Localizacion de un robot movil en rejillas de informacion con RFID usando los filtros EKF y EFIR

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO CAMPUS IRAPUATO - SALAMANCA ´ DE INGENIER´IAS DIVISION

Localizaci´on de un robot m´ovil en rejillas de informaci´on con RFID usando los filtros EKF y EFIR

TESIS PROFESIONAL

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: ´ MAESTRO EN INGENIER´ IA ELECTRICA (Opci´ on: Instrumentaci´on y Sistemas Digitales)

PRESENTA:

Ing. Juan Jos´ e Pom´ arico Franquiz

ASESORES: Dr.Yuriy Semenovich Shmaliy

Salamanca Guanajuato

Enero 2015

Resumen Espacios cerrados de navegaci´on con rejillas de informaci´on utilizando etiquetas RFID vislumbran un futuro prometedor para aplicaciones industriales y otras necesidades de ingenier´ıa; la raz´on es simple: cada etiqueta puede proporcionar informaci´on acerca del entorno local en 2D o 3D. Sin embargo para obtener su m´aximo rendimiento se requiere una alta precisi´on del veh´ıculo m´ovil que se desplaza por la rejilla; ya que los errores que se produzcan durante el trayecto pueden generar fallas no deseadas o inclusive colisiones fatales. Por ello se propone un nuevo tipo de filtro denominado Filtro Extendido de Respuesta Finita al Impulso sin Desplazamiento (EFIR) que se caracteriza por ser insesgado y su condici´on de extendido se deriva de que es aplicado a un proceso no lineal; este tipo de filtro es recursivo presentando la forma del filtro de Kalman que ha sido ampliamente utilizado en ingenier´ıa. Este trabajo de investigaci´on presenta a trav´es de una basta gama de simulaciones el comportamiento del filtro EFIR y se compara con el filtro extendido de Kalman (EKF) el cual se ha empleado en la ultima d´ecada en aplicaciones con etiquetas RFID y autolocalizaci´on de robots m´oviles; se demuestra como los errores en las matrices de covarianza de ruido pueden provocar divergencia en el filtro EKF; mientras que el filtro EFIR permanece estable convirti´endolo en un filtro con mayor robustez y un fuerte candidato en distintas aplicaciones de filtrado digital.

Palabras claves:etiquetas RFID; Filtro extendido de Kalman; Filtro UFIR extendido;Robot m´ovil; localizaci´on; EKF; EFIR.

I

Agradecimientos A mis padres: Juan Jos´e y Yelitza por ser los pilares de fortaleza y motivaci´on en mi vida, gracias por todo el cari˜ no y amor que me han dado, este logro tambi´en es de ustedes.

A mis hermanas y hermano: Yoanett,Daniela,Mariangel e Israel por creer en m´ı, robusteciendo mi voluntad y confianza, esta vida no ser´ıa la misma sin su presencia, que el esfuerzo realizado en alcanzar esta meta sirva de ejemplo y motivaci´on para la pr´oxima generaci´on familiar.

A mis compa˜ neros y amigos de maestr´ıa: Por hacer esta experiencia m´as agradable y llevadera, gracias por su apoyo incondicional,por los consejos otorgados, los buenos momentos compartidos,y en especial por su amistad la cual espero que se pueda perpetuar con el paso del tiempo.

A mi asesor: Dr. Yuriy Semenovich Shmaliy ha sido un honor poder trabajar bajo su tutela, gracias por su invaluable conocimiento e incondicional orientaci´on en cada paso dado para la realizaci´on de esta tesis. Por u ´ltimo yo, Ing. Juan Jos´e Pom´arico Franquiz con n´ umero de CVU 510777, agradezco al CONACYT,a la Universidad de Guanajuato y DAIP por darme una invaluable oportunidad de superaci´on otorg´andome el apoyo econ´omico y moral para realizar esta tesis.

II

´Indice general 1. Generalidades 1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Historia del Filtrado digital . 1.2.2. Historia de la Rob´otica m´ovil 1.2.3. Origenes de los RFID. . . . . 1.3. Hip´otesis . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Objetivos del proyecto . . . . . . . . 1.5. Justificaci´on . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Organizaci´on del documento . . . . .

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2. Inducci´ on al filtrado ´ optimo 2.1. Ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ruido intr´ınseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ruido extr´ınseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Ruido blanco Guassiano . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Procesos estoc´asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Distribuci´on de probabilidad . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Momentos: media, varianza y desviaci´on est´andar 2.2.4. Matriz de covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Filtrado o´ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Suavizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Predicci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Criterios de optimizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Error cuadr´atico medio (MSE) . . . . . . . . . . . 2.4.2. Ra´ız error cuadr´atico medio (RMSE) . . . . . . . 2.4.3. Sesgo o desplazamiento (BIAS) . . . . . . . . . . 2.5. Modelado en espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Variable de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Vector de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 9 9 10 10 10 11 12 12 13 14 14 15 16 16 16 17 17 18 18 19 19 19 19

III

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´INDICE GENERAL 2.5.5. Ecuaciones en espacio de estados . . . . . . . . . . 2.6. Sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Clasificaci´on de los sistemas din´amicos . . . . . . . 2.6.2. Linealizaci´on de sistemas din´amicos no lineales . . 2.6.3. Interpretaci´on gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4. Representaci´on aproximada de una funci´on no lineal 2.6.5. Punto de equilibrio y punto de operaci´on . . . . . . 2.6.6. Linealizaci´on aproximada de un sistema no lineal .

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3. Robot m´ ovil y tecnolog´ıa RFID 3.1. Tecnolog´ıa RFID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Radiofrecuencia empleada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Tipos de etiquetas RFID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Etiquetas RFID pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Etiquetas RFID semi-pasivas . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Etiquetas RFID activas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Lector y etiqueta RFID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Robot m´ovil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Grados de libertad, centro instant´aneo de rotaci´on y tipos de 3.7. Clasificaci´on de los robots m´oviles por su locomoci´on . . . . 3.7.1. Robot m´ovil con patas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Robot m´ovil tipo oruga . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3. Robot m´ovil con ruedas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Consideraciones generales del proyecto . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Modelo cinem´atico del robot m´ovil . . . . . . . . . . 3.8.2. Modelo en espacio de estados del robot m´ovil . . . . 4. Filtros 4.1. Filtro 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.1.4. 4.1.5. 4.2. Filtro 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.2.4.

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ruedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Argumentos computacionales del filtro . . . . . . . . . . . Argumentos probabil´ısticos del filtro . . . . . . . . . . . . Algoritmo discreto del filtro de Kalman . . . . . . . . . . . Consideraciones del filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filtro de Kalman Extendido: aplicado al modelo del robot UFIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filtro Batch UFIR de tipo Kalman . . . . . . . . . . . . . Filtro tipo Kalman UFIR iterativo . . . . . . . . . . . . . Filtro UFIR Extendido: aplicado al modelo del robot . . .

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19 20 21 21 22 22 23 23

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26 26 27 27 27 28 28 28 29 31 32 32 33 33 35 36 39

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41 41 43 44 44 46 47 49 50 50 52 54

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5. Simulaciones y resultados 59 5.1. Trayectoria circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.1.1. An´alisis de errores: Trayectoria circular EKF p=1 ; EFIR N=30 y N=500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

IV

´INDICE GENERAL 5.1.2. An´alisis de errores: Trayectoria circular EKF p=0.6 y p=4; EFIR N=124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Trayectoria lineal: el robot viaja a trav´es de una rejilla RFID con una ruta planeada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. An´alisis de errores: Trayectoria lineal EKF p=1; EFIR N=10 y N=150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Analisis de errores:Trayectoria lineal EKF p=0.3 y p=9; EFIR N=40; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Trayectoria libre bajo condiciones t´ıpicas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. An´alisis de errores: Trayectoria t´ıpica EKF p=1 ; EFIR N=5 y N=150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. An´alisis de errores: Trayectoria t´ıpica EFIR N=36 , EKF p=0.2 y p=9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Verificaci´on de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 69 71 72 74 75 76 80

6. Conclusiones

82

Bibliograf´ıa

84

V

´Indice de figuras 2.1. Efectos del ruido sobre una se˜ nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Representaci´on de un proceso estoc´astico de una variable aleatoria 2.3. CDF y PDF de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Diagrama a bloques del proceso del filtrado ´optimo . . . . . . . . 2.5. Aplicaci´on del filtrado o´ptimo al determinar la altura de un avi´on 2.6. Ejemplo de la estimaci´on producida por un filtro o´ptimo . . . . . 2.7. Ejemplo de filtrado de un valor en una se˜ nal . . . . . . . . . . . . 2.8. Ejemplo de suavizado de un valor en una se˜ nal . . . . . . . . . . . 2.9. Ejemplo de predicci´on de un valor en una se˜ nal . . . . . . . . . . 2.10. Diagrama a bloques de un sistema en espacio de estados . . . . . 2.11. Gr´afica de linealizaci´on de un sistema din´amico no lineal. . . . . .

. . Y . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 11 12 14 15 15 16 16 16 20 22

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.

Esquema general de los elementos que conforman la tecnolog´ıa RFID Modelo de una etiqueta RFID y su lector de etiquetas. . . . . . . . . Esquema de las estructuras de un robot m´ovil . . . . . . . . . . . . . Tipos de ruedas en un robot m´ovil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificaci´on de robots m´oviles seg´ un su tipo de locomoci´on . . . . . Tipos de configuraciones cinem´aticas de un robot m´ovil . . . . . . . . Rejillas RFID e interacci´on del robot m´ovil . . . . . . . . . . . . . . . Centro instant´aneo de rotaci´on en la trayectoria de un robot m´ovil . .

26 29 31 32 32 34 36 38

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

Algoritmo Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimaci´on Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . Modo de estimaci´on de los filtros Kalman y Batch UFIR . Estrategia de estimaci´on del filtro UFIR iterativo . . . . . Diagrama a bloques del algoritmo del filtro UFIR iterativo Diagrama a bloques del algoritmo del filtro EFIR . . . . .

45 46 52 54 55 56

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5.1. Rejilla RFID para la trayectoria circular con el punto de partida del robot m´ovil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Trayectoria deseada y mediciones realizadas . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Respuesta de la trayectoria obtenida al aplicar los filtros de estudio . 5.4. Comparaci´on de las estimaciones de los filtros vs la trayectoria y las mediciones del robot m´ovil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Errores MSE por coordenadas en las estimaciones producidas por los filtros EKF y EFIR con valores o´ptimos . . . . . . . . . . . . . . . . VI

60 61 62 62 63

´INDICE DE FIGURAS 5.6. Trazo del error en las estimaciones producidas por los filtros EKF y EFIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Estimaciones producidas por los filtros de estudio con valores de p=1 y N=30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Errores MSE por coordenadas; producidas por los filtros de estudio con valores de p=1 y N=30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Errores MSE por coordenadas; producidas por los filtros de estudio con valores de p=1 y N=500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Estimaciones producidas con valores de p=0.6 y N=124 . . . . . . . . 5.11. Errores MSE por coordenadas obtenidos; con valores de p=0.6 y N=124 5.12. Errores MSE por coordenadas obtenidos en las estimaciones con valores de p=4 y N=124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Modelo de rejilla RFID utilizado y trayectoria deseada . . . . . . . . 5.14. Estimaciones producidas por los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. Trazo del error en los filtros EKF y EFIR . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16. Error MSE por coordenadas en los filtros EKF y EFIR con p=1 y N=10 5.17. Error MSE por coordenadas en los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18. Error MSE por coordenadas en los filtros EKF y EFIR con valores de p=0.3 y N=40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.19. Error MSE por coordenadas en los filtros EKF y EFIR con valores de p=9 y N=40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.20. Trayectoria libre del robot y estimaciones de los filtros de Kalman extendido y UFIR extendido con p=1 y N=36 . . . . . . . . . . . . . 5.21. An´alisis de errores en estimaciones por coordenadas de los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.22. An´alisis de errores en estimaciones por coordenadas de los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.23. An´alisis de errores en estimaciones por coordenadas de los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.24. An´alisis de errores en estimaciones por coordenadas de los filtros EKF y EFIR con valores de p=0.2 y N=36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.25. Efecto de divergencia en las estimaciones de las coordenadas x ; y de los filtros EKF y EFIR con valores de p=0.2 y N=36 . . . . . . . . . 5.26. Efecto de divergencia en las estimaciones de las coordenadas x;y de los filtros EKF y EFIR con valores de p=9 y N=36 . . . . . . . . . .

VII

63 64 65 65 66 67 68 69 70 70 71 72 73 73 74 75 76 77 78 78 79

´Indice de tablas 3.1. Comparativo de frecuencias de trabajo de los RFID . . . . . . . . . . 3.2. Comparativo de etiquetas RFID activas vs pasivas . . . . . . . . . .

27 28

4.1. Pasos de estimaci´on del filtro EKF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Pasos de estimaci´on del filtro EFIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 57

5.1. Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria circular p=1 y N=30; 124; 500. . . . . . . . . 5.2. Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria circular N=124 y p=0.6; 1; 4. . . . . . . . . . 5.3. Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria lineal p=1 y N=10; 40; 150. . . . . . . . . . . 5.4. Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(beta) producidos por coordenadas en la trayectoria lineal N=40 y p=0.3; 1; 9. . . . . . . . . . . 5.5. Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria lineal p=1 y N=5; 36; 150. . . . . . . . . . . . 5.6. Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria lineal N=36 y p=0.2; 1; 9. . . . . . . . . . . . 5.7. Comparativo de valores RMSE del filtro EFIR con respecto a diferentes trabajos de localizaci´on de veh´ıculos m´oviles con filtros de Kalman 5.8. Tiempo computacional de proceso y estimaci´on requerido en las diferentes trayectorias simuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII

66 68 72 74 77 79 80 81

Siglas y s´ımbolos BIAS:Sesgo BIBO:Bounded Input Bounded Output CDF:Funci´on de Densidad Acumulada CIR:Centros Instant´aneos de Rotaci´on EAN:European Article Numbering EAS:Electronic Article Surveillance EFIR:Unbiased Finite Impulse Response Extended EKF:Extended Kalman Filter EPC:Electronic Product Code FFT:Fast Fourier Transform NASA:National Administration Spacial Aereonautic FIR:Finite Impulse Response FOG:Fiber Optic Gyroscope GDL:Grados De Libertad GNPG:Gain Noise Power Gain IFF:Identification Friend or Foe MSE:Mean Square Error PDF:Funci´on de Densidad de Probabilidad RFID:Radio Frecuency ID RMR:Ride Movil Robot RMSE:Root Meas Square Error RSSI:Received Signal Strengh Information UCC:Uniform Code Conucil E(x):Media σ 2 :Varianza σ:Desviaci´on Est´andar β:Sesgo o Bias J:Criterio de optimizaci´on Q:Matriz de covarianza

IX

Cap´ıtulo 1 Generalidades 1.1.

Introducci´ on

En la actualidad la electr´onica se encuentra presente en diversas a´reas del diario vivir desde el hogar o la escuela hasta el sector industrial, muchas de las ramas de la electr´onica como: microelectr´onica, control, electr´onica marina y aeron´autica, o instrumentaci´on digital se valen del uso de equipos y sensores capaces de realizar mediciones precisas y proporcionar dicha informaci´on para el uso o control de un proceso y con ello garantizar el buen funcionamiento del mismo; sin embargo el ruido existe de manera inherente en todo sistema electr´onico y en muchas ocasiones es imposible eliminar completamente el efecto causado por ´este, por lo que se desarroll´o el filtrado digital para tratar dicha situaci´on y poder dejar las se˜ nales de inter´es libres de ruido en la mayor medida posible. En rob´otica m´ovil el grado de precisi´on requerido es elevado principalmente por que a nivel industrial los procesos deben garantizar un buen funcionamiento y un bajo costo, sin embargo en muchas ocasiones las lecturas de mediciones son poco fiables y muy ruidosas lo que en la pr´actica genera que el robot tome decisiones err´oneas que pueden desembocar en m´ ultiples fallas, algunas de ellas fatales, el procesamiento de datos y eliminaci´on de ruido que se necesitan emplear deben ser o´ptimos. Ante la necesidad inminente que presentaba dicha a´rea, en los a˜ nos sesenta se desarrollo el filtro de Kalman, un algoritmo capaz de eliminar el ruido de manera ´optima, pero con ciertos requisitos: el ruido deb´ıa ser blanco Gaussiano, el sistema lineal,y se deb´ıan conocer las condiciones iniciales y las matrices de covarianza. El algoritmo fue de gran utilidad ya que al poco tiempo de su desarrollo, fue usado por la NASA en el programa Apolo XI. Sin embargo, son sus mismas condiciones las que limitan su aplicaci´on en ingenier´ıa dado que al no conocerse las condiciones de ruido ni las iniciales, las estimaciones producidas presentan un error bastante elevado. Esta situaci´on motivo la creaci´on de nuevos algoritmos con mejores caracter´ısticas, desde entonces el desarrollo de filtros ha evolucionado de diversas formas siempre con el objetivo de obtener algoritmos m´as r´apidos, con un menor uso de memoria, con mayor flexibilidad y robustez.

1

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES En este trabajo de tesis se investiga un nuevo algoritmo de tipo Kalman denominado filtro EFIR (Extended Unbiased Finite Impulse Response Filter). El algoritmo presenta varias ventajas sobre el filtro de Kalman tradicional, por un lado este filtro no necesita condiciones iniciales y tampoco de las matrices de covarianza. Tiene la ventaja de ser un estimador generalizado, dependiendo de un valor N el cual representa la longitud del filtro o n´ umero de muestras necesarias para obtener una estimaci´on aceptable.

1.2.

Antecedentes

Con la finalidad de facilitar al lector la lectura de este apartado se dividir´a en tres fragmentos que permitir´an un mayor entendimiento del origen del presente trabajo de investigaci´on y la importancia de realizaci´on del mismo: se comenzar´a con la cronolog´ıa del filtrado digital, posteriormente una breve rese˜ na de los or´ıgenes y los avances de la rob´otica m´ovil, y en tercera instancia el desarrollo de los RFID y su evoluci´on, finalizando con la presentaci´on de los trabajos realizados recientemente en el tema de estudio.

1.2.1.

Historia del Filtrado digital

El procesamiento digital surge de la necesidad de manipular la informaci´on que contienen las se˜ nales para realizar c´alculos a partir de ciertos datos obtenidos, ya que en ocasiones estos c´alculos se pueden realizar de forma manual se puede considerar que el procesamiento digital se llev´o a cabo durante siglos antes de la aparici´on de las computadoras para la predicci´on y an´alisis de cuerpos celestes y de las mareas [1]. Sin embargo no se da un avance formal en el ´area hasta el a˜ no de 1928 cuando Harry Nyquist con su trabajo [2] present´o el efecto producido en el espectro de frecuencia de una se˜ nal an´aloga al ser discretizada en el tiempo, y se plante´o que, para preservar la informaci´on original, la tasa de muestreo deb´ıa ser mayor que el doble de la m´axima componente de frecuencia contenida en la se˜ nal an´aloga.Posteriormente, en 1949 Claude Shannon con su trabajo[3] demostr´o que es posible reconstruir perfectamente una se˜ nal an´aloga a partir de sus muestras, si se dispone de un filtro pasabajos an´alogo ideal (Si bien no es posible fabricar un filtro de este tipo, es posible aproximarse bastante a ´el en muchas situaciones pr´acticas). Dado que el procesamiento digital requiere en muchas ocasiones de un gran n´ umero de c´alculos; no fue hasta los a˜ nos 60 y 70 con la aparici´on de las computadoras donde se dieron grandes avances y se dividi´o el ´area en t´opicos de estudios. Dise˜ no e implementaci´on de filtros digitales. Invenci´on y optimizaci´on del algoritmo de la FFT. Compresi´on de voz. Procesamiento de im´agenes (fotos tomadas por sat´elites y naves espaciales).

2

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES Sismolog´ıa (b´ usqueda de minerales y de petr´oleo). Siendo el primer t´opico el inter´es de estudio de este trabajo, a continuaci´on se desarrolla una cronolog´ıa de los hechos m´as relevantes que contribuyeron al avance del filtrado digital. 1. Los primeros filtros desarrollados para la eliminaci´on del ruido fueron estudiados por Wiener y Kolmorov en [4] y [5] respectivamente. Sus trabajos ten´ıan como condici´on que el ruido deb´ıa ser estacionario, sin embargo, su aportaci´on tuvo un gran impacto al utilizar conceptos estad´ısticos para filtrado. 2. El filtro de Kalman aparece por primera vez en [6] en 1960, al poco tiempo de haberse publicado el art´ıculo del filtro Kalman, el estudio de nuevos filtros se empez´o a desarrollar con el objetivo de obtener mejores estimadores con resultados adecuados para los casos en donde el filtro tradicional no generaba una buena estimaci´on. 3. En 1964 se publica por Cox et al. en [7] una de las primeras modificaciones, el filtro de Kalman extendido (EKF), el cual se usa para la estimaci´on en modelos no lineales. En 1968 el filtro de Kalman-Bucy [8] es desarrollado para el filtrado o´ptimo en sistemas lineales continuos. 4. En [9] Kwon et al., desarrollan un filtro de tipo Kalman FIR, usando la teor´ıa de control por horizonte deslizante que se explica con mayor detalle en [10][12], En [13] Kim et al., sugieren un algoritmo FIR para sistemas de control determin´ıstico de tiempo invariante. 5. En [14] Shmaliy deriva un algoritmo iterativo con desplazamiento p de tiempo invariante de tipo FIR insesgado. Cuando se usa un valor ´optimo Nopt dentro de los par´ametros de este filtro FIR se obtiene una estimaci´on similar o mejor que la obtenida por un filtro Kalman. En [15] Shmaliy describe un algoritmo para estimar la matriz de ganancia de potencia de ruido la cual describe el l´ımite del error para filtros de tipo FIR. En [16] Shmaliy desarrolla un nuevo filtro que no requiere conocer las condiciones iniciales y matrices de covarianza, este nuevo filtro se denomina filtro UFIR iterativo. En [17] Shmaliy et al., demuestran un criterio para optimizar la respuesta del filtro UFIR iterativo, En [18] Shmaliy et al., desarrollaron dos filtros UFIR iterativos extendidos para aplicaciones en sistemas no lineales.

1.2.2.

