REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, 73-78, 2008
Identificación de cargas R-L mediante ajuste de curvas utilizando técnicas de optimización por enjambre de partículas Antonio Millán (1), Carlos Villanueva (1), Francisco Arteaga (1) José Restrepo (2), Carlos Lameda (3) (1) Centro de Investigación y Tecnología en Automatización, Electrónica y Control (CITAEC), Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo. Venezuela (2) Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela (3) Universidad Experimental Politécnica Antonio J. De Sucre UNEXPO, Barquisimeto, Venezuela Email:
[email protected]
Resumen En este artículo se evalúa la aplicación de técnicas de inteligencia artificial basadas en Optimización por Enjambres de Partículas (PSO) para realizar la identificación de una carga del tipo R-L a partir de mediciones de tensión y corriente. Se realizaron simulaciones de una carga R-L alimentada con una señal sinusoidal y se aplicaron técnicas PSO con entrenamiento en línea para ajustar la respuesta de la corriente del modelo de la carga; luego, a partir de los parámetros del modelo optimizado se calculan los valores de R y L. Los resultados de las simulaciones realizadas muestran la efectividad de la técnica PSO para identificar con aceptable rapidez y precisión este tipo de cargas. Palabra claves: Identificación, ajuste de curvas, enjambre de partículas.
Identification of R-L loads using curve fitting and particle swarm optimization Abstract This paper deals with the application of artificial intelligence techniques based on Particle Swarm Optimization (PSO) to identify an R-L load, including voltage and current measurements. Simulations were carried out over an R-L load excited with a sinusoidal voltage signal, applying PSO techniques with on-line training to fit the current response for the load model; then, the parameters values R and L are calculated from the optimized model parameters. Simulations results the efficiency of the applied PSO technique to identify with good quality and quickness this type of loads. Keywords: Identification, curve fitting, particle swarm 1. INTRODUCCIÓN
do según el número de parámetros involucrados y sobretodo con sistemas no lineales.
Para diversos sistemas relacionados con el área de electrónica de potencia se hace necesario identificar los parámetros de un modelo matemático que represente su comportamiento, bien sea para el diseño ó para el ajuste de la operación de un controlador robusto [1, 2]. Una estrategia para realizar la identificación consiste en alimentar tanto al sistema bajo estudio como al modelo parametrizado con una entrada común, ajustando los parámetros del modelo para que su salida se aproxime adecuadamente a la del sistema real [3]. Este procedimiento se torna sumamente complica-
El nivel de aproximación entre la salida del sistema real y la salida del modelo se cuantifica a través de una función, denominada tradicionalmente como función de costos ó función objetivo. El proceso de identificación se reduce a modificar los valores de los parámetros del modelo con la finalidad de minimizar la función objetivo. Sin embargo esta última puede presentar varios mínimos locales y en algunos casos puede ser no diferenciable. Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008 73
Identificación de cargas R-L por ajuste de curvas utilizando técnicas de optimización
Los problemas que se presentan para obtener la magnitud y dirección de los cambios adecuados en los valores de los parámetros han motivado el uso de técnicas de inteligencia artificial en problemas de identificación [4, 5]. Las redes neuronales, lógica difusa, algoritmos genéticos y recientemente técnicas de optimización de enjambres de partículas o PSO [6], constituyen alternativas prometedoras en comparación con la aplicación de técnicas tradicionales tales como observadores de estado y regresión lineal por mínimos cuadrados [7, 8]. Aunque una carga R-L es un sistema lineal, representa un punto de partida adecuado para el estudio y evaluación de la aplicación de técnicas de PSO en la identificación paramétrica de sistemas. Este tipo de cargas es común en sistemas eléctricos de potencia, máquinas eléctricas, sistemas de corrección de factor de potencia y reducción de armónicos en líneas de alimentación [9]. Se realizan simulaciones de una carga R-L alimentada con una señal sinusoidal, tomando como referencia la respuesta de la corriente para ajustar los valores de los parámetros de un modelo de la carga, empleando para ello técnicas de PSO; las simulaciones se efectuaron mediante programación en lenguaje C para implementar los algoritmos de entrenamiento y de integración numérica necesarios para resolver las ecuaciones diferenciales del modelo. 2. MODELO DISCRETO DE LA CARGA R-L El sistema en estudio consiste de una carga R-L monofásica, alimentada con una tensión sinusoidal, según se presenta en el esquema de la Figura 1.
