FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

Capítulo III LA LÍNEA RECTA 3.1

DEFINICIÓN:

Es el lugar geométrico de los puntos que describen una función de modo que si se toman 2 puntos arbitrarios de esa función P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ), se cumple que la pendiente “m” es siempre constante. Donde “m” se define como:

y − y1 m= 2 x2 − x1

Es importante notar que la pendiente es numéricamente igual a la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las “x” (ángulo “θ”).

y − y1 Tg ( θ ) = m = 2 x2 − x1 El ángulo medido se considera positivo en sentido antihorario (opuesto al sentido de rotación de las manecillas del reloj). Problema Resuelto 1: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene una pendiente m=2. Solución: Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”.

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Tan (θ ) = m = 2

θ = Tan −1 ( 2) = 63.44º

Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genéricas P(x, y).

Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). m=

y −3 x−2

Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “2”. m=2

Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí: y−3 =2 x−2

Se elimina el denominador del término izquierdo:

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y − 3 = 2( x − 2)

Se simplifica la expresión previa: y − 3 = 2x − 4

Se despeja “y”: y = 2x − 4 + 3 y = 2x − 1 Solución

La expresión encontrada como solución permite una rápida graficación: y = 2x − 1 x y -3 -7 -2 -5 -1 -3 0 -1 1 1 2 3 3 5

El gráfico que se obtiene es similar al que se presentó previamente.

Verificación: Como se esperaba, la recta pasa por el punto A(2, 3). Para verificar que la recta tenga la pendiente apropiada se seleccionan 2 puntos arbitrarios A(2, 3) y B(-2, -5).

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y 2 − y1 x 2 − x1 ( −5) − ( 3) − 5 − 3 − 8 m= = = ( −2) − ( 2) − 2 − 2 − 4 m=2 m=

NOTA 1: Si bien la solución presentada es de la forma y = 2x − 1 , igualmente pudo haberse descrito la solución como y − 2x + 1 = 0 (todos los términos se pasaron al miembro izquierdo) o 2 y − 4x + 2 = 0 (la ecuación completa se multiplicó por una constante), pues todas esas expresiones son equivalentes. NOTA 2: Para la obtención de la ecuación de la línea recta se ha requerido aplicar la definición de pendiente e incluir un punto genérico P(x, y) perteneciente a dicha recta.

Problema Resuelto 2: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, -5) y que está inclinada 45º con relación al eje positivo de las “x”. Solución: Se dibuja la recta asumiendo que un ángulo positivo se mide antihorariamente (en sentido opuesto a la rotación de las manecillas del reloj) desde el eje positivo de las “x”.

La pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma con el eje positivo de las “x”. m = Tan (θ) = Tan ( 45º ) m =1

Se traza sobre la recta un punto de coordenadas genéricas P(x,y).

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Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). y − ( −5) x −3 y+5 m= x −3 m=

Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “1”. m =1

Se igualan las 2 expresiones anteriores: y+5 =1 x −3

Se elimina el denominador del término izquierdo: y + 5 = x −3

Se despeja “y”: y = x − 3− 5

Se simplifica la expresión anterior:

y = x − 8 Solución Se encuentran los puntos que permitan una graficación detallada de la recta: y = x −8 x y 0 -8 1 -7 2 -6 3 -5 4 -4 5 -3

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6 7 8 9

-2 -1 0 1

El gráfico que se obtiene es:

Verificación: Como se esperaba, la recta pasa por el punto (3, -5). Por otro lado, la pendiente de la recta se puede calcular entre los puntos A(3, -5) y B(6, -2).

y 2 − y1 x 2 − x1 ( −2) − ( −5) − 2 + 5 3 m= = = (6) − ( 3) 6 −3 3 m = 1 Verificado m=

OTRA DEFINICIÓN DE RECTA: Es el conjunto de puntos que, tomados por parejas, siempre presentan la misma inclinación.

3.2

ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE:

Como se demostró en los ejemplos anteriores, si se conoce un punto por el que pasa una recta y su pendiente, es factible definir la ecuación de la recta. Se toma una recta que pasa por el punto conocido P1 (x1 , y1 ); además se conoce que la recta tiene una pendiente cuyo valor es “m”.

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Se dibuja un punto genérico P(x, y) perteneciente a la recta.

Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido P1 (x1 , y1 ) y al punto genérico P(x, y).

m=

y − y1 Ecuación Punto-Pendiente x − x1

Otra forma de presentar la ecuación de la recta se consigue al despejar “y”.

y − y1 = m( x − x1) y = m( x − x1 ) + y 1 Ecuación Punto-Pendiente Problema Resuelto 3: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 1) y tiene una pendiente m = -1 . Solución: Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”. Tg (θ) = m = −1

θ = Tan −1 ( −1)

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θ = −45º El ángulo de “-45º” se debe medir en sentido horario desde el eje positivo de las “x”.

Se traza un punto de coordenadas genéricas P(x, y) sobre la recta.

Se calc ula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P). m=

y −1 x−2

Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “-1” (es dato del problema). m = −1

Igualando las 2 expresiones anteriores: y −1 = −1 x−2

Se elimina el denominador del término izquierdo: y − 1 = −1( x − 2)

Simplificando: y −1 = −x + 2

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Despejando “y”: y = −x + 2 +1 y = −x + 3 Solución

Para graficar detalladamente la solución se prepara una tabla de evaluación de valores en base a la expresión previa. y = −x + 3 x y -3 6 -2 5 -1 4 0 3 1 2 2 1 3 0

El gráfico que se obtiene es:

Verificación: La recta pasa por el punto (2, 1). La pendiente de la recta se puede calcular con los puntos A(2, 1) y B(-3, 6).

y 2 − y1 x 2 − x1 6 −1 5 m= = ( −3) − 2 − 5 m = −1 m=

El ángulo que forma la recta con el eje positivo de las “x” se puede obtener a partir de que la tangente de ese ángulo es igual a la pendiente. Tan (θ ) = m = −1

De donde el ángulo es:

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θ = Tan −1 ( −1) θ = − 45º Verificado NOTA: Se debe observar que han sido necesarias 2 características independientes de la recta (un punto por el que pasa y la pendiente) para poder definir su ecuación.

Problema Resuelto 4: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tiene una pendiente m=1/3 . Solución: Para efectos de graficación se calcula el ángulo que forma la recta con el eje de las “x”. 1 3 1 −1   θ = Tan    3 θ = 18.43º Tg (θ ) = m =

El ángulo de “18.43º ” se debe medir en sentido antihorario desde el eje positivo de las “x”.

Se traza un punto de coordenadas genéricas P(x, y) sobre la recta.

Se calcula la pendiente de la recta en base a las coordenadas de los 2 puntos (A y P).

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m=

y −1 x −3

Pero la pendiente de la recta en mención tiene un valor de “1/3”. m=

1 3

Igualando las 2 expresiones anteriores: y −1 1 = x −3 3

Eliminando los denominadores: 3( y − 1) = 1( x − 3)

Simplificando: 3y − 3 = x − 3

Despejando “y”: 3y = x − 3 + 3 3y = x

y=

x Solución 3

Para graficar detalladamente la solución se prepara una tabla de evaluación: y=

x 3 x -9 -6 -3 0 3 6 9

y -3 -2 -1 0 1 2 3

El gráfico que se obtiene es:

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NOTA: Es importante mencionar que al no existir término independiente de las variables “x” y “y” en la ecuación de la recta, ésta pasa por el origen. Verificación: La recta pasa por el punto (3, 1). La pendiente de la recta se puede calcular entre los puntos A(3, 1) y B(6, 2).

y 2 − y1 x 2 − x1 2 −1 m= 6 −3 1 m = Verificado 3 m=

3.3

ECUACIÓN PENDIENTE – ORDENADA AL ORIGEN:

Un caso especial de la ecuación de la recta que pasa por un punto determinado y se conoce su pendiente es aquel en que se fija en qué punto intercepta la recta al eje de las “y” y se define su pendiente. La forma simplificada de esta ecuación recibe el nombre de Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen. Se toma una recta que corte al eje de las “y” a una distancia “b” desde el origen, y que posee una pendiente “m”.

El punto de corte de la recta con el eje de las “y” tiene por coordenadas (0, b), pues su proyección sobre el eje de las “x” es nula, y su proyección sobre el eje de las “y” es “b”.

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Se dibuja un punto genérico P(x, y) perteneciente a la recta.

Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido A(0, b) y al punto genérico P(x, y). m=

y−b x−0

Simplificando: m=

y−b x

Despejando “y”: y−b = m⋅x y = m ⋅ x + b Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen

Donde:

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m: b:

pendiente de la recta ordenada al origen

Problema Resuelto 5: Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las “y” cinco unidades por encima del origen, y tiene una pendiente m=-2 . Solución: La pendiente negativa revela que la recta forma un ángulo horario con relación al eje positivo de las “x”. Con este dato se procede a realizar un dibujo tentativo de la recta, que además debe cortar el punto A(0,5) cinco unidades por encima del origen.

La ecuación de la recta es: y = m⋅x+ b y = (−2) ⋅ x + 5 y = −2x + 5 Ecuación de la Recta

NOTA 1: Se puede escribir muy rápidamente (inclusive sin necesidad de una representación gráfica) la ecuación de la recta. NOTA 2: Se debe observar que, igual que en la Ecuación Punto – Pendiente, han sido necesarias 2 características independientes de la recta (la pendiente y el punto de cruce con el eje “y”) para definirla.

Problema Resuelto 6: Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las “y” dos unidades por debajo del origen, y tiene una pendiente m=3/2 . Solución: La pendiente positiva significa que la recta forma un ángulo antihorario con relación al eje positivo de las “x”. Con este dato se procede a realizar un dibujo tentativo de la recta, que además debe cortar el punto A(0,-2) dos unidades por debajo del origen.

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La ecuación de la recta es: y = m⋅x+ b

 3 y =  ⋅x−2  2 3 y = x − 2 Ecuación de la Recta 2

Para eliminar los denominadores, se puede multiplicar toda la ecuación por “2”. 2 y = 3x − 4

Agrupando todos los términos en el miembro izquierdo y cambiando de signo: − 3x + 2 y + 4 = 0 3 x − 2y − 4 = 0 Ecuación de la Recta

Problema Resuelto 7: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene una pendiente m=1 . Solución: La recta debe pasar por el punto O(0, 0) y formará un ángulo positivo de 45º (pendiente igual a 1) con el eje de las “x”.

La ecuación de la recta es:

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y = m⋅x+ b y = (1) x + ( 0) y = x Ecuación de la Recta

Problema Resuelto 8: Parte 1: Una empresa fabricante de fundas de basura tiene Costos Fijos de funcionamiento (arriendo, seguridad, administrador) de US$ 1300 mensuales y Costos Variables de producción (material, mano de obra, depreciación de maquinaria) de 5 centavos (US$ 0.05) por funda grande reforzada. Describir mediante la ecuación de una línea recta, en función del número de fundas producidas mensualmente, cuál es el costo total de producción de esas fundas (medir en decenas de miles de fundas), y representar gráficamente la función encontrada. Parte 2: Si todas las fundas pueden ser colocadas en el mercado, y el precio de venta es de 10 centavos (US$ 0.10) por unidad, determine ¿cuál debe ser la producción mensual de la empresa para que alcance el punto de equilibrio, en que los ingresos igualan a los egresos? Solución Parte 1: El Costo Total proviene de añadir Costos Fijos y Costos Variables. Costo Total = CostoFijo + CostoVaria ble CT = CF + CV

De acuerdo al texto del problema, los costos fijos mensuales ascienden a US$1300

CF = 1300 Si se define como “n” al número de fundas producidas mensualmente, los costos variables representan “0.05” veces “n”, pues producir cada funda cuesta US$ 0.05. CV = (0.05)( n ) CV = 0.05n

El costo total es la suma de los costos fijos y los costos variables.

CT = 1300 + 0.05n Solución Se prepara una tabla que relacione el costo total mensual “CT” en dólares, con el número de fundas producidas mensualmente “n”:

CT = 1300 + 0.05n n CT 0 1300 10000 1800 20000 2300 30000 2800 40000 3300

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El gráfico correspondiente describe la Función de Costos y es el siguiente:

La ecuación de la recta también pudo ser calculada como Pendiente – Ordenada al Origen, donde: m = 0.05 (5 centavos de costo por funda producida) b = 1300 (costos fijos) Solución Parte 2: Si se define como “n” al número de fundas vendidas mensualmente (que en el presente caso es igual al número de fundas producidas), y se colocan en el mercado a las fundas a un valor de 0.10 dólares por funda, el monto de ventas será “0.10” veces “n”. MV = (0.10)( n ) MV = 0.10n Solución

Se prepara una tabla que relacione el monto de ventas mensuales “MV” con el número de fundas producidas mensualmente “n”:

MV = 0.10n n MV 0 0 10000 1000 20000 2000 30000 3000 40000 4000 En el mismo gráfico anterior se dibuja la nueva función pues tanto el Costo Total como el Monto de Ventas tienen por unidad los dólares:

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La ecuación de la nueva recta también pudo calcularse como Pendiente – Ordenada al Origen, donde: m = 0.10 (10 centavos de precio por funda vendida) b=0 El Punto de intersección de las 2 rectas es el Punto de Equilibrio para las finanzas de la empresa, pues los costos incurridos en producción igualan al monto de ventas de esos productos.

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Matemáticamente hablando, el punto que aparece en la intersección debe cumplir simultáneamente con las ecuaciones de las 2 rectas que en el presente caso requieren un cambio de denominación de variables a “x” y “y”: y = 0.05x + 1300 y = 0.10x

Igualando ambas expresiones se tiene:

0.05x + 1300 = 0.10 x Despejando “x”:

1300 = 0.10 x − 0.05x 1300 = 0.05x 0.05x = 1300 1300 x= 0.05 Simplificando:

x = 26000 fundas Solución El costo de producir 26000 fundas de basura reforzadas al mes es de US$ 2600, y la venta de 26000 fundas reporta US$ 2600, por lo que una producción de 26000 fundas es el punto de equilibrio de la empresa (los costos igualan a las ventas).

Problema Resuelto 9: Se adquirió un vehículo nuevo para una empresa, por un valor de US$ 15000. El momento mismo en que el vehículo salió de la casa comercial, tuvo una depreciación instantánea del 10% (si se intentara vender el vehículo apenas salido de la casa comercial, solamente se lo podría hacer al 90% del valor original). A partir de ese momento el valor comercial sufre una depreciación adicional del 3% del valor de compra por cada 10000 Km de recorrido. Determinar una ecuación que describa el valor comercial del vehículo en función del kilometraje recorrido. Solución: La pérdida del 10% del valor significa que con 0 Km de recorrido el valor comercial del vehículo disminuye instantáneamente de US$ 15,000 a US$ 13,500 (90% de US$ 15,000). Se definen las variables del problema: V: K:

Valor comercial del vehículo Kilometraje del vehículo

Una representación gráfica tentativa de la variación del valor comercial sería:

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La depreciación del 3% por cada 10,000 Km es equivalente a 0.03/10000 por cada Km (0.000003). Para efectos de graficación se calcula una tabla con ciertos puntos del valor comercial en función del kilometraje. Kilometraje (Km) 0 20000 40000 60000 80000 100000

Valor Inicial (US$) 13,500 13,500 13,500 13,500 13,500 13,500

Depreciación por Kilometraje (US$)

Valor Comercial (US$)

0 0.000003*20000*$ 15,000=$ 900 0.000003*40000*$ 15,000=$ 1,800 0.000003*60000*$ 15,000=$ 2,700 0.000003*80000*$ 15,000=$ 3,600 0.000003*100000*$ 15,000=$4,500

13,500-0=$ 13,500 13,500-900=$ 12,600 13,500-1,800=$ 11,700 13,500-2,700=$ 10,800 13,500-3,600=$ 9,900 13,500-4,500=$ 9,900

Las operaciones de la tabla se reflejan en la siguiente ecuación: V = 13500 − 0.000003( K )(15000 ) V = 13500 − 0.045( K ) Ecuación de la Recta de Depreciación

Evaluando la ecuación se tiene la siguiente tabla simplificada: V = 13500 − 0.045( K ) K V 0 13500 20000 12600 40000 11700 60000 10800 80000 9900 100000 9000

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120000 140000 160000 180000

8100 7200 6300 5400

El gráfico correspondiente es:

Es importante notar que la ecuación deducida es del tipo Pendiente – Ordenada al Origen, donde la ordenada al origen es el valor inicial de vehículo (US$ 13500), y la pendiente es 0.045 que es el decrecimiento del precio por kilómetro, y va precedido por un signo negativo pues el valor del vehículo disminuye conforme aumenta el kilometraje. Por otro lado, aproximadamente a partir de los 300000 Km de recorrido, la Recta de Depreciación empezaría a tomar valores negativos, lo que en el mundo real no tiene ningún sentido. La validez de la Recta de Depreciación está limitada a decrecer hasta un potencial Valor Residual del bien, o hasta un valor nulo, dependiendo de las políticas de la empresa.