Historia de la Rob´ otica m´ ovil

Un robot m´ovil es una m´aquina autom´atica que es capaz de moverse en un medio ambiente determinado; estos son un foco importante de la investigaci´on actual y en casi todas las grandes universidades tienen uno o m´as laboratorios dedicados a la investigaci´on de la rob´otica m´ovil ya que se considera actualmente un ´area con gran avance tecnol´ogico donde su desarrollo supone la integraci´on de numerosas disciplinas entre las que se encuentran la autom´atica, la electr´onica, la ingenier´ıa mec´anica, 3

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES la inform´atica, la inteligencia artificial, la estad´ıstica etc.Esta ´area es capaz de manejar problemas de alta complejidad y sus productos sirven de base para el avance en diversos campos de la industria, aportando soluciones tecnol´ogicas innovadoras orientadas al desarrollo de mejores robots y a la ampliaci´on del abanico de aplicaciones disponibles.Por ello en [39] se enlista una serie de eventos del siglo anterior que enmarcaron el progreso y desarrollo de la rob´otica m´ovil actual: 1. Durante la segunda guerra mundial, entre 1939-1945, con la aparici´on de nuevos campos y avances novedosos dentro de la cibern´etica e inform´atica se crearon las bombas volantes que ten´ıan un sistema autom´atico de detonaci´on y son los predecesores de los misiles modernos. 2. W. Grey Walter a finales de los a˜ nos 40’s construye Elmer y Elsie, dos robots aut´onomos llamados Speculatrix Machina, porque a estos robots les gustaba explorar su entorno. Elmer y Elsie fueron cada uno equipados con un sensor de luz. Si encontraban una fuente de luz se mov´ıan hacia ella, evitando los obst´aculos en su camino. Estos robots demostraron que el comportamiento complejo podr´ıa surgir de un dise˜ no simple. 3. A inicio de los a˜ nos 60’s varias universidades incursionan en este campo, la universidad Hopkins con su robot llamado “Bestia”que utilizaba un sonar para moverse y era capaz de encontrar un enchufe donde conectarse si su bater´ıa se descargaba; mientras que la universidad de Stanford dise˜ na un carrito seguidor de l´ınea blanca utilizando una c´amara. 4. Pero es a finales de los a˜ nos 60’s con el proyecto Shakey en el SRI (Stanford Research Institute)donde se genera un avance de impacto. El documento [19] menciona la percepci´on del entorno,la planificaci´on del movimiento y la arquitectura de control que deb´ıan poseer lo equipos roboticos, generando que estos aspectos se convirtieran en el n´ ucleo de investigaci´on en las siguientes d´ecadas. 5. En la d´ecada de los 70’s la NASA utiliza la rob´otica m´ovil enviando dos naves espaciales no tripuladas a Marte, eventos pertenecientes al programa Viking. 6. En los 80’s se da un ‘boom’ en el a´rea y las personas comienzan a sentir m´as inter´es en los robots m´oviles sobre todo en aquellos que les permiten suplir las tareas domesticas o con fines educativos, y contin´ uan los trabajos de investigaci´on en universidades ahora con un mayor auge en Europa, especialmente en la velocidad que pueden alcanzar los veh´ıculos y su autonom´ıa. 7. La d´ecada de los 90’s viene repleta de un gran arsenal de inventos e innovaciones populariz´andose los mismos en el mercado, se pueden destacar: los trabajos de Joseph Engelberger (el padre del brazo robotico industrial) y sus colegas quienes dise˜ nan los primeros brazos roboticos para los hospitales disponibles en el mercado; los robots Dante I y Dante II desarrollados por la Universidad Carnegie Mellon. Ambos utilizados para explorar volcanes activos; aparecen aut´omatas programables como el Pioneer m´ovil a un precio asequible en el 4

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES mercado, permitiendo un aumento generalizado en el estudio y la investigaci´on de la rob´otica en las universidades durante la pr´oxima d´ecada, la rob´otica m´ovil se convierte en una parte est´andar del curr´ıculo universitario; entre otros eventos m´as. 8. Desde el a˜ no 2000 hasta los presentes d´ıas los avances en la robotica m´ovil son cada vez m´as impresionantes, ya que en estos u ´ltimos a˜ nos se han perfeccionado las t´ecnicas existentes y buscado alternativas que permitan reducir el tiempo en el proceso y la precisi´on en el funcionamiento, se involucran los terrenos y superficies de trabajo del robot permitiendo explorar e investigar espacios nunca antes vistos como es el caso de Curiosity en Marte.

1.2.3.

Origenes de los RFID.

Los or´ıgenes de la tecnolog´ıa RFID se remontan a la segunda guerra mundial en los a˜ nos 1939 y 1940 cuando alemanes, japoneses, brit´anicos y americanos utilizaban radares para detectar el acercamiento de los aviones. El problema exist´ıa al no saber si estos aviones pertenec´ıan a su bando o eran del bando contrario, por lo que los brit´anicos idearon un m´etodo IFF (Identification Friend or Foe ) con el que si los pilotos balanceaban el avi´on al volver a la base cambiar´ıa la se˜ nal de radio reflejada y podr´ıan distinguir los aviones aliados de los alemanes, convirti´endose as´ı en el primer dispositivo de RFID pasivo. A partir de este hecho acontece una serie de eventos determinantes en el desarrollo y evoluci´on de estos dispositivos: 1. A mediados de los a˜ nos 40’s la industria inglesa desarrolla los primeros equipos electr´onicos para la identificaci´on de objetos, los cuales funcionaban con un juego de transmisi´on de frecuencias pero eran equipos bastantes limitados por la falta de desarrollo de la electr´onica en cuanto a transistores, microprocesadores y redes de comunicaci´on. 2. En la d´ecada de los 50’s se impulsaron los sistema de detecci´on de largo alcance IFF, pero fue Donald B.H en su trabajo [20] quien realiza una investigaci´on capaz de permitir que los RFID dejen de ser una idea para convertirse en una aplicaci´on. 3. En la d´ecada de los 60’s se comercializa esta tecnolog´ıa en los grandes almacenes para detectar el robo de productos. El primer sistema se llam´o EAS Electronic Article Surveillance, era un sistema sencillo conformado por un bit de informaci´on para detectar la etiqueta dentro de un rango de operaci´on y activar la alarma si la etiqueta no estaba desactivada; este sistema es el utilizado hoy en d´ıa en tiendas de ropa; pese a que es limitado es econ´omico y efectivo. 4. En la d´ecada de los 70’s se produce un gran auge en la aplicaci´on y el desarrollo de la t´ecnica de esta tecnolog´ıa. Se enfocaron a los campos de la ganader´ıa, el transporte y la industria. Se fundan nuevas empresas dedicadas al desarrollo de RFID debido al potencial que presentaba; de aqu´ı surgen las dos primeras

5

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES patentes en 1973: la primera de la mano de Mario W. Cardillo cuando present´o una etiqueta RFID activa con memoria re-escribible y la segunda por parte de Charles Walton al crear un RFID pasivo para abrir las puertas sin necesidad de llaves. 5. Con los grandes avances logrados en la d´ecada anterior, los 80’s se caracterizan por aplicar esta tecnolog´ıa en el transporte p´ ublico y en menor grado en aspectos de control de animales; en Europa se enfocan a las aplicaciones industriales y sistemas de corto alcance para el control pecuario, principalmente en pa´ıses europeos como Francia, Espa˜ na, Portugal e Italia. 6. En la d´ecada de los 90’s se incorpora en EEUU la tecnolog´ıa RFID en el control de peaje en las autopistas, siendo las primeras las de Houston y Oklahoma, ´ posteriormente el ´exito de esta aplicaci´on se propag´o a Europa, Asia, Africa, Sudam´erica y Australia, permitiendo as´ı el crecimiento y la aplicaci´on en otros segmentos econ´omicos. 7. Desde el a˜ no 2000 hasta nuestros d´ıas el desarrollo y el progreso de esta tecnolog´ıa va de la mano de AUTOID Labs conformado por 6 laboratorios ubicados en universidades de prestigio como MIT(Massachussets Institute Technology) de EEUU, University of Cambridge en el Reino Unido,University of Adelaide en Australia,Keio University en Japon, Fundan University en China, y University of St.Gallen en Suiza. Tambi´en hace un par de a˜ nos este centro en apoyo con el EAN international(European Article Numbering) y el UCC (Uniform Code Council) y las empresas de consumo masivo de ´ambito mundial desarrollaron lo que hoy conocemos como la Red EPC (Electronic Product Code) y sus componentes; este c´odigo u ´nico se graba en el chip en una etiqueta de RFID y se coloca en el producto permitiendo as´ı hacer un seguimiento de cada unidad, el c´odigo EPC contendr´a la informaci´on de la empresa y caracter´ısticas del producto permitiendo una identificaci´on u ´nica en el a´mbito mundial. Recientemente en [21] se desarrolla una prometedora aplicaci´on industrial para que un robot pueda describir su entorno en 2D y 3D utilizando la informaci´on programada en cada una de las etiquetas RFID. Las investigaciones realizadas en [22]-[24] muestran que utilizando RSSI (Received Signal Strengh Information) y midiendo la distancia a dos o tres etiquetas de RFID con coordenadas conocidas podemos determinar la posici´on del veh´ıculo. Esta t´ecnica denominada trilateraci´on requiere solo tres etiquetas y tres ecuaciones matem´aticas para determinar las coordenadas y as´ı su posici´on. Tambi´en se han empleado algoritmos h´ıbridos en donde la informaci´on recibida de las RFID se combina con la de otras fuentes para tomar decisiones tal como la presentada en [25] donde se utiliza una c´amara y a trav´es de visi´on artificial tomar las decisiones correctas para el movimiento del robot. O las presentadas en [26] donde se emplean las etiquetas de RFID en el dise˜ no de una silla de ruedas inteligente; algunos otros eventos relevantes se pueden encontrar en [27]-[30]

6

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES

1.3.

Hip´ otesis

¿Puede el algoritmo de EFIR producir estimaciones con un alto grado de precisi´on y un error m´ınimo en la determinaci´on de la posici´on de un robot m´ovil que viaja en rejillas de informaci´on con RFID?.

1.4.

Objetivos del proyecto

Objetivo general:implementar y comparar los algoritmos del Filtro de Kalman Extendido (EKF) y el Filtro Extendido de Respuesta Finita al Impulso sin Desplazamiento (EFIR) en un robot m´ovil que se desplaza en rejillas de informaci´on con RFID (Radio Frecuency ID) para obtener su posici´on con el error m´ınimo posible y una alta precisi´on. Objetivos espec´ıficos: An´alisis de los algoritmos de Kalman y UFIR para comprender el comportamiento de los filtros extendidos de los mismos. Modelado en espacio de estados del robot. Realizaci´on de filtros de estudio en software Matlab. Simulaci´on y pruebas del comportamiento de los filtros realizados. Estudio y comparaci´on de estimaci´on y errores entre los filtros.

1.5.

Justificaci´ on

El crecimiento progresivo de la industria y la demanda constante de realizar procesos de fabricaci´on cada vez m´as r´apidos y eficientes ha llevado consigo el desarrollo tecnol´ogico y la invenci´on de t´ecnicas capaces de solucionar su problem´atica. En las u ´ltimas d´ecadas la incorporaci´on de robots que desempe˜ nan tareas en aplicaciones industriales en espacios cerrados ha cobrado relevancia, pero lleva consigo la necesidad de que los robots sean de bajo costo, precisos y de r´apida localizaci´on, Sin embargo un bajo costo de equipo genera en muchas ocasiones lecturas de mediciones poco fiables y muy ruidosas que en la pr´actica generan que el robot tome decisiones err´oneas que pueden desembocar en m´ ultiples fallas, algunas de ellas fatales. El procesamiento de datos y la eliminaci´on de ruido que se necesitan emplear deben ser o´ptimos; por lo que el filtro de Kalman se ha convertido en una poderosa herramienta en esta ´area por las ventajas que proporciona. Pese a que la implementaci´on del filtro de Kalman y el filtro de Kalman extendido goza de gran aceptaci´on, tambi´en se han buscado soluciones alternas con diferentes tipos de filtros especialmente los de tipo FIR que ofrecen las ventajas de tener estabilidad BIBO, ser robustos ante incertidumbres temporales y ruido no Gaussiano. Por lo tanto filtros como: UFIR y

7

CAP´ITULO 1. GENERALIDADES UFIR extendido, que son relativamente nuevos, permiten establecer una nueva propuesta de soluci´on a la problem´atica descrita. Se podr´a observar como en el t´opico de estudio se comportan los filtros y con ello poder establecer comparaciones, determinar fortalezas y debilidades y con ello fundamentar bases s´olidas para una posible implementaci´on f´ısica.

1.6.

Organizaci´ on del documento

El presente trabajo se divide en seis cap´ıtulos. El contenido de cada cap´ıtulo se describe a continuaci´on. Cap´ıtulo 2: Inducci´on al filtrado o´ptimo. Se presentan de manera concisa las bases de la teor´ıa de estimaci´on. Cap´ıtulo 3: Robot m´ovil y tecnolog´ıa RFID. Se proporciona una explicaci´on de las caracter´ısticas y consideraciones del robot as´ı como su modelado matem´atico; adem´as se proporciona informaci´on relevante en cuanto al principio de funcionamiento, tipos y modos de trabajo de los sensores RFID Cap´ıtulo 4: Filtro de Kalman y Filtro UFIR. Se presenta una explicaci´on de la teor´ıa de los mismos y sus caracter´ısticas relevantes para dar paso al estudio de sus extensiones. Cap´ıtulo 5: Simulaciones. Se presentan los diferentes casos de estudios y las simulaciones realizadas con ´enfasis en el an´alisis del error producido por cada uno de los filtros. Cap´ıtulo 6: Conclusiones. Se presenta un an´alisis de resultados y observaciones obtenidas.

8

Cap´ıtulo 2 Inducci´ on al filtrado ´ optimo 2.1.

Ruido

Federico Miyara en [31] define al ruido como: “Toda se˜ nal no deseada superpuesta en una se˜ nal u ´til o de estudio que corrompe o modifica su contenido”, el ruido se puede dividir de manera general en dos tipo: ruido intr´ınseco y ruido extr´ınseco. La figura 2.1 es un ejemplo de lo mencionado.

Figura 2.1: Efectos del ruido sobre una se˜ nal

2.1.1.

Ruido intr´ınseco

Es aquel en el cual la fuente de ruido se encuentra dentro del sistema, en electr´onica generado por los distintos componentes del sistema que ocasionan el movimiento ca´otico de los electrones, el cual causa fluctuaciones en la corriente y el voltaje Algunos ejemplos de ruido intr´ınseco son el ruido t´ermico, el ruido de disparo, el ruido de parpadeo o ruido de 1/f, etc´etera. Cabe destacar que en estos casos no podemos determinar de manera absoluta la amplitud, solo podemos describir la se˜ nal por medio de sus caracter´ısticas probabil´ısticas.

9

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION

2.1.2.

Ruido extr´ınseco

Es aquel que es generado por fuentes que son externas a nuestro sistema. Por ejemplo se pueden mencionar el ruido atmosf´erico causado por tormentas el´ectricas, el ruido generado por motores el´ectricos, radio, celulares, acoplamientos indeseados o interferencias. A diferencia del ruido intr´ınseco, el extr´ınseco es por lo general un fen´omeno determin´ıstico.

2.1.3.

Ruido blanco Guassiano

Este tipo de ruido tiende a confundirse con conceptos similares sin embargo se comprende mejor cuando estudiamos los siguientes terminos:

Blancura Implica que el valor del ruido no esta correlacionado en el tiempo, es decir no se sabe que valor va a tener, este desconocimiento hace que no sea bueno en la predicci´on del valor en cualquier tiempo. La blancura tambi´en implica que el ruido tenga igual potencia en todas las frecuencias.Dado que esto resulta en una potencia infinita de ruido, el ruido blanco obviamente no puede existir. Este concepto se debe considerar de una manera singular. Primero, cualquier sistema de inter´es tiene una banda de paso, un rango de frecuencias en el cual puede responder, y encima de estas frecuencias, las entradas no tienen efecto en las salidas, o el sistema las aten´ ua severamente. Por lo tanto, la blancura se refiere al tiempo o la frecuencia de un ruido, la guasianidad tiene que ver con su amplitud. Adem´as, en cualquier punto en el tiempo, la densidad de probabilidad de una amplitud del ruido gaussiano tiene una forma de campana. Esto puede justificarse f´ısicamente por el hecho de que el sistema o ruido medido es t´ıpicamente causado por un n´ umero de peque˜ nas fuentes.

Densidad Guassiana La densidad gaussiana, similar a la blancura, hace que las matem´aticas sean m´as tratables, pero m´as alla de este hecho, t´ıpicamente un ingeniero va a saber en mayor grado, las estad´ısticas de primer y segundo orden (media y la varianza o desviaci´on est´andar) del ruido del proceso. En la ausencia de cualquiera de las estad´ısticas de mayor orden, es mejor asumir la densidad gaussiana. Las estad´ısticas del primer y segundo orden determinan completamente la densidad gaussiana. Las presunciones particulares, son hechas por los objetivos que se quieren alcanzar, y por ese motivo esencial, los modelos son desarrollados.

2.2.

Procesos estoc´ asticos

Los procesos estoc´asticos son b´asicamente fen´omenos cuyo comportamiento se desarrolla en el tiempo y se rige por las leyes de la probabilidad, ejemplos de tales 10

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION fen´omenos son: el crecimiento de una poblaci´on tal como una colonia bacterial, el tama˜ no de una cola en un estaci´on cliente/servidor, la recepci´on de una se˜ nal en presencia de ruido o perturbaciones, etc. Para efectos matem´aticos, un proceso estoc´astico es una sucesi´on de variables aleatorias, cada una de las cuales describe el estado del sistema en un instante de tiempo. Por lo tanto se puede decir: 1. El estado del sistema en un tiempo determinado es variable, y su variabilidad se debe a mecanismos aleatorios. 2. La variable aleatoria del estado del sistema es una funci´on que depende del tiempo y en consecuencia, su distribuci´on est´a determinada por el instante de tiempo que se considere. 3. Si se consideran los estados de un sistema en distintos instantes de tiempo conjuntamente, se puede conceptuar un proceso estoc´astico como un vector aleatorio n-dimensional.

Figura 2.2: Representaci´on de un proceso estoc´astico de una variable aleatoria Y La figura 2.2 representa el proceso descrito; ahora bien tambi´en se puede describir un fen´omeno aleatorio conociendo ciertos valores num´ericos que determinan el comportamiento del proceso, facilitando as´ı el entendimiento del mismo, por ello es importante conocer la siguiente terminolog´ıa.

2.2.1.

Variable aleatoria

Sup´ongase que a cada punto de un espacio muestral se asigna un n´ umero. As´ı se define una funci´on en el espacio muestral. Dicha funci´on se llama variable aleatoria (o variable estocastica) o m´as precisamente funci´on aleatoria (funci´on estoc´astica). Com´ unmente se denota por una letra may´ uscula como X o´ Y. En general una variable aleatoria tiene alg´ un significado f´ısico, geom´etrico u otro.

11

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION

2.2.2.

Distribuci´ on de probabilidad

Las se˜ nales estoc´asticas tambi´en pueden ser descritas por su funci´on de densidad acumulada (CDF) y su funci´on de densidad de probabilidad (PDF). La funci´on de densidad acumulada F(x) es la funci´on que nos expresa la probabilidad de que una variable aleatoria sea menor a un valor. Por otro lado la funci´on de densidad de probabilidad f(x) se define como la derivada de F(x), nos da una noci´on de la frecuencia en la que se repite un cierto valor x.[32]. En la figura 2.3 se muestra una representaci´on de estas funciones. Para CDF se considera que nuestra variable aleatoria es x(t). PDF es la derivada de CDF,la cual muestra el valor que se repite con mayor frecuencia.

Figura 2.3: CDF y PDF de una variable aleatoria

2.2.3.

Momentos: media, varianza y desviaci´ on est´ andar

Los momentos son la manera m´as simple de describir los procesos estoc´asticos, se dividen en dos: momentos iniciales y momentos centrales [33]. El promedio es el momento inicial de orden uno, y se define como: “Dado un conjunto de n cantidades denotadas por x1 ,x2 ,.....,xn , donde el promedio denotado frecuentemente como x ¯ representa la suma de las cantidades divididas entre el numero de ellas n”. n

x1 + x2 + ..... + xn 1X m1 = E(x) = x¯ = = xi n n i=1

(2.1)

La ecuaci´on (2.1) indica la tendencia central de una colecci´on de datos, es decir representa un centro de gravedad alrededor del cual se distribuyen los datos, Una de las limitaciones de este par´ametro radica en la sensibilidad a los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarlo mientras que valores muy peque˜ nos tienden a reducirlo, lo que implica que puede dejar de ser representativo del conjunto de datos.

12

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION La varianza y la desviaci´on est´andar son medidas de dispersi´on y momentos centrales, que permiten conocer que tanto se separan los datos del punto central, es decir, indican cuanto se desv´ıan las observaciones alrededor de su promedio aritm´etico (Media) permitiendo as´ı sacar conclusiones m´as especificas sobre un conjunto de datos. En el caso de la varianza esta medida de dispersi´on permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central; su ecuaci´on viene determinada en (2.2): n

µ=

σx2

1X (xi − x¯)2 = n i=1

(2.2)

Esta medida permite determinar el promedio aritm´etico de fluctuaci´on de los datos respecto a su punto central o media. La desviaci´on est´andar da como resultado un valor num´erico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviaci´on est´andar basta con hallar la ra´ız cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuaci´on queda representada en (2.3): v u n u1 X (xi − x¯)2 (2.3) σx = t n i=1 Elevar los valores al cuadrado en el caso de la varianza hace que la respuesta sea muy grande, as´ı que aplicarle la ra´ız cuadrada permite que la desviaci´on est´andar sea mucho m´as u ´til, dado que se obtiene un valor en el mismo rango del promedio.

2.2.4.

