Guia 6 grupos y anillos

Guia 6 Grupos y Anillos Juanito 1. Pruebe que Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z} es un subanillo de Z llamado anillo de los enteros de Gauss, con las operaciones: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i y (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Cuales son los elementos invertibles de Z[i]?

Probemos que Z[i] es cerrado bajo la suma y producto. Sean a + bi ∈ Z, c + di ∈ Z , luego (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ∈ Z[i]. Ademas (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i ∈ Z[i] Luego Z[i] es subanillo de Z . Ahora dado un a + bi ∈ Z[i] no nulo, si es invertible entonces existe c + di ∈ Z[i] no nulo tal que (a + bi)(c + di) = 1, luego tomando modulo al cuadrado se tiene que (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = 1, luego para que esto sea verdad, sin perder generalidad (a2 + b2 ) = 1, luego a2 = 0, b2 = 1 o a2 = 1, b2 = 0, luego a = 0, b = ±1, oa = ±1, b = 0, luego a + bi puede ser 0 + i, 0 − i, 1, −1, luego los elementos invertibles de Z[i] son U (Z[i]) = {1, −1, i, −i} .  n o √ √ a + b D : a, b ∈ Q es un subanillo de R, donde D > 0 no es un cuadrado perfecto, 2. Pruebe que Q( D) =

Proof.

con las√operaciones:√

√ √ √ √ (a + b D) + (c + d D) √ = (a + c) + (b + d) Dy(a + b D)(c + d D) = (ac + bdD) + (ad + bc) D. Mas √ aun pruebe que Q( D) es un cuerpo y se llama cuerpo √ cuadratico. Note que√si no se pide D > 0, entonces Q( D) es√un subanillo de C . Dena la norma N : Q( D) → Q, por N (a + b D) = a2 − Db2 . Pruebe que ∀x, y ∈ Q( D), N (xy) = N (x)N (y).

Es facil ver que es conmutativo. Veamos que no nulo es invertible. √ todo elemento √ √ √ √ b a Sea a + b D ∈ Q( D) no nulo, luego (a + b D)( a2 −b D) = 1, luego a + b D es invertible. El 1 es 2 D − a2 −b2 D √ 1 = 1 + 0 D. Es rutinario ver √ todos los demas axiomas de anillo. Por tanto Q( D) es anillo de division conmutativo, es decir un cuerpo. N (xy) = N (x)N (y) Rutinario.  Proof.

4. Sea R anillo conmutativo no unitario. Sea T = R × Z . Dena en T las operaciones (a, n) + (b, m) = (a + b, n + m), (a, n)(b, m) = (ab + ma + nb, nm), ∀a, b ∈ R, n, m ∈ Z . Pruebe que T es un anillo unitario.

Probaremos que (0, 1) es la identidad multiplicativa, los demas axiomas de anillo son rutinarios. Dado (a, n) ∈ T no nulo, entonces (a, n)(b, m) = (a, n), luego (ab + ma + nb, nm) = (a, n), luego nm = n, luego n(m − 1) = 0, luego m = 1, pues n debe ser arbitrario. Ahora si b 6= 0, se tiene que ab + a + nb = a, luego ab + nb = 0, luego como R es anillo cumple distributividad, luego (a + n · 1)b = 0, y aca vemos que necesitamos el 1 de R, pero R no es unitario, luego para que dicha ecuacion se cumpla se necesita que b = 0. Por tanto (b, m) = (0, 1) es la identidad de T . Proof.

 5.

Encuentre los elementos invertibles y los divisores del cero del anillo Z6 × Z8 .

Proof. Los elementos invertibles de Z6 son todos los a ∈ Z6 tal que (a, 6) = 1, analogamente los elemnot invertibles de Z8 son los c ∈ Z8 tal que (b, 8) = 1. Por tanto los elementos invertibles de Z6 × Z8 son todos los (a, b) tal que (a, 6) = (b, 8) = 1. Los divisores del cero en Z6 son todos los a no nulos tal que ab = 0, con algun b no nulo, luego ab ≡ 0mod(6), luego son todos los a tal que ab = 6q algun q ∈ Z . Analogamente, en Z8 los divisores del cero son todos los a no nulo tal que existe b no nulo, tal que ab ≡ 0mod(8). Encontrarlos es rutinario. Por tanto los divisores del cero de Z6 × Z8 son todos los (a, b) con las cosas pedidas antes. 