3.4

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS:

Si se conocen 2 puntos por los cuales pasa una recta, se puede determinar la ecuación de la misma.

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Se puede calcular la pend iente de esa recta, basada en las coordenadas de los puntos P1 y P2 .

m=

y 2 − y1 x 2 − x1

Se grafica un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta.

Se puede calcular nuevamente la pendiente de la recta en base al punto conocido P1 (x1 , y1 ) y al punto genérico P(x, y).

m=

y − y1 x − x1

Por la definición de recta, las 2 expresiones que describen la pendiente de la recta deben ser iguales.

y − y1 y 2 − y 1 = Ecuación de la Recta que pasa por 2 Puntos x − x1 x 2 − x1

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Una expresión alternativa se puede obtener despejando “y”.

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1 y − y1 y = y1 + 2 ( x − x 1 ) Ecuación de la Recta que pasa por 2 Puntos x 2 − x1

y − y1 =

NOTA: Es importante mencionar que si se conocen 2 características independientes de una recta (un punto y su pendiente, o la pendiente y su ordenada al origen, o 2 puntos, etc.), queda definida su ecuación. Problema Resuelto 10: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(5, 1). Solución: Se dibujan los 2 puntos y la recta que pasa por esos 2 puntos:

Se calcula la pend iente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos:

m=

y 2 − y1 x 2 − x1

1− 3 − 2 = 5− 2 3 2 m=− 3 m=

Se coloca, en el gráfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta.

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Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genérico y el punto “A”:

m=

y−3 x−2

Igualando las 2 expresiones que definen la pendiente:

y−3 2 =− x−2 3 Pasando los denominadores a los otros miembros:

3( y − 3) = −2( x − 2 ) Destruyendo paréntesis:

3 y − 9 = − 2x + 4 Pasando todos los términos al miembro izquierdo:

2x + 3 y − 9 − 4 = 0 2x + 3y − 13 = 0 Ecuación de la Recta Otra manera de presentar la ecuación de la recta podría conseguirse al despejar “y” de la expresión anterior.

3 y = −2 x + 13 y=−

2 13 x+ Ecuación de la Recta 3 3

NOTA: Igual que en las Ecuaciones Punto – Pendiente y Pendiente – Ordenada al Origen, han sido necesarias 2 características independientes de la recta (2 puntos).

Problema Resuelto 11: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3, -1) y B(4, 5).

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Solución: Se dibujan los 2 puntos y la recta que pasa por esos 2 puntos:

Se calcula la pendiente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos:

y 2 − y1 x 2 − x1 5 − ( −1) 5 + 1 m= = 4 − ( −3) 4 + 3 6 m= 7 m=

Se coloca, en el gráfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta.

Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genérico y el punto “B” (pudo haberse tomado el punto “A” y el resultado final hubiera sido el mismo):

m=

y−5 x−4

Igualando las 2 expresiones previas:

y−5 6 = x−4 7 Pasando los denominadores a los otros miembros:

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7 ( y − 5) = 6 ( x − 4) Destruyendo paréntesis:

7 y − 35 = 6 x − 24 Pasando todos los términos al miembro izquierdo:

7 y − 6 x − 35 + 24 = 0 7 y − 6 x − 11 = 0 6 x − 7 y + 11 = 0 Ecuación de la Recta Otra manera de presentar la ecuación de la recta podría conseguirse al despejar “y” de la expresión anterior.

− 7 y = −6 x − 11 7 y = 6 x + 11 y=

6 11 x+ Ecuación de la Recta 7 7

Problema Resuelto 12: Parte 1: Un vendedor de telas a domicilio percibe un sueldo básico de US$ 150 mensuales, y adicionalmente se le otorga un 5% sobre las ventas que realiza. Describir mediante una ecuación la variación de su sueldo mensual en función de los montos de sus ventas. Graficar la ecuación. Parte 2: La esposa del vendedor de telas es representante de una empresa de cosméticos, y no tiene sueldo básico, pero recibe una comisión del 10% sobre las ventas. Obtener una ecuación que describa sus ingresos mensuales en función de sus ventas. Graficar la función. Parte 3: Si esposo y esposa vendieron lo mismo el mes pasado, y ganaron lo mismo, ¿cuánto vendieron y ganaron el mes anterior? Solución Parte 1: El sueldo mensual del vendedor tiene dos componentes: un valor fijo (sueldo básico) y un valor variable (sueldo por comisión), y puede representarse mediante la siguiente expresión: Sueldo Total = Sueldo Básico + Sueldo Por Comisión ST = SB + SC De acuerdo al texto del problema, el sueldo básico asciende a US$150

SB = 150

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Si se define como “V” al monto mensual de ventas realizadas, el Sueldo por Comisión representa “0.05” veces “V” (5% de V).

SC = 0.05V El Sueldo Total es:

ST = 150 + 0.05 V Solución Se prepara una tabla que relacione el costo sueldo mensual total “ST” en dólares, con el valor de las ventas realizadas “V”:

ST = 150 + 0.05V V ST 0 150 1000 200 2000 250 3000 300 4000 350 El gráfico correspondiente es:

La ecuación de la recta pudo ser calculada como Pendiente – Ordenada al Origen, donde: m = 0.05 (5% de comisión sobre las ventas) b = 150 (sueldo básico) Solución Parte 2: El sueldo de la esposa del vendedor es variable y tiene un solo componente: el sueldo por comisión, que representa “0.10” veces las Ventas “V” (10% de V).

ST = 0.10V Solución Se prepara una tabla que relacione el costo sueldo mensual total “ST” en dólares, con el valor de las ventas realizadas “V”, por la esposa del ve ndedor:

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ST = 0.10V V ST 0 0 1000 100 2000 200 3000 300 4000 400 El gráfico correspondiente, representado sobre el diagrama anterior, es:

La ecuación de la recta también pudo ser calculada como Pendiente – Ordenada al Origen, donde: m = 0.10 (10% de comisión sobre las ventas) b = 0 (sueldo básico nulo) Solución Parte 3: El único punto de los diagramas, que cumple con tener sueldos iguales para ventas iguales (iguales ordenadas y abscisas) es la intersección de las 2 rectas:

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Para calcular las coordenadas de ese punto se debe resolver para la condición de cumplimiento simultáneo de las 2 ecuaciones. Para el efecto se cambiarán las variables a “x” y “y”: y = 150 + 0.05x y = 0.10x

Igualando ambas expresiones se tiene:

150 + 0.05x = 0.10 x Despejando “x”:

150 = 0.10 x − 0.05x 150 = 0.05x 0.05x = 150 150 x= 0.05 Simplificando:

x = US $ 3000 Solución Reemplazando el valor de “x” en cualquiera de las 2 ecuaciones simultáneas se tiene: y = 150 + 0.05x = 150 + 0.05(3000) = 150 + 150 = 300 y = 0.10x = 0.10(3000) = 300 y = US$ 300 Solución

Una venta de US$ 3000 reporta un sueldo de US$ 300 tanto al esposo como a la esposa.

Problema Resuelto 13: Parte 1: Determinar una ecuación lineal que relacione los Grados Centígrados (ºC) con los Grados Fahrenheit (ºF), si se conoce que al nivel del mar el agua se congela a 32 ºF y se evapora a 212 ºF. Parte 2: Los manuales de floricultura establecen que las rosas de calidad deben mantenerse en un ambiente de temperatura controlada entre 62 ºF y 80 ºF. ¿A qué rango de temperatura en grados centígrados corresponden esos datos? Solución Parte 1: Sobre el eje de las “x” se colocan los “ ºC”, y sobre el eje de las “y” los “ ºF”. Se dibujan los 2 puntos A(0ºC, 32ºF) y B(100ºC, 212ºF), y la recta que pasa por esos 2 puntos:

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Se calcula la pendiente en base a las coordenadas de los 2 puntos conocidos:

y 2 − y1 x 2 − x1 212 − 32 180 18 m= = = 100 − 0 100 10 9 m= 5 m=

Se coloca, en el gráfico, un punto arbitrario P(x, y) perteneciente a la recta.

Se calcula la pendiente de la recta entre el punto genérico y el punto “A”: y − 32 y − 32 m= = x−0 x Igualando las 2 expresiones anteriores: y − 32 9 = x 5 Pasando el denominador izquierdo al miembro derecho: 9 y − 32 = ⋅ x 5

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Despejando “y”: 9 y = ⋅ x + 32 5 Cambiando las variables “x” y “y” a “ ºC” y “ ºF” respectivamente:

ºF =

9 ⋅ (º C ) + 32 Solución 5

Otra manera de presentar la expresión consistiría en despejar los “ ºC”.

ºC =

5 ⋅ (º F − 32 ) Solución Alternativa 9

Solución Parte 2: Aplicando la última expresión (solución alternativa), se asigna temperaturas en grados Fahrenheit y se obtiene su equivalente en grados centígrados (grados Celsius). 5 º C = ⋅ (º F − 32 ) 9 62 ºF equivalen a 16.7 º C. 80 º F equivalen a 26.7 ºC. El rango de variación de la temperatura óptima para el cultivo de rosas de calidad está entre 16.7 ºC y 26.7 ºC.

3.5

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA:

Si se conocen las distancias a las cuales corta una recta a los ejes “x” y “y”, se puede determinar la ecuación de la misma. Se dibuja una recta que corta al eje de las “x” a una distancia “a” desde el origen, y al eje de las “y” a una distancia “b”.

Las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes principales serían:

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La pendiente de la recta, en función de las coordenadas de los 2 pisos es:

y 2 − y1 x 2 − x1 b−0 m= 0 −a b m=− a m=

Se dibuja un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta.

Se calcula la pendiente de la recta empleando el punto genérico y uno de los puntos de coordenadas conocidas. m=

y−0 y = x −a x − a

Igualando las 2 expresiones anteriores: y b =− x−a a

Eliminando los denominadores:

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a. y = − b ( x − a )

Destruyendo paréntesis: a.y = −b.x + a.b

Pasando los términos que contienen variables al miembro izquierdo: a.y + b.x = a.b

Dividiendo ambos miembros para “a.b”: a.y + b.x a.b = a .b a.b a.y + b.x =1 a .b

Separando el miembro izquierdo en 2 fracciones: a.y b.x + =1 a.b a .b

Simplificando las fracciones: y x + =1 b a

Reordenando las fracciones del miembro izquierdo:

x y + = 1 Ecuación Simétrica de la Recta a b

Problema Resuelto 14: Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las abscisas 5 unidades a la derecha del origen, y al eje de las ordenadas 3 unidades hacia arriba del origen. Solución: Se dibujan los 2 puntos A(5, 0) y B(0, 3), y la recta que pasa por esos 2 puntos:

Se escribe directamente la ecuación de la recta mediante su representación simétrica:

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x y + =1 a b

x y + = 1 Solución 5 3 Como alternativa de presentación se puede multiplicar a toda la ecuación por “15” (5 x 3), para eliminar denominadores: 3 x + 5 y = 15 Solución Alternativa

NOTA: Una de las ventajas de la Ecuación Simétrica de la Recta es que puede ser rápidamente deducible a partir de su gráfico; otra de las ventajas es que puede ser rápidamente graficable a partir de su representación matemática.

Problema Resuelto 15: Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje de las abscisas 6 unidades a la izquierda del origen, y al eje de las ordenadas 4 unidades hacia arriba del origen. Solución: Se dibujan los 2 puntos A(-6, 0) y B(0, 4), y la recta que pasa por esos 2 puntos:

Se escribe la ecuación de la recta en su forma simétrica: x y + =1 a b x y + =1 −6 4 x y − + = 1 Solución 6 4

NOTA: “a” y “b” pueden tener valores tanto positivos como negativos.

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Problema Resuelto 16: Un vehículo viaja a 30 m/seg (108 Km/h) por una autopista, y se ve obligado a frenar. En cada segundo la velocidad del vehículo disminuye en 8 m/seg (luego de 1 segundo la velocidad es de 22 m/seg, luego de 2 segundos la velocidad es de 14 m/seg, etc.). Ø

Grafique la variación de la velocidad del vehículo en el tiempo, y describa tal variación mediante una ecuación. Determine ¿cuánto tiempo se necesita para un frenado total? ¿Qué distancia recorre el vehículo desde que empieza a frenar hasta que se detiene?

Ø Ø

Solución Parte 1: Se prepara una tabla que relacione la velocidad del vehículo con el tiempo. Tiempo (seg) 0 1 2 3

Velocidad (m/seg) 30 22 14 6

A pesar de no disponer aún de una función explícita, el texto del problema establece que, cada segundo transcurrido, la velocidad desciende en 8 m/seg., lo que permitió crear la tabla. Se grafica la función obtenida:

Se determina la pendiente de la recta, a partir de 2 de los puntos conocidos (A y B):

y 2 − y1 x 2 − x1 22 − 30 − 8 m= = 1− 0 1 m = −8 m=

Se dibuja un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta:

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Se calcula la pendiente de la recta entre el punto P y el punto A:

y − y1 x − x1 y − 30 m= x−0 y − 30 m= x m=

Igualando las 2 ecuaciones que define una expresión para la pendiente: y − 30 = −8 x

Eliminando el denominador del miembro izquierdo: y − 30 = −8x

Reagrupando: 8x + y = 30 Ecuación de la Recta

Se puede reorganizar la ecuación para expresarla en su forma simétrica: 8x + y 30 = 30 30 8x + y =1 30

Se separa el miembro izquierdo en 2 fracciones: 8x y + =1 30 30

El número “8” se debe pasar al denominador del denominador para llegar a la forma simétrica de la ecuación:

x 30 8

+

y =1 30

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Reemplazando la fracción “30/8” por su equivalente decimal:

x y + = 1 Ecuación Simétrica de la Recta 3.75 30 La recta corta en “3.75” al eje de las “x” y en “30” al eje de las “y”.

Solución Parte 2: Interpretando directamente la ecuación simétrica de la recta, y su representación gráfica, se tiene que luego de “3.75” segundos el vehículo se detiene (su velocidad se vuelve nula). t = 3.75 segundos Tiempo Total de Frenado

NOTA: Es importante mencionar que no tiene ninguna valor físico el tiempo previo al inicio del frenado (tiempo negativo), ni el tiempo posterior al frenado total (mayor a “3.75” segundos) Solución Parte 3: Se calcula cuánto recorre el vehículo durante el primer segundo de frenado, para lo que se define una velocidad promedio “ v ”que coincide con la velocidad instantánea a los “0.5” segundos. El valor de esa velocidad promedio es:

v 0 + v1 2 30 + 22 52 v= = 2 2 v = 26 m / seg v=

Su representación gráfica sería:

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El espacio recorrido en el primer intervalo de un segundo es la velocidad promedio “ v ” multiplicada por el tiempo transcurrido (1 segundo).

e = v⋅ t  v + v1  e= 0 ⋅t  2   30 + 22  e=  ⋅ (1)  2  La fórmula anterior es equivalente al área del trapecio entre el tiempo “0” y el tiempo “1” y entre la recta calculada y el eje de las “x” (base mayor más base menor, sobre 2, por altura).

