Estimaci´ on de par´ ametros en ecuaciones diferenciales estoc´ asticas aplicadas a finanzas. John Freddy Moreno Trujillo* Docente investigador de la Facultad de Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales de la Universidad Externado de Colombia CIPE-ODEON Correo:
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Resumen Se describe el m´etodo de m´ axima verosimilitud como mecanismo para la estimaci´on de par´ ametros en ecuaciones diferenciales estoc´asticas utilizadas para describir el comportamiento de variables financieras. Se consideran los casos particulares de los modelos BlackScholes y Vasicek, para los cuales se deducen los estimadores de los par´ametros que los determinan. Palabras clave: Par´ ametros, m´ axima verosimilitud, ecuaciones diferenciales estoc´asticas. C´ odigos JEL: C60, C69, G17. Abstract We describe the maximum likelihood method as a mechanism for estimating parameters in stochastic differential equations used to describe the behavior of financial variables. Are considered special cases of the Black-Scholes model and Vasicek, for which estimates are derived parameters that determine them. Keywords: parameters, maximum likelihood, stochastic differential equations. JEL codes: C60, C69, G17.
1.
Introducci´ on
Las ecuaciones diferenciales estoc´ asticas (EDE) son un modelo natural para describir sistemas con evoluci´ on din´ amica, que est´ an sujetos a alg´ un grado de aleatoriedad. Como modelo general consideramos la siguiente EDE param´etrica de Itˆo: *
Matem´ atico de la Universidad Nacional de Colombia, Magister en Matem´ atica Aplicada de la Universidad Nacional de Colombia, Phd(c) en Econom´ıa de la Universidad del Rosario.
1
dXt = β(θ, t, Xt )dt + σ(γ, t, Xt )dWt
, t ≥ 0, X0 = ξ
(1)
donde {Wt , t ≥ 0} es un movimiento browniano est´andar, β : Θ × [0, T ] × R es llamado coeficiente de tendencia, y σ : Γ × [0, T ] × R+ que es el coeficiente de difusi´on. Por lo general, estos dos coeficientes son funciones conocidas de los par´ametros (o vectores de par´ametros) desconocidos θ y γ, lo cual hace indispensable desarrollar metodolog´ıas para su estimaci´on. Los siguientes son algunos ejemplos de EDE utilizadas para describir el comportamiento de variables de car´ acter financiero. En cada caso es posible apreciar expl´ıcitamente la forma funcional de cada coeficiente y su dependencia de los par´ametros. Bachelier: dXt = βdt + σdWt Black-Scholes: dXt = βXt dt + σXt dWt Ornstein-Uhlenbeck: dYt = βXt dt + σdWt Ornstein-Uhlenbeck Radial: dXt = (αXt−1 − Xt )dt + σdWt Cox-Ingersoll-Ross: dXt = (α + βXt )dt + σ
p Xt dWt
Difusi´ on hiperb´ olica: dXt = α p
Xt 1 + Xt2
dt + σdWt
Vasicek: dXt = (α − βXt )dt + σdWt Dothan: dXt = (α + βXt )dt + σXt dWt Black-Derman-Toy: dXt = β(t)Xt dt + σ(t)Xt dWt Black-Karasinksi: d ln(Xt ) = [α(t) − β(t) ln(Xt )]dt + σ(t)dWt Ho-Lee: dXt = α(t)dt + σdWtH
2
Hull-White (extensi´ on Vasicek): dXt = (α(t) + β(t)Xt )dt + σ(t)dWt Hull-White (extensi´ on CIR): p dXt = (α(t) + β(t)Xt )dt + σ(t) Xt dWt Cox-Ingersoll-Ross (1.5): 3/2
dXt = σXt
dWt
Ahn-Gao: 3/2
dXt = β(µ − Xt )Xt dt + σXt
dWt
Ait-Sahalia: dXt = (α + βXt + γXt−1 + δXt2 )dt + σXtγ dWt Uno de los procedimientos m´ as utilizados para la estimaci´on de par´ametros en EDE es el de m´ axima verosimilitud, el cual, solo en casos muy particulares, puede ser aplicado de forma directa a partir de conocer la funci´ on de densidad de probabilidad del proceso subyacente en la ecuaci´ on, mientras que en la mayor´ıa de los casos se hace necesario el uso de m´etodos num´ericos de optimizaci´ on. En la siguiente secci´ on se muestran dos ejemplos de la aplicaci´on directa del m´etodo de m´ axima verosimilitud para la estimaci´on de los par´ametros en los modelos de Black-Scholes y Vasicek.
2.