1

2

√

Averigue si los siguientes conjuntos son subanillos de Q[ D]. o n √ √ (a) Sea D entero libre de cuadrados Z( D) = a + b D : a, b ∈ Z . 6.

√

n

√

o

(b) Si D ≡ 1mod(4) entonces Z( D) = a + b D : a, b ∈ Z . Proof.

Al parecer si lo son, pues son cerrados y contienen el uno pero parece muy facil...



. Sea R tal que cada x ∈ R, satisface x2 = x. pruebe que R es conmutativo.

8

Tenemos que (x + x)2 = x2 + x2 + x2 + x2 = 4x2 , ademas 4x2 = 4x, y ademas (x + x)2 = (x + x) = 2x, luego 4x = 2x, luego 2x = 0, luego x = −x. Ahora (x + y)2 = x2 + xy + yx + y 2 , ademas (x + y)2 = (x + y) = x2 + xy + yx + y 2 = x + xy + yx + y , luego xy + yx = 0, ahora como x = −x, se tiene que 0 = xy − yx, luego yx = xy para todo x, y ∈ R. Por tanto R es conmutativo. Proof.



. Sea R anillo conmutativo unitario y sea a ∈ R. Si a2 = 0, pruebe que a + 1 y a − 1 son invertibles en R.

9

Como a2 = 0 entonces −a2 = 0, ahora (a + 1)(1 − a) = a − a2 + 1 − a = 1, por tanto (1 − a) es el inverso multiplicativo de (a + 1). Analogo el otro.

Proof.

 10. Pruebe que las siguientes funciones son isomorsmos de anillos: √ √ √ √ (a) f : C → C, z → z, b)f : Q[ 2] → Q[ 2], a + b 2 → a − b 2.

(a) f es homomorsmo de anillos pues f (z + w) = z + w = z + w = f (z) + f (w). Tambien, f (zw) = zw = z · w = f (z)f (w). f es inyectiva pues dado z ∈ ker(f ), f (z) = 0, luego z = 0, luego z = 0, luego ker(f ) = {0}, luego f es inyectiva. f es sobreyectiva, pues dado z = a − bi, basta tomar z = a + bi para que f (z) = z . Por tanto f es isomorsmo de anillos. (b) Es analogo.  Proof.

11.

Pruebe que si f : Z → Z , es un isomorsmo de anillos entonces f = idZ .

Proof. Dado f isomorsmo, entonces f (n) = f (n · 1) = f (1 + · · · + 1) = f (1) + · · · + f (1) = nf (1). Como f es epiyectiva se tiene que f (1) = 1, luego f (n) = nf (1) = n · 1 = n, luego f (n) = n para cualquier n ∈ Z, luego f = id.

 12. Sea R = 2Z , on la suma usual y la multiplicacion a ∗ bab/2. Pruebe que R es anillo unitario y que f : R → Z, x → x/2 es isomorsmo.

2 ∈ 2Z es la identidad multiplicativa, pues a ∗ 2 = 2 ∗ a = a. f (x + y) = (x + y)/2 = x/2 + y/2 = f (x) + f (y), ademas si f (x) = f (y), x/2 = y/2, luego x = y luefo f inyectiva.

Proof.

Ademas es claro que es sobre. Por tanto es isomorsmo (pero no de anillos).

 13.

Sea I ideal de un D.I. D. Es cierto que D/I es un D.I.?

Es falso. Consideremos D = Z los enteros y el ideal 4Z de Z . Es trivial ver que I = 4Z es ideal de Z , pues de partida 4Z es subgrupo de la parte aditiva de Z , y ademas para cualquier z ∈ Z , zI ⊂ I , Iz ⊂ I , luego I es ideal en Z . Ademas Z es un dominio de integridad, pues dado ab = 0, se debe tener que a = 0 o b = 0. Ahora D/I no es dominio de integridad, pues Z/4Z = Z4 = 1, 2, 3, 4 , y aca vemos que 2 · 2 = 4 = 0, luego 2 es divisor de cero y es no nulo. Por tanto D/I no es dominio de integridad. Proof.

 14.

Sea I ideal de Z tal que < 3 >⊂ I ⊂ Z . Pruebe que I =< 3 > o bien I = Z .