El espacio recorrido en el segundo intervalo de un segundo es la velocidad promedio de ese intervalo multiplicada por el tiempo transcurrido (1 segundo).

e = v⋅ t  v + v2  e= 1 ⋅t  2   22 + 14  e=  ⋅ (1)  2 

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La fórmula anterior es equivalente al área del trapecio entre el tiempo “1” y el tiempo “2” y entre la recta calculada y el eje de las “x”.

El espacio recorrido en los 2 primeros segundos es la suma de los valores anteriores (el espacio recorrido en el primer segundo más el espacio recorrido en el segundo segundo). En términos generales, en un diagrama tiempo-velocidad (tiempo en el eje de las “x” y velocidad en el eje de las “y”), el espacio es el área bajo la curva. Por tanto, el espacio total que recorre el vehículo hasta el frenado total es el área del triángulo formado por la recta calculada, el eje de las “x” y el eje de las “y”.

El área del triángulo es: base × altura 2 (3.75).( 30) Área = 2 Área =

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Área = 56.25

Por consiguiente el espacio que recorre el vehículo hasta frenar totalmente es:

e = 56.25 m. Longitud de Frenado NOTA: Un sinnúmero de problemas pueden reducirse al cálculo del área bajo una curva, siempre que la magnitud que se calcule provenga de multiplicar la magnitud de la ordenada por el intervalo de la abscisa, y sea acumulable como en el caso de la longitud total recorrida.

Problema Resuelto 17: Una empresa incursiona en el mercado con un nuevo producto, y durante la primera semana en que las ventas son aún sumamente bajas sus costos de producción y comercialización exceden a sus ventas en US$ 2000. Cada semana que pasa, debido a su campaña publicitaria y de ventas puerta a puerta, la inversión semanal adicional, por este concepto, decrece linealmente en US$ 120 semanales (en la segunda semana se invierte US$ 1880, en la tercera semana se invierte US$ 1760, etc.). Ø Ø Ø Ø

Describa la inversión adicional que debe realizar la empresa desde que lanza el producto hasta que las ventas empiecen a producir utilidad. ¿Durante cuánto tiempo la empresa debe realizar esas inversiones adicionales? ¿Cuánto dinero representa la inversión adicional? ¿Después de cuánto tiempo, a partir de la introducción del producto, se recuperará totalmente esa inversión adicional?

Solución Parte 1: Se prepara una tabla que relacione la inversión adicional con los intervalos de tiempo en que se producen. y = x −8 Tiempo Inversión (semanas) Semanal (US$) 0-1 2000 1-2 1880 2-3 1760 3-4 1640 4-5 1520 5-6 1400

Se grafica la función obtenida:

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Es evidente que la geometría escalonada de la función no es la que mejor representa el problema, que debería denotar continuidad. Como se vio en el problema anterior, el punto que mejor representa a un intervalo de tiempo, para modelar continuidad, es el punto medio del intervalo, de modo que se fijaran puntos característicos en la mitad de cada intervalo.

Se unen todos los puntos fijados, definiéndose una línea recta.

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Se determina la pendiente de la recta, a partir de 2 de los puntos conocidos:

y 2 − y1 x 2 − x1 1880 − 2000 − 120 m= = 1 .5 − 0 .5 1 m = −120 m=

Se dibuja un punto genérico P(x, y), perteneciente a la recta:

Se calcula la pendiente de la recta entre el punto P y el punto (0.5, 2000):

y − y1 x − x1 y − 2000 m= x − 0 .5 m=

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Igualando las 2 ecuaciones de pendiente: y − 2000 = −120 x − 0 .5

Eliminando el denominador del miembro izquierdo: y − 2000 = −120( x − 0.5)

Eliminando paréntesis: y − 2000 = −120 x + 60

Reagrupando: 120 x + y − 2060 = 0 Ecuación de la Recta

Solución Parte 2: Se puede calcular el punto de cruce de la recta con el eje de las abscisas: 2060 120 x = 17.17 semanas Tiempo que debe mantenerse la inversión adicional y = 0 → 120x = 2060 → x =

Solución Parte 3: Se calcula el punto de cruce de la recta con el eje de las ordenadas: x = 0 → y − 2060 = 0 y = US $ 2060

Se calcula la ordenada de la recta luego de transcurrida 1 semana: x = 1 → 120(1) + y − 2060 = 0 → y = 2060 − 120 y = US $ 1940

La inversión en la primera semana se puede calcular con el promedio de los 2 valores anteriores (valor al inicio y valor al final de la semana), multiplicado por el tiempo transcurrido de 1 semana.

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 2060 + 1940  Inversión 1 =  (1) = US$ 2000 2  

La expresión obtenida es numéricamente igual al área bajo la recta calculada, comprendida entre 0 y 1 semanas.

La inversión en la segunda semana se puede calcular con el promedio de la ordenada para 1 semana y la ordenada para 2 semanas.  1940 + 1820  Inversión 2 =  (1) = US$1880 2  

La expresión obtenida es numéricamente igual al área bajo la recta calculada, comprendida entre 1 y 2 semanas.

En un diagrama Tiempo - Inversión por unidad de tiempo (tiempo en el eje de las “x” e inversión por período de tiempo en el eje de las “y”), la inversió n acumulada es el área bajo la curva (bajo la recta). Por tanto, la inversión total adicional es el área del triángulo formado por la recta calculada, el eje de las “x” y el eje de las “y”.

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El área del triángulo es: base × altura 2 (17.17).( 2060) Área = 2 Área = 17685 Área =

Por consiguiente la inversión toral adicional será:

e = US$ 17685 Inversión Total Adicional Solución Parte 4: Del gráfico anterior se puede deducir que a partir de las 17.17 semanas se empieza a formar un triángulo similar al analizado previamente, aunque invertido.

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Al representarse ese triángulo con ordenadas hacia abajo, el área representa utilidades. A partir de que las ventas sobrepasen a los costos, se requerirán 17.17 semanas adicionales para recuperar la inversión adicional realizada. NOTA: Desde el punto de vista de la toma de decisiones en la Administración, la Inversión Total Adicional de US$ 17,685 es una inversión del orden de los US$ 18,000. De igual manera, una espera de 17.17 semanas para suprimir las inversiones adicionales semanales significa unas 18 semanas hasta lograr el objetivo propuesto. Así mismo, 17.17 semanas de utilidad para cubrir la inversión adicional significa aproximadamente 18 semanas adicionales para alcanzar el objetivo.

3.6

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:

La forma general de la ecuación de la recta es: A .x + B .y + C = 0

Problema Resuelto 18: Analizar las siguientes expresiones que constituyen ecuaciones de rectas, y extraer conclusiones acerca de los coeficientes de las variables y los términos independientes. Ø Ø Ø Ø Ø Ø

2 x + 3y − 5 = 0 − x+ y + 3 = 0 x = 2y + 6 y=x x=6 y = −2

Solución: Es importante notar que algunos de los 3 parámetros que identifican a las rectas (“A”, “B” y “C”) pueden ser nulos, pero al menos uno de los coeficientes que multiplican a las variables (“A” o “B”) debe ser no nulo.

Problema Resuelto 19: Representar gráficamente las siguientes rectas: Ø Ø Ø Ø Ø Ø

2 x + 3y − 5 = 0 − x+ y + 3 = 0 x = 2y + 6 y=x x=6 y = −2

Solución: La representación gráfica de las 3 primeras rectas es la siguiente:

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La representación gráfica de las 3 últimas rectas es la siguiente:

3.7

PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN A PARTIR DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:

Mediante manejos algébricos se puede encontrar una ecuación equivalente a la Ecuación General de la Recta, con el formato de Pendiente – Ordenada al Origen. A .x + B.y + C = 0

Se despeja “y”: B.y = −Ax − C − Ax − C y= B

Se separa el miembro derecho en 2 fracciones:

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y=−

A C ⋅x − B B

La tradicional Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen: y = mx + b

Comparando las 2 ecuaciones se tiene:

m=− b=−

A Pendiente de la Ecuación General de la Recta B

C Ordenada al Origen de la Ecuación General de la Recta B

Problema Resuelto 20: Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta: 2 x + 3y − 5 = 0

Solución: Las constantes del formulario son: A=2 B =3 C = −5

La pendiente es: A B 2 m = − Pendiente de la Recta 3

m=−

La ordenada al origen es: C B −5 b=− 3 5 b = Ordenada al Origen 3 b=−

El gráfico esquemático de la recta es:

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Problema Resuelto 21: Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta: x = 2y + 6

Solución: Se transfieren todos los términos al miembro izquierdo para obtener la forma general de presentación de la recta: x − 2y − 6 = 0

Las constantes del formulario son: A =1 B = −2 C = −6

La pendiente es: A B 1 m=− −2 1 m = Pendiente de la Recta 2 m=−

La ordenada al origen es: C B −6 b=− −2 b = −3 Ordenada al Origen b=−

El gráfico esquemático de la recta es:

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Problema Resuelto 22: Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta:

x=6 Solución: Se transfieren todos los términos al miembro izquierdo para obtener la forma general de presentación de la recta:

x−6 = 0 Las constantes del formulario son: A =1 B=0 C = −6

La pendiente es: A B 1 m=− 0 m = −∞ La recta es vertical m=−

La ordenada al origen es: C B −6 b=− 0 b = −∞ La recta no corta al eje de las “y” b=−

El gráfico esquemático de la recta es:

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Problema Resuelto 23: Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la siguiente recta: y = −2

Solución: Se transfieren todos los términos al miembro izquierdo para obtener la forma general de presentación de la recta: y+2 = 0

Las constantes del formulario son:

A=0 B =1 C=2 La pendiente es: A B 0 m=− 1 m = 0 Pendiente de la Recta m=−

NOTA: La recta es horizontal. La ordenada al origen es: C b=− B 2 b=− 1

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b = −2 Ordenada al Origen El gráfico esquemático de la recta es:

3.8

SEGMENTOS DE RECTA:

Cuando se toma un tramo de una recta, limitado por 2 puntos extremos, se define un segmento de recta.

El segmento de recta señalado en el gráfico se identifica como AB, y su longitud se especifica como AB . Problema Resuelto 24: Calcular la longitud del segmento AB, si se conoce que el punto A tiene por coordenadas (5, 3) y el punto B tiene coordenadas (-4, 1).

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Solución: Se traza un gráfico que contenga los 2 puntos e identifique al segmento AB.

La longitud del segmento AB es numéricamente igual a la distancia entre los puntos A y B.

AB =

[x 2 − x 1 ]2 + [y 2 − y 1 ]2

Reemplazando las coordenadas de los puntos A y B se tiene:

AB = AB =

[(−4) − (5)]2 + [(1) − (3)]2 [− 9]2 + [− 2]2 = 81 + 4 =

85

AB = 85 Longitud del segmento AB

3.9

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA Y DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN VARIAS PARTES IGUALES :

Es el punto que forma parte del segmento de recta y equidista de los 2 extremos del segmento.

Las coordenadas del punto medio de un segmento de recta son el promedio de las coordenadas de los puntos extremos.

121

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xm =

xa + x b Coordenada “x” del punto medio 2

ym =

ya + yb Coordenada “y” del punto medio 2

Por analogía las coordenadas de los 2 puntos tercios (puntos intermedios que dividen al segmento en 3 partes de igual longitud) serían:

x1 =

2x a + x b Coordenada “x” de l primer punto tercio 3

y1 =

2ya + y b Coordenada “y” del primer punto tercio 3

x2 =

x a + 2x b Coordenada “x” de l primer punto tercio 3

y2 =

y a + 2y b Coordenada “y” del primer punto tercio 3

De igual manera, las coordenadas de los “n-1” puntos que dividen a un segmento en “n” partes iguales son:

xi =

(n − i ).x a + i .x b ; i = 1 , 2 , ... n − 1 Coordenada “x” de l punto “i” n

yi =

( n − i ).y a + i .y b ; i = 1 , 2 , ... n − 1 Coordenada “y” del punto “i” n

122

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Problema Resuelto 25: Dados los puntos P(-3, 5) y Q(4, -2), determinar las coordenadas del punto medio del segmento PQ. Solución: Se traza un gráfico que contenga los 2 puntos e identifique al segmento PQ.

Se ubica de manera aproximada al punto medio M, y se identifican literalmente sus coordenadas.

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Se aplican las ecuaciones del punto medio de un segmento: xm = ym =

x p + xq 2 yp + yq 2

Reemplazando los valores de las coordenadas conocidas se tiene: ( −3) + ( 4) 2 1 x m = Coordenada “x” del punto medio 2 (5) + (−2) ym = 2 3 y m = Coordenada “y” del punto medio 2 xm =

Las coordenadas del punto medio M son (1/2, 3/2).

Problema Resuelto 26: El punto M(2, -1) es punto medio de un segmento. Si se conoce que uno de los extremos del segmento es el punto A(6, 3), cuáles son las coordenadas del otro extremo B del segmento? Solución: Se traza un gráfico que contenga los 2 puntos, y la mitad del segmento AB.

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Dado que M es el punto medio del segmento AB, el punto B deberá ubicarse sobre la prolongación de la recta, desde M en dirección opuesta al punto A, exactamente a la misma distancia.

Las expresiones que definen las coordenadas del punto medio son:

xa + xb 2 y + yb = a 2

xm = ym

Reemplazando los valores conocidos, que son las coordenadas del punto A y las del punto medio M se tiene:

( 2) =

(6) + x b Ecuación 1 2

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( −1) =

(3) + y b Ecuación 2 2

Simplificando y despejando “xb ” de la primera ecuación se tiene:

6 + xb 2 4 = 6 + xb − 2 = xb x b = −2 2=

Simplificando y despejando “yb ” de la segunda ecuación se tiene:

3 + yb 2 − 2 = 3+ yb − 5 = yb −1 =

y b = −5 Las coordenadas del punto B son (-2, -5), y su representación gráfica es:

3.10 RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas si forman el mismo ángulo con los ejes de coordenadas cartesianas.

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Debido a que la pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje positivo de las “x” con la recta, dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Se toman rectas “L1 ” y “L2 ”, cuyas ecuaciones genéricas serían: L1 : L2 :

A1 .x + B1.y + C1 = 0 A 2 .x + B 2 .y + C 2 = 0

Las pendientes de las 2 rectas son:

A1 B1 A m2 = − 2 B2 m1 = −

Por la condición de paralelismo las 2 pendientes deben ser iguales:

m1 = m2

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−

A1 A =− 2 B1 B2

Cambiando de signo a los 2 miembros de la ecuación:

A1 A 2 = B1 B 2 Agrupando las expresiones en “A” en el miembro izquierdo, y las expresiones en “B” en el miembro derecho:

A1 B1 = Proporcionalidad en Rectas Paralelas A2 B2 Matemáticamente se lee: A1 es a A2 como B1 es a B2 . Dos rectas son pa ralelas si los coeficientes de las variables independiente (“x”) y dependiente (“y”) guardan proporcionalidad. NOTA: Para que se cumpla el paralelismo entre rectas NO SE REQUIERE QUE LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES GUARDEN PROPORCIONALIDAD CON LOS COEFICIENTES DE LAS VARIABLES.