Matriz de covarianza

En probabilidad, la matriz de covarianza se usa para expandir el concepto de varianza para dos o m´as variables aleatorias [33]. Consid´erese un vector x = [x1 , x2 , · · · , xn ]T en el cual cada uno de sus elementos x1 , x2 , · · · , xn son variables aleatorias y cada una de ellas tiene un promedio m1 , m2 , · · · , mn , las cuales se agrupan en un vector x¯ = [m1 , m2 , · · · , mn ]T , la matriz de covarianza se define como se presenta en la ecuaci´on (2.4):   E{(x1 − m1 )(x1 − m1 )} · · · E{(x1 − m1 )(xn − mn )}  E{(x2 − m2 )(x1 − m1 )} · · · E{(x2 − m2 )(xn − mn )}    Qx =  (2.4)  .. .. ...   . . E{(xn − mn )(x1 − m1 )} · · · E{(xn − mn )(xn − mn )} Por lo que se puede expresar dicha matriz de covarianza de forma m´as compacta como la que se presenta en (2.5): Qx = E{(x − x¯)(x − x¯)T }

(2.5)

Para las se˜ nales estoc´asticas es posible usar este concepto, ya que se puede expresar la se˜ nal de inter´es x(t) en forma de vector como x = [x(t1 ), x(t2 ), · · · , x(tn )] y de esta forma aplicar la definici´on de covarianza para hallar sus caracter´ısticas. 13

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION

2.2.5.

Divergencia

Se posee un conjunto de valores pertenecientes a la observaci´on de un fen´omeno, dentro de los cuales existen ciertos valores an´omalos que parecieran no pertenecer al grupo de observaciones obtenidas (generalmente dados por mediciones err´oneas o por la alteraci´on de un par´ametro durante el proceso de observaci´on), por la tanto [34] expresa: “la divergencia es el valor absoluto de la diferencia del valor an´omalo y el valor que se encuentra inmediatamente mas cercano a ´el”. Divergencia = |valoranomalo − valorcercano |

2.3.

(2.6)

Filtrado o ´ptimo

El filtrado ´optimo se obtiene a partir del estudio de ciertos par´ametros (la tasa de convergencia, la precisi´on, robustez, la carga computacional entre otros), la se˜ nal de inter´es y el ruido que la corrompe. En el caso del filtrado ´optimo lo que se busca es minimizar el efecto del ruido sobre la salida. En la figura 2.4 se presenta un peque˜ no diagrama a bloques del proceso del filtrado o´ptimo y una representaci´on gr´afica de los elementos de inter´es del mismo; la complejidad de esta ´area de estudio radica en el desarrollo de un filtro acorde a nuestras necesidades y capaz de eliminar el ruido.

Figura 2.4: Diagrama a bloques del proceso del filtrado o´ptimo Para ilustrar un poco m´as lo mencionado previamente imagine que se quiere conocer la altura h a la que se encuentra un avi´on como se presenta en la figura 2.5. Suponga que se conoce que existe una ecuaci´on tal que describa esta variable h en cualquier instante de tiempo t inclusive valores futuros. En un problema pr´actico est´a ecuaci´on es desconocida ya que para la gran mayor´ıa de procesos no se puede determinar su valor futuro, lo u ´nico que se conoce de esta ecuaci´on es un modelo matem´atico, una aproximaci´on que representa el comportamiento de nuestra se˜ nal, con base en el conocimiento del fen´omeno a analizar y realizando ciertas consideraciones. A su vez se debe contemplar que el sistema es afectado por un ruido extr´ınseco cuya naturaleza no se puede controlar del todo, el cual se denomina ruido del sistema w; por otro lado es posible usar un sensor para obtener la altura h; el sensor es afectado 14

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION por el ruido intr´ınseco que existe en todo sistema electr´onico, este ruido se denomina ruido del observador y se simboliza con v.

Figura 2.5: Aplicaci´on del filtrado o´ptimo al determinar la altura de un avi´on La se˜ nal filtrada es una estimaci´on con base en la medici´on y el modelo matem´atico, si el filtro es ´optimo, el efecto causado por los ruidos w y v se reduce en el mayor grado posible. En otras palabras un filtro o´ptimo proporciona un valor cercano al valor real tal como se presentan en la figura 2.6.

Figura 2.6: Ejemplo de la estimaci´on producida por un filtro o´ptimo El filtrado ´optimo tambi´en abarca la posibilidad de crear suavizadores y predictores para operar el modelo matem´atico desde otro a´ngulo; cabe resaltar que a los sistemas capaces de filtrar, predecir o´ suavizar se denominan estimadores. A continuaci´on se presenta una peque˜ na explicaci´on de los mismos.

2.3.1.

Filtrado

Filtrado es un proceso que consiste en utilizar n n´ umero de puntos conocidos a priori para estimar el valor actual de la se˜ nal de estudio. Se ilustra en la figura 2.7 15

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION

Figura 2.7: Ejemplo de filtrado de un valor en una se˜ nal

2.3.2.

Suavizado

Suavizado es un proceso que consiste en utilizar n n´ umero de puntos conocidos a priori para estimar un dato pasado de la se˜ nal de estudio. Se ejemplifica en la figura 2.8

Figura 2.8: Ejemplo de suavizado de un valor en una se˜ nal

2.3.3.

Predicci´ on

Predecir es un proceso que consiste en utilizar n n´ umero de puntos conocidos a priori para estimar un dato a futuro o´ a posteriori de la se˜ nal de estudio; como se observa en la figura 2.9

Figura 2.9: Ejemplo de predicci´on de un valor en una se˜ nal

2.4.

Criterios de optimizaci´ on

Un criterio de optimizaci´on es la funci´on que indica c´omo se debe reducir el ruido. De esta manera es posible disminuir el n´ umero de posibles filtros y obtener solo el 16

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION que tiene la mejor respuesta para nuestro criterio. El criterio de optimizaci´on es una funci´on del error producido entre el modelo de estudio y su estimaci´on (ε=x-¯ x)[43]. Estos criterios permiten medir el grado de precisi´on de la simulaci´on. Es decir el grado de correspondencia entre pares individuales de valores pronosticados y valores observados. de tal forma que: J = E{|x − x¯|p }

(2.7)

En la ecuaci´on (2.7) J representa el criterio de optimizaci´on, x los valores del par´ametro u observaciones, x¯ las estimaciones realizadas y p es la potencia que determina el criterio del estudio del error. Durante ´este trabajo se estudiar´an 3 criterios que aportan informaci´on sobre el comportamiento del estimador y su eficacia, estos criterios son: Error cuadr´atico medio (MSE), la ra´ız del error cuadr´atico medio (RMSE), y el sesgo (BIAS).

2.4.1.

Error cuadr´ atico medio (MSE)

Cuando se habla de estimadores[43] es importante tener en cuenta que se procura que cometan, en promedio, el menor error posible en la estimaci´on; es decir evitar los errores que se cometan por defecto o exceso de estimaci´on, para ello se pretende minimizar la diferencia entre el valor estimado (¯ x) y el valor del par´ametro (x). M SE = E{(x − x¯)2 }

(2.8)

la ventaja de este criterio es que la ecuaci´on (2.8) se puede descomponer en t´erminos de la varianza y el sesgo (2.11), esto permite que si se comparan diversos estimadores con un par´ametro en especifico, el MSE coincidir´a con sus varianzas; sin embargo, si la varianza disminuye, el sesgo crece y viceversa, por lo que al trabajar con este criterio se considera un valor o´ptimo para MSE cuando la varianza y el BIAS son lo menor posible como se presenta en la ecuaci´on (2.9). M SE = σ 2 + (β)2

2.4.2.

(2.9)

Ra´ız error cuadr´ atico medio (RMSE)

Este par´ametro es frecuentemente utilizado en la medici´on de la diferencia entre los valores de predicci´on de un modelo y los valores observados en el modelado del mismo [43]. La ra´ız del error cuadr´atico medio (RMSE) es el promedio especial de las diferencias al cuadrado entre la predicci´on y el an´alisis del modelo o de las observaciones de verificaci´on, validas para el mismo instante. Es una medida de cu´an bueno es un modelo, capturando tanto la estructura como la intensidad de los sistemas. Tambi´en incluye los efectos de cualquier bias o sesgo. Cuanto menor sea el RMSE, tanto mejor para el modelo. El error en las predicciones del modelo se cuantificar´a en t´erminos de las unidades de la variable calculada. Un valor de RMSE=0 indica un ajuste perfecto tal como se presenta en la ecuaci´on (2.10). 17

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION

RM SE =

2.4.3.

q E{(x − x¯)2 }

(2.10)

Sesgo o desplazamiento (BIAS)

Otra propiedad razonable que se puede pedir a un estimador para determinar cuan ´optimo puede llegar a ser, es que en promedio sus valores estimados coincidan con el valor real del par´ametro estimado [43]. Este valor proporciona informaci´on sobre la tendencia del modelo a sobrestimar o subestimar una variable cuantificando el error sistem´atico del sistema. Se puede calcular con la ecuaci´on (2.11): β = E{¯ x} − x

2.5.

(2.11)

Modelado en espacio de estados

Una representaci´on de espacios de estados es un modelo matem´atico de un sistema f´ısico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas a trav´es de un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Un sistema complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre s´ı de una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo es esencial reducir la complejidad de las expresiones matem´aticas, y desde este punto de vista el enfoque en ecuaciones de estados es el m´as conveniente para el an´alisis de estos sistemas; y de all´ı se derivan las siguientes ventajas: Modelo de an´alisis y dise˜ no m´as general. Permite tratar de manera an´aloga sistemas lineales y no lineales. Introducci´on de conceptos de a´lgebra lineal en el an´alisis de ecuaciones en diferencias. Utilizaci´on de conceptos geom´etricos, generalizaci´on del plano de fase: (posici´on,velocidad) a n dimensiones. Relaci´on entre descripciones internas y externas. Adecuado para sistemas con m´ ultiples entradas o salidas. C´alculos matriciales sencillos. Afortunadamente, la clase de modelos que lleva a matem´aticas tratables tambi´en provee representaci´on adecuada para muchas aplicaciones de inter´es. Despu´es, la estructura del modelo se va extender a alg´ un lugar para alargar el rango de la aplicabilidad, pero el requerimiento de la utilidad del modelo para el dise˜ no de un estimador o de un controlador va a ser una influencia dominante en la manera en la cual las extensiones son hechas. 18

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION

2.5.1.

Estado

El estado de un sistema din´amico es el conjunto m´as peque˜ no de variables (llamadas variables de estado) tales que el conocimiento de dichas variables en t = t0 , junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ t0 determinan por completo el comportamiento del sistema para cualquier t ≥ t0 . El concepto de estado no se limita a sistemas f´ısicos, tambi´en se aplica a sistemas biol´ogicos, econ´omicos, sociales, entre otro [44].

2.5.2.

Variable de estado

Las variables de estado de un sistema din´amico son las que conforman el conjunto m´as peque˜ no de variables que determinan el estado del sistema din´amico. Si para describir en su totalidad el sistema din´amico, se requieren por lo menos n variables de tal forma que una vez que la entrada es producida para t ≥ t0 y el estado inicial t = t0 , el estado futuro quedar´a completamente determinado; entonces las n variables se consideran un conjunto de n variables de estado. Las variables de estado poseen varias propiedades[44].

2.5.3.

Vector de estados

Si se necesitan n variables de estado para describir completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces ´estas se pueden considerar como las n componentes de un vector x, dicho vector se conoce como vector de estados. Un vector de estados es por tanto un vector que determina en forma u ´nica el estado de x(t) del sistema para cualquier tiempo t ≥ t0 una vez dado el estado t = t0 y especificada la entrada u(t) para t ≥ t0 [44].

2.5.4.

Espacio de estados

El espacio de estados cuyos ejes coordenados est´an formados por los ejes x1 , x2 , · · · xn se conoce como espacio de estados. Cualquier estado puede representarse por un punto dentro del espacio de estado [44].

2.5.5.

Ecuaciones en espacio de estados

En el an´alisis de estados se trata con tres tipos de variables que est´an involucradas en el modelo del sistema; estas variables son: las variables de entrada, las variables de salida, y las variables de estado. La representaci´on en el espacio de estados para un sistema no es u ´nica, con excepci´on de que el n´ umero de variables de estado es el mismo para cualquiera de las distintas representaciones en el espacio de estados del mismo sistema.Una de las ventajas de utilizar dicha representaci´on radica en que su modelo puede representar sistemas tanto continuos como discretos, lineales o no lineales, variables o invariables en el tiempo, y generalmente utilizados en una notaci´on matricial [44].

19

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION Por ejemplo, para los sistemas lineales de tiempo discreto invariantes en el tiempo, la ecuaci´on de estado y la ecuaci´on de salida se pueden simplificar como: xn+1 = Axn + Bwn yn = Cxn + Dvn

(2.12) (2.13)

Donde: xn =vector n (Vector de estados) A= matriz n x n(Matriz de estados) yn =vector m (Vector de salida) B= matriz n x r (Matriz de entrada) wn =vector r (Vector de entrada) C= matriz m x n (Matriz de salida) vn =vector s (Vector de observaci´on) D= matriz m x s (Matriz de transici´on) En la figura 2.10 se presentan un diagrama a bloques de un sistema de control lineal invariante en el tiempo representado en espacio de estados.

Figura 2.10: Diagrama a bloques de un sistema en espacio de estados

2.6.

Sistemas din´ amicos

Los sistemas din´amicos cuyos par´ametros internos (variables de estado) siguen una serie de reglas temporales. Se llaman sistemas por que est´an descritos por un conjunto de ecuaciones y din´amicos por que sus par´ametros var´ıan con respecto a una variable generalmente el tiempo. El estudio de sistemas din´amicos puede dividirse en tres a´reas de estudio: Din´amica aplicada: modelado de procesos por medio de ecuaciones de estado que relacionan estados pasados con estados futuros. Din´amica experimental: experimentos de laboratorio, simulaciones de computadora de modelos din´amicos. Matem´atica de la din´amica: se enfoca en el an´alisis cualitativo del modelo din´amico. 20

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION

2.6.1.

Clasificaci´ on de los sistemas din´ amicos

Los sistemas din´amicos se pueden clasificar de diferentes maneras [45] como en: continuos y discretos; aut´onomos y no aut´onomos , invariantes o variantes en el tiempo,etc sin embargo la clasificaci´on de inter´es en este trabajo de investigaci´on es la de los sistemas lineales o no lineales por lo que se dar´a una breve explicaci´on de estos para enmarcar as´ı las caracter´ısticas del problema de estudio.

Sistemas lineales y no lineales Se puede decir que un sistema es lineal si se cumple la expresi´on: x˙ = F (ax + by) = aF (x) + bF (y)

(2.14)

Es decir es lineal si la funci´on F que relaciona la tasa de incremento de las variables de estado con sus valores actuales cumple con el principio de superposici´on.Los sistemas lineales son sencillos de analizar y trabajar, ya que la soluci´on del sistema esta sujeta a la suma de condiciones del sistema m´as sencillas eliminando as´ı su complejidad; sin embargo la ecuaci´on (2.14) no se cumple si se esta en presencia de un sistema no lineal, lo que genera que el sistema se torne complejo y en muchas ocasiones no se encuentren soluciones anal´ıticas exactas a los problemas no lineales; as´ı la representaci´on din´amica del sistema se auxilia de t´ecnicas geom´etricas, anal´ıticas y de visualizaci´on, por lo tanto lo ideal ser´ıa trabajar con sistemas lineales. Por ello en las siguientes secciones se presenta la alternativa de aproximar una funci´on no lineal a una lineal y poder abordar el problema de estudio desde una perspectiva m´as sencilla.

2.6.2.

Linealizaci´ on de sistemas din´ amicos no lineales

Se considera que un sistema din´amico no lineal se puede representar por un conjunto de ecuaciones diferenciales [45] de la forma general en donde f y h son funciones que representan la din´amica del sistema y la salida de ´este, dada en t´erminos de la variable de estado x y la entrada u. x(t) ˙ = f (x(t), u(t))

,

y(t) = h(x(t))

x(t0 ) = x0

(2.15) (2.16)

donde f es una funci´on vectorial de n × 1 elementos, expresada en t´erminos de un vector de estado ´el cual es una variable de estado de dimensi´on x ∈ Rn × 1. El n´ umero de estados n es conocido como el orden del sistema. La soluci´on x(t) de la ecuaci´on (2.15) corresponde a una curva en el espacio de estado donde t var´ıa de cero hasta infinito. Esta curva es conocida como la trayectoria de estado.

21

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION

2.6.3.

Interpretaci´ on gr´ afica

Imagine una funci´on no lineal de cierta curvatura cuya representaci´on lineal es la l´ınea recta que pasa tangente en uno de sus puntos y las ecuaciones que describen un sistema din´amico no lineal cuya representaci´on lineal se obtiene a partir de las derivadas parciales de la misma funci´on con respecto a sus variables. Considere entonces, por analog´ıa, que una determinada funci´on f (t) es no lineal. Por lo tanto, ´esta se representa como una gr´afica con ciertas curvaturas dependiendo de los t´erminos que contenga. El comportamiento no lineal de esta curva obedece a cada uno de los t´erminos que contiene. Suponiendo que se desea analizar la forma lineal en que se comporta esta curva, entonces se deber´a realizar un an´alisis en un solo punto del espacio. Esto se puede describir gr´aficamente por medio de una l´ınea tangente a ese punto, la cual describir´a linealmente a la funci´on. La l´ınea representa la derivada de la funci´on analizada en cierto punto espec´ıfico, lo cual es la representaci´on lineal de la curva en un punto espec´ıfico. El an´alisis en un sistema din´amico no lineal se realiza de manera similar. Las ecuaciones de los sistemas no lineales se pueden entender de la misma forma que se describe este comportamiento gr´afico de una curva. La interpretaci´on gr´afica de una linealizaci´on es encontrar la forma de la l´ınea tangente en un punto de la funci´on de una curva [45]. Este punto se tomar´a en cuenta como el punto de operaci´on o el punto de equilibrio. La curva x(t) entonces es tangente en el punto de linealizaci´on t = t1 es x(t1 ), y la l´ınea que describe el comportamiento del sistema en dicho punto es la tangente a dicho punto. En una vecindad alrededor de este punto se dice que la tangente no cambia, de igual manera suceder´a alrededor del punto de operaci´on para el cual se encuentra la linealizaci´on del sistema din´amico.

Figura 2.11: Gr´afica de linealizaci´on de un sistema din´amico no lineal.

2.6.4.

Representaci´ on aproximada de una funci´ on no lineal

Sea f (x1 , x2 , · · · , xn ) una funci´on no lineal escalar de n variables de estado x. En forma general, esta funci´on no lineal se puede expresar como una representaci´on aproximada lineal alrededor de un punto establecido mediante una expansi´on en 22

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION series de Taylor de la siguiente manera. Suponiendo que la funci´on se quiere linealizar alrededor del punto x0 , su expansi´on en series de Taylor es como la que se presenta en la ecuaci´on (2.17): df 1 d2 f 2 f (x0 + δx) = f (x0 ) + δx + (2.17) δx + · · · dx 0 2! dx2 0 Algunas funciones no lineales t´ıpicas son por ejemplo: 1. Cuando una ecuaci´on contiene un t´ermino bilineal, el cual se define como aquel en donde aparecen multiplic´andose el vector de la variable de estado y el control U. 2. Cuando aparece un t´ermino cuadr´atico, expresado como xT Ax el cual describe una representaci´on de elevar al cuadrado una variable de estado vectorial, x ∈ Rn y donde la ganancia esta dada por la matriz A. De igual modo, otras funciones no lineales pueden ser t´erminos donde aparezcan funciones trigonom´etricas, exponenciales, productos de m´as de una variable de estado, entre otras muchas.

2.6.5.

Punto de equilibrio y punto de operaci´ on

Un punto de equilibrio del sistema din´amico representa las condiciones de las variables del sistema, en donde ´este se encuentra est´atico [45]. Por ejemplo, en el caso de una part´ıcula, si se encuentra en reposo sin alguna fuerza externa que representa una entrada, entonces se dice que se encuentra en un punto de equilibrio. Entonces, un punto de equilibro est´a dado como: x˙ = f (x0 , u0 ) = 0.

2.6.6.

Linealizaci´ on aproximada de un sistema no lineal

Suponga que el t´ermino f (x, u) es una funci´on no lineal, a partir de ´este modelo no lineal normalmente no es posible obtener una representaci´on de las matrices (A,B,C,D). A pesar de esto, es posible obtener una representaci´on equivalente a partir de este sistema no lineal, el cual ser´a linealizado en el punto nominal o en alg´ un punto de equilibrio establecido para el sistema. Tambi´en se hace esta linealizaci´on para por ejemplo, poder representar el modelo como una funci´on de transferencia. Un punto de equilibrio del sistema din´amico representa las condiciones de las variables del sistema, en donde ´este se encuentra est´atico [45]. Por ejemplo, en el caso de una part´ıcula, si se encuentra en reposo sin alguna fuerza externa que representa una entrada, entonces se dice que se encuentra en un punto de equilibrio. Entonces, un punto de equilibro est´a dado en x˙ = f (x0 , u0 ) = 0. Si se quiere linealizar el sistema en alg´ un punto nominal dado como (un , xn ). Se supone que se tiene el sistema expresado como x˙ i = fi (x, u, t), y que inicialmente el sistema est´a en el punto nominal donde ante ciertas perturbaciones peque˜ nas estas variables se expresan como: x(t) = x0 (t) + δx(t) u(t) = u0 (t) + δu(t) 23

(2.18) (2.19)

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION Entonces para realizar la linealizaci´on anal´ıticamente en este sistema, expresado de forma general, se debe realizar una expansi´on en series de Taylor de f (n, n) para expresar los t´erminos que tienen las perturbaciones de manera separada. La serie de Taylor se representa como la serie infinita expresada a continuaci´on: f (x) =

∞ X f k (a) k=0

k!