Estimaci´ on de par´ ametros por m´ axima verosimilitud
El objetivo de la estimaci´ on m´ aximo veros´ımil es establecer los valores de los par´ametros que hacen que la funci´ on de verosimilitud del proceso se maximice. Para lo anterior se parte de considerar un conjunto de observaciones del proceso x0 , x1 , .., xn , en los instantes de t = 0, 1, ..., n, con base en las cuales la funci´on de densidad del proceso puede verse como una funci´ on del par´ametro o par´ametros desconocidos fθ y es denominada funci´ on de veros´ımilitud. Entonces, se plantea y resuelve el problema de determinar el valor del par´ ametro que hace m´ aximo al logaritmo de la funci´on de verosimilitud1 . La posibilidad de poder determinar la funci´on de verosimilitud condiciona la soluci´on directa del problema de maximizaci´ on o la aplicaci´on de m´etodos num´ericos. Que el proceso Xt sea de Markov es una condici´ on suficiente para poder escribir la funci´on de verosimilitud fθ con base en una serie temporal de observaciones, ya que: 1 Se toma el logaritmo de la funci´ on de verosimilitud para simplificar la expresi´ on, y los m´ aximos se mantienen ya que el logaritmo es una funci´ on mon´ otona.
3
fθ = fX0 ,X1 ,...,Xn ;θ = fXn |Xn−1 ;θ · fXn−1 |Xn−2 ;θ · · · fX1 |X0 ;θ · fX0 ;θ
Si ademas de lo anterior se tiene que las observaciones son independientes e id´enticamente distribuidas entonces: fXi |Xi−1 ;θ = fXi ;θ con lo cual la funci´ on de verosimilitud puede ser escrita como: fθ =
n Y
fXi ;θ
i=0
y al tomar logaritmo natural se tiene la funci´on de logverosimiltud: L(θ) = ln(fθ ) =
n X
ln(fθ )
(2)
i=0
sobre la cual se resuelve el problema de maximizaci´on igualando a cero las derivadas parciales respecto a los par´ ametros y solucionando las ecuaciones resultantes.
2.1.
El modelo Black-Scholes
El modelo Black-Scholes est´ a representado por EDE: dXt = βXt dt + σXt dWt
(3)
expresi´ on que tambi´en se conoce como movimiento browniano geom´etrico, en la cual β y σ son par´ ametros constantes desconocidos. En general este modelo es aplicado para describir el comportamiento temporal del precio de un activo riesgoso. La idea detr´ as de esta aproximaci´on es b´asicamente considerar que el precio del activo sigue una recta de tendencia de pendiente β, con fluctuaciones aleatorias alrededor de dicha recta, ponderadas por el coeficiente σ. Asumir que los precios siguen este comportamiento implica asumir que siguen una distribuci´ on lognormal, o lo que es equivalente, asumir que los retornos logaritmicos del activo siguen una distribuci´ on normal. Esto se justifica por la aplicaci´on de la formula de Itˆo, y permite determinar, de forma exacta, la funci´on de verosimilitud del proceso.
4
Al aplicar la formula de Itˆ o2 a los retornos del activo se tiene que: 1 d ln(Xt ) = (β − σ 2 )dt + σdWt 2
(4)
de donde, ln
Xt+∆t Xt
∼ N (m, v)
(5)
con 1 m = (β − σ 2 )∆t 2
v = σ 2 ∆t
;
Si se aplica el m´etodo de m´ axima versimilitud a los retornos logar´ıtmicos, partiendo deuna i de serie de observaciones del precio del activo x0 , x1 , .., xn , y denotando a Yi = ln XXi−1 forma que Yi ∼ N (m, v), entonces:
fY ;m,v =
n Y i=1
√
(yi −m)2 1 e− 2v = 2πv
√
1 2πv
n
1
e− 2v
Pn
2 i=1 (yi −m)
1
= (2πv)−n/2 e− 2v
Pn
2 i=1 (yi −m)
(6)
y la funci´ on de logverosimilitud est´ a determinada por: 2
Dado un proceso de Itˆ o Xt y una funci´ on C 2 , la f´ ormula de Itˆ o unidimensional establece que: df (Xt ) = f 0 (Xt )dXt +
1 00 f (Xt )(dXt )2 2