Problema Resuelto 27: Demostrar que las siguientes 3 rectas son paralelas: L1 : L2 : L3 :

2 x + 3y − 5 = 0 4x + 6 y + 3 = 0 − 2x − 3y − 14 = 0

Solución: Se verifica la proporcionalidad de los coeficientes de las variables. Se comparan las 2 primeras ecuaciones: L1 : L2 :

2x + 3y − 5 = 0 4 x + 6y + 3 = 0

Se cumple que: 2 3 = → L1 y L2 son paralelas 4 6

Se comparan la primera y tercera ecuaciones: L1 : L3 :

2x + 3y − 5 = 0 − 2 x − 3 y − 14 = 0

Se cumple que: 2 3 = → L1 y L3 son paralelas − 2 −3

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Por consiguiente todas las rectas son paralelas. La representación gráfica de las 3 ecuaciones es:

Problema Resuelto 28: Encontrar la ecuación de la recta paralela a: x − 2y + 7 = 0

Que pasa por el punto A(1, 3). Solución: Se calcula la pendiente en base a las expresiones de la Ecuación General de la Recta. A B 1 m1 = − −2 1 m1 = 2 m1 = −

Por la condición de paralelismo, la nueva recta deberá tener la misma pendiente. m2 =

1 2

La nueva recta debe pasar por el punto A(1, 3). En este punto se podría resolver el problema con la metodología de la Ecuación Punto – Pendiente pero, para proporcionar alternativas de solución, se aprovechará la Ecuación General de la Recta que es: A .x + B.y + C = 0

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Dividiendo la ecuación para “A”, para eliminar uno de los coeficientes numéricos, se tiene: A B C ⋅x + ⋅y+ = 0 A A A B C x+ ⋅y+ = 0 A A

El cociente de 2 constantes es otra constante, por lo que otra manera de representar la recta es:

x + B 1 ⋅ y + C1 = 0 Ecuación Equivalente Es importante mencionar que se desconocen los valores de “B1 ” y “C1 ”, por lo que se requerirán 2 condiciones independientes para calcularlos. La pendiente de la recta es el cociente del coeficiente de “x” para el coeficiente de “y” cambiado de signo. m=−

1 1 = B1 2

Despejando B1:

( −1)( 2) = B1 B 1 = −2 Reemplazando “B1 ” en la Ecuación Equivalente se tiene:

x − 2y + C1 = 0 Si la recta pasa por el punto A(1, 3), al reemplazar estas coordenadas (x=1 , y=3) debe satisfacerse la ecuación anterior.

(1) − 2(3) + C1 = 0 Simplificando:

1 − 6 + C1 = 0 − 5 + C1 = 0 C1 = 5 Reemplazando en la ecuación:

x − 2y + C1 = 0 x − 2 y + 5 = 0 Ecuación de la Recta La representación gráfica de las 2 rectas es:

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Problema Resuelto 29: Una propiedad tiene la siguiente geometría, en la que las coordenadas se miden en metros:

En el lindero DC existe una calle secundaria que el Municipio ha decidido ampliarla para convertirla en principal, por lo que en la dirección del terreno deberá ensancharse en 10 m. Calcular el área del terreno antes y después de la ampliación de la calle. Solución: Se calcula inicialmente el área del terreno, que por ser un polígono cerrado puede determinarse mediante el siguiente procedimiento, que se discutió en el capítulo anterior. Ø

Se ordenan los vértices con sus respectivas coordenadas, en sentido antihorario, teniendo la precaución de terminar en el mismo punto en que se empezó. A(20, 10) B(60, 20) C(70, 70)

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D(10, 70) A(20, 10) Ø

Con las coordenadas de los puntos detallados se construye una tabla ordenada de 2 columnas, la primera con la coordenada “x” de cada punto y la segunda columna con la coordenada “y”. x 20 60 70 10 20

Ø

y 10 20 70 70 10

Se ejecutan todos los productos diagonales consecutivos entre números de la primera columna con números de la segunda columna y se los suma, con su respectivo signo.

Suma 1 = ( 20 × 20) + (60 × 70) + ( 70 × 70) + (10 × 10) Suma 1 = 400 + 4200 + 4900 + 100 Suma 1 = 9600

Ø

Se ejecutan todos los productos diagonales consecutivos entre números de la segunda columna con números de la primera columna y se los suma, con su respectivo signo.

Suma 2 = (10 × 60) + (20 × 70) + (70 × 10) + (70 × 20) Suma 2 = 600 + 1400 + 700 + 1400 Suma 2 = 4100

Ø

Se calcula la diferencia entre las 2 sumas y el resultado es el doble del área del polígono. 2 × Área = 9600 − 4100 2 × Área = 5500 m 2 Área Inicial = 2750 m 2 Solución 1

En segundo término se dibuja el recorte del terreno debido al ensanchamiento de la calle.

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La recta que representa el límite del recorte define un punto de intersección con el lindero AD (punto E) y otra intersección con el lindero BC (punto F).

Para calcular las coordenadas de los puntos E y F se requiere calcular las ecuaciones de las rectas DC, AD y BC, y también la recta EF. Ø

Ecuación de la recta DC: La pendiente de la recta DC es:

y 2 − y1 x 2 − x1 70 − 70 m= 10 − 70 0 m= − 60 m=0 m=

Para determinar la ecuación de la recta se coloca en la misma un punto genérico P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto C.

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y − y1 x − x1 y − 70 m= x − 70 m=

Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales: y − 70 =0 x − 70

Se pasa el denominador de la fracción al miembro derecho: y − 70 = 0( x − 70)

Cualquier expresión multiplicada por Cero es Cero. y − 70 = 0 Ecuación de la Recta DC

Es importante notar que, debido a que la recta es paralela al eje “x” (es horizontal), no existe expresión en “x” dentro de la ecuación de la recta. Otra manera, más explícita, de escribir la ecuación de la recta DC es: y = 70 Ecuación Equivalente de la Recta DC

La expresión anterior significa que forman parte de la recta DC todos los puntos cuya coordenada “y” sea igual a “70”. Ø

Ecuación de la Recta EF: El gráfico descriptivo es el siguiente:

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Por todo lo detallado en la determinación de la recta DC, es fácil escribir directamente la ecuación de la recta EF, que limita el recorte del terreno, que es paralela a y = 70 y que está separada de la recta anterior 10 unidades en dirección del terreno: y = 60 Ecuación de la Recta EF

Ø

Ecuación de la Recta AD: La pendiente de la recta AD es:

y 2 − y1 x 2 − x1 70 − 10 m= 10 − 20 60 m= − 10 m = −6 m=

Para determinar la ecuación de la recta se coloca en la misma un punto genérico P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto D.

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y − y1 x − x1 y − 70 m= x − 10 m=

Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales: y − 70 = −6 x − 10

Se pasa el denominador de la fracción al miembro derecho: y − 70 = −6( x − 10)

Se simplifica la expresión anterior: y − 70 = −6x + 60 6 x + y − 70 − 60 = 0 6x + y − 130 = 0 Ecuación de la Recta AD

Ø

Ecuación de la Recta BC: La pendiente de la recta BC es:

y 2 − y1 x 2 − x1 70 − 20 m= 70 − 60 50 m= 10 m=5 m=

Para determinar la ecuación de la recta se coloca en la misma un punto genérico P(x,y) y se establece la pendiente entre ese punto y el punto B.

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y − y1 x − x1 y − 20 m= x − 60 m=

Las 2 expresiones anteriores deben ser iguales: y − 20 =5 x − 60

Se pasa el denominador de la fracción al miembro derecho: y − 20 = 5( x − 60)

Se simplifica la expresión: y − 20 = 5x − 300 − 5x + y − 20 + 300 = 0 − 5x + y + 280 = 0 Ecuación de la Recta BC

El punto E pertenece tanto a la recta EF como a la AD, razón por la cual debe cumplir simultáneamente las 2 expresiones: y = 60 6 x + y − 130 = 0

Reemplazando la primera ecuación en la segunda se tiene: 6 x + ( 60) − 130 = 0

Simplificando:

6 x − 70 = 0 6 x = 70 70 x= 6 x = 11.67

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Las coordenadas del punto E son: E (11.67, 60)

El punto F, por su parte, pertenece tanto a la recta EF como a la recta BC, por lo que debe cumplir con: y = 60 − 5x + y + 280 = 0

Reemplazando la primera ecuación en la segunda se tiene: − 5x + ( 60) + 280 = 0

Simplificando:

− 5x + 340 = 0 5x − 340 = 0 5x = 340 340 x= 5 x = 68 Las coordenadas del punto F son: F( 68, 60)

El área del terreno recortado se calcula con el procedimiento antes descrito: Ø

Los puntos ordenados son: A(20, 10) B(60, 20) F(68, 60) E(11.67, 60) A(20, 10)

Ø

La tabla de referencia para el cálculo del área es:

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x 20 60 68 11.67 20 Ø

y 10 20 60 60 10

La suma de los primeros productos diagonales es: Suma 1 = ( 20 × 20) + (60 × 60) + ( 68 × 60) + (11.67 × 10) Suma 1 = 400 + 3600 + 4080 + 116.7 Suma 1 = 8196.7

Ø

La suma de los segundos productos diagonales es: Suma 2 = (10 × 60) + ( 20 × 68) + (60 × 11.67) + (60 × 20) Suma 2 = 600 + 1360 + 700.2 + 1200 Suma 2 = 3860.2

Ø

La diferencia entre las 2 sumas es el doble del área del polígono. 2 × Área = 8196.7 − 3860.2 2 × Área = 4336.5 m 2 Área Re ducida = 2168.25 m 2 Solución 2

PROBLEMAS MISCELÁNEOS: Problema Resuelto 30: Parte 1 (Escenario Base): Luego de la inversión inicial en infraestructura, estudios de mercado y promoción previa, una empresa lanza un nuevo producto al mercado. Un análisis inicial establece que durante las primeras 10 semanas de ventas, los accionistas deberán realizar una inversión adicional total de US$ 15.000 (inversión acumulada durante las 10 primeras semanas), y que la inversión semanal decrece de modo lineal. Graficar el comportamiento de la inversión adicional, encontrar la ecuación que describe ese comportamiento, y determinar ¿cuánto de esa inversión se utilizará en la primera semana? Parte 2 (Escenario Pesimista): Un análisis poco optimista establece que la estimación de variación semanal de la inversión adicional es correcta, pero la inversión durante la primera semana podría ser un 50% superior a la estimada en el escenario base. Graficar el comportamiento pesimista de la inversión adicional, y describir dicho comportamiento mediante una ecuación. Determinar el tiempo durante el cual los accionistas deberán continuar realizando inversiones antes de iniciar la recuperación de ese dinero, y estimar la inversión adicional total (inversión acumulada) que se requiere para comercializar ese nuevo producto.

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Solución Parte 1 (Escenario Base): Se dibuja la variación de la inversión inicial, fijando 10 semanas como tope, a partir de cuyo valor la comercialización del producto debería empezar a producir utilidades.

Siguiendo un proceso similar al establecido en el Problema Resuelto 17 de este capítulo, se puede identificar que la inversión adicional acumulada es numéricamente igual al área del triángulo limitado por el eje de las “x”, el eje de las “y” y la recta que describe la inversión adicional.

El área del triángulo puede calcularse como base por altura sobre dos. Area =

base × altura = 15000 2

Reemplazando los valores fijados para la base y la altura: Area =

(10) × b = 15000 2

Despejando “b”:

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b=

(15000) × ( 2) (10)

Simplificando:

b = US $ 3000 Inversión en la Primera Semana – Escenario Base

La manera más rápida de obtener la ecuación de la recta consiste en utilizar su forma simétrica:

a = 10 b = 3000 x y + =1 a b

Reemplazando “a” y “b” en la última ecuación:

x y + = 1 Ecuación de la Recta de Inversión Adicional – Escenario Base 10 3000 Solución Parte 2 (Escenario Pesimista): El escenario pesimista establece que la inversión adicional durante la primera semana, en lugar de ser de US$ 3000, puede llegar a ser un 50% más alta que la fijada en el escenario base.

b 2 = 1.50 × b1 b 2 = 1.50(3000) b 2 = 4500 Inversión en la Primera Semana – Escenario Pesimista Adicionalmente se fija que la variación semanal de la inversión inicial será similar a la del Escenario Base, lo que denota que la pendiente de la segunda recta es igual a la pendiente de la primera recta (ambas rectas son paralelas). Para calcular la pendiente de la primera recta, se definen 2 puntos (A y B) pertenecientes a dicha recta:

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Con las coordenadas de los puntos “A” y “B” se puede calcular la pendiente:

m=

y 2 − y1 x 2 − x1

m=

(3000) − (0) (0) − (10)

Simplificando: m=−

3000 10

m1 = −300 La recta que modela el Escenario Pesimista tiene la misma pendiente que la del Escenario Base, por lo que:

m 2 = −300 Pendiente – Escenario Pesimista Se puede dibujar la recta del Escenario Pesimista:

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La ecuación de la recta del Escenario Pesimista (pendiente – ordenada al origen) es: y = m.x + b y = ( −300).x + ( 4500) y = −300x + 4500 Ecuación de la Recta de Inversión Adicional – Escenario Pesimista

De acuerdo al gráfico, los accionistas deberán permanecer 15 semanas manteniendo inversiones adicionales hasta iniciar el período de recuperación de capital por utilidades. Tiempo de Invers ión Adicional = 15 semanas El monto acumulado de Inversión adicional es el área bajo la nueva recta, que conforma un triángulo con los ejes coordenados positivos. Inversión Acumulada = Area = Inversión Acumulada =

base × altura 2

(15) × ( 4500) 2

Inversión Acumulada = US$ 33750

Problema Resuelto 31: Parte 1 (Impuesto a la Renta del 2003): Las personas naturales deben pagar el impuesto a la renta del año 2003 de acuerdo a las siguientes reglas: Ø Ø Ø Ø Ø Ø

Las personas cuyos ingresos gravables no superen los US$ 6000 al año no pagarán impuesto. Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 6000 y US$ 12000 pagarán el 5% sobre ese exceso de US$ 6000. Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 12000 y US$ 24000 pagarán el 10% sobre ese exceso de US$ 12000, más los impuestos de las escalas anteriores. Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 24000 y US$ 36000 pagarán el 15% sobre ese exceso de US$ 24000, más los impuestos de las escalas anteriores. Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 36000 y US$ 48000 pagarán el 20% sobre ese exceso de US$ 48000, más los impuestos de las escalas anteriores. Los ingresos gravables que superen los US$ 48000 pagarán el 25% sobre ese exceso, más los impuestos de las escalas anteriores.

Determinar las expresiones que permiten calcular el monto del impuesto del 2003 en función de los ingresos gravables de las personas, para cada rango de ingresos, y graficar tales ecuaciones.

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Parte 2 (Impuesto a la Renta del 2002): El cálculo del impuesto a la renta del año 2002 se ajusta a las siguientes reglas, bastante similares a las anteriormente mencionadas, pero con rangos de validez diferentes: Ø Ø Ø Ø Ø Ø

Las personas cuyos ingresos gravables no superen los US$ 5000 al año no pagarán impuesto. Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 5000 y US$ 10000 pagarán el 5% sobre ese exceso de US$ 5000. Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 10000 y US$ 20000 pagarán el 10% sobre ese exceso de US$ 10000, más los impuestos de las escalas anteriores. Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 20000 y US$ 30000 pagarán el 15% sobre ese exceso de US$ 20000, más los impuestos de las escalas anteriores. Los ingresos gravables comprendidos entre US$ 30000 y US$ 40000 pagarán el 20% sobre ese exceso de US$ 30000, más los impuestos de las escalas anteriores. Los ingresos gravables que superen los US$ 40000 pagarán el 25% sobre ese exceso, más los impuestos de las escalas anteriores.

Determinar las expresiones que permiten calcular el monto del impuesto del 2002 en función de los ingresos gravables de las personas, para cada rango de ingresos, y graficar tales ecuaciones. Analizar las condiciones de paralelismo entre los segmentos de recta que describen el cálculo del impuesto del 2002 y del 2003. Solución Parte 1 (año 2003): Se prepara una tabla con el cálculo del impuesto en los límites inferior y superior de cada intervalo de ingresos gravables: Ingreso Gravable (US$) 0 6000 12000 24000 36000 48000 >48000

Escala

Cálculo

0% 0% 5% 10% 15% 20% 25%

0x0 6000x0 (6000x0.05)+0 (12000x0.10)+300 (12000x0.15)+1500 (12000x0.20)+3300 [(Ingreso-48000)x0.25]+5700

Se trasladan los datos de la tabla a un gráfico:

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Impuesto Causado (US$) 0 0 300 1500 3300 5700 …..

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La pendiente de cada una de las rectas está dada por la escala de impuesto que le corresponde al intervalo de ingresos gravables (5% → m=0.05; 10% → m=0.10; 15% → m=0.15; …). Las coordenadas de los puntos de cambio de rectas también se determinan a partir de la tabla anterior.

Las ecuaciones de cada uno de los segmentos de recta pueden ser calculadas mediante el modelo Punto – Pendiente.