(x − a)

(2.20)

Una expansi´on en series de Taylor representa este mismo concepto, aunque para el caso que se hace la expansi´on los t´erminos de orden superior se consideran despreciables por ser muy peque˜ nos. Entonces, la expansi´on en serie de Taylor de f (n, n) en el punto de operaci´on o´ nominal x0 (t), u0 (t)

x˙ i =

∂f d ∂f (x0i + δxi ) ≈ fi (x0 + δx) + δx + δu + ϑ(n > 2) + · · · dt ∂x 0 ∂u 0

(2.21)

En donde los t´erminos de las derivadas parciales deben ser evaluados en el punto nominal (u0 , x0 ). Por lo tanto, realizando esto se obtiene: ∂fi i ∂fi h ∂fi = ··· ∂x ∂x1 ∂xn

(2.22)

d (x0i ) = fi (x0 , u0 ) dt

(2.23)

Como se conoce que:

Por la tanto se obtiene que: ∂fi ∂f d (δxi ) ≈ (2.24) + δu dt ∂x 0 ∂u 0 Entonces para expresar el sistema linealizado se puede escribir lo siguiente:     ∂f1 ∂f1 ∂x  0   ∂u 0   ∂f2   ∂f2   ∂u   ∂x  d    0 (δx) =  .  δx +  (2.25)  .. 0  δu = A(t)δx + B(t)δu dt .  .   .      ∂fn ∂fn ∂x ∂u 0

0

Las matrices A y B ser´an por lo tanto matrices de dimensi´on A ∈ Rn×n , y B ∈ Rn×m . Expandiendo los t´erminos de las ecuaciones anteriores se tiene que: 



∂f1  ∂x1

0  ∂f2  ∂x1 A(t) =   .. 0  .  ∂fn ∂x1

0



···

0

0  0   ∂f2   ∂u ··· 0  ; B(t) =  1 0   .. ..  ..  . . .   ∂fn ∂fn · · · ∂x ∂u1 n

∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2

0

.. . ∂fn ∂x2

0





∂fn ∂x1



∂f1  ∂u1

∂fn ∂x2

0

0

24



···

0

0    ··· 0 ..  .. . .   ∂fn · · · ∂u n

∂f1 ∂u2 ∂f2 ∂u2

0

.. . ∂fn ∂u2

0



∂fn ∂u1 ∂fn ∂u2

0

(2.26)

´ AL FILTRADO OPTIMO ´ CAP´ITULO 2. INDUCCION Si la ecuaci´on de salida y = g(x, u) es no lineal y tambi´en y(t) = y0 +δy , entonces:     ∂g1 ∂g1  ∂u 0   ∂x 0   ∂g2   ∂g2   ∂u   ∂x  d  0  δx +  (2.27) (δx) =   .. 0  δu = C(t)δx + D(t)δu  ..  dt  .   .      ∂gn ∂gn ∂x ∂u 0

0

Por lo tanto, el sistema no lineal se puede expresar como un modelo linealizado de la forma: z˙ = Az + Bv

(2.28)

donde A ∈ Rn×n , y B ∈ Rn×m se representa como:

∂f τ ∂f τ A = ∂x ; B = ∂u xn ,un

(2.29)

xn ,un

Si el punto de operaci´on o nominal es un punto de equilibrio del sistema x0 (t), u0 (t) son cero, entonces las matrices de las ecuaciones diferenciales para obtener el grupo de matrices (A,B,C,D) ser´an constantes (sistema lineal e invariante en el tiempo).

25

Cap´ıtulo 3 Robot m´ ovil y tecnolog´ıa RFID 3.1.

Tecnolog´ıa RFID

Un identificador de radio frecuencia RFID de sus siglas en ingles “Radio Frequency ID”; es un m´etodo de almacenamiento y recuperaci´on de datos remotos, con base en el empleo de etiquetas “tags”donde reside la informaci´on. El sistema RFID emplea el uso de radio frecuencia en distintas bandas para su funcionamiento. Los sistemas RFID se conforman de los siguientes elementos b´asicos: Una etiqueta RFID llamada tag (puede ser receptor o emisor) esta se adhiere a un objeto, animal, o persona portando informaci´on del mismo. Un lector encargado de transmitir la suficiente energ´ıa a la etiqueta para activarla y leer los datos que esta env´ıe, consta de un m´odulo de radiofrecuencia (transmisor y receptor), una unidad de control y una antena. Dependiendo de la aplicaci´on se agrega un tercer elemento que puede ser un ordenador, un microprocesador, o alg´ un otro dispositivo encargado de manejar y utilizar la informaci´on que le otorga el lector para alguna funci´on o actividad en particular, en la figura 3.1 se presenta un esquema general de las partes mencionadas.

Figura 3.1: Esquema general de los elementos que conforman la tecnolog´ıa RFID

26

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID

3.2.

Radiofrecuencia empleada

Una de las consideraciones m´as importantes en la utilizaci´on e implementaci´on de RFID es la frecuencia a la cual trabajar´an ya que ´esta delimitar´a en gran medida la capacidad de lectura y transferencia de datos; as´ı como la cobertura y zona de alcance de los mismos. En la tabla 3.1 se presenta un conjunto de indicadores a considerar cuando se hable de la frecuencia de trabajo de los RFID:

Par´ametros Frecuencia

Frecuencias de trabajo RFID LF HF UHF 135 KHz 13.56 MHz 928MHz

Cobertura

Baja

Media

Media

Microondas 2.45-5.8 GHz Alta

Tama˜ no de etiqueta

Grande

Medio

Medio

Peque˜ no

Velocidad de lectura

Lenta

Media

Media

Rapida

Lectura en metales y liquidos Lectura con interferencias

Buena

Media

Media

Baja.

Mala

Media

Media

Buena

Tabla 3.1: Comparativo de frecuencias de trabajo de los RFID

3.3.

Tipos de etiquetas RFID

La tecnolog´ıa RFID se puede catalogar en diferentes clases: desde el rango de frecuencia, su capacidad de programaci´on, protocolo de comunicaci´on , etc. Sin embargo la clasificaci´on m´as com´ un es la que depende del lugar que provenga la energ´ıa de activaci´on, se pueden dividir en tres tipos, en la tabla 3.2 se presenta un comparativo de los mismos.

3.3.1.

Etiquetas RFID pasivas

Las etiquetas RFID pasivas no llevan fuente de alimentaci´on propia y utilizan para responder la energ´ıa inducida en la antena por la se˜ nal de escaneo de radiofrecuencia. Debido a esto, la se˜ nal de respuesta tiene un tiempo de vida bastante corto y su radio de transmisi´on puede llegar a como mucho 6 metros, pero tienen la ventaja de poder ser mucho m´as peque˜ nas que las etiquetas activas. La forma de la etiqueta depender´a del uso que se vaya a hacer de la misma, aunque lo normal es que vaya montada sobre una calca o una tarjeta.

27

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID

3.3.2.

Etiquetas RFID semi-pasivas

Este tipo de etiquetas es muy similar al anterior, pero con la diferencia de que incluyen una peque˜ na bater´ıa que permite que el circuito integrado de la etiqueta est´e siempre alimentado. Esto da lugar a que las antenas no requieran capturar la potencia de la se˜ nal entrante para devolver la se˜ nal saliente, sino que las antenas son mejoradas para la emisi´on de la respuesta.

3.3.3.

Etiquetas RFID activas

Este tipo de etiquetas lleva su propia fuente de alimentaci´on y tiene rangos mayores de uso, tanto a nivel de frecuencias, como las distancias a las que pueden ser detectadas y le´ıdas, 100 metros. Su tama˜ no es l´ogicamente mayor que los otros dos tipos de etiquetas, aunque no apenas supera el tama˜ no de una moneda. Adem´as, portan una peque˜ na memoria, debido a lo cual pueden almacenar un mayor n´ umero de datos.

Bater´ıa

Caracter´ısticas RFID Activos Si

Fuente de alimentaci´on

Interna a la etiqueta

Disponibilidad de energ´ıa Intensidad de se˜ nal requerida Cobertura

Continua

Energ´ıa transferida por el lector Solo en campo del lector

Muy baja

Muy alta

Hasta 100 m

Entre 3 y 6 m

Lecturas m´ ultiples

Hasta 1000 lecturas en 100 m 128 Kbytes de R/W

Cerca de 100 lecturas en 3-6 m 128 bytes de R/W

B´ usqueda de datos

Pasivos No

Tabla 3.2: Comparativo de etiquetas RFID activas vs pasivas

3.4.

Lector y etiqueta RFID

Etiqueta RFID La etiqueta RFID contiene la informaci´on asociada al objeto que la posee; esta compuesta por un microchip y una antena y puede o no tener una bater´ıa de alimentaci´on. El microchip se encarga del control y env´ıo de datos as´ı como de la alimentaci´on del mismo mientras que la antena permite la recepci´on y env´ıo de los datos. 28

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID

Lector RFID Es el dispositivo que proporciona la energ´ıa a las etiquetas, lee los datos que llegan y los env´ıa al dispositivo encargado de procesar la informaci´on; el lector esta equipado de un m´odulo de radiofrecuencia (receptor y emisor) una unidad de control y una antena. Cada elemento que conforma el lector posee un conjunto de caracter´ısticas que por si solas requieren de particular estudio, uno de los elementos de mayor sensibilidad y de peso a la hora de detectar una etiqueta RFID es la antena, dado que es necesaria una buena orientaci´on del lector con la etiqueta para obtener un buen acoplamiento entre los mismos. La figura 3.2 muestra un ejemplo claro de un lector RFID, de igual modo, se presenta como se visualizan las etiquetas y los circuitos que las conforman.

(a) Etiqueta RFID

(b) Circuito RFID

(c) Lector RFID

Figura 3.2: Modelo de una etiqueta RFID y su lector de etiquetas.

3.5.

Robot m´ ovil

Hoy en d´ıa las palabras robot o rob´otica son parte de nuestro vocabulario y se utilizan de manera tan natural y frecuente que no reparamos en la magnitud de las mismas y en los cambios que han generado en pro de la transformaci´on de la sociedad y, con ello, el avance tecnol´ogico acarreado; para abordar el tema de estudio que nos compete se introducir´a un peque˜ no concepto sobre que es un robot m´ovil. En [35] se plantea que: “Un robot m´ovil es un veh´ıculo de propulsi´on aut´onoma y movimiento programado para realizar una tarea espec´ıfica”. El principal problema a resolver en un robot m´ovil es generar trayectorias y guiar su movimiento seg´ un ´estas, con base en la informaci´on proveniente del sistema de sensores externos (ultrasonidos, l´aser, visi´on), permitiendo al veh´ıculo desplazarse entre dos puntos cualesquiera del ambiente de trabajo de manera segura, sin colisiones. Esto exige dise˜ nar sistemas de control de trayectorias (posici´on, direcci´on, velocidad) en diversos niveles jer´arquicos, de manera que el procesamiento de la informaci´on 29

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID proveniente de los sensores externos asegure la mayor autonom´ıa posible. El robot m´ovil aut´onomo se caracteriza por una conexi´on inteligente entre las operaciones de percepci´on y acci´on, que define su comportamiento y le permite llegar a la culminaci´on de los objetivos programados sobre entornos con cierta incertidumbre. El grado de autonom´ıa depende en gran medida de la facultad del robot para abstraer el entorno y convertir la informaci´on obtenida en ´ordenes, de tal modo que, aplicadas sobre los actuadores del sistema de locomoci´on, garantice la realizaci´on eficaz de su tarea. De este modo, las dos grandes caracter´ısticas que lo alejan de cualquier otro tipo de veh´ıculo se relacionan a continuaci´on: Percepci´ on: El robot m´ovil debe ser capaz de determinar la relaci´on con su entorno de trabajo, mediante el sistema sensorial a bordo. La capacidad de percepci´on del robot m´ovil se traduce en la s´ıntesis de toda la informaci´on provista por los sensores, con el objeto de generar mapas globales y locales del entorno de acuerdo a los diversos niveles de control. Razonamiento: El robot m´ovil debe ser capaz de decidir que acciones son requeridas en cada momento, seg´ un el estado del robot y el de su entorno, para alcanzar su(s) objetivo(s) A su vez el estudio y el desarrollo de un robot m´ovil abarca cuatro grandes estructuras: Estructura mec´anica: como las que conforman la locomoci´on (ruedas, bandas, patas) y la estructura f´ısica del robot como tal. Actuadores: cualquier elemento que permita al robot interactuar con el medio ambiente (motores, luces, brazos). Sensores: cualquier elemento que nos proporcione informaci´on del medio ambiente (sonar, l´aseres, c´amaras). Inteligencia: a partir de la interacci´on con los sensores permitir´a al robot tomar decisiones e interactuar con el ambiente (algoritmos, m´etodos, etc). Con lo mencionado anteriormente se puede decir que los robots m´oviles brindan la posibilidad de navegar en distintos terrenos y tienen aplicaciones m´ ultiples como: exploraci´on minera, exploraci´on planetaria, misiones de b´ usqueda y rescate de personas, limpieza de desechos peligrosos, automatizaci´on de procesos, vigilancia, reconocimiento de terreno. Ante dicha capacidad y una inminente a´rea de aplicaci´on y desarrollo existen diferentes tipos de clasificaciones como por ejemplo: por su inteligencia, por el medio en que se desplazan, por su generaci´on etc; en la secci´on 3.7 se presentar´a un breve resumen de la clasificaci´on de robots m´oviles por su sistema de locomoci´on ya que el tipo de robot propuesto en ´este tema de investigaci´on pertenece a esa categor´ıa y es el que compete analizar con mayor detalle.

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´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID

Figura 3.3: Esquema de las estructuras de un robot m´ovil

3.6.

Grados de libertad, centro instant´ aneo de rotaci´ on y tipos de ruedas

Grados de libertad (GDL) Se refiere al n´ umero de movimientos de desplazamiento y de rotaci´on que puede realizar un robot m´ovil, si un cuerpo se mueve en 2D tiene 3 grados de libertad (2 de traslaci´on y 1 de rotaci´on) mientras que si se mueve en 3D tiene 6 grados de libertad(3 de rotaci´on y 3 de traslaci´on). Al hablar de grados de libertad suele preguntarse si el sistema que los posee es holon´omico o no holon´omico; el sistema es holon´omico si se puede controlar la cantidad de grados de libertad disponibles; en su defecto el sistema se cataloga como no holon´omico. En un sistema no holon´omico las ecuaciones diferenciales no son integrables en la posici´on final del robot; lo que quiere decir que no basta con conocer la distancia recorrida por cada rueda sino que hay que conocer como fue ejecutado el movimiento en cada instante del tiempo.

Centro instant´ aneo de rotaci´ on (CIR) Es el punto por el cual el robot gira en un instante determinado y se cruzan los ejes de las ruedas, aunque en un plano real no se sabe a ciencia cierta el CIR, si se sepone que las ruedas llevan una velocidad tal que comiencen a describir una circunferencia; lo har´an con referencia a un punto el cual se catalogar´a como CIR.

Tipos de ruedas Ruedas motrices: proporcionan la fuerza de tracci´on al robot. Ruedas directrices: son ruedas que permiten el direccionamiento del robot con la capacidad de ser controlables. Ruedas fijas: solo giran sobre su propio eje sin proporcionar tracci´on motriz. 31

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID Ruedas locas o de castor: son ruedas de orientaci´on pero sin capacidad de control

Figura 3.4: Tipos de ruedas en un robot m´ovil

3.7.

Clasificaci´ on de los robots m´ oviles por su locomoci´ on

Los robots m´oviles pueden ser clasificados por el tipo de locomoci´on, en tres grandes grupos que condicionan su movimiento, estos son: por ruedas, por patas y orugas. En la figura 3.5 se presenta una ejemplo de estos:

(a) Patas

(b) Oruga

(c) Ruedas

Figura 3.5: Clasificaci´on de robots m´oviles seg´ un su tipo de locomoci´on

3.7.1.

Robot m´ ovil con patas

En [36] se dice que ´este tipo de robots imitan formas de desplazamiento similares a las de los animales y al hombre; es un tipo de robot que se puede desplazar en diversas superficies; sin embargo el dise˜ no de este tipo de robots presenta ciertas dificultades debido a su gran n´ umero de grados de libertad y su algoritmo de control presenta cierta complejidad debido al gran n´ umero de movimientos a coordinar. 32

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID Adem´as, se deben tener en cuenta algunos aspectos, tales como: posici´on, velocidad, equilibrio,etc. De acuerdo al n´ umero de patas, este tipo de robots adquiere su denominaci´on (b´ıpedos, cuadr´ upedos, hexapodos, etc).

3.7.2.

Robot m´ ovil tipo oruga

En [37] plantea que los robots tipo oruga son aquello que poseen un sistema rodante en el que se substituyen las ruedas por un conjunto de bandas que permiten que giren mediante un sistema de tracci´on; en este tipo de veh´ıculos la direcci´on se consigue parando una de las bandas o haci´endolas girar en sentido contrario.

3.7.3.

Robot m´ ovil con ruedas

Los robots m´oviles con ruedas (RMR)[38] son el ´area con mayor inter´es y aplicaci´on, se destacan por su eficiencia en cuanto a energ´ıa consumida en superficies lisas y firmes, a la vez que no causan desgaste en la superficie donde se mueven y requieren un n´ umero menor de partes y con menor complejidad, en comparaci´on con los robots de patas y de orugas, lo que permite que su construcci´on sea m´as sencilla. Uno de los atributos que debe poseer un robot m´ovil es la autonom´ıa, la cual se entiende como el dominio que tiene el robot para determinar su curso de acci´on, mediante un proceso propio de razonamiento con base en sensores, en lugar de seguir una secuencia fija de instrucciones. Un RMR tiene un arreglo cinem´atico y un arreglo de actuadores que son de inter´es de estudio a ´este trabajo.

Configuraci´ on cinem´ atica de los RMR Existen diferentes configuraciones cinem´aticas para los RMR[38], estas dependen principalmente de la aplicaci´on hacia donde van enfocados, no obstante, de manera general se tienen las siguientes configuraciones: Ackerman Esta configuraci´on es ampliamente utilizada, posee dos ruedas de tracci´on traseras y dos ruedas de direcci´on delantera, esta configuraci´on esta creada para evitar el derrape en las ruedas, lo que se consigue al momento de girar el ´angulo de la rueda interior y que ´este sea menor al ´angulo de la rueda exterior. Triciclo Dicha configuraci´on posee tres ruedas; la rueda delantera se utiliza tanto para el direccionamiento como para la tracci´on. El eje posterior con las dos ruedas laterales se desplaza libremente. La movilidad resulta m´as eficiente en este sistema comparado con el anterior, pero puede presentar inestabilidad en terrenos irregulares. El centro de gravedad tiende a desplazarse cuando el veh´ıculo se desplaza por una pendiente, causando la p´erdida de tracci´on.

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´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID S´ıncrona Este tipo de configuraci´on se conforma de tres o m´as ruedas, todas ellas acopladas mec´anicamente y dotadas de tracci´on por lo que todas rotan en la misma direcci´on y en la misma velocidad; y la direcci´on de los ejes de rotaci´on es controlada. Omnidireccional Esta clase de configuraci´on se caracteriza por utilizar ruedas omnidireccionales, es decir, el robot podr´a moverse en cualquier direcci´on sin embargo se complican considerablemente los c´alculos matem´aticos para el dise˜ no de su modelo y el control del mismo. Skeed steer Esta configuraci´on se caracteriza por poseer m´ ultiples motores para la propulsi´on y direcci´on del veh´ıculo, sin embargo, su controlabilidad presenta altos grado de complejidad; presenta problemas de deslizamiento en las ruedas por lo que se reduce su exactitud en la posici´on. Diferencial Es la configuraci´on m´as sencilla de todas; consta de dos ruedas colocadas en un eje perpendicular a la direcci´on del robot.Cada rueda es controlada por un motor de tal forma que el giro del robot queda determinado por la diferencia de velocidad de las ruedas.As´ı para girar a la izquierda hay que darle una mayor velocidad a la derecha y viceversa; con tal de mantener el equilibrio del robot se le agrega una tercera rueda libre de giro y sin impacto en el modelo matem´atico, sin embargo aunque mantiene el equilibrio pierde tracci´on , presenta ciertas restricciones ya que solo se puede desplazar en superficies planas. Generalmente se utiliza la t´ecnica de odometr´ıa para calcular la posici´on. La figura 3.6 muestra un dibujo de los modelos mencionados.

Figura 3.6: Tipos de configuraciones cinem´aticas de un robot m´ovil

34

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID

3.8.

Consideraciones generales del proyecto

En las secciones previas se explic´o el comportamiento del robot m´ovil tipo diferencial, as´ı como algunas de sus caracter´ısticas importantes. Ahora se aplica este concepto como modelo a utilizar en el desarrollo de ´este proyecto; por lo tanto se asume que el veh´ıculo viaja en direcci´on d y que la trayectoria es controlada por las ruedas izquierda y derecha respectivamente; los incrementos producidos por la mismas se denotan como dL para la rueda izquierda y dR para la derecha, la distancia entre las ruedas se denota como b y la rueda de equilibrio no presenta impacto en el modelado del robot. El veh´ıculo se mueve en un espacio cartesiano con coordenadas (x, y) con respecto a su centro denotado como M (x, y), este centro siempre esta paralelo al eje x del plano por el que se desplaza, y con la finalidad de evitar errores extras al momento de determinar su localizaci´on se considera que el angulo θ es medido con un giroscopio de fibra ´optica (FOG). Una rejilla de informaci´on RFID es un espacio cerrado en el cual se encuentran dispuestos un conjunto de etiquetas RFID separadas por una distancia en metros; estas etiquetas son de car´acter pasivo con la finalidad de que el proyecto resulte econ´omico y realizable, el lector de las etiquetas se encontrar´a instalado en el robot m´ovil y se considera que el robot debe ser capaz de pasar por al menos dos de estas etiquetas con coordenadas conocidas A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ), el lector podr´a entonces medir la distancia existente entre el robot y las mismas; las cuales se denotar´an como d1 y d2 respectivamente; la altitud de instalaci´on de las etiquetas quedar´a denotada como c1 y c2 respectivamente, cabe mencionar que ´esta altura suele cambiar dependiendo del punto de instalaci´on de la etiqueta y se puede calcular su proyecci´on a1 y a2 de ser requeridas empleando trigonometr´ıa; sin embargo en ´este trabajo se considera que est´an instaladas a un 1m de altura. En el caso de las etiquetas RFID se mencion´o que son de car´acter pasivo; por lo cual dependen del lector para activarse. Este proceso depende de la potencia de la onda, a lo cual [40] explica ampliamente en su trabajo, siendo la ecuaci´on 3.1 de inter´es; se considera una frecuencia de trabajo de LF o HF lo que limita su cobertura y aumenta las posibles interferencias en la medici´on: Pr = Pt

Gt Gr λ2 16πLd2

(3.1)

Donde: Pr :Potencia recibida. Pt :Potencia transmitida Gt :Ganancia del transmisor. Gr :Ganancia del receptor. L:Perdidas presentes entre el transmisor y el receptor. d:Distancia entre el transmisor y el receptor. λ:Longitud de onda. Como se menciono anteriormente; el robot debe ser capaz de detectar al menos dos de las etiquetas y es a trav´es de la potencia recibida que determinar´a cuales deben 35

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID de ser estas; las dos etiquetas que presenten la mayor potencia ser´an las seleccionadas.