3

Veamos un lema. Dado I ideal de Z , entonces I = nZ para algun n ∈ Z . (Es decir, todo ideal en Z es de la forma nZ , notar que nZ =< n >). Sea I ideal de Z , luego I es un subgrupo de Z bajo la suma, luego 0 ∈ I , ahora si I = {0} tomamos n = 0 y tenemos que I = 0Z . Si I 6= {0}, entonces existe a ∈ I tal que a 6= 0, entonces I por ser subgrupo contiene a los enteros positivos de la forma az , pues si a > 0, entonces I debe contener a, 2a, 3a etc. Si a < 0, entonces −a ∈ I por ser I un subgrupo, y −a > 0, nuevamente contiene a los enteros positivos de al forma az con z ∈ Z ). Podemos poner I = {az ∈ Z : z > 0} ∪ {0} ∪ {−az ∈ Z : z > 0}. Ahora sea m = min {az ∈ Z : z > 0} que existe por el principio del buen orden, ahora dado a ∈ Z , y el m, por algoritmo de division, existen q, r tal que a = mq + r, con 0 ≤ r < m. Si r 6= 0, como x − mq = r, y ademas como I es subgrupo y x, mq ∈ I , entonces x − mq ∈ I , luego r ∈ I , y ademas 0 < r < m, luego es una contradiccion con la minimalidad de m el menor entero positivo en I . Por tanto r = 0, luego x = mq , algun q ∈ Z . Por tanto I ⊂ mZ . Por tanto tomamos n = m y asi I ⊂ nZ . Inversamente, es facil ver que < n > es un ideal de Z , luego < n >⊂ I pues cumple las propiedades de ideal. .

Proof.

Lemma:

Ahora por el lemma anterior, si < 3 >⊂ I ⊂ Z , sabemos que I =< n > algun n ∈ Z . Si n = 1, entonces I = Z y estamos listos. Ahora si n 6= 1, como < 3 >⊂ I , entonces 3 ∈ I , luego 3 = nz algun z . Ahora n = 1 y z = 3 o bien n = 3 y z = 1. Como n 6= 1 debe tenerse que n = 3. Luego I = 3Z =< 3 >.  Pn P n i i 15. Sea ϕ : Z[x] → Z/nZ[x] funcion denida por ϕ( i=0 ai x ) = i=0 ai x . Pruebe que ϕ es epimorsmo de

anillos.

Veamos que es homomorsmo dePanillos. Sin perder n ≤ m, y tomemos Pn Pm ai = 0 para Pm generalidad, sea Pm m i > m, asi tenemos que ϕ( i=0 ai xi + j=0 bj xj ) = ϕ( i=0 (ai + bi )xi ) = i=0 (ai + bi xi ) = i=0 ai + bi xi = Pn Pm Pn Pm i i i i i=0 ai x + i=0 bi x = ϕ( i=0 ai x ) + ϕ( Pi=0 bi x ). Analofo para el producto. P n La sobreyectividad es trivial, pues dado a = i=0 ai xi , basta tomar el polinomio a = ni=0 ai xi para que ϕ(a) = a.  Proof.

16. Encuentre todos los ideales de Z/12Z . Para cada ideal I de Z/12Z escriba las tablas de la suma y de la multiplicacion de (Z/12Z)/I . Proof.

Por el Teo. de Correspondencia, los ideales de Z/12Z seran los ideales de la forma J/12Z con J un ideal de

Z tal que 12Z ⊂ J .

Ahora los ideales de Z son de la forma nZ , luego queremos que 12Z ⊂ nZ , y esto se cumple para n = 1, 2, 3, 4, 6, 12. Por tanto J ∈ {1Z, 2Z, 3Z, 4Z, 6Z, 12Z}. Por tanto los ideales de Z/12Z son J/12Z .  17. Sea R = 3Z y sea I = 6Z . (a) Pruebe que I es ideal de R. (b) Escriba las tablas de la suma y multiplicacione de R/I . Note que R/I tiene identidad multiplicativa pero R no. Proof. Es trivial ver que I ⊂ R. Ademas dado 3z ∈ 3Z , se tiene que 3zI ⊂ I , pues (3z)(6z 0 ) = 6(3zz 0 ) ∈ I . Analogamente I3z ⊂ I . Por tanto I es ideal de R.