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Intervalo de Ingresos Gravables (US$) 0-6000 6000-12000 12000-24000 24000-36000 36000-48000 >48000

Ecuación del Impuesto a la Renta (US$)

Ecuación Genérica

Impuesto = 0 Impuesto = 0.05 (Ingreso – 6000) Impuesto = 0.10 (Ingreso – 12000) + 300 Impuesto = 0.15 (Ingreso – 24000) + 1500 Impuesto = 0.20 (Ingreso – 48000) + 5100 Impuesto = 0.25 (Ingreso – 96000) + 14700

y=0 y = 0.05(x–6000) y = 0.10(x–12000)+300 y = 0.15(x-24000)+1500 y = 0.20(x-36000)+3300 y = 0.25(x-48000)+5700

Solución Parte 2 (año 2002): Se prepara otra tabla para el cálculo de los impuestos del 2002: Ingreso Gravable (US$) 0 5000 10000 20000 30000 40000 >40000

Escala

Cálculo

0% 0% 5% 10% 15% 20% 25%

0x0 5000x0 (5000x0.05)+0 (10000x0.10)+250 (10000x0.15)+1250 (10000x0.20)+2750 [(Ingreso-40000)x0.25]+4750

Impuesto Causado (US$) 0 0 250 1250 2750 4750 …..

Se trasladan los datos de la tabla a un gráfico de coordenadas:

Las ecuaciones de cada uno de los segmentos de recta pueden ser calculadas mediante el modelo Punto – Pendiente.

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Intervalo de Ingresos Gravables (US$) 0-5000 5000-10000 10000-20000 20000-30000 30000-40000 >40000

Ecuación del Impuesto a la Renta (US$)

Ecuación Genérica

Impuesto = 0 Impuesto = 0.05 (Ingreso – 5000) Impuesto = 0.10 (Ingreso – 10000) + 250 Impuesto = 0.15 (Ingreso – 20000) + 1250 Impuesto = 0.20 (Ingreso – 30000) + 2750 Impuesto = 0.25 (Ingreso – 40000) + 4750

y=0 y = 0.05(x–5000) y = 0.10(x–10000)+250 y = 0.15(x-20000)+1250 y = 0.20(x-30000)+2750 y = 0.25(x-40000)+4750

Al comparar las pendientes de las rectas del impuesto a la renta del 2003 con el 2002, se encuentra que presentan segmentos con impuesto del 0% (m=0.00), segmentos con impuesto del 5% (m=0.05), segmentos con impuesto del 10% (m=0.10), etc., que definen rectas paralelas entre los 2 modelos de pago.

Problema Resuelto 32: Parte 1: Un estudio de mercado revela que en la ciudad no existen empresas que vendan relojes parlantes de múltiples servicios (hora, temperatura, humedad, agenda, etc.) para no videntes y personas de baja visión. El mismo estudio indica que si se vendieran relojes de este tipo a US$ 40 cada uno, se colocarían alrededor de 200 unidades por año; si se vendieran a US$ 39 los compradores anuales podrían ser 400; a US$ 38 los potenciales clientes interesados llegarían a 600, a US$ 37 se venderían unos 800 relojes, etc. Representar gráficamente este comportamiento de mercado, y encontrar la función que lo describe. Parte 2: Una empresa ecuatoriana está en capacidad de fabricar los relojes parlantes de esas características técnicas, a un costo de US$ 20 por unidad, siempre que se supere una

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producción de 400 unidades anuales. Encontrar gráficamente cuál debería ser la producción anual de la empresa para alcanzar la mayor utilidad total. Solución Parte 1: Se prepara una tabla que describa la variación de los potenciales clientes con el precio de venta de los relojes: Precio Unitario de Venta (US$) 40 39 38 37 36 35 30 25 20

Número Potencial de Relojes Vendidos 200 400 600 800 1000 1200 2200 3200 4200

Se trasladan los datos de la tabla a un gráfico:

Para calcular la ecuación de la recta descrita en el gráfico se determina en primer lugar la pendiente tomando como referencia los puntos (200, 40) y (400, 39).

y 2 − y1 x 2 − x1 39 − 40 −1 m= = 400 − 200 200 1 m=− 200 m=

Se calcula nuevamente la pendiente entre el punto (200, 40) y un punto genérico P(x, y).

m=

y − y1 x − x1

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m=

y − 40 x − 200

Las 2 expresiones que definen la pendiente deben ser iguales: y − 40 1 =− x − 200 200

Pasando los denominadores a los otros miembros: 200( y − 40) = −( x − 200)

Simplificando: 200 y − 8000 = −x + 200

Despejando “y”: 200 y = −x + 200 + 8000 200 y = − x + 8200 − x + 8200 y= 200 1 8200 y=− x+ 200 200 1 y=− x + 41 Solución 200

Solución Parte 2: Se representa en el diagrama anterior el valor constante de producción de US$ 20, a partir de una producción de 400 relojes, y se identifican los costos unitarios de producción y las utilidades unitarias:

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Del gráfico se deduce claramente que la utilidad unitaria (utilidad por cada reloj vendido) se obtiene restando el costo unitario de producción del valor de mercado del producto. Así mismo, es evidente que si la producción sobrepasara de 4200 relojes, la empresa perdería dinero. Utilidad Unitaria = Valor Unitario de Mercado – Costo Unitario de Producción En la expresión anterior el costo unitario de producción es de US$ 20. Utilidad Unitaria = Valor Unitario de Mercado – US$ 20 Así mismo, la utilidad total se obtiene multiplicando la Utilidad Unitaria por el número de relojes vendidos. Utilidad Total = (Utilidad Unitaria) x (Número de Relojes) Se trasladan a una tabla las expresiones anteriores: Número Relojes Vendidos 400 600 800 1000 1200 2200 3200 4200 x

de Precio Unitario (US$) 39 38 37 36 35 30 25 20

−

1 x + 41 200

Utilidad Unitaria (US$)

Utilidad Total (US$)

39-20=19 38-20=18 37-20=17 36-20=16 35-20=15 30-20=10 25-20=5 20-20=0  1  − x + 41 − 20 =  200  1 − x + 21 200

19x400=7600 18x600=10800 17x800=13600 16x1000=16000 15x1200=18000 10x2200=22000 5x3200=16000 0x4200=0  1  − x + 21 ⋅ x =  200  1 2 − x + 21x 200

En la tabla se puede observar claramente que la mayor utilidad total corresponde a un valor alrededor de 2200 relojes producidos y vendidos. Con el objeto de afinar ese resultado se ampliará la tabla a una producción de 2000, 2100, 2300 y 2400 relojes.

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Además se puede observar que se han generalizado los cálculos de cada elemento de la matriz mediante el uso de un formulario descrito en la última fila de la tabla. Por las condiciones del problema no tiene ningún sentido una evaluación de parámetros para una producción inferior a 400 relojes por año. Número de Relojes Vendidos 400 600 800 1000 1200 2000 2100 2200 2300 2400 3200 4200

Precio Unitario (US$) 39 38 37 36 35 31 30.5 30 29.5 29 25 20

x

−

1 x + 41 200

Utilidad Unitaria (US$)

Utilidad Total (US$)

39-20=19 38-20=18 37-20=17 36-20=16 35-20=15 31-20=11 30.5-20=10.5 30-20=10 29.5-20=9.5 29-20=9 25-20=5 20-20=0  1  − x + 41 − 20 =  200  1 − x + 21 200

19x400=7600 18x600=10800 17x800=13600 16x1000=16000 15x1200=18000 11x2000=22000 10.5x2100=22050 10x2200=22000 9.5x2300=21850 9x2400=21600 5x3200=16000 0x4200=0  1  − x + 21 ⋅ x =  200  1 2 − x + 21x 200

En base a los datos anteriores se puede preparar un gráfico que relacione la utilidad total (columna extrema derecha) con el número de relojes vendidos (columna extrema izquierda).

Una producción de alrededor de 2100 relojes anuales generaría una utilidad máxima total aproximada de US$ 22050.

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Otro aspecto adicional es que la curva graficada, que proviene del producto de 2 funciones lineales, es una parábola de segundo grado.

Problema Resuelto 33: La longitud mínima de las pistas aéreas comerciales, al nivel del mar, es de 2800 m. Debido a la disminución de la densidad del aire, con la altitud, por cada 400 m. de altura debe incrementarse la longitud de la pista aérea en 100 m. Representar gráficamente las necesidades mínimas de la pista aérea en función de la altitud geográfica. Identificar en ese gráfico una pista aérea para la ciudad de Guayaquil (50 m.s.n.m. – 50 metros sobre el nivel del mar), una pista para la ciudad de Quito (2850 m.s.n.m.) y una pista para el nuevo aeropuerto internacional en Puembo – Tababela (2600 m.s.n.m.). Solución Parte 1: Se prepara una tabla que describa la variación de la longitud mínima de la pista en función de la altitud. Altitud (m.s.n.m.) 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800

Longitud de Pista (m) 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500

La representación gráfica de los puntos es:

Es importante reconocer que sobre el eje de las “x” se pudo graficar la altitud y sobre el eje de las “y” se pudo representar a la longitud mínima de la pista, pues esos son

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generalmente los ejes utilizados para la variable independiente y para la variable dependiente. Los puntos conforman claramente una recta, cuya representación gráfica es:

Se puede calcular la ecuación de la recta en base a 2 de los puntos (2800, 0) y (2900, 400). La pendiente de la recta es:

y 2 − y1 x 2 − x1 400 − 0 400 m= = =4 2900 − 2800 100 m=

Si se dibuja un punto genérico P(x, y) perteneciente a la recta también se puede calcular la pendiente:

La pendiente es:

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y − y1 x − x1 y−0 y m= = x − 2800 x − 2800 m=

Igualando las 2 expresiones anteriores: y =4 x − 2800

Pasando el denominador de la fracción al otro miembro: y = 4( x − 2800)

Simplificando: y = 4 x − 11200 Ecuación de la Recta

Despejando “x” se tiene: 4 x = y + 11200 y + 11200 x= Ecuación Equivalente 4

En esta ecuación las ordenadas “y” representan la altitud a la que se va a construir la pista aérea, y la abscisa “x” representa la longitud mínima de la pista. NOTA: Al haber escogido la variable “x” para representar a la longitud de la pista, será la ecuación en que se despeja esa variable (la segunda) la que se utilice para facilitar la definición de la representación gráfica. Solución Parte 2: Para la ciudad de Guayaquil, la altitud es 50 m.s.n.m. (y = 50). Se evalúa la ecuación equivalente para ese valor de “y”: 50 + 11200 4 x = 2812.5 m. Longitud mínima de la pista en Guayaquil x=

Para la ciudad de Quito, la altitud es 2850 m.s.n.m. (y = 2850). Se evalúa la ecuación equivalente para ese valor de “y”: x=

2850 + 11200 4

x = 3812.5 m. Longitud mínima de la pista en Quito Para la población de Puembo – Tababela (donde se construirá el nuevo aeropuerto para Quito, la altitud es 2600 m.s.n.m. (y = 2600). Se evalúa la ecuación equivalente para ese valor de “y”: 2600 + 11200 4 x = 3450 m. Longitud mínima de la pista en Puembo x=

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Al graficar los puntos que identifican a las 3 pistas se encuentra, como adicional, que las líneas punteadas horizontales representan el desarrollo de la pista aérea en cada una de las altitudes analizadas:

Problema Resuelto 34: Una empresa reporta la siguiente estadística de ventas anuales: Año Ventas (US$) 1999 117000 2000 124000 2001 127000 2002 136000 2003 146000 2004 148000 Representar gráficamente la variación de las ventas con el tiempo, y estimar las posibles ventas para los años 2005 y 2006, asumiendo una tendencia lineal del comportamiento. Solución: Se dibujan los datos de ventas de la empresa en cada año, para lo que horizontalmente se asignan los valores de los años, y verticalmente los valores de las ventas realizadas por la empresa.

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En el gráfico se puede observar que los puntos representados no coinciden exactamente con una única recta. Sin embargo, la tendencia global de los datos está orientada a configurar una geometría semejante a una línea recta progresivamente creciente en el tiempo. Se procede a dibujar una recta aproximada que minimice las distancias a todos los puntos señalados, que se conoce como Recta de Tendencia, en la que las distancias por encima de la recta hacia los puntos equilibren a las distancias por debajo de la recta hacia los otros puntos.

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En el gráfico se puede identificar, de manera aproximada, las ventas para los años 2005 y 2006; para ello se trazan verticales desde los años correspondientes y se busca el punto de intersección con la Recta de Tendencia; las ordenadas de esos puntos constituyen los valores estimados de las ventas.

Las ventas proyectadas para el año 2005 son de unos US$ 157000, mientras que las ventas para el año 2006 son aproximadamente de US$ 164000. Si se utilizara una herramienta como Excel, en lugar de minimizar la suma de las distancias verticales de los puntos que representan los datos reales, con relación a la Recta de Tendencia, se minimizaría la suma de los cuadrados de esas distancias, y se obtendría la siguiente ecuación para la Recta de Tendencia, cuyo gráfico es prácticamente el mismo que aquel del gráfico anterior. y = −13019714 + 6571.4286x

3.11 RECTAS IGUALES: Dos rectas son iguales si todos los puntos pertenecientes a la primera recta forman parte de la segunda, y si todos los puntos pertenecientes a la segunda recta forman parte de la primera. Eso significa que a más de ser paralelas, al menos un punto debe coincidir, para que coincidan los restantes. Como se demostró en el acápite anterior, la condición de paralelismo se refleja en la siguiente expresión.

A 1 B1 = A2 B2

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Las Ordenadas al Origen de las 2 rectas son:

C1 B1 C b2 = − 2 B2 b1 = −

Las 2 rectas deben cortar al eje de las “y” en el mismo punto, por lo que:

b1 = b 2 Reemplazando “b1 ” y “b2 ” por sus expresiones equivalentes:

−

C1 C =− 2 B1 B2

Cambiando de signo a los 2 miembros:

C1 C 2 = B1 B 2 Agrupando los términos en “C” en el miembro izquierdo, y los términos en “B” en el miembro derecho:

C1 B1 = C2 B 2 Escribie ndo en una sola expresión las condiciones de paralelismo y de igualdad en la ordenada al origen.

A 1 B1 C 1 = = Proporcionalidad en Rectas Iguales A2 B2 C2 Dos rectas son iguales si los coeficientes de las variables independiente y dependiente, y los términos independientes de las variables guardan proporcionalidad. Problema Resuelto 35: Demostrar que las siguientes rectas son iguales: 2 x + 3y − 5 = 0 4x + 6y − 10 = 0 − 2x − 3y + 5 = 0

Solución: Se despeja “y” de la primera ecuación: 2x + 3y − 5 = 0 3y = −2 x + 5 − 2x + 5 y= 3

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Se despeja “y” de la segunda ecuación: 4 x + 6y − 10 = 0 6 y = −4 x + 10 − 4x + 10 y= 6 − 2x + 5 y= 3

Se despeja “y” de la tercera ecuación: − 2 x − 3y + 5 = 0 − 3y = 2 x − 5 2x − 5 y= −3 − 2x + 5 y= 3

Debido a que las 3 expresiones son idénticas, sus gráficos también serán iguales:

La segunda ecuación de la recta se obtiene multiplicando los coeficientes y el término independiente de la primera ecuación por “2”, por lo que se cumple la condición de proporcionalidad de las rectas iguales.

4 6 − 10 = = o 4 = 2 × 2 ; 6 = 3 × 2 ; − 10 = ( −5) × 2 2 3 −5 La tercera ecuación de la recta se obtiene multiplicando los coeficientes y el término independiente de la primera ecuación por “-1”, por lo que también se cumple la condición de proporcionalidad de las rectas iguales.

−2 − 3 5 = = o − 2 = 2 × ( −1) ; − 3 = 3 × ( −1) ; 5 = ( −5) × ( −1) 2 3 −5 NOTA: Una manera rápida de detectar dos rectas iguales consiste en observar si una de las ecuaciones se puede obtener multiplicando o dividiendo la otra ecuación por una

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constante. En el ejemplo anterior, la segunda ecuación proviene de multiplicar a la primera ecuación por “2”, mientras que la tercera ecuación se obtiene multiplicando a la primera ecuación por “-1”.

3.12 RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando un ángulo de 90º.

A partir del gráfico anterior se pueden definir ciertas relaciones importantes, entre las 2 rectas perpendiculares (“L1 ” y “L2 ”).