(a) Robot M´ ovil

(b) Rejilla RFID

Figura 3.7: Rejillas RFID e interacci´on del robot m´ovil La figura 3.7a presenta el proceso de desplazamiento y de interacci´on del robot m´ovil con las etiquetas de RFID mientras que en 3.7b se presenta una rejilla de RFID por medio de la cual se desplaza el veh´ıculo. En este caso las etiquetas se han dispuesto a una distancia de 4 metros abarcando as´ı un ´area de 384m2 y utilizando un total de 35 etiquetas.

3.8.1.

Modelo cinem´ atico del robot m´ ovil

En el desarrollo de este trabajo de investigaci´on se propone un modelo de robot m´ovil de tipo diferencial, las razones se deben a la vasta bibliograf´ıa existente para el desarrollo y entendimiento matem´atico del mismo, as´ı como por su sencillez en dise˜ no y funcionamiento; los problemas que presenta se pueden solucionar de manera relativamente f´acil y se debe tener en cuenta la aplicaci´on a la cual va destinada. Calcular la posici´on del robot es el objetivo principal de ´este trabajo. Para realizarlo por medio de ´este modelo se necesita conocer la posici´on moment´anea del mismo en (x, y) relativo a un punto de comienzo y mediante odometr´ıa y la utilizaci´on de sus ecuaciones cinem´aticas poder determinar dicha posici´on. Para poder deducir las ecuaciones cinem´aticas empleando la odometr´ıa primero es necesario conocer cuantas revoluciones ha dado la rueda; para ello se emplea el uso de encoders incrementales; estos van colocados sobre el motor de tracci´on de las ruedas, entonces los pulsos que registra el encoder se convierten en una descomposici´on lineal para determinar la velocidad a la que gira cada rueda, para ello se emplea un factor de conversi´on determinado en la ecuaci´on (3.2): Cm =

2πR no C e

36

(3.2)

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID Donde: Cm : factor de conversi´on que convierte los impulsos del encoder en descomposici´on lineal de la rueda. R: radio de la rueda Ce : resoluci´on del encoder en pulsos por revoluci´on. no : relaci´on de engranajes. Engranajes de reducci´on entre el motor y la rueda. Normalmente, todos los sistemas rueda/motor suelen tener una reducci´on. La reducci´on no es m´as que el factor que mide cuantas vueltas da la rueda por vuelta dada por el eje del motor. Un buen ejemplo de esto son los cambios de una bicicleta. Cambiando de pi˜ nones y platos, se puede cambiar la relaci´on de vueltas dadas por los pedales (eje del motor) y vueltas dadas por las ruedas. Lo mismo pasa con los cambios de un coche. Para no entrar en detalles y siendo el fin el modelado matem´atico se puede considerar que no = 1 y as´ı se evita caer en la problem´atica de la reducci´on. Conociendo Cm determinar el desplazamiento lineal de cada rueda se torna f´acil. Si se considera que los encoders leen los pulsos en intervalos regulares de tiempo, el tiempo que discurre entre una lectura de pulso y la pr´oxima lectura de pulso es constante. Si se llama NL,n a la cantidad de pulsos le´ıdos por el encoder de la rueda izquierda para el tiempo de muestreo n. Lo mismo se hace con la rueda derecha y se le llama NR,n . Entonces la distancia lineal avanzada por cada rueda en el intervalo (n − 1, n) viene dada por las ecuaciones (3.3) y (3.4): dRn = 4sR,n = cm NR,n dLn = 4sL,n = cm NL,n

(3.3) (3.4)

Sin embargo, es de inter´es averiguar cu´anto ha avanzado el centro del robot en ese intervalo de tiempo y calcular el incremento angular que ha tenido debido a ese desplazamiento lineal. Para deducir la procedencia de estas ecuaciones, suponga que cada una de las ruedas tiene una velocidad angular constante durante el tiempo. Si la velocidad de la rueda derecha fuera mayor a la de la rueda izquierda, el robot se mover´ıa en una trayectoria curva hacia su izquierda y viceversa. Siendo las dos velocidades constantes, esa trayectoria corresponder´ıa a la trayectoria de una circunferencia con un radio concreto. Es decir, de mantener este patr´on de movimiento, el robot describir´ıa una circunferencia en torno a un punto del entorno al que se llamar´a Centro Instant´aneo de Rotaci´on o CIR. Por ahora no se sabe qu´e punto del espacio de trabajo es el CIR, pero se sabe que debe estar en la l´ınea que une a ambas ruedas, para ilustrar lo mencionado se presenta la figura 3.8. Por lo tanto, volviendo a los intervalos temporales de antes, la rueda izquierda ha descrito un arco de longitud dLn en el intervalo (n − 1, n). El radio de curvatura ha sido r (la distancia al CIR). Mientras tanto, la rueda derecha ha descrito un arco de longitud dRn con un radio de r + b. Con esto, al aplicar un poco de geometr´ıa a

37

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID

Figura 3.8: Centro instant´aneo de rotaci´on en la trayectoria de un robot m´ovil trav´es de la formula del arco se obtiene: dLn r dRn Θn = r+b Θn =

(3.5) (3.6)

De este modo en las ecuaciones (3.5) y (3.6) se tienen dos ecuaciones con dos inc´ognitas (r y Θn ) al resolver ambas se llega a: dRn − dLn b b dLn r= dRn − dLn

Θn =

(3.7) (3.8)

Por lo tanto el incremento de orientaci´on Θn ya se ha deducido. Ahora, para saber el desplazamiento lineal del centro del robot s´olo se tiene que pensar que el centro ha descrito un arco de longitud dn con radio r + 2b . Aplicando la misma l´ogica de antes, se sabe que al sustituir Θn = r+dnb por el lado derecho de la ecuaci´on (3.7) 2

y al resolver unos pasos extras se obtiene la ecuaci´on (3.9): dn =

dRn + dLn 2

(3.9)

S´olo faltar´ıa calcular la posici´on en las coordenadas x, y, θ del centro del robot en el instante n. Para ello, se supone que se conocen las coordenadas del robot en el instante n − 1, es decir, se conocen (xn−1 , yn−1 , θn−1 ). Es l´ogico, puesto que se est´an calculando los desplazamientos lineales y de orientaci´on para cada intervalo de tiempo. Siendo esto as´ı, al aplicar un poco de trigonom´etrica se obtiene que: 1 f1n = xn = xn−1 + dn cos (θn−1 + Θn ) 2 1 f2n = yn = yn−1 + dn sin (θn−1 + Θn ) 2 f3n = θn = θn−1 + Θn 38

(3.10) (3.11) (3.12)

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID Repitiendo de forma iterativa dicho procedimiento se obtienen los valores de posici´on del robot en cada instante de tiempo n. As´ı la ecuaci´on (3.10) definir´a la coordenada x, la ecuaci´on (3.11) la coordenada y, y la ecuaci´on (3.12) el a´ngulo de rotaci´on θ; cabe resaltar que la posici´on del robot dentro del plano queda ubicada por el centro del robot, que para fines de este trabajo se define como M (x, y).

3.8.2.

Modelo en espacio de estados del robot m´ ovil

Se considera un vector de estados Xn , el cual determinar´a la posici´on del veh´ıculo en cada instante de tiempo n. Este vector esta conformado por Xn = [xn yn θn ]T ya que estas son las coordenadas de inter´es y que en conjunto determinan la posici´on dentro del plano; existe un vector de entrada el cual se denomina Un = [dLn dRn ]T este vector se conforma de los incrementos lineales presentados en las ruedas derecha e izquierda del veh´ıculo respectivamente. Dichos vectores son afectados por componentes aleatorias las cuales se consideran como aditivas, blancas gaussianas, con promedio cero y no correlacionadas; de acuerdo con esto se pueden establecer los vectores de ruido que afectan al vector de estado Xn como: Wn = [wxn wyn wθn ]T ; de lo cual se puede sugerir de (3.10)–(3.12) que la ecuaci´on de estado no lineal del veh´ıculo quedar´a determinada por: Xn = fn (Xn−1 , Un , Wn , en )

(3.13)

Donde fn es un vector conformado por fn = [f1 f2 f3 ]T en el cual se encuentran las componentes de ruido como se indica en la ecuaci´on (3.13). Las componentes de ruido Wn y en tienen promedio cero E{Wn } = 0 y E{en } = 0 y con ello se podr´an definir sus matrices de covarianzas como lo indican las ecuaciones (3.14) y (3.15) respectivamente: Q = E{Wn WnT }

(3.14)

L = E{en eTn }

(3.15)

Al estar no correlacionadas se considera entonces que E{wi ej } = 0 para cualquier valor de i y j. Como se observa en la figura 3.7a la distancia existente entre el robot m´ovil y las etiquetas debe ser conocida dado que es determinante en la toma de decisiones del robot, as´ı conociendo la posici´on del robot en el instante de tiempo n, se puede calcular la distancia a las etiquetas ya que poseen coordenadas conocidas de la manera indicada en las ecuaciones (3.16)– (3.18): q (3.16) α1n = d1n = (y1 − yn )2 + (x1 − xn )2 + c21 q α2n = d2n = (y2 − yn )2 + (x2 − xn )2 + c22 (3.17) α3n = θn = θn

(3.18)

El modelo en espacio de estado requiere un vector de observaci´on, el cual se denotar´a como zn = [z1n z2n z3n ]T , donde se puede definir una funci´on no lineal del 39

´ CAP´ITULO 3. ROBOT MOVIL Y TECNOLOG´IA RFID vector de estado como hn (xn ) = [α1n α2n α3n ]T y al considerar que existe ruido en las mediciones se define el mismo como un vector vn = [v1n v2n v3n ]T ; por lo tanto el vector de observaci´on quedar´ıa definido por la ecuaci´on (3.19): zn = hn (xn ) + vn

(3.19)

Como en los casos anteriores se considera el vector vn como un ruido blanco gaussiano con promedio cero E{vn } = 0, de este modo su matriz de covarianza queda delimitada por la ecuaci´on (3.20): R = E{vn vnT }

(3.20)

Donde E{vi wjT } = 0 y E{vi eTj } = 0 para cualquier valor de i y j. De dicho modo el modelo en espacio de estado quedar´ıa definido por las ecuaciones (3.13) y (3.19) respectivamente.

40

Cap´ıtulo 4 Filtros En ´este cap´ıtulo se estudiar´an los filtros de inter´es del presente trabajo de investigaci´on, para poder entender los algoritmos desarrollados es fundamental, en primera instancia, analizar los mismos en su modo de aplicaci´on en sistemas lineales para luego abordarlos con los sistemas no lineales en donde a trav´es de la serie de Taylor se pueden expandir los mismos y lograr una aproximaci´on bastante real del fen´omeno estudiado; de modo que se presenta el filtro de Kalman y su extensi´on para el modelo sugerido en la secci´on 3 y, posteriormente, se abordan los filtros UFIR y de modo similar que en el de Kalman su extensi´on en el modelo propuesto.

4.1.

Filtro de Kalman

El filtro de kalman es un algoritmo de procesamiento de datos recursivo ´optimo. Para entender esto, se define o´ptimo, dependiendo sobre el criterio escogido para evaluar el funcionamiento del algoritmo. Un aspecto de ser ´ optimo es que el filtro de Kalman incorpora toda la informaci´on que se le pueda proveer. Procesa todas las medidas disponibles, para estimar el valor actual de las variables de inter´es, con el uso del conocimiento del sistema y las din´amicas de los sensores, la descripci´on estad´ıstica de los ruidos del sistema, los modelos din´amicos inciertos, y cualquier informaci´on disponible acerca de las condiciones de las variables de inter´es con la finalidad de minimizar el error en alg´ un aspecto. La palabra recursivo significa, a diferencia de ciertos conceptos de procesamiento de datos, que el filtro de Kalman no requiere que todos los datos previos requeridos se mantengan almacenados y reprocesados cada vez que una nueva medida es tomada. Este concepto es de vital importancia para la practicidad de la implementaci´on del filtro. El filtro es actualmente un algoritmo de procesamiento de datos, a pesar de la t´ıpica connotaci´on del filtro como caja negra conteniendo redes el´ectricas, el hecho es que en muchas aplicaciones, el filtro es solo un programa de computadora en un procesador central. Esto inherentemente incorpora medidas discretas en el tiempo. A menudo las variables de inter´es de alguna cantidad finita describen el estado del

41

CAP´ITULO 4. FILTROS sistema, algunas no pueden ser medidas directamente, y otras se pueden inferir de los datos disponibles. M´as a´ un, cualquier medida va a ser corrompida de alguna manera por el ruido, como las inexactitudes del componente, por lo que la extracci´on de la informaci´on valuable de una se˜ nal ruidosa es muy necesaria. Hay muchos sensores, que tienen sus propias din´amicas particulares y errores caracter´ısticos, que proveen alguna informaci´on acerca de una variable particular, y podr´ıa ser deseable combinar esas salidas en una manera optima y sistem´atica. El filtro de Kalman combina todas las medidas de los datos, adem´as con un previo conocimiento acerca de los componentes del sistema, para producir un estimado de las variables deseables en una manera en la cual el error es minimizado estad´ısticamente. El filtro de Kalman tiene como prioridad estimar el estado xn de un proceso en tiempo discreto, el cual es dominado por una ecuaci´on de diferencias lineal estoc´astica de la siguiente forma: xn = Axn−1 + Bun−1 + wn−1 + · · ·

(4.1)

Y una medida z representada como: zn = Hxn + vn + · · ·

(4.2)

Donde las dimensiones de los vectores se encuentran definidas por el n´ umero de estados k del sistema y por el n´ umero de variables a medir m; en donde: x ∈ Rn ; z ∈ Rm ; w ∈ Rn ; v ∈ Rm ; Las matrices representan las relaciones del sistema A ∈ Rn×n ; B ∈ Rn×m ; C ∈ Rm×n ; D ∈ Rm×m . La matriz A tiene una dimensi´on n×n y relaciona el estado previo n−1 con el estado actual n. La matriz B, se relaciona con la entrada de control y la matriz H de dimensi´on m×n relaciona el estado con la medici´on zk . Estas matrices pueden cambiar en el tiempo, pero en general se asumen como constantes. Mientras que las variables wk y vk representan las perturbaciones o ruido del sistema y de la observaci´on respectivamente. Se asume que son blancos gaussianos, que no est´an correlacionadas con el tiempo y son independientes entre ellos, que tienen una distribuci´on de probabilidad normal: p(w) u N (0, σQ ) · · · p(v) u N (0, σR ) · · ·

(4.3) (4.4)

Esto quiere decir que tienen una distribuci´on normal, con media 0 y con una desviaci´on est´andar de Q y R, respectivamente. En la pr´actica las matrices de covarianza de la perturbaci´on del proceso, Q, y de la perturbaci´on de la medida, R, podr´ıan cambiar en el tiempo, por simplicidad en general se asumen que son constantes. Q(i, j) = E{wi wjτ }

(4.5)

R(i, j) = E{vi vjτ }

(4.6)

E{vi wj } = 0 para toda j e i 42

(4.7)

CAP´ITULO 4. FILTROS

4.1.1.

Argumentos computacionales del filtro

Se define el estado estimado, a priori en n, como xˆn−1 , el conocimiento del proceso antes de n, y se define el estado a posteriori en n dada la medici´on. Entonces se pueden definir los errores de estimaci´on a priori y a posteriori como se presenta en las ecuaciones (4.8) y (4.9): en|n−1 = xn − xˆn−1 en|n = xn − xˆn

(4.8) (4.9)

La covarianza del error del estado estimado a priori, se define con la ecuaci´on (4.10): Pn−1 = E{en|n−1 eTn|n−1 } (4.10) La covarianza del error del estado estimado a posteriori, quedar´a definida por la ecuaci´on (4.11): Pn = E{en|n eTn|n } (4.11) Por medio de las ecuaciones del filtro de Kalman se pretende encontrar una ecuaci´on que calcule el estado estimado a posteriori como una combinaci´on lineal de una estimaci´on a priori y de manera ponderada de diferencias entre la medici´on actual y la predicci´on de la medici´on. xˆn = xˆn−1 + K(zn − H xˆn−1 )

(4.12)

La diferencia en la ecuaci´on (4.12) es llamada innovaci´on en la medici´on, o el residuo, que refleja la discrepancia entre la medici´on y la medici´on actual. Un residuo de cero significa que los dos est´an completamente cercanos. La matriz K en la ecuaci´on (4.12) es elegida para ser la ganancia o la mezcla que minimiza el error a posteriori de la covarianza (4.11). Esta minimizaci´on se puede lograr incorporando en la ecuaci´on (4.12), la ecuaci´on (4.10) y despu´es lo que se incorpor´o en la definici´on anterior, se incluye en la ecuaci´on (4.10), entonces resolviendo para K, se tiene la siguiente expresi´on: K = Pn−1 H T (HPn−1 H T + R)−1 (4.13) De la ecuaci´on (4.13) se puede apreciar que a medida que la covarianza del error de medici´on R se aproxima a cero, la ganancia K tiende a la inversa de H. Es decir l´ım Kn = H −1 . Por otra parte, cuando la estimaci´on de la covarianza del error

Rn−1 →0

a priori, Pn−1 , se aproxima a cero, la ganancia K tiende a cero:

l´ım Kn = 0. Un

Pn−1 →0

significado de K, es entender que la covarianza del error de medici´on se aproxima a cero, entonces la medici´on real zn es de mayor “confianza”, mientras que la medida predecida H xˆn−1 es menos confiable. Por otra parte, cuando la estimaci´on de la covarianza del error a priori, Pn−1 , se aproxima a cero la medici´on real zn es cada vez menos confiable, mientras que la medici´on predecida H xˆn−1 es m´as confiable.

43

CAP´ITULO 4. FILTROS

4.1.2.

Argumentos probabil´ısticos del filtro

La justificaci´on de la ecuaci´on (4.12) se basa en la probabilidad de la estimaci´on a priori condicionada en todas las mediciones anteriores. E{xn } = xˆn

(4.14)

Pn = E{(xn − xˆn )(xn − xˆn )T }

(4.15)

El estado estimado a posteriori en la ecuaci´on (4.12) corresponde a la media (el primer momento) y es distribuido normalmente si las condiciones en las ecuaciones (4.3) y (4.4) se cumplen. La estimaci´on de la covarianza del error a posteriori (4.11) refleja la varianza del estado de distribuci´on (el segundo momento central). En otras palabras: P (xn zn ) ≈ N (E{xn }, E{(xn − xˆn )(xn − xˆn )T }) (4.16) = N (ˆ xn , Pn ) Vemos que al final se convierte en una distribuci´on normal con media xˆn y desviaci´on est´andar Pn .

4.1.3.

Algoritmo discreto del filtro de Kalman

El filtro de Kalman estima un proceso utilizando una forma de control de retroalimentaci´on, en otras palabras, estima el estado del proceso en alg´ un momento en el tiempo y entonces obtiene la retroalimentaci´on por medio de los datos observados. Las ecuaciones que se utilizan para derivar el filtro de Kalman se pueden dividir en dos grupos: Las ecuaciones de actualizaci´on de tiempo son responsables de la estimaci´on del estado actual y del error de covarianza para obtener la estimaci´on para el pr´oximo estado. Las ecuaciones de actualizaci´on de medida son responsables de la retroalimentaci´on, es decir, incorporan nueva medida dentro de la estimaci´on a priori para obtener una estimaci´on mejorada del estado. Efectivamente, el algoritmo de estimaci´on final puede definirse como un algoritmo de predicci´on-correcci´on para resolver numerosos problemas. El estimador o´ptimo o filtro de Kalman trabaja como proyector y corrector al pronosticar el nuevo estado y su incertidumbre adem´as de corregir la proyecci´on con la nueva medida. El filtro de Kalman usa la actualizaci´on del tiempo como predictor, la cual genera una predicci´on del estado para el siguiente dato en el tiempo tomando en cuenta la informaci´on disponible hasta ese momento, tambi´en usa la actualizaci´on de medida como corrector, la cual mejora la predicci´on del estado, de tal forma que el error es minimizado. Las ecuaciones que competen a la parte de predicci´on del estado se presentan en (4.17) y (4.18), por medio de estas ecuaciones se puede proyectar el estado hacia delante de n − 1 a n: xˆn = Aˆ xn−1 + Bun−1 + wn−1 Pˆn = APˆn−1 AT + Q 44

(4.17) (4.18)

CAP´ITULO 4. FILTROS La primera tarea que se realiza durante la actualizaci´on de la medici´on es calcular la ganancia de Kalman, K. El siguiente paso es medir el proceso para obtener y despu´es generar una estimaci´on del estado a posteriori mediante la incorporaci´on de la medici´on en la ecuaci´on (4.19). El paso final es obtener la estimaci´on del error de la covarianza a posteriori mediante la ecuaci´on (4.20). Despu´es de cada actualizaci´on en la medici´on y el tiempo, el proceso se repite con las estimaciones anteriores a posteriori utilizadas para proyectar o predecir las nuevas estimaciones a priori. Kn = Pn−1 H T (HPn−1 H T + R)−1 xˆn = xˆn−1 + Kn (zn − H xˆn−1 ) Pn = (I − Kn H)Pn−1

(4.19) (4.20) (4.21)

Este car´acter recursivo es una de las caracter´ısticas m´as significativas del filtro Kalman que lo hace pr´actico en las implementaciones; el filtro de Kalman usa su recursividad para la estimaci´on actual con base en todas las mediciones anteriores. La figura 4.1 presenta el algoritmo de trabajo del filtro de Kalman y las etapas descritas previamente.

Figura 4.1: Algoritmo Filtro de Kalman De manera gr´afica la figura 4.2 representa el proceso de estimaci´on del filtro de Kalman. Se produce del modo como se explic´o previamente; se proporcionan las condiciones iniciales x0 , con la matriz A y por medio de la relaci´on An xˆn−1 se establece una primera aproximaci´on hacia xn . El termino Kn es la ganancia del filtro que genera una correcci´on del primer t´ermino basada en la medici´on y, donde la 45

CAP´ITULO 4. FILTROS matriz de ganancia de Kalman establece el peso de la correcci´on. Debido a que Kn se establece por medio del criterio MSE se asegura que el error es m´ınimo por lo que la aproximaci´on xˆn debe ser un valor muy cercano a xn . El proceso descrito se repite para los siguientes puntos, de un punto n hasta llegar a un punto n + 1, luego se hace que n + 1 = n y se calcula el nuevo punto n + 1.

Figura 4.2: Estimaci´on Filtro de Kalman

4.1.4.

