ESTADISTICA

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2014JEAN CARLOS GAIBAO ARROYONIYIRET XIMENA RODRIGUEZ SIERRADUVAN JAIR BARRIOS HERNANDEZUNIVERSIDAD DE SUCRE17/11/20142014JEAN CARLOS GAIBAO ARROYONIYIRET XIMENA RODRIGUEZ SIERRADUVAN JAIR BARRIOS HERNANDEZUNIVERSIDAD DE SUCRE17/11/2014
2014
JEAN CARLOS GAIBAO ARROYO
NIYIRET XIMENA RODRIGUEZ SIERRA
DUVAN JAIR BARRIOS HERNANDEZ
UNIVERSIDAD DE SUCRE
17/11/2014
2014
JEAN CARLOS GAIBAO ARROYO
NIYIRET XIMENA RODRIGUEZ SIERRA
DUVAN JAIR BARRIOS HERNANDEZ
UNIVERSIDAD DE SUCRE
17/11/2014
DISTRIBUCIONES ESPECIALES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUASDISTRIBUCIONES ESPECIALES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

DISTRIBUCIONES ESPECIALES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
DISTRIBUCIONES ESPECIALES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Distribuciones Especiales De Variables Aleatorias Continuas


Jean Carlos Gaibao Arroyo
Niyiret Ximena Rodríguez Sierra
Duvan Jair Barrios Hernández


Albeiro Vergara Urango


Universidad De Sucre
Facultad De Ingeniería
Departamento De Ingeniería Civil
Sincelejo
2014
CONTENIDO
Introducción ………………………………………………………………………………. 5
Objetivos …………………………………………………………………………………. 6
Objetivos generales . ……………………………………………………………… 6
Objetivos específicos ……………………………………………………………… 6
DISTRIBUCIÓN NORMAL……..………………………………………………………... 7
Importancia de la Distribución normal ……………………………………………. 8
Propiedades………………………………………………………………………… 8
Usos………………………………………………………………..………………. 9
Ejemplos…………………..…………………..…………………..……………….. 9
Ejemplo 1…………………..…………………..…………………..……… 9
Ejemplo 2…………………..…………………..………………………….. 10
Ejemplo 3…………………..…………………..………………………….. 10
Ejemplo 4…………………..…………………..…………………..……… 11
Ejemplo 5…………………..…………………..…………………..……… 11
Distribución T de Student…………………..…………………..………………………… 12
Propiedades…………………..…………………..…………………..…………… 13
Usos…………………..…………………..…………………..………………….. 13
Grados de libertad…………………..…………………..…………………..…… 13
Tabla…………………..…………………..…………………..………………… 14
Ejemplos…………………..…………………..…………………..…………….. 15
Ejemplo 1…………………..…………………..……………………….. 15
Ejemplo 2…………………..…………………..…………………..…… 16
Ejemplo 3…………………..…………………..…………………..…… 17
Ejemplo 4…………………..…………………..……… ………..…… 18
Ejemplo 5…………………..…………………..…………………..…... 19
Distribución Chi Cuadrado …………………..…………………..…………….……… 20
Propiedades…………………..…………………..…………………..…………. 21
Usos…………………..…………………..…………………..………….……. 21
Grados de libertad …………………..…………………..…………………..…. 21
Tabla…………………..…………………..…………………..……………….. 22
Ejemplos…………………..…………………..…………………..……………. 23
Ejemplo 1…………………..…………………..………………………. 23
Ejemplo 2…………………..…………………..………………………. 24
Ejemplo 3…………………..…………………..………………….…… 25
Ejemplo 4…………………..…………………..………………….…… 26
Ejemplo 5…………………..…………………..………………….…… 27
Distribución F…………………..…………………..…………………..……………… 28
Propiedades…………………..…………………..…………………..………… 29
Usos…………………..…………………..…………………..………………… 29
Grados de libertad …………………..…………………..……………………... 30
Tabla…………………..…………………..…………………..………………… 31
Ejemplos…………………..…………………..…………………..…………..… 31
Ejemplo 1…………………..…………………..……………………….. 32
Ejemplo 2…………………..…………………..……………………….. 32
Conclusiones……………………………………………………………………………. 35
Bibliografía……………………………………………………………………………… 34