En este punto es importante notar que si el ángulo de referencia de la recta “L1 ” (ángulo que se mide desde el eje positivo de las “x” hacia la recta) es un ángulo “α ”, el ángulo de referencia de la recta “L2 ”, perpendicular a la recta anterior, es 90º+α . Además, debido a que la pendiente de una recta es numéricamente igual a la tangente del ángulo que forma con el eje positivo de las “x”, se tienen las siguientes expresiones:

m1 = Tan ( α)

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m 2 = Tan (90º +α ) Por otro lado, partiendo de las propiedades de las funciones trigonométricas, se sabe que entre la tangente y la cotangente de un ángulo existe un desfase de “90º ”, y presenta signos cambiados, por lo que se tiene la siguiente expresión:

m 2 = −C tan( α) Además existe la siguiente relación entre las funciones Tangente y Cotangente: C tan( α ) =

1 Tan (α )

Reemplazando en la expresión de “m2 ” se tiene: m2 = −

1 Tan ( α)

Reemplazando la “Tan(α )” por la pendiente “m1 ”:

m2 = −

1 m1

Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de la segunda recta es el inverso de la pendiente de la primera, cambiado de signo. Si en la ecuación anterior se coloca en el miembro izquierdo las dos pendientes, se tiene:

m 1 ⋅ m 2 = −1 Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es “-1”. Problema Resuelto 36: Demostrar que las siguientes rectas son perpendiculares: L1 : L2 :

2 x + 3y − 5 = 0 3 x − 2y − 7 = 0

Solución: Se despeja “y” de cada una de las ecuaciones: L1 :

2 5 3y = −2 x + 5 → y = − x + 3 3

L2 :

− 2 y = − 3x + 7 → 2 y = 3x − 7 → y =

3 7 x− 2 2

Para representar gráficamente a las 2 rectas se prepara una tabla con coordenadas de algunos puntos para cada recta:

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2 5 y=− x+ 3 3 x y -6 5.67 -4 4.33 -2 3.00 0 1.67 2 0.33 4 -1.00 6 -2.33

3 7 x− 2 2 x y -6 -12.5 -4 -9.5 -2 -6.5 0 -3.5 2 -0.5 4 2.5 6 5.5

y=

Se dibujan las 2 rectas sobre un diagrama de coordenadas cartesianas:

Utilizando la expresión de la ecuación general de la recta se calcula la pendiente de las 2 rectas. A .x + B.y + C = 0

m=−

A B

La pendiente de la primera recta es: m1 = −

( 2) 2 =− (3) 3

La pendiente de la segunda recta es: m2 = −

(3) 3 = ( −2) 2

El producto de las pendientes de las 2 rectas es:

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 2  3  m 1.m 2 =  −  ⋅    3  2 

m1 .m 2 = −1 Se verifica que las 2 rectas son perpendiculares

Problema Resuelto 37: Encontrar la ecuación de la recta “L2 ” que es perpendicular a la siguiente recta: L1 :

4x − 3 y − 5 = 0

Si la recta mencionada pasa por el punto A(1, 2) Solución: Se dibuja la recta “L1 ” y el punto A(1, 2):

Se dibuja tentativamente la recta “L2 ” en el gráfico anterior:

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Se calcula la pendiente de la recta “L1 ”: m=−

A B

m1 = −

( 4) 4 = ( −3) 3

Se calcula la pendiente de la segunda recta:

m 1 ⋅ m 2 = −1 4   ⋅ m 2 = −1 3 3 m 2 = −1  4 m2 = −

3 4

La expresión más conveniente para calcular la ecuación corresponde a la Ecuación de la Recta Pendiente – Ordenada al Origen: y = m.x + b

Reemplazando el valor de la pendiente en la expresión anterior se tie ne:  3 y =  − x + b  4

La condición de que la recta deba pasar por el punto A(1,2) se simboliza:

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x=1 →

y=2

Reemplazando los valores de “x” y “y” en la ecuación:  3 ( 2) =  − (1) + b  4

Simplificando: 2=−

3 +b 4

b = 2+ b=

3 4

11 4

La ecuación de la recta queda:  3  11  y =  − x +    4 4

Multiplicando por “4”: 4y = −3x + 11 Ecuación de la recta

Problema Resuelto 38: Encontrar la ecuación de la recta “L2 ” que es perpendicular a la siguiente recta: L1 :

2 x − 3y + 6 = 0

Si la recta mencionada pasa por el punto A(5, 4) Solución: Se dibuja la recta “L1 ” y el punto A(5, 4):

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Se dibuja tentativamente la recta “L2 ” en el gráfico anterior:

Se aprovecha la ecuación, y se la reduce a la forma Pendiente – Ordenada al Origen: 2 x − 3y + 6 = 0

Dejando la expresión en “y” en el miembro izquierdo de la ecuación: − 3y = −2 x − 6

Despejando “y”: y=

− 2x − 6 −3

Descomponiendo en 2 fracciones: y=

− 2x − 6 + −3 − 3

Simplificando los signos en las fracciones: y=

2x 6 + 3 3

Simplificando la segunda fracción: y=

2x +2 3

Representando la expresión en la forma Pendiente – Ordenada al Origen: y = m.x + b

2 y =  .x + 2 3

De esto se desprende que:

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m=

2 Pendiente de L1 3

b = 2 Ordenada al Origen de L1 La recta perpendicular (L2 ) tendrá por pendiente: 1 m2 = − m1 1 m2 = −  2    3 3 m 2 = − Pendiente de L2 2 La ecuación de la recta que es perpendicular a la recta “L1 ” se representa: y = m 2 .x + b 2 Reemplazando “m2 ”:  3 y =  − x + b 2  2 La recta debe pasar por el punto A(5, 4), por lo que al reemplazar los valores “x= 5” y “y= 4”, deben satisfacerse las condiciones de la ecuación propuesta:  3 ( 4) =  − (5) + b 2  2 4 = −7.5 + b 2 4 + 7.5 = b 2 b 2 = 11.5 Reemplazando en la ecuación de la recta se tiene:  3 y =  −  x + 11.5 Solución  2 Problema Resuelto 39: Encont rar la ecuación de la recta “L2 ” que es perpendicular a la siguiente recta: L1 :

2 x − 3y + 6 = 0

Si la recta mencionada forma con los ejes positivos “x” y “y”, un triángulo cuya área es de 12 unidades. Solución: La recta “L1 ” es la misma que la del problema anterior, por lo que su gráfico es:

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Se pueden dibujar algunas rectas que siendo perpendiculares a “L1 ”, forman triángulos con los ejes positivos de las “x” y de las “y”.

La recta que se busca debe tener la siguiente pendiente (ver problema ant erior): m=−

3 2

Para calcular el área de los triángulos que se forman entre la recta buscada y los ejes positivos “x” y “y”, es conveniente representar a la recta en su forma simétrica.

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x y + =1 a b

La condición de formar un triángulo con un área de 12 unidades se describe mediante la siguiente expresión: a.b = 12 2

a.b = 24 Por otro lado, la pendiente de la recta en su forma simétrica es: m=− −

b a

b 3 =− a 2

b 3 = a 2

2 b = 3a b=

3 a 2

Las 2 expresiones deben cumplirse simultáneamente: a.b = 24 b = ( 3 / 2) a

Reemplazando la segunda expresión en la primera: 3  a. a  = 24 2 

Simplificando:

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3 2 a = 24 2

Despejando “a” y simplificando: a2 =

2 24 3

a 2 = 16

a = ±4 Debido a que el problema establece que se debe formar un triángulo con los ejes positivos de las “x” y de las “y”, el valor de “a” debe ser positivo.

a=4 Reemplazando “a” en la segunda ecuación del sistema de ecuaciones se tiene:  3 b =  a  2  3 b =   (4)  2

b=6 Por consiguiente la ecuación de la recta buscada es: x y + =1 a b

x y + = 1 Solución 4 6

3.13 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: Es la menor distancia entre el punto dado y los puntos pertenecientes a la recta.

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Es igualmente la longitud del segmento perpendicular a la recta que pasa por el punto exterior, medida entre ese punto y la intersección de la recta con su perpendicular.

Problema Resuelto 40: Encontrar la distancia que existe desde el punto P(6, 4) a la recta 2x + y – 3 = 0. Solución: Para dibujar la recta y el punto, se despeja la variable “y” de la ecuación de la recta: y = −2 x + 3

Se encuentran algunos puntos pertenecientes a la recta. x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 7 5 3 1 -1 -3

Se dibuja la recta “L1 ” sobre un diagrama de coordenadas cartesianas.

Se puede incluir el punto exterior en el gráfico.

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Se traza la recta “L2 ” perpendicular a la recta “L1 ”, que pasa por el punto “P”.

El punto “A” es la intersección de las 2 rectas perpendiculares. Para definir la ecuación de la recta “L2 ” se requiere calcular inicialmente la pendiente de la recta “L1 ”. 2x + y − 3 = 0

m=−

A B

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m1 = −

( 2) (1)

m1 = −2 Pendiente de la recta L1 Por perpendicularidad, debe existir la siguiente relación entre la pendiente de la recta “L2 ” y la de la recta “L1 ”. m2 = −

1 m1

m2 = −

1 −2

m2 =

1 Pendiente de la recta L2 2

En vista de que se conoce la pendiente de la recta “L2 ” y un punto “P(6, 4)” por el que pasa, se requiere definir un punto genérico de la recta.

Se calcula la pendiente de la recta entre los puntos “P” y “Q”, para definir la ecuación de la recta “L2 ”. m2 =

y−4 x −6

1 y−4 = 2 x −6 x − 6 = 2.( y − 4) x − 6 = 2y − 8

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x − 2 y + 2 = 0 Ecuación de la recta L2

El punto “A” es la intersección de las rectas “L1 ” y “L2 ”, por lo que deberá cumplir simultáneamente con ambas condiciones. 2x + y − 3 = 0 x − 2y + 2 = 0

Se despeja “y” de la primera ecuación: y = −2 x + 3

Esta expresión se reemplaza en la segunda ecuación del sistema: y 647 4 8 x − 2.(− 2x + 3) + 2 = 0

Simplificando:

x + 4x − 6 + 2 = 0 5x = 4 x=

4 Primera coordenada de la intersección 5

Se reemplaza el valor previo en la primera ecuación del sistema: 4 2  + y − 3 = 0 5

Simplificando: 8 + y−3= 0 5

174

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y=

7 Segunda coordenada de la intersección 5

Se calcula la distancia entre los puntos P y A, que por definición es también la distancia entre el punto P y la recta L1.

d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = ( 6 − 0.8) 2 + (4 − 1.4) 2 = ( 5.2) 2 + ( 2.6) 2

d = 5.814 Solución

3.14 ECUACIÓN DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: Para determinar la distancia entre un punto de coordenadas P(x1,y1) y una recta genérica “L1”, se traza una segunda recta “L2”, perpendicular a la primera, que pase por el punto exterior P, utilizando un procedimiento similar al expuesto en el problema anterior:

175

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La ecuación general de la recta “L1” es: A .x + B.y + C = 0

La pendiente de la primera recta es: m1 = −

A B

A continuación se procede a calcular la ecuación de la segunda recta. La pendiente de la recta”L2”, que es perpendicular a la recta “L1” es: m2 = −

1 m1

m2 = −

1 A B

m2 =

m2 =

1 A − B

B A

La ecuación de la recta “L2 ” se puede representar en su forma más sencilla para este caso, que sería Pendiente – Ordenada al Origen:

y = m 2 .x + b 2 Reemplazando la pendiente “m2 ” se tiene: B y =  .x + b 2 A

Esta ecuación, por representar a la recta “L2 ”, debe pasar por el punto P(x1 , y1 ), por lo que debe cumplir que:  B y1 =  .x1 + b 2 A

En la expresión anterior, el único valor desconocido es “b” (b2 ), que se lo puede despejar:

B b 2 = y 1 −   .x1  A Con los valores de “m2 ” y “b2 ”, se puede definir la ecuación de la recta “L2 ”:

y = m 2 .x + b 2  B B  y =  .x +  y1 −  .x 1  A A  

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B  B y =   .x + y 1 −   .x1 Ecuación de la recta “L2 ”  A  A A continuación se encuentran las coordenadas del punto “C”, que es la intersección entre “L1 ” y “L2 ”. Para el efecto se resuelven como ecuaciones simultáneas las ecuaciones “L1 ” y “L2 ”, pues el punto de intersección debe cumplir simultáneamente con las ecuaciones de las 2 rectas: A .x + B.y + C = 0 B B y =  .x + y1 −  .x 1 A A

Reemplazando la segunda ecuación en la primera se tiene:  B  B  A.x + B. .x + y1 −  .x1  + C = 0 A   A  Multiplicando toda la expresión por “A”, para eliminar denominadores: A 2 .x + B.{B.x + [A.y1 − B.x 1 ]}+ A.C = 0 Eliminando signos de agrupación: A 2 .x + B 2 .x + A.B.y1 − B 2 .x1 + A.C = 0 Agrupando, por separado, los términos en “x” y los términos conocidos: ( A 2 .x + B2 .x ) − ( B 2 .x 1 − A.B.y1 − A.C) = 0 ( A 2 + B 2 ).x − ( B2 .x1 − A.B.y1 − A.C) = 0 Despejando “x”:

( A 2 + B 2 ).x = (B 2 .x 1 − A.B.y1 − A.C) xC =

B 2 .x 1 − A .B.y 1 − A .C A2 + B2

Primera Coordenada del Punto C

Reemplazando el valor de “x” en la segunda ecuación del sistema de ecuaciones se tiene: B B y =  .x + y1 −  .x1 A  A 2  B   B .x1 − A.B.y1 − A.C   B  y =  .  +  y1 −  .x1  2 2  A   A  A +B  

Simplificando:  B.( B2 .x1 − A.B.y1 − A.C)   A.y1 − B.x 1  y= +  A A.( A 2 + B2 )    

177

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Reduciendo las 2 fracciones a un denominador común único:  B.( B2 .x1 − A.B.y1 − A.C)   ( A 2 + B2 ).( A.y1 − B.x1 )  y= +   A.( A 2 + B2 ) A.( A 2 + B 2 )      B 3 .x 1 − A.B2 .y1 − A.B.C   A 3 .y1 − A 2 .B.x1 + A.B2 .y1 − B3 .x 1  y= +  A.( A 2 + B 2 ) A.( A 2 + B2 )     y=

B3 .x1 − A.B 2 .y1 − A.B.C + A 3 .y1 − A 2 .B.x1 + A.B 2 .y1 − B3 .x1 A.( A 2 + B 2 )

Simplificando: yC = yC =

A.( −B.C + A 2 .y1 − A.B.x 1 ) A.( A 2 + B2 ) − B.C + A 2 .y 1 − A .B.x 1

Segunda Coordenada del punto C A2 + B2 La distancia del punto exterior a la recta es igual a la distancia que existe entre el punto “A” y el punto “C”. d = (x P − x C )2 + ( y P − y C ) 2 2

2    B 2 .x1 − A.B.y1 − A.C       +  y1 −  − B.C + A .y1 − A.B.x 1  d =  x1 −      A2 + B2 A.( A 2 + B 2 )      

2

Simplificando: 2

  A.B.y1 + A .C − B 2 .x1  B.C + A.B.x 1 − A 2 .y1  d = x1 +  +  y1 +  A 2 + B2 A 2 + B2     2

2

 x1 (A 2 + B2 ) + A .B.y1 + A.C − B 2 .x 1   y1 (A 2 + B2 ) + B.C + A .B.x1 − A 2 .y1  d=   +  2 2 2 2 A +B A +B     2

 A 2 .x1 + A.B.y1 + A.C   B2 .y1 + B.C + A.B.x 1  d=  +    2 2 2 2 A +B A +B    

2

Elevando al cuadrado la ecuación: 2

 A 2 .x 1 + A.B.y1 + A.C   B 2 .y1 + B.C + A.B.x 1  d = +    A2 + B2 A2 + B2     2

Resolviendo los cuadrados de las fracciones:

178

2

2

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d2 =

A 4 .x 12 + A 2 .B2 .y12 + A 2 .C 2 + 2 A3 .B.x 1.y1 + 2A 3 .C.x1 + 2A 2 .B.C.y1

(A

+B

2

)

2 2

+

B4 .y12 + B 2 .C 2 + A 2 .B2 .x12 + 2B3 .C.y1 + 2A.B3 .x 1.y1 + 2A.B 2 .C.x 1

(A

2

+ B2

)

2

Agrupando términos semejantes:

d2 =

A 4 .x 12 + A 2 .B2 .x 12 + A 2 .B2 .y12 + B 4 .y1 2 + 2A 3 .B.x 1.y1 + 2A.B 3 .x 1.y1

(A

2

+B

)

2 2

2A 3 .C.x1 + 2A.B2 .C.x1 + 2A 2 .B.C.y1 + 2 B3 .C.y1 + A 2 .C 2 + B2 .C 2

(A

Factorando:

d2 =

(A

4

)

+ B2

2

(

)

2

)

(

)

+ A 2 .B 2 .x1 2 + A 2 .B2 + B4 .y1 2 + 2A 3 .B + 2A.B3 .x1 .y1 3

2

2

3

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

1

2

2

2

1

2

d2

+

(A + B ) (2 A .C + 2A.B .C).x + (2A .B.C + 2B .C).y + (A .C + B .C ) (A + B ) A .(A + B ).x + B .(A + B ).y + 2 A.B.(A + B ).x .y = + (A + B ) 2A.C.(A + B ).x + 2B.C.(A + B ).y + C .(A + B ) (A + B ) 2 2

2

2

2 1 2 2

2

2

2

1 1

2

2

1

2

2

1

2 2

2

Factorando en el numerador la expresión “A2 + B2 ”: 2

d =

(A

2

)(

2

2

+ B 2 . A 2 .x 1 + B 2 .y1 + 2A .B.x1 .y1 + 2A .C.x1 + 2B.C.y1 + C 2

(A

2

+ B2

)

)

2

Simplificando: d2 =

2

2

A 2 .x1 + B2 .y1 + 2A.B.x 1.y1 + 2A.C.x 1 + 2B.C.y1 + C2 A 2 + B2

Reordenando el numerador para conformar un trinomio cuadrado perfecto: d2 =

2

2

A 2 .x1 + B2 .y1 + C 2 + 2A.B.x 1.y1 + 2A.C.x 1 + 2B.C.y1 A 2 + B2

Factorando el numerador: d

2

2 ( A.x1 + B.y1 + C) =

A2 + B2

179

+

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Obteniendo la raíz cuadrada en los 2 miembros de la expresión: d=

A .x 1 + B .y 1 + C 2

A +B

2

Ecuación de la Distancia de un Punto a una Recta

NOTA: Al utilizar la expresión anterior, en rigor, se debe cuidar que el signo de la distancia sea positivo. Sin embargo un cambio de signo ayuda a definir la posición relativa del punto con relación a la recta. Problema Resuelto 41: Utilizando la ecuación de la distancia de un punto a una recta, encontrar la distancia que existe desde el punto P(5, 5) y desde el punto Q(1, 1) a la recta 2x + 3y – 12 = 0. Solución: Para dibujar la recta, se despeja la variable “y” de la ecuación de la recta: 2 y= − x+4 3

Se encuentran algunos puntos pertenecientes a la recta. x -4 -2 0 2 4 6 8

y 6.67 5.33 4 2.67 1.33 0 -1.33

Se dibuja la recta sobre un diagrama de coordenadas cartesianas.

Se dibujan los 2 puntos cuya distancia a la recta se intenta calcular.

180

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La distancia desde el punto P hasta la recta es: d1 = d1 =

d1 =

A.x 1 + B.y1 + C 2

A +B

2

2.x1 + 3.y1 − 12 2

2 +3

2

2.(5) + 3.(5) − 12 2 2 + 32

d 1 = 3.606 Distancia desde el punto P a la recta La distancia desde el punto Q hasta la recta es: d2 =

d2 =

2.x 2 + 3.y 2 − 12 2

2 +3

2

2.(1) + 3.(1) − 12 22 + 32

d 2 = −1.941 Debido a que la distancia es siempre positiva se tiene:

d 2 = 1.941 Distancia desde el punto P a la recta NOTA: La razón por la que la distancia obtenida al aplicar directamente la ecuación de la distancia a los dos puntos del problema tiene signos opuestos está en que dichos puntos ocupan sectores diferentes del plano cartesiano al toma r como referencia a la recta.

181

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3.15 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS: La distancia entre dos rectas paralelas se mide en la dirección perpendicular a la orientación de tales rectas, por lo que es numéricamente igual a la distancia desde cualquier punto de una de las rectas, hacia la otra recta. Problema Resuelto 42: Encontrar la distancia entre las rectas: L1 : L2 :

x + 2y - 1 = 0 x + 2y + 4 = 0

Solución: Se calcula la pendiente de las 2 rectas a partir de la ecuación general de la recta. m1 = m 2 = −

1 2

Las pendientes de las 2 rectas son iguales por lo que L1 y L2 son paralelas. Se dibujan las 2 rectas en un diagrama de coordenadas cartesianas.

Se ubica un punto A de coordenadas conocidas en la recta L1, y se dibuja la distancia desde ese punto hasta la recta L2.

182

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Se calcula la distancia desde el punto A(1, 0) hasta la recta L2. d=

d=

A.x1 + B.y1 + C 2

2

A +B x 1 + 2 .y 1 + 4 2

(1) + (2)

2

=

(1) + (0) + 4 5

=

5 5

d = 2.236 Distancia entre las dos rectas Problema Resuelto 43: Encontrar la ecuación de la recta paralela a 5x - 3y + 7 = 0, que diste “3” unidades de dicha recta. Solución: Se dibuja la recta 5x – 3y + 7 = 0

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Se dibuja la recta paralela que diste “3” unidades de la recta previa, notándose que en realidad existen 2 soluciones al problema: una recta ubicada a la izquierda y por encima de la recta original (L2), y otra recta ubicada a la derecha y por debajo de la recta original (L3).

Se ubica un punto de coordenadas genéricas (x, y) sobre cualquiera de las 2 rectas solución al problema (en este caso sobre la recta L2).

La distancia entre 2 rectas paralelas se mide perpendicularmente a la orientación de las rectas, por lo que se grafica dicha distancia desde el punto genérico hacia la recta cuya ecuación es conocida (L1).

184

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Se aplica la ecuación de la dis tancia del punto genérico a la recta, la misma que debe valer “3” unidades, recordando que las coordenadas del punto externo (x1 , y1 ) son (x, y). d=

d=

3=

A.x1 + B.y1 + C 2

2

A +B 5 .x 1 − 3 .y 1 + 7 2

(5) + ( −3)

2

5.x − 3.y + 7

( 5) 2 + ( −3) 2 5.x − 3.y + 7 3= 34 Realizando el desarrollo numérico: 3 34 = 5.x − 3.y + 7 17.49 = 5.x − 3.y + 7 5.x − 3.y − 10.49 = 0 Ecuación de la primera paralela ubicada a 3 unidades de distancia

La otra ecuación se obtiene a partir del signo negativo del radical del denominador. 3=

5.x − 3.y + 7 − 34

Realizando el desarrollo numérico: − 3 34 = 5.x − 3.y + 7

185

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− 17.49 = 5.x − 3.y + 7 5.x − 3.y + 24.49 = 0 Ecuación de la segunda paralela ubicada a 3 unidades de distancia

Al dibujar las 2 soluciones obtenidas se tiene:

El radical con el signo positivo generó la ecuación de la recta inferior derecha, mientras el radical negativo produjo la ecuación de la recta superior izquierda. Para verificar que las ecuaciones obtenidas son solución al problema, se debería ubicar un punto de coordenadas conocidas en cada recta, y se debería determinar la distancia de dichos puntos a la recta original.

3.16 RECTAS CON CARACTERÍSTICAS ESPECIALES: Dependiendo de los valores que adquieren “A”, “B” y “C”, en la ecuación general, o de la forma de presentación de su ecuación, las rectas pueden tener características especiales, que son rápidamente identificables. a.

RECTAS PARALELAS AL EJE “Y”:

Las rectas paralelas al Eje “y” tienen la siguiente forma general: x=k

Donde “k” es una constante cualquiera. La expresión descrita anteriormente significa que no importa que valor se proporcione a la variable “y”, la variable “x” siempre será constante y única.

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Problema Resuelto 44: Representar gráficamente las siguientes rectas: x=4 x = −1 x=0

Solución:

El eje de las “y” tiene por ecuación “x = 0”. b.

RECTAS PARALELAS AL EJE “X”:

Las rectas paralelas al Eje “x” tienen la siguiente forma general: y=k

Donde “k” es una constante cualquiera. La expresión descrita anteriormente significa que no importa que valor se proporcione a la variable “x”, la variable “y” siempre será constante. Problema Resuelto 45: Representar gráficamente las siguientes rectas: y = −3 y=2 y=0

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Solución:

El eje de las “x” tiene por ecuación “y = 0”. c.

RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN:

Las rectas que pasan por el origen tienen la siguiente forma general: y = k .x

Donde “k” es una constante cualquiera. Problema Resuelto 46: Representar gráficamente las siguientes rectas: y=x y = −2 x Solución: Se preparan tablas con coordenadas de puntos para las 2 ecuaciones. y=x y = − 2x x y x y -4 -4 -4 8 -3 -3 -3 6 -2 -2 -2 4 -1 -1 -1 2 0 0 0 0 1 1 1 -2 2 2 2 -4 3 3 3 -6 4 4 4 -8

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Problema Resuelto 47: Representar gráficamente la siguiente recta, y encontrar las características distintivas que posee. 2 x − 3y = 0

Solución: Se despeja “y” de la ecuación propuesta. y=

2 ⋅x 3

Por su forma de expresión, la recta pasa por el origen. Se prepara una tabla con coordenadas de algunos puntos de la recta: y=

x -6 -3 0 3 6

2 ⋅x 3 y -4 -2 0 2 4

Se grafica la recta.

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Problema Resuelto 48: Representar gráficamente la siguiente recta, y encontrar las características distintivas que posee.

3x + 5 = 0 Solución: Se despeja “x” de la ecuación propuesta. x=−

5 3

Por su forma de expresión, la recta es paralela al eje “y”. Se grafica la recta obtenida.

190

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Problema Resuelto 49: Representar gráficamente la siguiente recta, y encontrar las características distintivas que posee.

y=

5 4

Solución: Por su forma de expresión, la recta es paralela al eje “x”. Se grafica la recta.

3.17 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS: Se dibujan 2 rectas sobre el diagrama de coordenadas cartesianas, y se definen sus ángulos de inclinación (α 1 y α 2 ) con relación al eje positivo de las “x”, en sentido antihorario para fijarlos como positivos.

191

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Se identifica el ángulo θ (antihorario) desde la recta L1 hasta la recta L2.

Se identifica el ángulo interior faltante en el triángulo formado por las 2 rectas y el eje de las “x”, en función de α 2 .

La suma de los ángulos internos de un triángulo es “180º”.

α1 + (180 − α 2 ) + θ = 180 Simplificando y despejando el ángulo entre las 2 rectas se tiene:

α1 − α 2 + θ = 0 θ = α 2 − α1

192

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Se aplica la función Tangente a los 2 miembros de la ecuación:

Tan (θ) = Tan (α 2 − α 1 ) Desarrollando la tangente de la diferencia de 2 ángulos se tiene:

Tan (θ) =

Tan (α 2 ) − Tan (α1 ) 1 + Tan (α 2 ) ⋅ Tan (α1 )

Por definición la pendiente de una recta es numéricamente igual a la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje de las “x”.

Tan (θ ) =

m 2 − m1 Ecuación del ángulo entre dos rectas 1 + m1 ⋅ m 2

Problema Resuelto 50: Encontrar el ángulo que forman las siguientes rectas en su punto de cruce. L1 : 2 x − 3y + 4 = 0 L2 : x + 4y − 2 = 0 Solución: Se dibujan las 2 rectas, sobre un diagrama de coordenadas cartesianas.

Se calcula la pendiente de las 2 rectas, basándonos en la Ecuación General de la Recta. m=−

A B

m1 = −

2 2 = = 0.6667 ( −3) 3

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m2 = −

1 = −0.25 4

Se calcula la tangente del ángulo entre las 2 rectas (desde la recta L1 hasta la recta L2).

Tan (θ ) =

m 2 − m1 1 + m1 ⋅ m 2

Tan (θ) =

(−0.25) − ( 0.6667) 1 + ( −0.25) ⋅ ( 0.6667)

Tan (θ) =

− 0.25 − 0.6667 1 − (0.25) ⋅ ( 0.6667)

Tan (θ) = −1.10 Se calcula el ángulo

θ = Tan −1 ( −1.10)

θ = 132.3º Ángulo entre las rectas L1 y L2

El gráfico nos permite visualizar el otro ángulo entre las 2 rectas, que debe medirse desde la recta L2 hacia la recta L1, y cuya magnitud es 47.7º.

194

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3.18 FAMILIA DE RECTAS: Es el conjunto de rectas que cumplen con una condición específica. Es importante recordar que para definir una recta se necesitan definir 2 condiciones independientes. Las familias de rectas surgen cuando solamente se expresa una condición general restrictiva. Problema Resuelto 51: Determinar la ecuación que describe a la familia de las rectas que pasan por el punto de coordenadas (3, 2). Solución: Se dibuja un diagrama de coordenadas cartesianas y se ubica el punto A(3, 2).

195

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Se representan gráficamente algunas de las rectas que pasan por el punto A.

Es evidente que se podrían trazar infinitas rectas que pasen por el punto A. Por otro lado, dado que todas las rectas representadas (L1 , L2 , L3 , L4 y L5 ) pasan por el punto A(3, 2), la característica que las diferencia es la pendiente (m1 , m2 , m3 , m4 y m5 , respectivamente). Se pueden identificar esas pendientes en el gráfico.

Se utiliza a la recta L1 como representativa de todas las rectas de la familia, para lo que se la puede identificar como la recta genérica “L”, cuya pendiente también genérica es “m”. Sobre dicha recta se dibuja un punto igualmente genérico P(x, y).

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Se calcula la pendiente de la recta genérica L, en base a los puntos A(3, 2) y P(x, y).

m=

y− 2 Ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (3, 2) x− 3

En la expresión previa “x” y “y” son las variables tradicionales, y “m” puede tomar cualquier valor comprendido entre “-∞” y “+∞” (“m” es la variable adicional que surge de haber planteado solamente una condición restrictiva para la recta, en lugar de dos condiciones). Aunque la expresión anterior ya es una ecuación para la familia de rectas analizada, con el objeto de dibujar las rectas de la familia conviene reformularla despejando “y”. y − 2 = m ( x − 3) y = m ( x − 3) + 2 Ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto (3, 2)

Con la nueva expresión se puede preparar una tabla que permita calcular la ecuación específica de la recta para pendientes dadas: m -3 -1 -0.5 0 1 2 4

Ecuación base y = −3( x − 3) + 2 y = − ( x − 3) + 2 y = −0.5( x − 3) + 2 y = 0( x − 3) + 2 y = ( x − 3) + 2 y = 2( x − 3) + 2 y = 4( x − 3) + 2

Ecuación simplificada y = −3x + 11 y = −x + 5 y = − 0 .5 x + 3 .5 y=2 y = x −1 y = 2x − 4 y = 4x − 10

Todas las rectas obtenidas (las ecuaciones simplificadas) pasan por el punto A(3, 2), pues para un valor de “x = 3” se obtiene “y = 2”.

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Problema Resuelto 52: Determinar la ecuación que describe a la familia de rectas que son paralelas a 2x– 3y+1=0 Solución: Se dibuja la recta 2x + 3y + 1 = 0

Se dibujan algunas de las rectas paralelas a la recta del gráfico anterior, que son parte de la familia.