Para el caso del movimiento browniano geom´etrico y tomando f (x) = ln(x), se tiene que: 1 1 (βXt dt + σXt dWt )2 (βXt dt + σXt dWt ) − Xt 2Xt2 1 = β − σ 2 dt + σdWt 2
d ln(Xt ) =
y dado que el movimiento browniano es un proceso gaussiano se tiene que: Xt+∆t 1 d ln(Xt ) ≈ ln(Xt+∆t ) − ln(Xt ) = ln ∼ N (β − σ 2 )(∆t); σ 2 ∆t Xt 2
5
L(m, v) = ln(fY ;m,v ) = −
n n 1 X ln(2πv) − (yi − m)2 2 2v i=1
(7)
Si se toma la derivada parcial de la funci´on de logverosimilitud respecto a m e igual´andola a cero se tiene: n 1 X ∂ L(θ) = 2(yi − m) ∂m 2v i=1
=
n X (yi − m) = 0 i=1
y entonces: n
m ˆ =
1X yi = y¯ n i=1
(8)
y tomando la derivada parcial respecto a v se tiene que: n X ∂ n 1 1 L(θ) = − 2π + (yi − m)2 2 ∂v 2 2πv 2v i=1
=−
n 1 X n + 2 (yi − m)2 = 0 2v 2v i=1
y entonces: n
vˆ =
1X (yi − y¯)2 n i=1
(9)
expresiones de las cuales se obtienen los siguientes estimadores de β y σ 2 . y¯ 1 βˆ = + σˆ2 ∆t 2
6
(10)
n
σˆ2 =
1 X (yi − y¯)2 n∆t i=1
(11)
Sobre el estimador para la media m del proceso de retornos logar´ıtmicos Y , determinado por la expresi´ on (8) es importante notar que:
m ˆ = y¯ =
n X Yi i=1
=
n
n
=
1X [ln(Xi ) − ln(Xi−1 )] n i=1
1 [ln(Xn ) − ln(X0 )] n
luego el estimador solo utiliza el primer y u ´ltimo dato del precio para estimar su tendencia, y es muestra de la dificultad inherente a la estimaci´on del comportamiento que sigue el mercado. Por otro lado, podemos observar que el estimador de la varianza de los retornos dado por la expresi´ on (9) resulta ser un estimador sesgado, pero esto puede resolverse multiplicando la no de muestra es suficientemente grande. expresi´ on por n−1 n si el tama˜ El m´etodo de m´ axima verosimilitud es lo que en estad´ıstica se conoce como un m´etodo de estimaci´ on puntual, ya que la expresi´on que se obtiene de su aplicaci´on permite calcular un u ´nico valor estimado del par´ ametro, pero tambi´en resulta de utilidad conocer un intervalo dentro del cual podr´ıa estar el valor del par´ametro con un determinado nivel de confianza. Para el caso del movimiento browniano geom´etrico estos intervalos pueden ser determinados de forma cerrada, tanto para la media como para la varianza, basados en que la suma de variables aleatorias gaussianas independientes es de nuevo una variable gaussiana. Se tiene, entonces, que un intervalo del 100(1 − α) % de confianza para la media m est´a dado por: √ √ v v y¯ − zα/2 √ ≤ m ≤ y¯ + zα/2 √ (12) n n
Para el caso de la varianza el intervalo de confianza est´a dado por la expresi´on: n n vˆ ≤ v ≤ χ vˆ Qχu Ql
7
(13)
donde Qχl y Qχu son los cuantiles de la distribuci´on χ2 con n grados de libertad correspondientes al nivel de confianza deseado. Como ejemplo ilustrativo del uso de los estimadores, consideremos la siguiente serie de observaciones generadas a partir del movimiento browniano geom´etrico descrito por la ecuaci´on: dXt = 0,83Xt dt + 0,42Xt dWt
(14)
Se realiza la simulaci´ on de una trayectoria del proceso con 5000 pasos, utilizando el programa MATLAB, con un valor inicial del proceso de precio de 100, y se determina el valor de los estimadores para el coeficiente de tendencia y de difusi´on. La Figura 1, muestra la gr´afica de la trayectoria simulada.
Figura 1: Trayectoria del movimiento browniano geom´etrico. El valor de los estimadores para este conjunto de observaciones es: βˆ = 0,5621
;
σˆ2 = 0,4118
lo que confirma las observaciones realizadas sobre las bondades y defectos de los estimadores.
2.2.