d R 1 i(t) = − i(t) + v(t) dt L L
(1)
R ⎞ Δt ⎛ i k +1 = ⎜ 1 − Δ t ⎟i k + vk L ⎠ L ⎝
(2)
Al escribir la ecuación (2) de forma más conveniente y simplificada se obtiene la ecuación (3); en ésta, w1 y w2 son parámetros cuyos valores deben ser ajustados hasta lograr que el modelo matemático represente de forma adecuada el comportamiento de la carga. ˆi = w ⋅ i + w ⋅ v k 1 k -1 2 k -1
(3)
Luego de determinar los valores óptimos de w1 y w2, R y L se pueden calcular directamente utilizando (4) y (5), conocido el paso de variación temporal ∆t. L=
Δt w2
R = (1 − w 1 )
(4)
L (1 − w 1 ) = Δt w2
(5)
3. AJUSTE DE CURVAS La identificación de los parámetros del modelo de la carga mediante ajuste de curvas se desarrolla en base al esquema de la Figura 2. Se compara el error entre la respuesta del sistema real y la respuesta del modelo, excitados ambos con una entrada común. Carga R-L
vk
ik
L
R
z-1 i(t)
z-1
Modelo
v(t)
Algoritmo de Entrenamiento
Figura 1. Carga R-L monofásica.
El comportamiento dinámico de la corriente resultante se puede analizar a partir de la ecuación diferencial de primer orden (1). Para el caso de estudio en tiempo discreto se requiere utilizar la ecuación en diferencia (2). 74 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008
ˆi k _
+ +
ek
Figura 2. Esquema para la identificación por ajuste de curvas.
Los valores de w1 y w2 en la ecuación (3) son ajustados de forma iterativa, con una estrategia que depende del tipo de algoritmo de entrenamiento utilizado, procurando (en la mayoría de los casos) minimi-
Millán, Villanueva, Arteaga, Restrepo y Lameda
zado, procurando (en la mayoría de los casos) minimizar el error cuadrático medio (6)
E=
(
1 Kf 2 1 Kf e = i k − ˆi k ∑ k K∑ K Ki Ki
)
2
(6)
de la carga se fijaron en R = 1Ω L = 5mH, y se modifican a R = 1,5Ω L = 2,5mH en el instante de tiempo t = 50ms. Las gráficas del voltaje v(t) y de la corriente i(t) se presentan en la Figura 5. Inicializar pesos y velocidades aleatorias
donde K=(Kf - Ki) representa el número de muestras de las curvas de corriente, utilizadas en el proceso de cálculo del error.
m=
3.1 Entrenamiento mediante PSO
Evaluar Em
El ajuste de los parámetros del modelo mediante las técnicas de PSO se efectúa de acuerdo a (7) y (8). Se utiliza una población de M partículas o agentes, cada uno de los cuales representa una posible solución Wm = [w1,m w2,m … wN,m]T, con 1 ≤ m ≤ M. Estos agentes se mueven con una velocidad aleatoria, en un espacio N-dimensional, en busca de una solución óptima.
Si Em Wpbest,m =Wm Si Em Wgbest =Wm Actualizar ΔWm, Wm
ΔWm = c1 ⋅ rand1( ) ⋅ ( Wpbest m − Wm ) + c2 ⋅ rand2 ( ) ⋅ ( Wgbest − Wm ) (7)
W(k + 1) = Wgbest
No m++
(8) S
Wm es la solución actual propuesta por el m-ésimo agente, Wpbestm es el mejor resultado personal encontrado y Wgbest es el mejor resultado global determinado por la población de agentes; c1 y c2 son parámetros que ponderan el desplazamiento aleatorio hacia el resultado personal (memoria autobiográfica) o hacia el resultado global (conocimiento público). El resultado propuesto por cada agente se clasifica después de su evaluación en una función objetivo, en este caso el error cuadrático medio (6), de acuerdo con el diagrama de flujo de la Figura 3. 4. RESULTADOS DE SIMULACIONES
Las simulaciones se realizaron mediante integración numérica del modelo de la carga (2), utilizando programación en lenguaje C y luego compilando para su ejecución en el procesador digital de señales ADSP-21160 de Analog Devices, siguiendo el diagrama de flujo que se presenta en la Figura 4. Los experimentos se desarrollaron simulando una carga R-L alimentada con una señal de voltaje sinusoidal de amplitud 10V y frecuencia f = 60Hz, durante un tiempo TF = 100ms. Los valores iniciales
Otra itera-
Fi
Figura 3. Diagrama de flujo simplificado para el algoritmo de optimización por enjambre de partículas. Inicializar R, L Determinar
Calcular
Runge – Kutta 4to Orden
Calcular Incrementar tiempo
Figura 4. Diagrama de flujo para el algoritmo de integración numérica del modelo de la carga R-L. Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008 75
Identificación de cargas R-L por ajuste de curvas utilizando técnicas de optimización
4.1 Identificación utilizando PSO
8
Se utilizó un número K=200 de muestras de corriente; una población de M=10 agentes con condiciones iniciales aleatorias y una iteración para cada grupo de muestras. Las constantes de seguimiento personal y global se fijaron en c1=0,3 y c2=0,2 respectivamente.
6 4 Corrientes i(t) e î(t), (A)
En las Figuras 6, 7 y 8 se presentan los resultados obtenidos al utilizar el algoritmo PSO para ajustar los parámetros w1 y w2 a fin de minimizar el error cuadrático medio entre i(t) e î(t).