Consideraciones del filtro

En la aplicaci´on real del filtro, la covarianza del error de medici´on R, suele medirse antes de la operaci´on del filtro. La medici´on de la covarianza del error de medici´on R, es en general pr´actica, porque es posible medir el proceso de todos modos (mientras que el filtro entra en funcionamiento). La determinaci´on de la covarianza del ruido del proceso Q, es generalmente m´as dif´ıcil de medir ya que normalmente no se tiene la capacidad de observar directamente el proceso que estamos estimando. A veces, con modelos simples del proceso, se pueden producir resultados aceptables si se inyecta bastante incertidumbre en el proceso a trav´es de la selecci´on de Q. En cualquier caso, si se tiene o no una base racional para la elecci´on de estos par´ametros,en muchas ocasiones se consideran valores superiores al rendimiento del filtro (estad´ısticamente hablando) para despu´es obtener por medio de la afinaci´on de los par´ametros del filtro el Q y R. Bajo condiciones en donde Q y R son constantes, ambas estimaciones de la covarianza del error de Pn y la ganancia de Kalman Kn se estabilizar´an r´apidamente y luego se mantendr´an relativamente constantes. Las ventajas del filtro es que es compacto, no necesita de mucha memoria porque solo usa el paso anterior para estimar su punto actual, el algoritmo es r´apido. Sus desventajas son que el filtro solo es ´optimo cuando se conoce que el ruido es ruido blanco Gaussiano y tiene una estimaci´on inicial as´ı como las matrices de covarianza. Se debe resaltar que al momento de aplicar un filtro de Kalman es necesario tener un conocimiento estad´ıstico del ruido del sistema, queda claro que en el caso del ruido de medici´on vn estas caracter´ısticas son relativamente f´aciles de obtener, sin embargo para el ruido del sistema wn suele ser m´as complicado. En la implementaci´on del filtro 46

CAP´ITULO 4. FILTROS de Kalman en problemas reales, solo se puede obtener una estimaci´on de las matrices de covarianza y las condiciones iniciales. Debido a estas caracter´ısticas el filtro se encuentra limitado en aplicaciones reales, el desconocimiento de las propiedades estad´ısticas del ruido implica una estimaci´on con mayor error. Es posible modificar el algoritmo para ampliar su rango de aplicaciones, a estos algoritmos se les denomina filtros de tipo Kalman. Una de las modificaciones m´as importantes es el uso de las series de Taylor para aplicar el filtro en sistemas no lineales, como es el presente caso de investigaci´on y se conoce como el filtro extendido de Kalman. Por otro lado es igualmente posible expandir el algoritmo como un estimador o suavizador de se˜ nales.

4.1.5.

Filtro de Kalman Extendido: aplicado al modelo del robot

Con el af´an de estimar el vector de estado Xn a trav´es de los m´etodos del filtrado lineal como es el caso del filtro de Kalman, se necesita aplicar una serie de Taylor de primer orden para extender el modelo; de este modo aplicando la serie de Taylor al vector de estado Xn = fn (Xn−1 , un , Wn , en ) se aproxima un modelo no lineal a uno lineal como se explic´o en la secci´on 2.6.6 para obtener as´ı: fn u fn (ˆ xn−1 , un , 0, 0) + Fn (xn−1 − xˆn−1 + Wn wn + En en )

(4.22)

Donde xˆn = [ˆ x yˆn θˆn ] es la estimaci´on de xn . Una expansi´on de la ecuaci´on(3.13) en series de Taylor permite obtener la ecuaci´on (4.22), la cual indica que un − un−1 es insignificante en el sistema dado que los incrementos en las ruedas son muy peque˜ nos en cada paso de tiempo; as´ı como las componentes iniciales del ruido en el punto n − 1 se consideran cero wn−1 = 0 y en−1 = 0 y si se ordenan los t´erminos de la ecuaci´on (4.24) para obtener una ecuaci´on de la forma de espacio de estados (2.17) se obtiene que uˆn = fn (ˆ xn−1 , un , 0, 0) − Fn xˆn−1 . Esta representa las entradas del modelo, mismas que son bien conocidas, as´ı las matrices Fn , Wn , En son las matrices en espacio de estados que no son otra cosa m´as que Jacobianos y que se denotaron en la teor´ıa general como A,B y H respectivametne. Cabe resaltar que al expandir las ecuaciones (3.13) y (3.19) en series de Taylor el termino de segundo orden no representa ninguna ventaja adicional, por lo que para fines pr´acticos de este trabajo es omitido, obteniendo as´ı la ecuaci´on (4.23): fn = Fn xn−1 + uˆn + Wn wn + En en

(4.23)

Por lo tanto los Jacobianos quedar´ıan determinados por la ecuaci´on (4.24):   1 0 −dn sin(θˆn−1 + 21 Θn ) ∂fn = 0 1 dn sin(θˆn−1 + 21 Θn  (4.24) Fn = ∂x xˆn−1 0 0 1 Como al considerar el ruido aditivo con respecto a las componentes de xn y especificar que wn−1 = 0 se obtiene que: ∂fn = Fn (4.25) Wn = ∂w xˆn−1 47

CAP´ITULO 4. FILTROS Finalmente el Jacobiano con respecto a las componentes de ruido en las entradas se plantea como lo presenta la ecuaci´on (4.26):   becn + dn esn becn − dn esn ∂fn 1  besn − dn ecn besn + dn ecn  En = = (4.26) ∂u xˆn−1 2b −2 2 Donde ecn = cos(θˆn−1 + Θ2n ) y esn = sin(θˆn−1 + Θ2n ). De modo similar que se analiz´o la ecuaci´on (3.13) se analiza la ecuaci´on (3.19) y de igual forma la ecuaci´on no lineal hn (xn ) se pude expandir en n t´erminos (cabe mencionar que se utiliza la notaci´on para los t´erminos xˆn , xˆn|n y xˆn¯ , xˆn|n−1 ) respectivamente obteniendo as´ı la ecuaci´on (4.27): ∂hn (4.27) hn (xn ) u hn (ˆ xn¯ ) + (xn − xˆn¯ ) ∂x xˆn¯ Donde al dar continuidad a la forma en espacio de estados de la ecuaci´on (3.13) se considera que z¯n = hn (ˆ xn¯ ) − Hn xˆn¯ dando como resultado la ecuaci´on (4.28): hn (xn ) = Hn xn + z¯n

(4.28)

De este modo Hn se denotar´ıa con el Jacobiano presentado en la ecuaci´on (4.29):  xˆn¯ −x1 yˆn¯ −y1  0 u1n u1n ∂fn y ˆ −y x ˆ −x n ¯ 2 n ¯ 2 (4.29) Hn = =  u2n 0 u2n ∂u xˆn−1 0 0 1 p Donde u1np= (y1 − yn¯ )2 + (x1 − xn¯ )2 + c21 mientras el termino de u2n se define como u2n = (y2 − yn¯ )2 + (x2 − xn¯ )2 + c22 de tal modo que la ecuaci´on del modelado en espacios de estados extendidos de primer orden quedar´ıa definida por las ecuaciones (4.30) y (4.31) respectivamente: xn = Fn Xn−1 + u¯n + w ˆn + eˆn zn = Hn Xn−1 + z¯n + vn

(4.30) (4.31)

Donde wˆn = Wn wn y eˆn = En en respectivamente, y sus matrices de covarianzas poseen la forma de: ˆ n = Fn QFnT Q ˆ n = En LE T L n

(4.32) (4.33)

Donde Q y L fueron especificadas en las ecuaciones (3.14) y (3.15) respectivamente. Una vez obtenidas las ecuaciones anteriores se puede considerar que el error a priori de la estimaci´on quedar´a definido como: Pn¯ = E{(xn − xˆn¯ )(xn − xˆn¯ )T } ˆn + L ˆn = Fn Pn−1 FnT + Q 48

(4.34) (4.35)

CAP´ITULO 4. FILTROS Y la estimaci´on del error quedar´a definida como: Pn = E{(xn − xˆn¯ )(xn − xˆn¯ )T } = (I − Kn Hn )Pn¯

(4.36) (4.37)

Cabe resaltar que la estimaci´on inicial xˆ0 deber´a ser proporcionada. En la tabla 4.1 se presentan los pasos realizados por el filtro extendido de Kalman obedeciendo a la forma del algoritmo presentada en la figura 4.1

1.2.3.4.5.-

Algoritmo EKF Entradas: zn ; xˆ0 ; P0 ; M ; R; Q; L Proceso for n=1:M do xˆn¯ = fn (ˆ xn−1 ; un ; 0; 0) Pn¯ = Fn (Pn−1 + Q)FnT + En LEnT Kn = Pn¯ HnT (Hn Pn¯ HnT + Rn )−1 xˆn = xˆn¯ + Kn [zn − hn (ˆ xn¯ )] Pn = (I − Kn Hn )Pn¯ end for Salida: xˆn

Tabla 4.1: Pasos de estimaci´on del filtro EKF Donde zn representa el conjunto de observaciones o mediciones realizadas; xˆ0 las condiciones iniciales de donde parte el robot; P0 los valores iniciales de la matriz de error, M el n´ umero total de muestras que conforman la trayectoria del robot; y R, Q, L las matrices de covarianzas de los ruidos que afectan al sistema respectivamente.

4.2.

Filtro UFIR

Para poder definir y explicar de manera m´as eficiente y clara lo que es un filtro UFIR extendido se debe comenzar por analizar sus siglas;FIR (Finite Impulse Response) se deriva de los conocidos filtros digitales de este tipo en donde si en su entrada se encuentra un impulso (una delta kronecker) su salida ser´a un n´ umero limitado de t´erminos no nulos, una de las ventajas que poseen los filtros FIR es la estabilidad BIBO,el sesjo existente entre las estimaciones y la media de las mismas en este tipo de filtro se disminuye considerablemente, de ah´ı la caracter´ıstica de ser insesgado o Unbiased. La caracter´ıstica de extendido es comparable a la de Kalman, un conjunto de modificaciones necesarias aplicables cuando se esta en presencia de sistemas no lineales. Sin embargo es importante recalcar que es necesario estudiar los filtros UFIR desarrollados previamente; el por que de hacer esto radica en que para poder capturar la esencia del funcionamiento del filtro EFIR, el cual es desarrollado en este trabajo de investigaci´on y de inter´es de estudio, se requiere analizar su origen 49

CAP´ITULO 4. FILTROS y la evoluci´on del mismo, de esta manera el proceso de comprensi´on se agilizar´a y permitir´a un mayor entendimiento del filtro propuesto. A continuaci´on se presenta un conjunto de secciones dedicadas a los filtros UFIR m´as relevantes,algunos diagramas a bloques que presentan sus algoritmos de trabajo y el conjunto de ecuaciones que los caracteriza.

4.2.1.

Consideraciones generales

Considere un sistema no lineal el cual es afectado por ruido blanco gaussiano, como se muestra en las ecuaciones (4.38) y (4.39): xn = An xn−1 + Bn wn zn = Cn xn + Dn vn

(4.38) (4.39)

las dimensiones de los vectores se encuentran definidas por el n´ umero de estados k del sistema y por el n´ umero de variables a medir m en donde: xn ∈ Rk ; zn ∈ Rm ; son el vector de estado y el vector de observaci´on; w ∈ Rk ; v ∈ Rm son los vectores de ruido respectivamente; A ∈ Rk×k ; B ∈ Rk×m ; C ∈ Rm×k ; D ∈ Rm×m representan las matrices que relacionan el sistema. El promedio de cada ruido es cero, E{wn } = 0 y E{vn } = 0. Los ruidos son mutuamente no correlacionados, E{wi vjT } = 0, con distribuciones arbitrarias, no necesariamente Gaussianos. Las covarianzas de los ruidos son conocidas y est´an definidas por ecuaciones (4.40) y (4.41), donde Q ∈ Rk×k y R ∈ Rm×m . Q(i, j) = E{wi wjT }; para toda j e i

(4.40)

R(i, j) = E{vi vjT }; para toda j e i

(4.41)

Bajo estas condiciones se desea desarrollar un filtro FIR que sea insesgado y que filtre de manera o´ptima el ruido y aplicable a las condiciones de no linealidad del sistema. Bajo estos requisitos se asume que fn (xn−1 ) y hn (xn ) son lo suficientemente aproximables en un modelo extendido a trav´es de la serie de Taylor. Como se menciona en futuras secciones, en este caso en particular se expande hasta el primer orden de la serie fn (xn−1 ) alrededor de la estimaci´on xˆn¯ (Para fines pr´acticos se adoptan las notaciones xˆn , xˆn|n mientras que xˆn¯ , xˆn|n−1 ).

4.2.2.

Filtro Batch UFIR de tipo Kalman

Debido a que se desea que el filtro sea de tipo FIR, se extienden las ecuaciones (4.38) y (4.39) a un horizonte N , que va desde m = n − N + 1 hasta n. Xn,m = An,m xm + Bn,m Wn,m Zn,m = Cn,m xm + Gn,m Wn,m + Dn.m Vn,m

50

(4.42) (4.43)

CAP´ITULO 4. FILTROS Cada uno de estos t´erminos es un vector cuya estructura se muestra en las ecuaciones que se presentan a continuaci´on en (4.44)–(4.47): Xn,m = [xTn xTn−1 · · · xTm ]T

(4.44)

T T T Wn,m = [wnT wn−1 · · · wm ]

(4.45)

Zn,m = Vn,m =

[znT [vnT

T zn−1 T vn−1

T T · · · zm ] T T · · · vm ]

(4.46) (4.47)

De igual modo las matrices son modificadas, y se pude notar que aparece un nuevo termino G. Las nuevas dimensiones de las matrices quedar´ıan denotadas en las ecuaciones (4.48)–(4.51): An,m = [Am+1T Am+1T · · · ATm+1 I]T n,0 n,1 Cn,m = C¯n,m An,m Gn,m = C¯n,m Bn,m Dn,m = diag(Dn Dn−1 · · · Dm) | {z }

(4.48) (4.49) (4.50) (4.51)

N

Con respecto a las ecuaciones anteriores es importante aclarar que los t´erminos ¯ Ar−g r,h y Cn,m se definen por las ecuaciones (4.52) y (4.53) respectivamente: r−g Ar,h

=

g X

Ar−i

(4.52)

i=h

C¯n,m = diag(Cn Cn−1 · · · Cm) {z } |

(4.53)

N

De igual modo la matriz B quedar´a definida como se presenta en (4.54):   m+1 Bn An Bn−1 · · · Am+2 B A B m+1 m n,0 n,0 m+2 0  Bn−1 · · · Am+2 n,1 Bm+2 An,1 Bm+1    ..  . . . ... .. .. .. Bn,m =  . (4.54)    0 0 ··· Bm+1 Am+1 Bm  0 0 ··· 0 Bm Es posible obtener un estimador usando la medici´on Zn,m . En la ecuaci´on (4.55) se establece esta relaci´on, ahora el problema radica en hallar la Hn,m (p) capaz de generar una estimaci´on ´optima. xˆ

= Hn,m (p)Zn,m

n+p n

(4.55)

Dentro de la soluci´on tambi´en se debe establecer la condici´on de no bias o insesgado de la ecuaci´on (4.56). Bajo las condiciones establecidas del ruido y con la ¯ n,m (p) cuconsideraci´on que el estimador propuesto sea insesgado es posible hallar H ya soluci´on se muestra en (4.57). Sustituyendo (4.58) en (4.55) se halla el estimador 51

CAP´ITULO 4. FILTROS insesgado de la ecuaci´on (4.58) donde la barra denota que el estimador es insesgado, igualmente se debe observar que se tiene un t´ermino p que habilita al estimador actuar como un filtro, predictor o suavizador dependiendo de su valor. E{ˆ x

} = E{x

n+p n

}

n+p n

−1 T T ¯ n,m (p) = Am+1 H n+p,0 (Cn,m , Cn,m ) Cn,m x¯ = Hn,m (p)Zn,m n+p n

(4.56) (4.57) (4.58)

T −1 T = Am+1 n+p,0 (Cn,m , Cn,m ) Cn,m Zn,m

La ecuaci´on (4.57) establece la f´ormula concreta del estimador. Cuando p = 0 el estimador de la ecuaci´on (4.57) es un filtro Batch UFIR, Batch debido a que usa un conjunto de datos, UFIR por que es unbiased (sin sesjo) y de tipo FIR.

Figura 4.3: Modo de estimaci´on de los filtros Kalman y Batch UFIR En la figura 4.3 se muestra la comparaci´on entre la estrategia Kalman y la estrategia del filtro Batch UFIR, los dos filtros comienzan en un punto m y buscan estimar el valor n. En la estrategia del filtro Kalman se pasa de un punto m a un punto m + 1 y por medio de la ganancia de Kalman se obtiene la estimaci´on xˆ hasta llegar al punto n de manera recursiva, cada uno de los puntos azules de la linea punteada representa una estimaci´on. En el filtro Batch UFIR se tiene un conjunto de datos Yn,m de la medici´on representados por los puntos verde oscuro dentro de la regi´on sombreada. Estos puntos van desde m hasta n, operando con las matrices siguiendo la ecuaci´on (4.42) se obtiene una estimaci´on xˆ.

4.2.3.

Filtro tipo Kalman UFIR iterativo

A pesar de que se conoce la ecuaci´on del estimador insesgado (4.56) que proporciona una soluci´on al filtrado FIR, se debe observar que el tama˜ no de las matrices depende de N en gran medida. Para N  1 el costo computacional crece considerablemente por cada una de las operaciones, sobre todo la matriz inversa. La soluci´on 52

CAP´ITULO 4. FILTROS es recurrir a una estrategia iterativa, de esta manera se reduce el costo computacional de las operaciones matriciales. La forma iterativa de xˆ se muestra en la ecuaci´on (4.59). + Kl [zl − Fl Γl (p)ˆ ] xˆ = Al+p xˆ x (4.59) l+p l l−1+p l−1 l−1+p l−1 Se puede observar que la forma es similar a la de un filtro Kalman. El t´ermino Al+p xˆ representa la proyecci´on basado en un modelo, el t´ermino en los corl−1+p l−1 chetes representa una correcci´on basada en la medici´on zl y por u ´ltimo Kl representa la ganancia de Kalman encargada de darle el peso correcto a cada correcci´on. Se debe observar que existen dos nuevas matrices F y Γ las cuales se encuentran definidas en las ecuaciones (4.60) y (4.61) respectivamente. La ganancia de Kalman queda definida por la ecuaci´on (4.62). F = [ClT Cl + (Al Fl−1 ATl )−1 ]−1  l−|p| A si p < 0    l,0 Al si p = 0 Γl (p) =  I si p = 1   Qp−1 −1 i=1 Al−i si p > 1 T Kl = Al+p Γ−1 l (p)Fl Cl

(4.60)

(4.61)

(4.62)

Igualmente se debe observar que en la ecuaci´on hay dos condiciones iniciales xˆl−1+p|l−1 y Fl−1 que no se han definido. Para obtener estas condiciones iniciales se recurre al conjunto de ecuaciones que se presentan en (4.63)–(4.65): T

m+1 Fs = Am+1 s,0 P As,0

(4.63)

T xˆs+p|s = Am+1 s+p,0 P Cs,m Zs,m

(4.64)

T P = (Cs,m Cs,m )−1

(4.65)

Donde s = l − 1 y se observa que las ecuaciones no requieren de una condici´on inicial o de las matrices de covarianza. La iteraci´on de l comienza en un valor inicial max(m + K, m + 2, m + 2 − p) y llega hasta n. La limitante del valor inicial de l m+1 se establece para permitir que la matriz inversa de P y las matrices Am+1 l−1+p,0 Al−1,0 existan. Cuando l = n el valor de x¯l representa la estimaci´on de xn . Debido a que l debe ser menor o igual a n, el valor de N est´a limitado por el valor inicial seleccionado max(m + K, m + 2, m + 2 − p). Caso 1: max(m + K, m + 2, m + 2 − p) = m + K. l = m + K = (n − N + 1) + K n≥l →n≥n−N +1+K N ≥K +1

53

CAP´ITULO 4. FILTROS Caso 2: max(m + K, m + 2, m + 2 − p) = m + 2. l = m + 2 = (n − N + 1) + 2 n≥l →n≥n−N +3 N ≥3 Caso 3: max(m + K, m + 2, m + 2 − p) = m + 2 − p. l = m + 2 − p = (n − N + 1) + 2 − p n≥l →n≥n−N +3−p N ≥3−p Si se sigue una estrategia UFIR iterativa se comienza en un punto m y se determina un punto l y s, las matrices iniciales Fs y x¯s establecen el punto de partida del algoritmo y se obtienen sin la necesidad de conocer una x inicial o las matrices de covarianza. Luego por medio de la ecuaci´on de x¯l+p|l se realiza un paso de predicci´on con base en la matriz A y una correcci´on con base en la matriz K en forma iterativa hasta que l = n. Se observa que el algoritmo es similar a un filtro Kalman por esto el filtro se denomina UFIR iterativo de tipo Kalman.

Figura 4.4: Estrategia de estimaci´on del filtro UFIR iterativo Una vez que se elige un valor de N se obtiene una respuesta del filtro, en la figura 4.4 se muestra una comparaci´on del proceso que sigue el estimador UFIR iterativo y un filtro Kalman mientras que en la figura 4.5 un diagrama a bloques del algoritmo del mismo.

4.2.4.

