La enseñanza de la lógica proposicional a partir de los conectores de Peirce: una experiencia de aula en el IPN

La enseñanza de la lógica proposicional a partir de conectores de Peirce. Una experiencia de aula en el IPN César Rendón Mayorga

Licenciado en Matemáticas Universidad Pedagógica Nacional Octubre de 2015

Los elementos “necesarios”

Un universo de proposiciones Afirmaciones sobre las cuales se puede decidir si son verdaderas o falsas en un contexto determinado. p : el sol es una estrella q:2+2=4 r : el día tiene 24 horas

Un conjunto de conectores

Representados históricamente por símbolos distintos según el autor que se siga (Heyting – Tarski – Hilbert, Zellweger, Peirce, Lukasiewicz, etc.) con el fin de escapar de las subjetividades que presenta el lenguaje común y abstraer las propiedades lógicas sin importar el contexto.

Los conectores aristotélicos* Conector

Representación verbal

Representación usual

Implicación material (condicional)

Si…entonces…

⟶

Bicondicional

… Si y solo si …

⟷

Conjunción

…y…

∧

Disyunción

…o…

∨

Disyunción exclusiva

…ó…

⊻

La enseñanza usual… p

∧

q

p

∨

q

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

p

⟷

q

p

⟶

q

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

Cambios iniciales 1.

Se utilizan símbolos basados en el sistema de numeración binario, haciendo que V = 0 y F = 1, con lo cual se obtiene: p

∧

q

p

∨

q

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

p

⟷

q

p

⟶

q

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1



¿Cuántas posibles combinaciones de cuatro elementos se pueden hacer con 0 y 1?

0000

1000

0001

1001

0010

1010

0011

1011

0100

1100

0101

1101

0110

1110

0111

1111

Existe una correspondencia entre las posibles combinaciones y los resultados de las operaciones entre proposiciones…

p

∧

q

0

0

0

1

1

0

1

1

p

∨

Corresponde a la combinación “0111”

q

0

0

0

1

1

0

1

1

Corresponde a la combinación “0001”

Por lo anterior se concluyó que no existen solo cuatro o cinco operaciones entre proposiciones. Los estudiantes descubrieron que existen ¡16 operaciones posibles!

Las 16 operaciones entre proposiciones… 

La “operación 1”:

p

q

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

Corresponde a 0001 y 0001 equivale a 1 en base diez.

Las 16 operaciones entre proposiciones… 

La “operación 4”:

p

q

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

Corresponde a la combinación 0100 y 0100 equivale a 4 en base diez.

Construyendo estructuras algebraicas… Es posible extender las operaciones usando otras combinaciones de número, por ejemplo: 4

7

10

p

7

q

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

Lo que se puede escribir como:

4 [7] 10 = 14

Un ejemplo más con la operación 7:

8

7

13

p

7

q

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

Luego se tiene que:

8 [7] 13 = 13 Este ejercicio se puede extender a los 16 números en binario y construir una tabla que representa la estructura algebraica determinada por la operación 7

7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 15 2 2 3 2 3 6 7 6 7 10 11 10 11 14 15 14 15 3 3 3 3 3 7 7 7 7 11 11 11 11 15 15 15 15 4 4 5 6 7 4 5 6 7 12 13 14 15 12 13 14 15 5 5 5 7 7 5 5 7 7 13 13 15 15 13 13 15 15 6 6 7 6 7 6 7 6 7 14 15 14 15 14 15 14 15 7 7 7 7 7 7 7 7 7 15 15 15 15 15 15 15 15 8 8 9 10 11 12 13 14 15 8 9 10 11 12 13 14 15

 Conmutativa  Idempotente  Elemento neutro (a izquierda y derecha)  Elemento absorbente (por izquierda y derecha)  No tiene inversos  Se puede demostrar asociatividad

9 9 9 11 11 13 13 15 15 9 9 11 11 13 13 15 15 10 10 11 10 11 14 15 14 15 10 11 10 11 14 15 14 15 11 11 11 11 11 15 15 15 15 11 11 11 11 15 15 15 15 12 12 13 14 15 12 13 14 15 12 13 14 15 12 13 14 15 13 13 13 15 15 13 13 15 15 13 13 15 15 13 13 15 15 14 14 15 14 15 14 15 14 15 14 15 14 15 14 15 14 15

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

Tabla de la operación 7

Se tiene un Semigrupo Conmutativo Con Elemento Neutro

9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 14 15 13 13 10 9 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1 2 13 13 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2

3 12 13 14 15 8 9 8 11 4 5 6 7 0 1 2 3

 Conmutativa  Elemento neutro

4 11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5 6 9 8 11 8 13 12 15 14 1 0 3 2 4 4 7 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 4 7 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 7 10 5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11

12 3 2 1 0 7 6 4 4 11 10 9 8 15 14 13 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 14 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Tabla de la operación 9

 Unipotente  Tiene inversos (un elemento es su propio inverso)  Se puede mostrar asociatividad Se tiene un Grupo Abeliano

Los conectores de Peirce 

Se proponen ante la necesidad de dotar de símbolos a las nuevas operaciones descubiertas sin que se presten a ambigüedades.