. Sea I = {0, 3} en Z6 . Pruebe que I es un ideal de Z6 y que (Z6 )/I ' Z3 .

18

Proof. Tenemos que Z6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, es facil ver que dado cualquier r ∈ Z6 , r · 0 = 0· = 0 ∈ I . Ahora 1 · 3 = 3 ∈ I, 2 · 3 = 6 = 0 ∈ I, 3 · 3 = 9 = 3 ∈ I, 4 · 3 = 12 = 6 = 0 ∈ I, 5 · 3 = 15 = 3 ∈ I, 6 · 0 = 0 ∈ I . Analogamente por la derecha se cumple lo mismo. Por tanto I es un ideal bilatero, es decir, simplemente un ideal de Z6 . Falta ver que I es anillo pero es rutinario. Ahora sea f : Z6 → Z3 dado por f (a) = a, esta funcion esta bien denida pues si a ∼ b en Z6 con a ≡ bmod(6), entonces a = b + 6q , luego a = b + 3(2q), luego a ≡ bmod(3), luego a ∼ b en Z3 .

4

Ademas f es homomorsmo trivialmente pues f (a + b) = a + b = f (a) + f (b), f (ab) = ab = f (a)f (b). Por tanto f es hgomomorsmo de anillos de Z6 a Z3 . Ademas ker(f ) = {a ∈ Z6 : f (a) = 3}, luego vemos que 3, 6 ∈ ker(f ). Por tanto ker(f ) = {0, 3} = I . Por Primer Teo. de Isomora para anillos, Z6 /I ' Z3 . 

Sea f : R → R0 , un isomorsmo de anillos. Cuales de las siguientes armaciones son preservadas por f ? (a) a ∈ R, es un divisor de cero. (b) R es un D.I. (c) a ∈ R es solucion de x2 = x. (d) R es un anillo de matrices. 19.

(a) Se preserva, pues dado a ∈ R, divisor de cero, entonces a 6= 0, y existe b 6= 0 tal que ab = 0. Ahora f (ab) = f (0), luego f (ab) = 0, luego f (ab) = f (a)f (b) = 0, y f (a) 6= 0, pues si f (a) = 0, entonces f (a) = f (0) y como f es inyectiva, a = 0 una contradiccion, analogamente f (b) 6= 0. Por tanto f (a) es un divisor de cero. (del cero de R0 ) (b) Se preserva, pues si R es D.I. si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0, luego f (ab) = f (a)f (b) = 0, luego como a = 0 o b = 0, f (a) = 0 o f (b) = 0, luego R0 es D.I. (c) Se preserva, pues si a2 = a, entonces f (a2 ) = f (a), luego f (a · a) = f (a), luego f (a)f (a) = f (a), luego f (a)2 = f (a), luego f (a) es solucion de la ecuacion x2 = x. Proof.

(d) No se preserva, depsues pnogo contraejemplo

 2 20. Sea R = C(R, R) anillo de las funciones continuas de R en R. Si f ∈ R y f = f , pruebe que f es la funcion constante f (x) = 0 o la funcion constante f (x) = 1. Sugerencia: Para todo a ∈ R, f (a) debe ser solucion de la ecuacion x2 = x.

Como f 2 = f , entonces para todo x ∈ R, f (x)2 = f (x), luego f 2 (x) − f (x) = 0, luego f (x)(f (x) − 1) = 0 para todo x, luego f (x) = 0 o bien f (x) = 1 para todo x, luego f = 0 constante o f = 1 constante.

Proof.

 22. Sea R anillo no unitario y sea a ∈ R. Pruebe que I = {ra + na : r ∈ R, n ∈ Z} es un ideal de R tal que a ∈ I y cada ideal de R que contiene a a contiene tambien a I .

Primero a ∈ I , pues basta tomar n = 1, r = 0, luego a = 0a + 1a ∈ I . Ahora I es ideal de r, pues dado x ∈ R, x(ra + na) = (xr)a + (xn)a = (xr + xn)a + 0 · a ∈ I . Analogamente por la derecha, luego I es ideal de R. Proof.

Ahora sea J un ideal de R que contiene al elemento a, como contiene a a y es ideal, dado r ∈ R se tiene que ra ∈ J , como J es grupo y a ∈ J, na ∈ J , luego ra + na ∈ J , luego I ⊂ J .