Filtro UFIR Extendido: aplicado al modelo del robot

Una vez dado a conocer el funcionamiento general del filtro UFIR, se aborda el estudio de la extensi´on del mismo en donde al igual que el Kalman se aplica a sistemas no lineales en este caso al modelo descrito en las ecuaciones (4.30) y (4.31); 54

CAP´ITULO 4. FILTROS

Figura 4.5: Diagrama a bloques del algoritmo del filtro UFIR iterativo a pesar de que el filtro de la secci´on 4.1.5 es ampliamente utilizado en ingenier´ıa debido a los buenos resultados que arroja, presenta problemas cuando no se conocen las matrices de covarianza debido a que produce grandes errores en su estimaci´on; en este caso una mala interacci´on con las etiquetas RFID generar´a una mala determinaci´on de la posici´on del robot; contrario al filtro de Kalman ´optimo que minimiza el error cuadr´atico medio (MSE), el filtro FIR satisface las condiciones de ser insesgado E{ˆ xn } = E{xn }, esta caracter´ıstica ha sido estudiada y explicada ampliamente en [41]. Una de las ventajas de aplicar un filtro EFIR es que este ignora las estad´ısticas del ruido pero requiere de un intervalo o´ptimo de muestras para poder realizar una adecuada estimaci´on. El filtro EFIR se organiza de manera similar al filtro de Kalman, la estimaci´on se realiza de manera iterativa como se presenta en la ecuaci´on (4.66): xˆl = xˆ¯l + Kl [zl − hl (ˆ x¯l )] (4.66) Se incorpora una nueva variable l la cual abarca desde el rango de m + K hasta n pero m queda denotada como m = n − N − 1, aqu´ı K representa el n´ umero de estados de modelo en este caso son 3 los de inter´es; mientras que N es el horizonte de trabajo del filtro FIR determinando as´ı su orden y su rango de operaci´on.La salida final del filtro se toma cuando l = n en cada ciclo realizado. La ganancia que define la correcci´on en el sesgo de la estimaci´on queda definida por la ecuaci´on (4.67) Kl = Gl HlT

55

(4.67)

CAP´ITULO 4. FILTROS

Figura 4.6: Diagrama a bloques del algoritmo del filtro EFIR Tambien se presenta una generalizaci´on de la ganancia de ruido de sus siglas en ingles (GNPG), Gl definida en la ecuaci´on (4.68): Gl = [HlT Hl + (Fl Gl−1 FlT )−1 ]−1

(4.68)

En la cual los t´erminos de inversa que presenta son aplicables cuando el sistema es estable generalmente en l ≥ m + K. Es este caso en particular donde se tienen tres estados asociados al veh´ıculo (K = 3), los valores de la estimaci´on inicial en s = m + K − 1 pueden ser encontrados calculandolos como en el filtro de Batch de la secci´on 4.2.2 y de esto se obtiene que: T T xˆs = Fs Fs−1 (Hs,m Hs,m )−1 Hs,m Ys,m T Hs,m )−1 Fs−1 Fs Gs = Fs Fs−1 (Hs,m

Ys,m = Hs,m

T T T T ym+1 ym ] [ym+2

  Hm+2 Fm+2 Fm+1 =  Hm+1 Fm+1  Hm

(4.69) (4.70) (4.71) (4.72)

Para el algoritmo de EFIR se considera que yn es un vector lineal de la medici´on de xn , el cual muchas veces no se encuentra disponible debido a la naturaleza del sistema; pero si se llegase a encontrar disponible este puede ser sustituido por la ecuaci´on (4.69) en vez de xˆs ; una de las caracter´ısticas del algoritmo de EFIR que se presenta en este modelo es una simplificaci´on de la (GNPG) considerando a Gs 56

CAP´ITULO 4. FILTROS como una matriz identidad en cada ciclo de trabajo Gs = I permitiendo as´ı reducir el n´ umero de ecuaciones presentes en (4.69)-(4.72). Esto se lograr hacer dado que sus efectos en la precisi´on de la localizaci´on del robot no son significativos, efectos que son demostrados ampliamente en el siguiente cap´ıtulo a trav´es de simulaciones. De este modo se puede decir que el algoritmo EFIR presentado en el diagrama a bloques de la figura 4.6 solo necesitar´ıa conocer el rango de muestras a utilizar representado por N para lograr una buena estimaci´on; el n´ umero de estados que presenta el sistema analizado se denota con K; las medidas u observaciones realizadas por medio de zn y el vector lineal de medici´on si se dispone como Yn , es decir no se necesitan las caracter´ısticas del ruido que afectan al sistema. Cabe resaltar que aunque el algoritmo permite utilizar Gs = I esta puede ser sustituida por la ecuaci´on (4.70) sin embargo aunque cumplir´ıa las condici´on de ser insesgado no garantiza que el MSE sea m´ınimo y por lo tanto no ser´ıa ´optimo y se tendr´ıa que recurrir a la optimizaci´on del algoritmo calculando el valor de Nopt . Con lo mencionado anteriormente,se puede entonces plantear el algoritmo del filtro EFIR y visualizar as´ı el modo de trabajo. La tabla 4.2 representan de una manera abreviada los pasos de estimaci´on el filtro propuesto, y parte de sus caracteristicas computacionales. Algoritmo EFIR Entradas: zn ; Yn ; K; N Proceso for n=N-1:M do 1.- m = n −N + 1 s = m + K − 1  ys si s < N − 1 2.x˜s =  xˆs si s ≥ N − 1 3.Gs = I 4.for l = m + K : n do 5.x˜¯l = fl (ˆ xl ; ul ; 0; 0) T 6.Gl = [Hl Hl + (Fl Gl−1 FlT )−1 ]−1 7.Kl = Gl HlT 8.x˜l = x˜¯l + Kl [zl − hl (ˆ x¯l )] 9.end for 10.xˆn = x˜n end for Salida:ˆ xn Tabla 4.2: Pasos de estimaci´on del filtro EFIR

Obtenci´ on del valor o ´ptimo de N Los trabajos realizados en [42] presentan la forma de como obtener un filtro FIR o´ptimo cuando se involucran espacios de estados; y se trabaja con el valor del MSE para obtener as´ı el valor o´ptimo de N (Nopt ) al emplear la ecuaci´on (4.36) se 57

CAP´ITULO 4. FILTROS puede determinar el error producido por el valor de N utilizado para cada proceso de estimaci´on; de forma que: Nopt = arg m´ın{trP (N )} N

(4.73)

Es decir se puede realizar el trazo producido por el error en cada valor de N empleado y determinar el rango en el cual el MSE sea m´ınimo de forma que se pueda definir dicho rango como el valor o´ptimo de trabajo del filtro garantizando as´ı su calidad al producir estimaciones con un alto grado de precisi´on.

58

Cap´ıtulo 5 Simulaciones y resultados En este cap´ıtulo se presentar´a el conjunto de simulaciones y pruebas realizadas durante el presente trabajo de investigaci´on, se comienza indicando que en las sucesivas im´agenes que se presentar´an se considera que el robot m´ovil viaja a trav´es de un espacio cerrado al cual se le ha colocado un conjunto de etiquetas RFID donde sus coordenadas de localizaci´on se encuentran almacenadas en la memoria del veh´ıculo; como se especific´o en el cap´ıtulo 3 en las secciones 3.2 y 3.3, las etiquetas poseen un rango de operaci´on y se asume que el lector de etiquetas instalado en el robot es capaz de medir las distancias del mismo a las etiquetas a trav´es del RSSI (Received Signal Strenght Indicator ), es decir, midiendo la potencia presente en la se˜ nal recibida por medio de la ecuaci´on (3.1); se recuerda que el FOG (Fibre Optic Gyroscope) que se considera estar´a tambi´en instalado en el veh´ıculo m´ovil, es capaz de medir directamente el a´ngulo θn . Tambien se recuerda que todas las fuentes de ruido se consideran aditivas, estacionarias, con promedio cero, no correlacionadas y de tipo blanco Gaussiano, adem´as, se proporcionan los valores de varianza del ruido en la estimaci´on denotados como: σx2 ; σy2 ; σθ2 respectivamente, por lo tanto la matriz de covarianza especificada en la ecuaci´on (3.14) se denota como una matriz con su diagonal principal con dichos valores y sus dem´as componentes cero de la forma diagQ = [σx2 σy2 σθ2 ]. De igual forma se considera la varianza del ruido que afecta las entradas denotada como σL2 ; σR2 respectivamente y su matriz de covarianza especificada en la ecuaci´on (3.15) se denota con su diagonal principal como diagL = [σL2 σR2 ] y todas sus dem´as componentes cero respectivamente. Por u ´ltimo se considera a las fuentes de ruido para las mediciones 2 2 2 con varianza σv1 ; σv2 ; σv3 definiendo as´ı su matriz de covarianza en la ecuaci´on (3.20) 2 2 2 como diagR = [σv1 σv2 σv3 ] y el resto de sus componentes cero. Abordando el tema de inter´es de las simulaciones y resultados se dividir´a este cap´ıtulo en tres grandes secciones: la primera representa el modo de trabajo del veh´ıculo en una trayectoria circular y se toman como referencia solo dos etiquetas RFID; la segunda, el robot viaja a trav´es de una rejilla RFID recreando una ruta planeada previamente; y por u ´ltimo en la tercera secci´on el robot viaja nuevamente por una rejilla RFID pero bajos condiciones t´ıpicas de trabajo.

59

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

5.1.

Trayectoria circular

Se comenzar´a simulando una trayectoria circular realizada por el veh´ıculo tomando como referencia dos etiquetas RFID, esto con el af´an de observar los posibles errores en la localizaci´on y alg´ un posible efecto negativo derivado de los mismos. Se definen los valores de la desviaci´on est´andar como: σx = σy = σL = σR = 1mm y σθ = 0,5◦ respectivamente. De igual modo se proporcionan los valores de la desviaci´on est´andar para las mediciones de las distancias como σv1 = σv2 = 5cm y σv3 = 2◦ ; el n´ umero de muestras consideradas para este ejemplo es de 5000 muestras. Debido a que se consideran etiquetas pasivas, el rango de lectura del lector se supone de aproximadamente r = 6m, para lo cual se posiciona cada una de las etiquetas RFID consideradas en los puntos A(0,0) y B(0,6) metros respectivamente. Para probar el buen funcionamiento de los filtros EKF y EFIR, de la tabla 4.1 y 4.2 respectivamente, se considera que la trayectoria deseada xn , que se supone deber´ıa seguir el veh´ıculo m´ovil, es medida simult´aneamente usando un equipo de precisi´on y que parte en el punto x0 = [3 2 0] con respecto al origen y ser´ıan estas las condiciones iniciales que se requieren para el filtro EKF.

Figura 5.1: Rejilla RFID para la trayectoria circular con el punto de partida del robot m´ovil La figura 5.1 presenta lo mencionado en el p´arrafo anterior sobre la ubicaci´on de las etiquetas y el punto inicial de partida; Sin embargo, seg´ un el esquema de trabajo presentado en la figura 3.7, las mediciones directas de xn y yn no son posibles, por lo que se procede a atacar el problema de manera inversa de las ecuaciones (3.16) y (3.17). Al conocer las posiciones de las etiquetas x1 = x2 = y2 = 0 y y1 = 6 se puede

60

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS realzar una medici´on lineal de xn y yn . s xˆn = yˆn =

A1n −

1 2 (y − A2n + A1n ) 4y12 1

1 (A2n − A1n + y12 ) 2y1

(5.1) (5.2)

Donde A1n = d21n − c21 ; A2n = d22n − c21 . As´ı c1 = c2 = 1m representan la altura a la cual se encuentran las etiquetas RFID; al unir las mediciones de xˆn y yˆn en un vector de la forma Yn = [ˆ xn yˆn ]τ ; adem´as se considera que se conoce con precisi´on el vector xn que representa el vector de la medici´on actual de la trayectoria del robot.

(a) trayectoria

(b) Medici´on

Figura 5.2: Trayectoria deseada y mediciones realizadas La figura 5.2a representa la trayectoria realizada por el robot m´ovil y que ha sido medida con un equipo de precisi´on. Sin embargo, como se especifico en el cap´ıtulo 3, el equipo de medici´on instalado en el veh´ıculo m´ovil es de bajo costo y se ve afectado por las diferentes fuentes de ruido, lo que lleva a realizar un conjunto de mediciones como las presentada en la figura 5.2b, mismas que poseen un alto grado de perturbaci´on y un error elevado en cuanto a la posici´on del veh´ıculo y es ante esta circunstancia donde se aplican los filtros propuestos en las tablas 4.1 y 4.2, para con ello obtener los resultados de las figuras 5.3a y 5.3b. Como se puede observar, las estimaciones realizadas por cada filtro son aceptables muy cercanas a la ruta deseada; si se comparan las figuras 5.2 y 5.3 en un solo plano se aprecia de manera gr´afica como la diferencia existente entre las estimaciones y la ruta transitada por el veh´ıculo se asemejan considerablemente; cabe mencionar que posteriormente en dicho cap´ıtulo se presentar´an resultados cuantitativos de los mismos. As´ı la figura 5.4 presenta una superposici´on de las estimaciones y la diferencia mencionadas previamente. 61

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

(a) Filtro de Kalman Extendido p=1

(b) Filtro UFIR Extendido N=124

Figura 5.3: Respuesta de la trayectoria obtenida al aplicar los filtros de estudio Cabe resaltar que la figura 5.4 muestra las estimaciones realizadas cuando los filtros operan ante condiciones ideales, es decir, se conocen las matrices de covarianza Q, L, R y las condiciones para el filtro de Kalman y el valor de Nopt para el filtro EFIR calculado a trav´es de la ecuaci´on (4.73) midiendo el MSE entre la trayectoria y la estimaci´on.

Figura 5.4: Comparaci´on de las estimaciones de los filtros vs la trayectoria y las mediciones del robot m´ovil En la figura 5.5 se presentan de manera m´as detallada las estimaciones producidas para cada coordenada de inter´es en la posici´on del veh´ıculo, como se puede apreciar ambas estimaciones presentan un error bajo y muy cercano a la trayectoria realizada 62

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

Figura 5.5: Errores MSE por coordenadas en las estimaciones producidas por los filtros EKF y EFIR con valores o´ptimos por el robot m´ovil y que fue medida con equipo de precisi´on. La figura 5.6 representa el trazo del error MSE para cada filtro propuesto, de este modo se considera el rango en el cual el MSE presenta el menor valor. En este caso para el filtro EFIR el

Figura 5.6: Trazo del error en las estimaciones producidas por los filtros EKF y EFIR rango de valores permitidos se encuentra entre 92 − 140 muestras, siendo el valor de Nopt = 124. En el caso del filtro EKF se conoce por la teor´ıa presentada en los cap´ıtulos 4 y 5 respectivamente; que el buen funcionamiento en la estimaci´on depende 63

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS del conocimiento previo de las matrices de covarianza y de los valores iniciales; con el af´an de poder observar los efectos producidos ante el desconocimiento de los mismos se introduce un coeficiente p que modifique los valores de la desviaci´on est´andar de los ruidos de la forma: p2 R; Q/p2 ; L/p2 . El trazo del error demuestra que ante un caso ideal donde p = 1 el filtro de Kalman produce una estimaci´on con un alto grado de precisi´on; mientras que en el rango de 0,7 < p < 2 la estimaci´on producida se considera aceptable o buena, fuera de este rango los errores alcanzados son elevados y la estimaci´on carece de precisi´on para la localizaci´on del veh´ıculo. Reforzando la idea presentada en el p´arrafo anterior se modificar´an los valores de p y de N en cada filtro contrastando las estimaciones producidas por cada uno; recalcando de este modo las fortalezas y debilidades que puede presentar a la hora de ejecutarlos.

5.1.1.

An´ alisis de errores: Trayectoria circular EKF p=1 ; EFIR N=30 y N=500

En el presente apartado se presentar´a el efecto producido en las estimaciones del filtro EFIR cuando no se proporciona un valor de N o´ptimo; en contraparte se considera que el filtro de EKF trabaja con condiciones ideales de sus matrices de covarianza, es decir, se conoce la desviaci´on est´andar del ruido, por lo tanto p = 1. Como se aprecia en la figura 5.7 la estimaci´on producida por el filtro EFIR cuando

(a) Trayectoria recorrida

(b) Estimaciones realizadas

Figura 5.7: Estimaciones producidas por los filtros de estudio con valores de p=1 y N=30 se aplica un valor de N fuera del rango adecuado de trabajo bien sea por encima o por debajo de este, como es el caso presentado, los errores MSE presentan un aumento considerable y la estimaci´on pierda calidad. Para sustentar lo mencionado previamente se muestran los errores MSE producidos en cada coordenada en la figura 5.8, tal como se hizo en el caso de los valores o´ptimos; en este caso se aprecia que 64

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS la estimaci´on del EFIR presenta un mayor grado de error en las coordenadas de x,y debido al valor de N utilizado.

Figura 5.8: Errores MSE por coordenadas; producidas por los filtros de estudio con valores de p=1 y N=30 De igual modo se puede emplear un valor de N por encima del rango adecuado de trabajo. En este ejemplo se utilizar´a un valor de N=500 y se pueden apreciar los efectos producidos por dicha circunstancia. La figura 5.9 ejemplifica lo planteado y se observa como nuevamente la estimaci´on que arroja el filtro EFIR posee un mayor grado de error en las coordenadas x,y, θ.

Figura 5.9: Errores MSE por coordenadas; producidas por los filtros de estudio con valores de p=1 y N=500 65

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS Realizando una comparaci´on de manera cuantitativa se aprecia como, al comparar los valores del sesgo (bias) y la desviaci´on est´andar de los valores ´optimos de las estimaciones, con los otros valores de N utilizados en las simulaciones presentadas, los valores del sesgo y la desviaci´on est´andar cambian de manera considerable; la tabla 5.1 presenta los datos de desviaci´on est´andar y sesgo(bias) en cada coordenada.

Filtro EKF p=1 EFIR N=30 EFIR N=124 EFIR N=500

Trayectoria x cm β=-0.0022 σ=1.1107 β=-0.1000 σ=1.6000 β=-0.0017 σ=1.1622 β=0.8848 σ=2.0300

Circular y cm β=0.0052 σ=1.0524 β=-0.1387 σ=1.7300 β=-0.0046 σ=1.1200 β=0.2200 σ=1.6200

θ rad 10−4 β=-18.00 σ=99.05 β=39.82 σ=184.00 β=11.00 σ=110.10 β=49.61 σ=301.00

Tabla 5.1: Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria circular p=1 y N=30; 124; 500.

5.1.2.

An´ alisis de errores: Trayectoria circular EKF p=0.6 y p=4; EFIR N=124

Dando continuidad al conjunto de simulaciones realizadas, se presenta el caso contrario, en donde el filtro EFIR trabaja con un valor de N ´optimo, y el filtro EKF con matrices de covarianza no conocidas:

(a) Trayectoria recorrida

(b) Estimaciones realizadas

Figura 5.10: Estimaciones producidas con valores de p=0.6 y N=124

66

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS Para ello se hace uso del coeficiente p que se introdujo previamente y que se explic´o que modifica los valores de las matrices de covarianza; se sabe por el caso anterior estudiado que el valor de p = 1 representa el modo de trabajo ideal del filtro EKF, sin embargo, es importante analizar el comportamiento del filtro cuando se utiliza un valor de p por debajo de 1 y por encima de este. En la figura 5.10 se observan las estimaciones producidas por los filtros cuando se trabaja con los valores de N y p indicados con anterioridad; sin embargo, al igual que en la secci´on anterior, es importante analizar el error MSE que se obtiene en cada coordenada; evento que se presenta en figuras sucesivas.

Figura 5.11: Errores MSE por coordenadas obtenidos; con valores de p=0.6 y N=124 En la figura 5.11, as´ı como en la figura 5.8, se puede deducir que cuando se trabaja con valores menores al valor o´ptimo se obtienen estimaciones con presencia de ruido “r´apido”, este caso valores menores de p; de manera inversa cuando se emplean valores de p por encima del valor de trabajo ´optimo para cada uno, se observa la presencia de ruido “lento”, en las estimaciones producidas tal como se presenta en las figuras 5.12 y 5.9 respectivamente. Es importante profundizar un poco m´as sobre el funcionamiento del valor de N expresado en la ecuaci´on (4.73) y los efectos que ´este genera; como se explic´o previamente, se busca que el filtro sea insegado y que los valores de la varianza producidos en las estimaciones sean m´ınimos, garantizando as´ı su precisici´on; sin embargo, el n´ umero de muestras utilzado tiene una intima relaci´on con el tiempo empleado en generar la estimaci´on, de modo que con un n´ umero menor de muestras al valor ´optimo, el filtro requiere menos tiempo de estimaci´on y la estimaci´on se ve plagada de ruido “r´apido”, es decir, se subestima el sistema; en caso contrario cuando se posee un n´ umero de muestras mayor al valor o´ptimo, el tiempo de estimaci´on requerido es mayor y la estimaci´on contiene ruido 67

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS “lento”, es decir, se sobreestima el sistema. En ambos casos el equilibrio presentado entre sesgo y varianza no existe. En el primero la varianza se ve afectada; mientras que el segundo caso es el sesgo.

Figura 5.12: Errores MSE por coordenadas obtenidos en las estimaciones con valores de p=4 y N=124 Para fines de an´alisis cuantitativos se presentan los valores de la desviaci´on est´andar y del sesgo (bias) con los valores de p utilizados en la simulaciones previas, corroborando lo descrito en el parr´afo anterior. Filtro EFIR N=124 EKF p=0.6 EKF p=1 EKF p=4

Trayectoria x cm β=-0.0017 σ=1.1622 β=-0.037 σ=1.1600 β=-0.0022 σ=1.1107 β=1.8600 σ=2.3100

Circular y cm β=-0.0046 σ=1.1200 β=-0.045 σ=1.1200 β=0.0052 σ=1.0524 β=0.4300 σ=1.8900

θ rad 10−4 β=11.00 σ=110.10 β=-48.00 σ=101.00 β=-18.00 σ=99.05 β=13.00 σ=188.00

Tabla 5.2: Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria circular N=124 y p=0.6; 1; 4. De modo cuantitativo, analizando los momentos y caracteristicas de inter´es como el sesgo en las estimaciones producidas, tambien se puede deducir el comportamiento de los filtros propuestos. 68

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

5.2.

Trayectoria lineal: el robot viaja a trav´ es de una rejilla RFID con una ruta planeada

En este nuevo apartado se considera una rejilla de RFID como la presentada en la figura 3.7b, en la cual se tienen 20 etiquetas RFID separadas entre ellas una distancia de 4m; las mismas se han colocado en el piso o las paredes y las coordenadas se pueden predecir empleando geometr´ıa. Como se ha mencionado a lo largo del escrito, el lector de etiquetas instalado en el robot m´ovil debe ser capaz de leer al menos dos etiquetas. En este caso se consideran 3500 muestras y se supone que las fuentes de ruido que afectan al vector de estado y a las entradas son muy peque˜ nas, por lo tanto su desviaci´on est´andar tomar´ıa el valor de: σL = σR = σx = σy = 1mm y σθ = 0,05◦ respectivamente; pero por el contrario se considera que la fuente de ruido que afecta a la medici´on es considerablemente grande y genera una desviaci´on est´andar σv1 = σv2 = 1,5cm y σv3 = 2◦ . Sin embargo, determinar las coordenadas de las etiquetas de manera inversa como se realiz´o en la secci´on anterior, empleando las ecuaciones (3.16) y (3.17) respectivamente, no es posible en este caso; dado que el algoritmo del filtro EFIR requiere como una de sus entradas el vector lineal Yn se toma entonces la salida del filtro EKF y se determina el valor de Nopt en el cual la estimaci´on producida es satisfactoria. Con el af´an de determinar el efecto de este valor p y la longotud requerida del vector Yn sobre el filtro EFIR, se modificar´an sus valores y se analizar´an los resultados obtenidos en las estimaciones. La figura 5.13a representa la rejilla de RFID descrita mientras que la figura 5.13b la ruta que debiera transitar el robot m´ovil.