2 0 -2 -4 -6 -8
10
0
0.01
0.02
0.03
v(t)
0.04
0.05 0.06 tiempo (s)
0.07
0.08
0.09
0.1
8
Figura 7. Corriente i(t) en trazo continuo, y corriente estimada î(t) en trazo discontinuo.
i(t) 6 4
14
v(t), i(t)
2 0
12
-2
-6 -8 -10 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06 tiempo (s)
0.07
0.08
0.09
0.1
Error cuadrático medio
10
-4
8
6
4
Figura 5. Gráficas del voltaje v(t) aplicado y de la corriente i(t) de la carga.
2
0 0 1
w1
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06 tiempo (s)
0.07
0.08
0.09
0.1
Figura 8. Gráfica del error cuadrático medio.
0.9 0.8
En la Figura 6 se presentan gráficas con los valores instantáneos obtenidos de los parámetros w1 y w2. En esta figura se observa como el algoritmo PSO alcanza con cierta rapidez valores estables para w1 y w2, tanto al inicio como luego de producirse el cambio en la carga. El transitorio inicial es de aproximadamente 30ms y se caracteriza por grandes oscilaciones, pero se debe recordar que los agentes empiezan con posiciones totalmente aleatorias.
0.7 Parámetros w1,w2
0.01
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
w2
0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06 tiempo (s)
0.07
0.08
0.09
0.1
Figura 5. Ajuste de los valores de los parámetros w1 y w2. 76 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008
Mediante las gráficas de las Figuras 7 y 8 se puede evaluar la capacidad de las técnicas de PSO para ajustar el modelo presentado. En la Figura 7 se puede
Millán, Villanueva, Arteaga, Restrepo y Lameda
Una mejor evaluación se realiza con el soporte de la gráfica del error cuadrático medio de la Figura 8. En ésta se aprecia como el error entre las curvas de corriente es controlado efectivamente, luego de las respectivas etapas transitorias, presumiendo un ajuste correcto entre el modelo y la carga. En las Figuras 9 y 10 se presentan los resultados que se obtienen al utilizar las ecuaciones (4) y (5) para estimar R y L a partir de los valores óptimos alcanzados para w1 y w2 con ∆t=100μs. Los resultados coinciden en estado estacionario con los valores esperados, con un error menor al 5% para ambos parámetros. Finalmente, en las Figuras 11 y 12 se presentan los valores instantáneos estimados de R y L, pero utilizando dos pasos de iteración en el esquema de optimización de la Figura 3. En este caso, se obtienen mejoras en cuanto a una reducción significativa de los tiempos de establecimiento de las variables y menos oscilaciones en estado cuasi-estacionario, con errores relativos menores al 3%, pero a expensas de duplicar los tiempos de cómputo.
0.01 0.009
Inductancia estimada (H)
0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06 tiempo (s)
0.07
0.08
0.09
0.1
Figura 10. Inductancia estimada utilizando una iteración. 6
5
Resistencia estimada (Ω )
puede observar el seguimiento que se logra de la corriente de la carga durante todo el proceso de entrenamiento. Inicialmente las curvas difieren debido a los valores aleatorios asumidos para los parámetros; pero a medida que estos son corregidos por el algoritmo PSO, se obtiene un nivel de acoplamiento que hace imposible diferenciar las curvas a un nivel gráfico, incluso durante el transitorio de cambio instantáneo de la carga en t=50ms.
4
3
2
1
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06 tiempo (s)
0.07
0.08
0.09
0.1
Figura 11. Resistencia estimada utilizando dos iteraciones.
6 0.01 0.009
5
4
Inductancia estimada (H)
Resistencia estimada (Ω )
0.008
3
2
0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002
1
0.001
0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06 tiempo (s)
0.07
0.08
0.09
0.1
Figura 9. Resistencia estimada utilizando una iteración.
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06 tiempo (s)
0.07
0.08
0.09
0.1
Figura 12. Inductancia estimada utilizando dos iteraciones. Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008 77
Identificación de cargas R-L por ajuste de curvas utilizando técnicas de optimización
5. CONCLUSIONES
Los resultados de las simulaciones realizadas demuestran que PSO es un método efectivo que constituye una alternativa confiable para la identificación de sistemas en el área de Electrónica de Potencia que involucran el uso de cargas del tipo R-L. Los cálculos a realizar para la aplicación del método son simples y directos. La calidad de los resultados y los tiempos de convergencia mejoran según se incrementa el número de agentes y de iteraciones utilizadas en cada ciclo de entrenamiento, a expensas de un consecuente incremento en los costos de computación. El algoritmo de entrenamiento desarrollado es capaz de seguir rápidamente cambios instantáneos en los valores de los parámetros por lo que en factible su aplicación para la identificación en línea de sistemas reales. 6. REFERENCIAS
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