Introduccion al Analisis Dinamico de Estructuras

Carlos Alberto Bermúdez Mejía

Unidad 8 Introducción al análisis dinámico de estructuras

Objetivo

Calcular parámetros dinámicos importantes como son el período del modo fundamental de vibración, su forma modal, el factor de participación modal y el coeficiente de masa efectiva modal.

Síntesis

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El análisis dinámico de los edificios implica conocer ciertas propiedades que pueden calcularse a partir de un modelo matemático que represente su comportamiento estructural. En un proceso iterativo que parte de las fuerzas que proporciona el método de la fuerza horizontal equivalente se puede establecer cuál es el período del modo fundamental de vibración y cuál es su forma modal. El vector de forma obtenido se usa para calcular el factor de participación modal y el coeficiente de masa efectiva modal que son vitales para determinar la respuesta sísmica.

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Como se vio en el capítulo anterior, ciertas propiedades dinámicas de los edificios, como el período de vibración fundamental, incidirán definitivamente en la magnitud y distribución de las fuerzas sísmicas dentro del edificio. En este capítulo se hace una pequeña introducción al análisis dinámico de los edificios con el objetivo de que el estudiante pueda determinar algunas de las propiedades más importantes.

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8.1. Determinación de la forma y el período del modo fundamental de vibración

Estas propiedades se pueden obtener en un proceso iterativo en el que se aplican fuerzas horizontales al edificio y se calculan sus deformaciones. El método consiste en la aplicación de los siguientes pasos, ilustrados en las hojas de cálculo adjuntas: 1) Aplicar a la estructura las fuerzas horizontales que proporciona el método de la fuerza horizontal equivalente, que como se recordará, son proporcionales al término m x hk x /Σm i hk i . 2) Obtener las deformaciones que producen dichas fuerzas mediante un método de análisis estructural, que bien puede ser el método matricial desarrollado en este curso.

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3) Normalizar el vector de deformaciones obtenido, dividiendo todos sus componentes por el valor de la deformación en el techo D T . Este vector normalizado, φ, se asume como la forma modal del modo de vibración fundamental.

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4) Calcular un nuevo conjunto de fuerzas, proporcionales al término m x φx /Σm i φi .

5) Obtener las deformaciones producidas por este nuevo conjunto de fuerzas, como en el paso 2.

6) Normalizar el nuevo vector de deformaciones dividiéndolo por el nuevo D T , para conseguir una nueva forma modal del modo de vibración fundamental. Comparar esta forma con la del paso 3 y si la diferencia es mayor al 5% repetir el proceso desde el paso 4.

(Valores)

0.073 0.014

1 0.19

548.0 253.0 801.0

Cvx 0.68 0.32

Fx [kN] 1261.4 582.4

Fx [kN] 1245.7 o.k. 598.1 o.k.

3

mi.φi

φ

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δi

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Para calcular el período de vibración se aplica la Ecuación A.4.2-1 de NSR-10, presentada aquí como Ecuación 8.1. Como resultado para el ejemplo estudiado se obtiene un período T=0.33s.

T = 2π�

∑ni=1�mi δ2i � ∑ni=1(fi δi )

𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟖. 𝟏

Donde: T = mi = δi =

Período fundamental de vibración Masa en el nivel i Desplazamiento producido por fi en el nivel i

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En este punto, se podría hacer una estimación más precisa de las fuerzas sísmicas, dado que, como se mostró en el capítulo anterior, el cálculo inicial

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8.2. Determinación del factor de participación modal y del coeficiente de masa efectiva modal

Para efectos de obtener, entre otras cosas, el espectro de capacidad de una estructura y con él establecer el punto de desempeño de la misma ante un determinado nivel de amenaza sísmica, es necesario calcular el factor de participación modal (PF) (Ecuación 8.2) y el coeficiente de masa efectiva modal (α) (Ecuación 8.3), como se muestra a continuación.

PF = �

∑N i=1

∑N i=1

�wi φi � g

�wi φ2i � g

𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟖. 𝟑

�

α=

�

∑N i=1�wi φi �

�∑N i=1

wi

g

�

� ∑N i=1 g

2

�wi φ2i �

𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟖. 𝟒

g

Donde: PF = wi = φi = g =

Factor de participación modal Peso del nivel i Componente del vector de forma modal para el nivel i Aceleración de la gravedad

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El factor de participación modal representa la relación entre el desplazamiento sísmico que ocurre a nivel de techo de un sistema de múltiples grados de libertad y el desplazamiento espectral que experimenta bajo el mismo sismo un sistema equivalente de un solo grado de libertad. El coeficiente de masa efectiva, por su parte, representa la relación de masas entre estos dos sistemas. En la hoja adjunta se ilustra el cálculo numérico.

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