(a) Rejilla RFID

(b) Trayectoria

Figura 5.13: Modelo de rejilla RFID utilizado y trayectoria deseada De igual modo que en la secci´on anterior, se comparan las estimaciones producidas por cada filtro; en la figura 5.14 se presentan las estimaciones producidas por los filtros analizados cuando trabajan con valores ´optimos p = 1 y N = 40. Ante estas 69

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

Figura 5.14: Estimaciones producidas por los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=40 condiciones las estimaciones producidas presentan un alto grado de precisi´on y se observa que en este caso la diferencia entre ellas es imperceptible. Se procede a analizar el error MSE en las estimaciones producidas por coordenadas y calcular el valor o´ptimo de N a trav´es de la ecuaci´on (4.73), obteniendo como resultado que el valor MSE m´ınimo se presenta cuando N = 40, siendo ´este el valor o´ptimo para el filtro EFIR. La figura 5.15 representa el trazo del error mencionado y el valor o´ptimo indicado para cada filtro.

Figura 5.15: Trazo del error en los filtros EKF y EFIR

70

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

5.2.1.

An´ alisis de errores: Trayectoria lineal EKF p=1; EFIR N=10 y N=150

Se realizan las siguientes pruebas para comprobar los efectos del valor de N en el filtro EFIR, ahora en una rejilla donde se interact´ ua con un n´ umero mayor de etiquetas RFID. Se considera que el filtro de Kalman extendido utiliza las condiciones ideales p = 1; por lo que se emplean diferentes valores de N con la finalidad de observar el comportamiento del filtro EFIR.

Figura 5.16: Error MSE por coordenadas en los filtros EKF y EFIR con p=1 y N=10 Como se puede apreciar en la figura 5.16, los valores de N por debajo de su valor o´ptimo, en este caso Nopt = 40, presentan ruido “r´apido”, en la estimaci´on, mientras en la figura 5.17 se observa el caso contrario, donde el valor de N se encuentra por encima del valor ´optimo, en este caso se utilizo N = 150 para ejemplificar; observando as´ı la presencia de ruido “lento”, en las estimaciones producidas tal como se present´o en el caso de la trayectoria circular. Si se analizan de manera cuantitativa las figuras presentadas previamente, se aprecia el cambio en los valores de la desviaci´on est´andar y el sesgo (bias) producido en las estimaciones. La tabla 5.3 incluye los cambios en el sesgo(Bias) y en la desviaci´on est´andar, los cuales dependen del n´ umero de N empleado para producir la estimaci´on. De ah´ı el por que emplear el valor de N o´ptimo.

71

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

Figura 5.17: Error MSE por coordenadas en los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=150

Filtro EKF p=1 EFIR N=10 EFIR N=40 EFIR N=150

Trayectoria Lineal x cm y cm β=0.7778 β=0.2188 σ=1.0400 σ=0.8603 β=-0.6333 β=-0.2242 σ=5.0900 σ=0.7700 β=0.5853 β=0.1582 σ=1.0800 σ=0.5200 β=0.62172 β=0.2900 σ=1.3500 σ=0.9700

θ rad 10−4 β=18.603 σ=81.00 β=52.38 σ=175.00 β=16.88 σ=87.00 β=-13.00 σ=139.00

Tabla 5.3: Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria lineal p=1 y N=10; 40; 150.

5.2.2.

Analisis de errores:Trayectoria lineal EKF p=0.3 y p=9; EFIR N=40;

Se dar´a continuidad al an´alisis del comportamiento de los filtros ahora de manera inversa, utilizando diferentes valores de p para el filtro EKF y el valor o´ptimo de N para el filtro EFIR. Se observa en la figura 5.18 como el filtro EKF produce una estimaci´on plagada de ruido “r´apido”, debido a que el valor de p = 0,3 modifica considerablemente las matrices de covarianza; por otro lado si se emplea el valor de p = 9 se aprecia en la

72

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

Figura 5.18: Error MSE por coordenadas en los filtros EKF y EFIR con valores de p=0.3 y N=40 figura 5.19 la presencia de ruido “lento”, y peque˜ nas divergencias en la estimaci´on producida. Ambos casos demuestran el efecto de trabajar con valores de las matrices de covarianza no conocidos o ideales.

Figura 5.19: Error MSE por coordenadas en los filtros EKF y EFIR con valores de p=9 y N=40

73

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS Dando continuidad con el orden de an´alisis de resultados establecido en las secciones anteriores, se presenta la tabla 5.4 con los valores del sesgo(Bias) y de la desviaci´on est´andar por coordenadas para fines de interpretaci´on del error MSE.

Filtro EFIR N=40 EKF p=0.3 EKF p=1 EKF p=9

Trayectoria Lineal x cm y cm β=0.5853 β=0.1582 σ=1.0800 σ=0.5200 β=-0.9986 β=-0.1107 σ=3.4300 σ=1.0200 β=0.7778 β=0.2188 σ=1.0400 σ=0.8603 β=-5.500 β=1.3400 σ=2.5800 σ=1.8600

θ rad 10−4 β=16.88 σ=87.00 β=5.1770 σ=177.00 β=18.603 σ=81.00 β=-3.2000 σ=194.00

Tabla 5.4: Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(beta) producidos por coordenadas en la trayectoria lineal N=40 y p=0.3; 1; 9.

5.3.

Trayectoria libre bajo condiciones t´ıpicas

Finalmente se considera el caso donde el robot viaja a trav´es de una rejilla de informaci´on RFID con 35 etiquetas en la cual no se realizan correcciones de la desviaci´on est´andar de la ruta planeada. Con la finalidad de observar el efecto del ruido en dicho caso se consideran desviaciones est´andar m´as realistas para las fuentes de ruido, en este caso σL = σR = 1cm; σv1 = σv2 = 15cm y σv3 = 2◦ ; y se tolera σx = σy = 1cm y σθ = 0,5◦ .

Figura 5.20: Trayectoria libre del robot y estimaciones de los filtros de Kalman extendido y UFIR extendido con p=1 y N=36 74

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS En la figura 5.20 la l´ınea punteada representa la ruta planeada, la cual de manera ideal deber´ıa seguir el robot m´ovil. Se contempla un total de 5600 muestras y se considera que el error inicial P0 = 0; el cual se modifica en cada ciclo de estimaci´on; sin embargo, debido a las condiciones de ruido, la trayectoria que realiza el mismo es la producida por la l´ınea en color verde; poco observable en la figura dado que las estimaciones coinciden de tal manera con la misma que dificultan su apreciaci´on. Cabe mencionar que, siguiendo los pasos para obtener el valor o´ptimo de N en el filtro EFIR empleando la ecuaci´on (4.73), se obtiene que Nopt = 36 y se mantiene el caso ideal para el EKF como p = 1. Analizando las estimaciones producidas por

Figura 5.21: An´alisis de errores en estimaciones por coordenadas de los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=36 coordenadas a trav´es del MSE existente en las mismas, es distinguible a simple vista como las estimaciones de ambos filtros producen un MSE bajo. Ambas estimaciones presentan un alto grado de precisi´on y adem´as se asemejan bastante entre s´ı, por lo que se demuestra que el filtro EFIR puede ser un fuerte rival para el filtro EKF en los diferentes escenarios planteados. La figura 5.21 es una muestra de ello, donde a pesar de las condiciones descritas los resultados satisfacen las necesidades requeridas y las exigencias planteadas.

5.3.1.

An´ alisis de errores: Trayectoria t´ıpica EKF p=1 ; EFIR N=5 y N=150

Se prosigue a realizar los casos pertinentes de estudio. En esta ocasi´on analizando fen´omenos de inter´es presentados en las diferentes simulaciones, iniciando con el caso 75

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS del filtro EFIR, en donde de manera similar que en las secciones anteriores se observan los efectos y la presencia de los ruidos “r´apido”, y “lento”, en las estimaciones producidas debido a valores de N fuera del rango de trabajo. Se emplean valores de N = 5 y N = 150, sustentando as´ı lo mencionado previamente.

Figura 5.22: An´alisis de errores en estimaciones por coordenadas de los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=5 La figura 5.22 muestra la presencia del ruido “r´apido”, en las estimaciones producidas por el efecto del valor de N = 5. Mientras que en el caso de la figura 5.23 se observa en las estimaciones producidas la presencia de ruido “lento”por los efectos del valor de N = 150. Si se comparan los datos de las desviaciones est´andar y del sesgo(Bias) obtenidos en cada estimaci´on, se puede construir la tabla 5.5 que se presenta a continuaci´on. Se proseguir´a con el an´alisis de las simulaciones, ahora para el caso del filtro EKF cambiando los valores de p, observando as´ı su comportamiento y efectos; a su vez se estudia el filtro EFIR ante dichas variantes.

5.3.2.

An´ alisis de errores: Trayectoria t´ıpica EFIR N=36 , EKF p=0.2 y p=9

En dicha secci´on se comenzar´a con el an´alisis del filtro EKF cuando empleamos el valor de p = 0,2. Como se ha mencionado de manera repetitiva durante este cap´ıtulo, el valor de p modifica los valores de las matrices de covarianza pero al trabajar con condiciones t´ıpicas surgen efectos de inter´es de estudio. La figura 5.24 representa el error MSE presentando en cada coordenada de estudio, apareciendo divergencia en las estimaciones de las coordenadas (x, y) respectivamente, concepto que fue explicado con antelaci´on en el apartado 2.2.5. 76

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

Figura 5.23: An´alisis de errores en estimaciones por coordenadas de los filtros EKF y EFIR con valores de p=1 y N=150

Filtro EKF p=1 EFIR N=5 EFIR N=36 EFIR N=150

Trayectoria T´ıpica x cm y cm β=0.2700 β=0.2300 σ=4.9300 σ=4.5900 β=0.2600 β=-0.2264 σ=8.2800 σ=8.2000 β=0.2400 β=0.1500 σ=5.4000 σ=5.1900 β=0.4700 β=0.3000 σ=9.7100 σ=8.7400

θ rad 10−4 β=-0.5788 σ=214.00 β=-0.7528 σ=219.00 β=-0.5721 σ=513.00 β=0.7700 σ=1277.00

Tabla 5.5: Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria lineal p=1 y N=5; 36; 150. En este caso se puede inferir que la divergencia ocurre debido a que el lector de etiquetas no sabe con precisi´on cual etiqueta es la adecuada para utilizar en su recorrido, incrementando as´ı el error en la estimaci´on; una vez localizada la etiqueta correcta el error disminuye vertiginosamente, y el proceso de estimaci´on trascurre de manera normal dentro del rango de trabajo utilizado con la presencia del ruido “r´apido”, generando as´ı ruidos extras no deseados; para fines pr´acticos es importante observar m´as de cerca dicho fen´omeno. La figura 5.25 es un acercamiento de la figura 5.24. En esta se puede apreciar con claridad como el filtro EKF, durante todo el conjunto de muestras analizados, presenta en diferentes instantes de tiempo el efecto descrito; sin embargo, en el filtro EFIR solo ocurre en la primera etapa en 77

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS

Figura 5.24: An´alisis de errores en estimaciones por coordenadas de los filtros EKF y EFIR con valores de p=0.2 y N=36

Figura 5.25: Efecto de divergencia en las estimaciones de las coordenadas x ; y de los filtros EKF y EFIR con valores de p=0.2 y N=36 la estimaci´on para la coordenada x dado que en la coordenada y no presenta dicho efecto, esto es debido al hecho de utilizar el vector Yn producto de la salida del filtro 78

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS EKF.

Figura 5.26: Efecto de divergencia en las estimaciones de las coordenadas x;y de los filtros EKF y EFIR con valores de p=9 y N=36 Ahora bien, al utilizar un valor mucho mayor para p como p = 9, se observa nuevamente como el filtro EKF produce una estimaci´on poco fiable y plagada de ruido “lento”, pero en contraparte, observamos como el filtro EFIR conserva una adecuada estimaci´on careciendo de los efectos mencionados anteriormente. La figura 5.26 muestra las estimaciones por coordenadas y el resultado obtenido en el proceso previamente.

Filtro EFIR N=36 EKF p=0.2 EKF p=1 EKF p=9

Trayectoria t´ıpica x cm y cm β=0.2400 β=0.1500 σ=5.4000 σ=5.1900 β=4.1600 β=1.6600 σ=30.9000 σ=5.2400 β=0.2700 β=0.2300 σ=4.9300 σ=4.5900 β=4.8500 β=1.7700 σ=20.5100 σ=16.2000

θ rad 10−4 β=-0.5721 σ=513.00 β=-3.5058 σ=513.00 β=-0.5788 σ=214.00 β=0.6770 σ=1236.00

Tabla 5.6: Valores de desviaci´on est´andar(σ) y sesgo(β) producidos por coordenadas en la trayectoria lineal N=36 y p=0.2; 1; 9. Se finaliza esta etapa con la habitual tabla descriptiva de sesgo (Bias) y desviaci´on 79

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS est´andar producidos en cada estimaci´on; acotando que ante las condiciones consideradas y los efectos generados, se observa un incremento considerable en los valores de los mismos, especialmente en la desviaci´on est´andar con hincapi´e en el ´angulo θ. Es importante recalcar una vez m´as la eficiencia de los filtros al trabajar con condiciones ´optimas, dado que los valores de sesgo(Bias) y desviaci´on est´andar alcanzan niveles relativamente bajos en comparaci´on con los otros rangos empleados. la tabla 5.6 contiene el conjunto de valores que representan las caracter´ısticas descritas en el presente p´arrafo, proporcionando as´ı informaci´on relevante en la comparativa de los filtros.

5.4.

Verificaci´ on de resultados

Como se aclar´o en el primer cap´ıtulo del presente trabajo, ´esta investigaci´on consta de un conjunto de simulaciones num´ericas, por lo que las pruebas experimentales de los mismos se consideran como un trabajo a futuro; por lo tanto para verificar los resultados presentados se puede utilizar el valor de MSE empleado durante este cap´ıtulo pero ahora aplic´andole la ra´ız cuadrada (RMSE) como una m´etrica que permita comprender el efecto del trazo del error Pn ; se define el mismo como J delimitado por la ecuaci´on 5.3, donde se excluye el angulo θ por presentar diferentes unidades; es com´ un en la navegaci´on 2D encontrar dicha excepci´on: v u T +N −2 u1 X [(xi − xˆi )2 + (yi − yˆi )2 ] (5.3) J =t T i=N −1 T representa el n´ umero de puntos, mientras que N − 1 representa el n´ umero de puntos en donde se obtiene la primera salida de estimaci´on del filtro EFIR. De este modo se compara el error promedio producido en la localizaci´on del filtro EFIR contra el filtro de Kalman (implementado en diferentes trabajos mencionados en la bibliograf´ıa relacionados a la localizaci´on de un robot m´ovil) de lo cual se obtiene la tabla 5.7: Tabla comparativa (cm) Tipo de prueba

EFIR

Simulaci´on Implementaci´on

3.34· · · 8.56 -

[48] ≈ 30 -

[46] 12.8

EKF [49] [47] 12.94 2.82 13.5

[50] ≈ 27

[51] 9 13

Tabla 5.7: Comparativo de valores RMSE del filtro EFIR con respecto a diferentes trabajos de localizaci´on de veh´ıculos m´oviles con filtros de Kalman Por lo tanto los valores correspondientes al filtro EFIR representan el RMSE aplicando la ecuaci´on (5.3) en los casos de trayectoria lineal (el valor de la izquierda) y de la trayectoria lineal bajo condiciones t´ıpicas (el valor de la derecha) respectivamente; los valores para el filtro EKF empleado en este trabajo, bajo condiciones ideales 80

CAP´ITULO 5. SIMULACIONES Y RESULTADOS JEKF (ideal : p = 1) = 3,30 · · · 8,44 indican que ante condiciones ideales el filtro de Kalman supera los modelos de filtro de Kalman utilizados en la bibliografia [46]-[51] respectivamente, mientras que en el caso del filtro EFIR su desempe˜ no supera en la precisi´on a la mayor´ıa de los casos mencionados. Adem´as se incluye una de las caracter´ısticas que suele ser de inter´es a la hora de presentar un algoritmo; est´a se denomina el tiempo computacional, es decir, cuanto tarda en ejecutarse el algoritmo de inicio a fin; esta caracter´ıstica repercute en la funcionalidad del mismo y en la aplicaci´on a la que va destinado por lo tanto se presenta en la tabla 5.8 el tiempo empleado por cada algoritmo en realizar una estimaci´on. Tiempo computacional Trayectoria circular Trayectoria lineal EKF EKF Proceso Estimaci´on Proceso Estimaci´on 53.0104s 1.6870 ms 12.1099s 1.6918ms EFIR EFIR Proceso Estimaci´on Proceso Estimaci´on 114.75s 8.570ms 31.7007s 6.4000ms

Trayectoria libre EKF Proceso Estimaci´on 13.0194s 1.6217ms EFIR Proceso Estimaci´on 40.4860s 7.6000ms

Tabla 5.8: Tiempo computacional de proceso y estimaci´on requerido en las diferentes trayectorias simuladas Como se puede apreciar en la tabla 5.8 el filtro de EFIR requiere un mayor tiempo de estimaci´on y por ende un mayor tiempo en el proceso de trabajo. Esto debido a la presencia de los ciclos for que utiliza para realizar su estimaci´on, como se presento en la tabla 4.2; dicha situaci´on se pude catalogar como una de las debilidades del filtro al compararla con el EKF que, aunque es un filtro de car´acter recursivo, realiza su estimaci´on en un tiempo menor; sin embargo la fortaleza del EFIR radica en que las condiciones del ruido que afectan al sistema no son necesarias para que este produzca una estimaci´on con un alto grado de precisi´on. Cabe resaltar que producto de este trabajo de investigaci´on se deriva el art´ıculo presentado en la referencia [52]; as´ı como tambien ha servido de base para otros trabajos [53] y [54] realizados por el grupo de investigaci´on encabezado por el Dr. Yuriy Shmaliy.

81

Cap´ıtulo 6 Conclusiones En la actualidad la presencia de la rob´otica en las industrias se torna cada vez m´as frecuente, especialmetne los robots m´oviles con ruedas y, aunque su dise˜ no y modelado matem´atico han sido ampliamente estudiados, siempre representan un reto adaptarlos para satisfacer las necesidades requeridas, no solo desde el desarrollo mecanico y los diferentes elementos que engloba; sino las diferentes consideraciones que se deben de tener presentes a la hora de modelarlo. Esto por que en la mayor´ıa de los trabajos previos realizados y en diferentes investigaciones en curso se recomiendan modelos sencillos o comunes como los diferenciales o ackerman. Se demostr´o como las rejillas de informaci´on con RFID son una herramienta poderosa para aplicaciones industriales; las cuales a´ un conservan mucho potencial para explotar sobre todo dentro de la robotica m´ovil; adem´as, dicha tecnolog´ıa puede llegar a cubrir otras necesidades industriales que se presenten a futuro. Una de las principales ventajas que posee es el bajo costo y el amplio espacio que puede cubrir, adem´as, la versatilidad de trabajo en diferentes rangos de frecuencia, as´ı como los diferentes tipos y modelos de etiquetas existentes, los convierten en un instrumento flexible de facil adaptaci´on para el desarrollo de proyectos ingenieriles. Se ha hecho hincapi´e en que el estudio del procesamiento digital de se˜ nales posee un amplio campo de aplicaci´on y de constante desarrollo, permitiendo solucionar y satisfacer necesidades tecnologicas que requieren una amplia precisi´on o exactitud. Por lo que este trabajo present´o el desarrollo y la simulaci´on de algoritmos de filtros digitales aplicados a problematicas industriales a trav´es de la comparaci´on de los filtros EKF y EFIR respectivamente. Por dicha raz´on se realiz´o un conjunto de pruebas exhautivas cuyos resultados se presentaron en el cap´ıtulo anterior De modo que el presente trabajo de investigaci´on propone un filtro EFIR que posee una mayor robustez y precisi´on que el filtro EKF bajo condiciones industriales de trabajo, es decir, condiciones t´ıpicas donde la presencia de ruido sea elevada y donde el costo del equipo de medici´on utilizado por el robot m´ovil son determinantes a la hora de realizar las mediciones. En el algoritmo del filtro EFIR, aunque presenta de manera general un esquema de trabajo similar a la forma del filtro de Kalman, la 82

CAP´ITULO 6. CONCLUSIONES estimaci´on producida depende directamente del valor de N utilizado. Por esto, durante el conjunto de simulaciones realizadas bajo diferentes condiciones de trabajo se puede inferir que cuando el filtro EFIR trabaja con el valor de N adecuado, es decir o´ptimo, posee mayor robustez y es menos propenso a sufrir divergencia u otros efectos indeseados; de modo general se considera que: La divergencia se produce en ambos filtros cuando se consideran fuentes de ruido con valores de varianza elevados, tal como los presentados en la trayectoria lineal t´ıpica; sin embargo la robustez del filtro EFIR genera que la divergencia solo ocurra en el primer tramo de muetras, esto debido a que depende de los datos almacenados en el vector Yn ; mientras que en el filtro de Kalman la divergencia se presenta a lo largo del trayecto tanto para la coordenada x como para la coordenada y. Los efectos de utilizar valores por debajo o por encima del valor de N o´ptimo en cada filtro derivan en estimaciones con presencia de ruido “r´apido”, o ruido “lento”, esto por la relaci´on existente del valor de N con cada iteraci´on realizada en el tiempo; as´ı como tambien el desconocimiento de los valores de las matrices de covarianza en el filtro EKF perjudica el buen desempe˜ no del mismo. Se finaliza este trabajo aclarando que alg´ un otro problema o efecto que pudiera surgir en la vida real depender´a del ambiente de trabajo; por lo que llevar a la implementaci´on f´ısica este proyecto se considera como trabajo a futuro, as´ı como el desarrollo de nuevos filtros o algoritmos h´ıbridos que puedan derivarse de la presente investigaci´on.

83

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