Factorización de trinomios cuadráticos (Método de la \"X - Explayada\")

Factorización de trinomios cuadráticos Método de la “X explayada”

Prof. Carlos Martínez

Introducción En la factorización de un trinomio de segundo grado, los métodos que se han presentado hasta ahora son para el estudiante tediosos y complicados. Cuando el coeficiente a del término cuadrático es 1, no presenta mayor dificultad. Distinto resulta cuando a ≥ 2. El método gráfico que ilustro aquí, llevo varios años enseñándolo a mis estudiantes de álgebra y precálculo. Yo lo nombré como el método de la “X” explayada. Este método gráfico permite que se tome el control absoluto de la factorización del ejercicio. En el mismo, se presentan los elementos necesarios para la factorización de manera diáfana, estructurada y enfocada.

Método de la “X” explayada • Primero, se construye la “X” explayada. • Segundo, se identifican los coeficientes a y b; además, la constante c, localizándolos en la “X” explayada. • Tercero, se multiplica a por c, ilustrando el producto en la parte inferior de la “X”. • Cuarto, se factoriza el producto de a y c, de manera que los factores, sumados o restados, resulten en el término lineal. • Quinto, se cambia el término lineal, reescribiédose por una suma o resta de dos términos. • Sexto, se procede a factorizar por agrupación.

Veamos,

ax  bx  c 2

• Se identifican a, b y c. • Se construye la “X” explayada para localizarlos en la misma. b

a

c ac

• Se buscan los factores de ac, que sumados o restados, nos den el término lineal (bx). • Luego, se convierte el término lineal, reescribiéndose como la suma o resta de dos términos. • Finalmente, se procede a factorizar por agrupación.

Ahora vamos a aplicar este método en varios ejercicios. 1] x  3x  4 2

Se identifican: a = 1, b = -3, c = -4. b = -3

En este momento se procede a reescribir el término lineal de la ecuación en la suma o resta de dos términos.

x  4x  x  4 2

(x  4 x)  ( x  4) 2

x(x  4)  1(x  4)

a=1

c = -4

ac = -4 Se buscan los factores de 4: 1, 4; 2, 2 De los factores de 4, se escoge el par que sumados o restados den -3.

Los factores son :

-4(1) = -4

( x  4)( x  1)

-4+1 = -3 5

2] 2x  x  21 2

Se identifican: a = 2, b = -1, c = -21. En este momento se procede a reescribir el término lineal de la ecuación en la suma o resta de dos términos.

2 x  6 x  7 x  21 2

(2 x  6 x)  (7 x  21) 2

2x(x  3)  7(x  3) Los factores son : ( x  3)(2 x  7)

b = -1 a=2

c = -21 ac = -42

Se buscan los factores de 42: 1, 42; 2, 21; 3, 14; 6, 7 De los factores de 42, se escoge el par que sumados o restados den -1.

6(-7) = -42 6-7 = -1 6

3]  3x 2  14 x  15  (3x  14 x  15) 2

Se identifican: a = -3, b = -14, c = -15. Cuando el coeficiente a es negativo, conviene sacar como factor común a -1.

b = 14 En este momento se procede a reescribir el término lineal de la ecuación en la suma o resta de dos términos.

 (3x  5x  9 x  15)  [(3x 2  5x)  (9 x  15)]  [ x(3x  5)  3(3x  5)]  (3x  5)( x  3)

a=3

c = 15 ac = 45

2

Los factores son : (3x  5)( x  3)

Se buscan los factores de 45: 1, 45; 3, 15; 5, 9 De los factores de 45, se escoge el par que sumados o restados den 14.

5(9) = 45 5+9 = 14 7

Como las matemáticas entran por los dedos, vamos a practicar. Encuentra los factores de los trinomios de segundo grado, utilizando el método de la “X” explayada.

Así que a practicar. 2 a] x  4 x  5

b] 6 x 2  19 x  7 c ]  3 x 2  6  11x d ] 4 x  19 x  12 2

e]  14 x  5 x 2  3 8

Soluciones:

a ] ( x  1)( x  5) b] (3 x  1)(2 x  7) c ] ( 3 x  2)( x  3) d ] ( 4 x  3)( x  4) e] (5 x  1)( x  3)

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