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Dado que todas las rectas de la familia son paralelas, tienen en común una única pendiente, que se puede calcular en función de la primera ecuación, tomando su forma general. m=−

A B

m=−

2 3

Si se toma como referencia la Ecuación Pendie nte – Ordenada al Origen, la familia de rectas tiene pendiente conocida y ordenada al origen variable: y = m.x + b

2 y = − ⋅ x + b Ecuación de la familia de rectas paralela a 2x + 3y + 1 = 0 3 “b” puede tomar cualquier valor entre “-∞” y “+∞”. Con la ecuación obtenida se prepara una tabla que permita calcular la ecuación específica de la recta para ordenadas al origen dadas: b -6 -3 0 2

Ecuación 2 y = − ⋅x−6 3 2 y = − ⋅x−3 3 2 y = − ⋅x 3 2 y = − ⋅x+2 3

Todas las rectas tienen pendiente “-2/3” y por consiguiente son paralelas a 2x+3y+1 = 0

Problema Resuelto 53: Determinar la ecuación que describe a la familia de rectas que cortan a los ejes “x” y “y” en valores positivos, y que forman con esos ejes triángulos cuya área es de 12 u2 . Solución: Se dibuja un diagrama de coordenadas cartesianas con algunas de las rectas que al cortar los ejes positivos “x” y “y” forman triángulos con dichos ejes cuya área es 12 u2 .

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El área de cada triángulo está definida por el proceso de cálculo “base por altura sobre dos”, por lo que la recta L1 que corta 3 unidades a la derecha del origen al eje “x” y 8 unidades arriba del origen al eje “y” es parte de la familia de rectas; así mismo la recta L2 que corta 4 unidades a la derecha y 6 unidades arriba del origen a los ejes coordenados también es una de las rectas de la familia; lo propio se puede decir de las restantes rectas dibujadas. Se utiliza a la recta L1 como representativa de todas las rectas de la familia, para lo que se la puede identificar como la recta genérica “L”, cuya pendiente genérica es “m”.

Ya que los datos que permiten calcular el área del triángulo para cada recta son los puntos de corte de dichas rectas con los ejes positivos “x” y “y”, conviene la representación simétrica. x y + =1 a b

Sobre la recta genérica se identifican “a” y “b”.

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La condición del área del triángulo formado se expresa: a.b = 12 2

Despejando “b” de la expresión previa. b=

24 a

Reemplaza ndo en la Ecuación Simétrica de la recta se tiene: x y + =1 24 a a

Ecuación de la familia de rectas que forman triángulos de 12 u2 de área

En la expresión previa “x” y “y” son las variables tradicionales, y “a” es la variable adicional que puede tomar cualquier valor positivo (a pesar de que la letra “a” generalmente se la utiliza para representar constantes, por la función que desempeña en la expresión anterior, “a” ha sido definida como variable). A continuación se preparará una tabla para distintos valores de “a”, que nos permita definir diversas ecuaciones de rectas que pertenezcan a la familia de rectas. a 2

3

Ecuación base x y + =1 24 2 2 x y + =1 24 3 3

Ecuación simplificada x y + =1 2 12 x y + =1 3 8

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4

x y + 24 4 4 x y + 24 6 6 x y + 24 8 8 x y + 24 12 12

6

8

12

=1

x y + =1 4 6

=1

x y + =1 6 4

=1

x y + =1 8 3

=1

x y + =1 12 2

Todas las rectas forman un triángulo con los ejes positivos “x” y “y”, cuya área es 12 u2 .

Problema Resuelto 54: Encontrar la ecuación de la familia de rectas que forman un ángulo de 30º con la recta x – y + 2 = 0. Solución: Se dibuja la recta x – y + 2 = 0.

La pendiente de la recta, a partir de la forma general, es: m=−

A 1 =− B −1

m =1

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El ángulo que forma la recta con el eje positivo de las “x” es el arco cuya tangente tiene un valor “1”.

α = Tan −1 (1)

α = 45º Se dibuja el ángulo de inclinación en el gráfico anterior.

Las rectas que cumplen con la condición de la familia de rectas pueden formar con la recta original ángulos de 30º horarios o antihorarios, lo que se puede representar de la siguiente manera:

Los ángulos que forman las familias de rectas analizadas, con el eje positivo de las “x” serán “45º + 30º = 75º” y “45º - 30º = 15º”.

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En definitiva, la primera solución es la familia de rectas que forman un ángulo de 75º con el eje positivo de las “x”, y la segunda solución es la familia de rectas que forman 15º con el eje positivo de las “x”. La pendiente de la familia de rectas que forman un ángulo de 75º con el eje de las “x” es:

m1 = Tan (75º ) = 3.732 La ecuación de la familia de rectas puede obtenerse a partir de la Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen.

y1 = m1.x + b1 y = 3.752x + b Ecuación de la familia de rectas que forman un ángulo antihorario de 30º desde la recta x – y + 2 = 0

La pendiente de la familia de rectas que forman un ángulo de 15º con el eje de las “x” es:

m 2 = Tan (15º ) = 0.268 La ecuación de la familia de rectas también puede obtenerse a partir de la Ecuación Pendiente – Ordenada al Origen.

y 2 = m 2 .x + b 2 y = 0.268 x + b

Ecuación de la familia de rectas que forman un ángulo horario de 30º desde la recta x – y + 2 = 0

Problema Resuelto 55: Encontrar la ecuación de la familia de rectas que distan 4 u. del punto A(3, 2).

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Solución: Se dibuja el punto A(3, 2) en un diagrama de coordenadas cartesianas.

Se dibujan algunas de las rectas (las más fácilmente identificables) que distan exactamente 4 unidades desde el punto A (x = 7, x = -1, y = 6, y = -2)

Se pueden dibujar algunas de las otras rectas que distan 4 unidades del punto A, que no son ni verticales ni horizontales.

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La ecuación general de la recta es: A .x + B.y + C = 0

Con el objeto de manejar exclusivamente 2 condiciones independientes conviene dividir toda la ecuación para “A”:

x + B1.y + C1 = 0 La distancia desde el punto A(3, 2) hasta la recta genérica es: d=

(3) + B1 ( 2) + C1 2

± (1) + ( B1 )

2

=

3 + 2B1 + C1 ± 1 + B1

2

De acuerdo al texto del problema esa distancia debe ser 4 unidades. 3 + 2B1 + C1 ± 1 + B1

2

3 + 2B1 + C1 1 + B1

2

=4

= ±4

De la expresión previa, es más fácil despejar “C1 ”. 3 + 2B1 + C1 = ±4 1 + B12 C1 = −3 − 2B1 ± 4 1 + B1 2 Reemplazando en la ecuación general de la recta, con coeficiente unitario para “x”:

x + B1.y + C1 = 0 x + B 1 .y − 3 − 2B1 ± 4 1 + B1 2 = 0

Ecuación de la familia de rectas que distan 4 unidades del punto A(3, 2)

Para encontrar la ecuación de algunas de las rectas (excepto y = -2 y y = 6) se despeja “y”:

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B1.y = x + 3 + 2B1 ± 4 1 + B12

x + 3 + 2B1 ± 4 1 + B12 y= B1 3 + 2B1 ± 4 1 + B 12 1 y= ⋅x + B1 B1

Ecuación alternativa de la familia de rectas que distan 4 unidades del punto A(3, 2)

“B1 ” puede tomar cualquier valor entre “- ∞” y “+ ∞”. Se prepara la siguiente tabla tomando en consideración el doble signo de la expresión radical que es parte del término independiente de las variables (habrá 2 ecuaciones lineales para cada valor de B1 ): B1 -∞

Ecuación Base y=

3 + 2( −∞) + 4 1 + ( −∞) 2 1 ⋅x + ( −∞) ( −∞)

3 + 2( −∞) − 4 1 + (−∞) 2 1 y= ⋅x + (−∞) (−∞) -5

-1

-0.5

y = −0.2x − 2.679

3 + 2(-5) − 4 1 + (-5) 1 ⋅x+ (-5) (-5)

2

y = −0.2x + 5.479

3 + 2(-2) + 4 1 + (-2) 1 y= ⋅x + (-2) (-2)

2

y = −0.5x − 3.972

3 + 2(-2) − 4 1 + (-2) 1 y= ⋅x + (-2) ( -2)

2

y = −0.5x + 4.972

3 + 2( -1) + 4 1 + ( -1) 1 y= ⋅x+ (-1) (-1)

2

y = − x − 6.657

3 + 2( -1) − 4 1 + ( -1) 1 y= ⋅x+ (-1) (-1)

2

y = − x + 4.657

3 + 2( -0.5) + 4 1 + (-0.5) 2 1 y= ⋅x + (-0.5) ( -0.5) 3 + 2( -0.5) − 4 1 + ( -0.5) 2 1 y= ⋅x + (-0.5) ( -0.5)

0

y=6

2

3 + 2( -5) + 4 1 + (-5) 1 y= ⋅x + (-5) ( -5) y=

-2

Ecuación Simplificada y = −2

3 + 2( 0) + 4 1 + (0) 2 1 y= ⋅x + (0 ) ( 0)

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y = −2x − 12.944 y = −2x + 4.944

Indeterminado

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3 + 2( 0) − 4 1 + (0) 2 1 y= ⋅x + (0 ) ( 0)

Indeterminado y = 2 x + 16.944 y = 2 x − 0.944 y = x + 10.657 y = x − 0.657 y = 0.5x + 7.972 y = 0.5x − 0.972 y = 0.2 x + 6.679 y = 0.2x − 1.479 y=6 y = −2

0.5 1 2 5 ∞

Las únicas ecuaciones que no pueden deducirse directamente a partir de la ecuación de la familia de rectas propuesta son y = -2 y y = 6, que están asociadas a las 2 indeterminaciones generadas en la tabla anterior.

3.19 PROBLEMAS PROPUESTOS: Problema Propuesto 1: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2, 4) y tiene una pendiente m=-2. Ayuda: Identificar el punto en un diagrama de coordenadas cartesianas y graficar la recta buscada. Problema Propuesto 2: La depreciación de un mueble cuyo costo inicial es de US$ 1000 se la realiza mediante una función lineal durante 10 años. Si el mueble no tiene depreciación instantánea, y su valor residual es del 10% del valor inicial, determinar una ecuación que describa el valor comercial del bien en función del tiempo transcurrido, y hasta cuando es válida tal ecuación. Ayuda: Realizar un gráfico descriptivo del problema y generar una tabla con las depreciaciones año a año. Problema Propuesto 3: Una universidad está organizando una maestría internacional con profesores norteamericanos. Los costos de realización de los cursos son los siguientes: Ø Ø Ø Ø Ø

Honorarios de los profesores: US$ 50000 Depreciación y servicios de la infraestructura: US$ 4000 Copias para los estudiantes: US$ 600 por estudiante Refrigerios para los estudiantes: US$ 500 por estudiante Servicios administrativos: US$ 5000

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Si cada estudiante debe cubrir una colegiatura de US$ 7000 por todo el programa, ¿cuál es el número mínimo de participantes requerido para cubrir los gastos (Punto de Equilibrio)? Ayuda: Identificar los costos fijos y los costos variables, y mediante la ayuda de un dibujo calcular la o las rectas necesarias. Problema Propuesto 4: Una empresa tuvo ventas por US$ 62000 en el año 2000, y por US$ 75000 en el 2003. Si durante ese intervalo tuvo un crecimiento aproximadamente lineal, ¿cuáles son las ventas proyectadas para el 2004, y cuál es la ecuación que define la variación de las ventas en el tiempo? Ayuda: Preparar un gráfico en el que aparezcan los 2 datos que permitan modelar el problema. Problema Propuesto 5: Las ventas de una empresa entre el 2000 y el 2005 se describen mediante la siguiente ecuación:

y = 4000x − 7'940000 Donde “y” son las ventas en dólares, y “x” es el año en que se producen esas ventas, a partir del 2000. Si en el 2000 se hubiera realizado una inversión en tecnología, las ventas se hubieran incrementado linealmente desde el 2000, y al 2005 se hubieran elevado en un 30% con relación a las ventas sin esa inversión. Determinar la ecuación de la recta que relaciona las ventas con el tiempo cuando si se realiza dicha inversión. Determinar cuál hubiera sido el incremento porcentual de ventas hasta el año 2010 con inversión en tecnología, con relación a no efectuar dicha inversión, para el mismo año. Problema Propuesto 6: Encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es “-4/3”, que corta a los ejes positivos de las “x” y las “y”, formando un triángulo rectángulo con dichos ejes, si se conoce que la longitud de la hipotenusa del triángulo es 15 unidades. Problema Propuesto 7: Encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es “-4/5”, que corta a los ejes positivos de las “x” y las “y”, formando un triángulo rectángulo con dichos ejes, si se conoce que el perímetro del triángulo mide 30 unidades. Problema Propuesto 8: Un triángulo tiene por vértices a los puntos A(1, 1), B(7, 3) y C(6,8). Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del lado más corto y el vértice opuesto. Calcular su pendiente.

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Problema Propuesto 9: Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a:

3x − 2 y + 7 = 0 Y pasa por el punto (1, 1) Ayuda: Realizar un dibujo de la recta paralela, el punto y la recta buscada. Problema Propuesto 10: Encontrar la ecuación de la recta “L” que es paralela a 3x – 2y + 5 = 0, y pasa por la intersección de las rectas x – y + 7 = 0, y x + 6y – 9 = 0. Problema Propuesto 11: Demostrar que las siguientes rectas son perpendiculares: L1 : L2 :

2x − y +1 = 0 2x + y + 4 = 0

Solución: No son perpendiculares Problema Propuesto 12: Una empresa entrega una bonificación a sus empleados equivalente a US$ 10 por cada año de antigüedad (años de trabajo en la empresa). Encontrar la ecuación que relacione la bonificación con los años de antigüedad. Si la empresa decide crear una segunda bonificación, para todos los empleados, de US$ 35 por el alto costo de la vida, calcular la ecuación que describe la bonificación total (antigüedad más costo de la vida), y demostrar que es paralela a la primera ecuación. Ayuda: Preparar una tabla para cada parte del problema, que permita la elaboración de un gráfico. Problema Propuesto 13: Encontrar la ecuación de la recta que corta a los ejes positivos “x” y “y”, formando con ellos un triángulo rectángulo, si la recta tiene una pendiente “m = -1”, y la distancia desde el origen a la recta es “4”. Ayuda: Realizar un gráfico que modele el problema. Problema Propuesto 14: Encontrar la ecuación de la recta que corta a los ejes positivos “x” y “y”, formando con ellos un triángulo rectángulo, si la recta tiene una pendiente “m = -2”, y la distancia desde el punto A(1, 2) a la recta es “5”. Ayuda: Realizar un gráfico con los datos conocidos, que ayuda a modelar el problema.

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Problema Propuesto 15: Encontrar la ecuación de la recta paralela a 2x – y + 3 = 0, que dista 6 unidades de dicha recta (2 soluciones). Ayuda: Realizar un gráfico explicativo y utilice la ecuación de distancia de un punto a una recta. Problema Propuesto 16: Demostrar que los puntos A(1, 1), B(5, -2) y C(4, 5) son los vértices de un triángulo rectángulo y calcular su área. Problema Propuesto 17: El cuadrilátero ABCD tiene una superficie de 12.5 u2. El punto A tiene por coordenadas (2, 4); B tiene por coordenadas (1, 1); y C tiene por coordenadas (5, 2). Encontrar las coordenadas del vértice D, si la abscisa es igual a la ordenada. Problema Propuesto 18: El punto M(3, -1) es el punto medio del segmento AB. Si el punto B tiene por coordenadas (-1, -3), encontrar las coordenadas del punto A. Problema Propuesto 19: Desde el punto medio del segmento limitado por los puntos (-3, 5) y (-1, -1) parten dos rectas hacia los puntos tercios del segmento limitado por los puntos (3, 2) y (6, 4). Encontrar el ángulo que forman las 2 rectas. Problema Propuesto 20: Encontrar la ecuación que describe a la familia de rectas que al cortar a los ejes “x” y “y”, la magnitud del corte al eje “x” es “2” unidades mayor a la magnitud del corte con el eje “y”. Ayuda: Utilizar la forma simétrica de la ecuación de la recta para describir una expresión que relacione las magnitudes de los cortes con los ejes cartesianos.

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