La idea de Peirce es que cada símbolo (objeto semiótico) represente algunas características matemáticas de la respectiva operación (conmutatividad, idempotencia, etc.).

Antecedentes de la propuesta 

Documentos y estudios realizados por el Dr. Arnold Oostra (Universidad del Tolima).



Estudio realizados por el PhD. Fernando Zalamea (Universidad Nacional) quien lidera el Centro de Sistemática Peirceana.



Documentos y experiencias por el profesor William Jiménez durante su labor como docente del IPN y de la UPN.

Construcción del conector de Peirce p

∧

q

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

Construcción del conector de Peirce p

∨

q

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

Tomado de Oostra, A. (2003)

Actividades para conjeturar… 

Utilizando los conectores de Peirce y considerando las operaciones que son conmutativas, determine un criterio para establecer, solamente con observar el conector, si una operación dada es conmutativa o no.



De forma análoga al ítem anterior, establezca un criterio para determinar cuándo una operación es idempotente, a partir del conector de Peirce.



Siguiendo la misma línea de los ítems anteriores, desarrolle un criterio para determinar cuando una operación es unipotente.

Trabajo sobre regularidades, curso 1103 – IPN, 2014

Resultados Se establecieron los siguientes criterios: 

Si el conector de Peirce es abierto a ambos lados o cerrado a ambos lados, entonces la operación que representa es conmutativa (las operaciones 0, 1, 6, 7, 8, 9, 14 y 15).



Si el conector de Peirce está abierto arriba y abajo, o si está cerrado arriba y abajo, entonces la operación que representa es idempotente (las operaciones 0, 2, 4, 6, 9, 11, 13 y 15).



Si el conector está cerrado abajo y abierto arriba, implica que la operación que representa es unipotente (las operaciones 1, 3, 5 y 7).

Actividades geométricas…

Como se puede observar la propiedad conmutativa se mantiene invariante ante la reflexión realizada, de igual forma ocurre con la idempotencia y la unipotencia.

En este caso, se puede ver de nuevo que la propiedad conmutativa es una invariante ante reflexiones en el plano. No obstante la idempotencia y la unipotencia sí cambian en esta ocasión, por lo que no son invariantes respecto a la isometría realizada.

La rotación de los conectores de Peirce produce unos efectos más marcados en relación con sus propiedades

algebraicas, así por ejemplo la conmutatividad se mantiene en algunos casos, lo mismo pasa con la idempotencia y la unipotencia lo que conlleva a no poder extraer conclusiones generales sobre la rotación en

este primer acercamiento.

Una relación con los diagramas de Venn

Se puede ver una relación gráfica muy clara sobre un conector de Peirce y su operación asociada con conjuntos. En este caso es posible observar el conector de la conjunción con el diagrama para la intersección de conjuntos. Se solicitó a los estudiantes explorar esta relación como introducción a las operaciones entre conjuntos.

Trabajo por hacer… 

Explorar

los

conectores

de

Peirce

ante

otros

movimientos rígidos en el plano y ver qué ocurre. 

Establecer otros criterios para los conectores de Peirce con el fin de identificar a simple vista otras propiedades de la operación correspondiente (elemento neutro, inversos, etc.)



Estudiar las 16 operaciones entre conjuntos que

emergen naturalmente del estudio entre la relación entre los diagramas de Venn y los conectores de Peirce.

Conclusiones y agradecimientos… 

La inclusión de una propuesta de este tipo en el aula provee de herramientas poco tratadas en la escuela y potencia procesos matemáticos en los estudiantes tales como: conjeturar, visualizar, generalizar, razonar y clasificar.



Es un pretexto para incluir dentro de los contenidos escolares la teoría de conjuntos como un cumulo de objetos matemáticos susceptibles de ser explorados y redefinidos.



Pone de manifiesto el carácter constructivista de las matemáticas al mostrar que es un conocimiento que no es estático y que se pueden desarrollar en el aula (matemáticas elementales, pero matemáticas al fin.)



Agradecimientos a la profesora Margarita Rojas de Roa, asesora de práctica en el IPN, al profesor Irwin Medina, docente titular del grado 11 del IPN y a los estudiantes del colegio, promoción 2014.

Bibliografía Morela, J., Hurtado, C & Jiménez W. (2012). Una propuesta alternativa para la enseñanza de teoría de conjuntos. Memorias del 13er Encuentro Colombiano de Matemática Educativa (pp. 1266-1271). Medellín. Sello Editorial Universidad de Medellín. Zalamea, F. (1993). Una jabalina lanzada hacía el futuro: anticipos y aportes de C.S. Peirce a la lógica matemática del siglo XX. Universidad Nacional de Colombia. Mathesis, Vol. 9 391-404.

Oostra, A. (2003). Simetría en algunas tablas de C.S. Peirce. Memorias del XIV Encuentro de Geometría y sus aplicaciones. Universidad Pedagógica Nacional. Bogotá. Oostra, A. (2011 ). La lógica gráfica de C.S. Peirce. Memorias del XXIV Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística. Universidad Francisco José de Caldas. Bogotá.