El modelo Vasicek
El modelo Vasicek es descrito por la EDE: dXt = (α − βXt )dt + σdWt
8
(15)
el cual, por lo general, es utilizado para modelar el comportamiento de la tasa corta de inter´es y, en general, de procesos que presentan la caracter´ıstica de revertir a la media. Esto se debe a que dependiendo del valor del proceso y el de las constantes α y β, el valor de la tendencia puede ser positivo o negativo. Por la aplicaci´ on de la f´ ormula de Itˆ o multidimencional al modelo Vasicek se tiene que3 : Z t α eβu dWu (16) Xt = e−β(t−s) Xs + (1 − e−β(t−s) ) + σe−βt β s para 0 < s < t. Se tiene entonces que Xt condicionada a Fs tiene una distribuci´on normal con media y varianza dadas por: E[Xt |Fs ] =
α (1 − e−β(t−s) ) + Xs e−β(t−s) β
(17)
σ2 (1 − e−2β(t−s) ) 2β
(18)
V [Xt |Fs ] =
El modelo discreto correspondiente a la ecuaci´on (16) sobre una partici´on 0 = t0 < t1 < t2 < ... con tama˜ no de paso constante ∆t = ti − ti−1 es desarrollado por Phillips en 1972 y corresponde a la expresi´ on: q α (19) Xti = (1 − e−β∆t ) + e−β∆t Xti−1 + σ (1 − e−2β∆t )/2βZ β 3
Se puede verificar que esta expresi´ on satisface la EDE del modelo Vasicek considerando: α (1 − e−βt ) + σe−βt x β
f (t, x) = e−βt Xs + y Z Rt =
t
eβu dWu
s
como: ∂f (t, x) = −βe−β Xs + αe−βt − σβe−βt x ∂t y fx (t, x) = σe−βt
:
fxx (t, x) = 0
entonces: df (f, Rt ) = α − βf (t, Rt )dt + σe−βt dRt de donde: dXt = (α − βXt )dt + σdWt
9
con Z ∼ N (0, 1). Esta ecuaci´ on se puede denotar por: Xti = c + bXti−1 + δZ
(20)
donde, c=
α (1 − e−β∆t ) β
;
b = e−β∆t
;
δ=σ
q
(1 − e−2β∆t )/2β
Si se denota θ = α etodo de m´axima verosimilitud, aplicable en forma β y se utiliza el m´ cerrada, dado que la funci´ on de transici´on del proceso es normal, se tienen los siguientes estimadores, donde n corresponde al n´ umero de observaciones: Pn Pn Pn xx − i=1 xi i=1 xi−1 ˆb = n i=1 Pni i−1 P (21) n n i=1 x2i−1 − ( i=1 xi−1 )2 Pn (xi − ˆbxi−1 ) (22) θˆ = i=1 n(1 − ˆb) n
1X ˆ − ˆb)]2 [xi − ˆbxi−1 − θ(1 δˆ2 = n i=1
(23)
Como se tiene que: β=−
ln(b) ∆t
;
α=−
θ ln(b) ∆t
;
σ=p
δ (1 − b2 )/2β
las expresiones (21), (22) y (23) permiten tener estimadores para los par´ametros del proceso.
3.
Conclusiones
Si bien los casos considerados para la estimaci´on de par´ametros en este escrito son elementales y de aplicaci´ on directa dado que se conoce la funci´on de densidad del proceso, permiten describir el procedimiento de m´ axima verosimilitud aplicado a la estimaci´on de par´ametros en EDE que modelan variables de car´acter financiero, y permiten reconocer las extensiones necesarias para la calibraci´ on de procesos en otras condiciones. Se abre, entonces, la pregunta acerca de c´omo establecer estimadores de los par´ametros en EDE cuando las distribuciones asociadas al proceso no se conocen. A este respecto, si bien la literatura propone una serie de acercamientos, muestra tambi´en un amplio campo de estudio para el desarrollo de trabajos alrededor de la calibraci´on de EDE.
10
Referencias [1] Black, F. and Scholes, M. (1976). “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Journal of Political Economy 81, 637-659. [2] Brigo, D. and Mercurio, F. (2006). “Interest Rate Models: Theory and Practice”. Springer Verlang. [3] Brigo, D., Dalessandro, A., Neugebauer M. and Triki, F. (2007). “A Stochastic processes toolkit for Risk Mangement”. Working Paper. [4] Klebaner, Fima C. (2005). “Introduction to Stochastic Calculus with Applications”, segunda edici´on. Imperial College Press. [5] Korn, R. y Korn, E. (2001). “Option Pricing and Portfolio Optimization. Modern Methods of Financial Mathematics”. A.M.S. [6] Phillips, P.C.B. (1972). “The Structural Estimation of a Stochastic Differential Equatiuon System”. Econometrica, 40, pp. 1021-1041. [7] Phillips, P.C.B. and Yu, J. (2007). Maximum likelihood and Gaussian estimation of continuous time models in finance. Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University. [8] Shreve, Steven E. (2004). Stochastic Calculus for Finance II. Springer Finance. [9] Vasicek, O.A. (1977). “An equilibrium characterization of the term structure”. Journal of Financial Economics 5, pp. 177-188. .
11
