Ejercicios Determine en qu´e puntos no son derivables las siguientes funciones. z • f (z) = z−3 i i • f (z) = z 2 −22z+5 iz 3

• f (z) = zz 2 +z +4 i • f (z) = z 2z−4+3 −6 z+25

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Gr´aficas de f (z) =

z z − 3i

Parte real

Parte imaginaria

Argumento

M´odulo

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Diagrama simplificado de polos y ceros (Posici´on y orden) 1

Analiticidad Ejercicios 7

1

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Gr´aficas de f (z) =

z2

2i − 2z + 5i z

Parte real

Parte imaginaria

Argumento

M´odulo

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Diagrama simplificado de polos y ceros (Posici´on y orden) 1

Analiticidad Ejercicios 7

1

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Gr´aficas de f (z) = Parte real

z3 + z z2 + 4 Parte imaginaria

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Mapeo

Argumento

M´odulo

Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

1 1 1 1 1

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Gr´aficas de f (z) =

z − 4 + 3i − 6 z + 25

z2

Departamento de Matem´ aticas

1

Funci´ on Ejercicios 1 Ejercicios 2

Parte real

Parte imaginaria

Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos 1 L´ımite 1

Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Argumento

M´ odulo

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

En vista que las funciones son racionales (es decir,el cociente de dos polinomios en z, donde no aparece el conjugado de z, ni su parte real suelta ni la parte imaginaria) la clave est´a en ver d´onde el denominador se hace cero. Esas ra´ıces son los puntos donde la expresi´ on completa no tiene derivada.

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Analiticidad en un punto Sup´ongase que f (z) es una funci´ on de variable compleja definida en la vecindad de un punto zo . La funci´on f (z) se dice anal´ıtica en el punto zo si f (z) es derivable en z = zo y adem´as lo es en todo punto de una vecindad de zo . Una funci´on f (z) se dice una funci´ on entera, si es anal´ıtica en todo punto del plano complejo. Los polinomios son funciones enteras.

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Mapeo Ejercicios 3

Flu´ıdos L´ımite Ejercicios 4

Continuidad Derivada Ejercicios 5 Ejercicios 5 Ejercicios 6

Analiticidad Ejercicios 7

Ejercicios • Argumente porqu´ e la funci´ on f (z) = z no es derivable en

ning´ un punto. • Argumente porqu´ e la funci´ on f (z) = |z|2 no es anal´ıtica

en ning´ un punto.