INTRODUCCIÓN
Para la ciencia hoy en día se hace indispensable saber aplicar la estadística para su estudio.
A través del presente trabajo se dará a conocer los conceptos y los modelos necesarios básicos para describir, analizar, interpretar y comprender las distribuciones especiales de variables aleatorias continuas. Estas distribuciones son muy importantes porque permiten el análisis de características de una población y examina la probabilidad de que se encuentre dichas características. En el campo de la ingeniería estas distribuciones son fundamentales en los estudios investigativos, ya que dan la información necesaria para la toma de decisiones y así diseñar estrategias que puedan mejorar los resultados de la investigación


OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL:
Analizar, interpretar y contextualizar las distintas distribuciones especiales de variables aleatorias continúas.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Reconocer la distribución normal, t de Student, chi cuadrada, f de Fisher-Snedecor y el contexto de su aplicación.
Calcular probabilidades para variables aleatorias continuas.
Realizar ejercicios en los que se apliquen las distribuciones estudiadas al campo de la ingeniera civil.



DISTRIBUCIÓN NORMAL
Corresponde a una distribución de variable aleatoria continua, que se extiende sobre un campo de variabilidad infinito. Está dada por la función:
Y=1σ2πe-z22σ2
Siendo:
σ= desviacion estandar de la distribucion binomial= pqn
e= base de los logaritmos naturales = 2.71828
π= 3.1415926535
μ= media de la distribucion binomial =np

Todo ejercicio planteado como Binomial, en especial cuando (n) el número de experimentos realizados es grande, se debe resolver mediante la distribución Normal. Este procedimiento permite facilitar y agilizar las operaciones, cuyo resultado no será exacto (método binomial) sino un valor bastante aproximado, razón por la cual algunos lo identifican como método aproximado.
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
Importancia De La Distribución Normal
La distribución normal es de suma importancia en estadística por tres razones principales:
Numerosas variables continuas de fenómenos aleatorios tienden a comportarse probabilísticamente mediante ésta.
Es el límite al que convergen tanto variables aleatorias continuas como discretas.
Proporciona la base de la inferencia estadística clásica debido a su relación con el teorema del límite central.

Propiedades:
La curva es simétrica y mesocurtica.
El área bajo la curva es igual al 100 %
La curva no toca al eje horizontal ya que es asintótica, se prolonga indefinidamente.
La media µ se localiza en el centro, es decir, cada parte es igual al 50%.
X toma valores de menor a mayor, es decir, de izquierda a derecha.
Al estandarizar, convertir los valores de x en z, esta tendrá una media µz = 0, σz =1 y Z tomara valores desde -3 hasta 3, que cubre un área de 99,7%, casi igual al 100%.
La variante estadística Z=x-μσ, es una medida de las deviaciones estándar o de las llamadas unidades estandarizadas conocida como desviación normal.
Uso:
La distribución normal se utiliza cuando se conoce la varianza poblacional o el tamaño muestral es mayor o igual a 30.
Ejemplos:
Los pesos de los individuos de una población se distribuye normalmente con media 70 Kg y desviación típica 6 Kg. De una población de 2000 personas, calcula cuantas personas tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 Kg
SLN/:
Se trata de una distribución normal de media µ= 70 y desviación típica σ=6, N (70,6).
Tipificamos la variable
P(64 x 76)= P64-706 z 76-706=P-1 z 1
=P-1 z 1=Pz 1-Pz -1
Entonces:
Pz 1=0.8413
P(Z -1)=P(z 1)=1-P(z 1)=1-0.8413=0.1587
P-1 z 1=0.8413-0.1587=0.6825= 68.25%
Rta/: el 68.25% de las personas pesan entre 64 y 76 kg
La duración media de un televisor es de 8 años y su desviación típica 0.5 años. Sabiendo que su vida útil se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al adquirir un televisor dure más de 9 años.
SLN/:
Es una distribución normal de media µ= 8 y desviación típica σ=0.5, es decir, N (8;0.5)
P(x>9) =Pz>9-80.5=Pz>2=1-Pz 2=1-0.9772=0.0228
R/: La probabilidad de que al adquirir un televisor dure mas de 9 años es del 2,28%
Se supone que la estancia de los enfermos en un hospital sigue una distribución normal de media 8 días y deviación típica 3. Calcular la probabilidad de que la estancia de un enfermo:
Sea inferior a 7 días
Sea superior a 3 días
Este comprendida entre 10 y 12dias
Sln/:
P(x 75) = PZ > 75-69 12 = P(Z >0,5)= 1 - P (Z 0,5) = 1 – 0,69146 = 0,30854
R/ El 30,854% de las casas, superarán los 75 años.





DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la muestra es menor de 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra como una estimación de σ, pero no es posible utilizar la desviación como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t.
Dicha distribución está dada por la fórmula:
t= ӯ-μSn-1
Siendo:
ӯ = media.
μ= el valor a analizar.
S= desviación estándar.
n= tamaño de la muestra.
Su grafica es:

A pesar de las correcciones que se le puedan hacer a las desviaciones típicas, no es efectiva en todas las muestras; por tal razón la distribución de todas las medias muestrales, no tiene un comportamiento similar a la distribución normal, a pesar de ser una distribución continua. A esta distribución se le conoce como distribución "t" de Student.

Propiedades:
Cada curva t tiene forma de campana con centro 0.
Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar.
A medida que k aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye.
A medida que k , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar.
Usos:
para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar la media de una población a partir de muestras pequeñas (n3.4)
Según lo anterior:
Pχ62>3.4=1- P(χ623.4=0.757223
R/ La distribución de probabilidad de una variable estadística chi-cuadrado, de 6 grados de libertad sea mayor de 3,4 es de 75.72%.

Un fabricante de varillas garantiza que sus varillas durarán, en promedio, tres años con una desviación estándar de un año. Si cinco de estas varillas tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años, ¿el fabricante podrá tener una confianza de 95% de que la desviación estándar sigue siendo de un año? Supongamos que la duración de la batería sigue una distribución normal.
 
Escuela de Negocios Universidad S2=Σ(y-ӯ)2N-1 =0,815
X2=(5-1)(0,815)212=3,26
Busquemos el valor de chi-cuadrada en nuestra tabla para g.l. (v) = 4 y por la asimetría de la gráfica el 95% se localiza entre 97.5% y 2.5%, es decir, entre 0.975 y 0.025
R/ Vemos que para 0.975 el valor es 0.484 y para 0.025 es 11.143, por lo que nuestro valor no queda fuera de estos límites. Entonces, el fabricante puede estar seguro que su desviación estándar igual a un año es razonable y no tiene razón suficiente para sospechar que este dato es distinto.





En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidad de impurezas en el concreto, el cual se efectúa como parte del control de calidad, se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%.
Solución:
Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285.
Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obteniéndose dos resultados. Para X2(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07.
Entonces el intervalo de confianza esta dado por:
σmax2=6-10,02851,145=0,1246
σmin2=(6-19)(0,0285)11,07=0,0129





DISTRIBUCIÓN F
Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad continua. También se le conoce como distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor. Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:
F = U1d1U2d2
Dónde:
U1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente, y
U1 y U2 son estadísticamente independientes.
Su grafica es:

Propiedades:
Si X F(n, m) entonces:
Ex= mm-2 m>2
Vx=2m2(n+m-2)mm-22(m-4) m>4

Distribución de la razón de dos varianzas mustrales:
Sea x1x2 xn1 es una m.a.i. de una población N (m1, s1 ²) .
Sea y1y2 yn1 es una m.a.i. de una población N (m2, s2 ²).
Si ambas muestras provienen de poblaciones independientes, entonces:
F = s12σ12s22σ22 es tal que F F ( n1- 1, n2-1)
Usos:
Esta es la distribución de probabilidad de la razón de dos varianzas provenientes de dos poblaciones diferentes. Por medio de esta distribución es posible determinar la probabilidad de ocurrencia de una razón específica con v1=n1-1 y v2=n2-1 grados de libertad en muestras de tamaño n1 y n2.
Es la distribución más importante en experimentación pues permite hacer cálculos sobre varianzas diseminadas determinando si las diferencias mostradas son significativas y por lo tanto atribuibles a cambios importantes en el comportamiento de las poblaciones en estudio.
Grados de libertad:
Los grados de libertad para el numerador y el denominador de la razón F se basan en los cálculos necesarios para derivar cada estimación de la variancia de la población. La estimación intermediante de variancia (numerador) comprende la división de la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el número de medias (muestras) menos uno, o bien, k - 1. Así, k - 1 es el número de grados de libertad para el numerador.
En forma semejante, el calcular cada variancia muestral, la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el valor medio de la muestra y cada valor de la misma se divide entre el número de observaciones de la muestra menos uno, o bien, n - 1. Por tanto, el promedio de las variancias muestrales se determina dividiendo la suma de las variancias de la muestra entre el número de muestras, o k. Los grados de libertad para el denominador son entonces, k(n -l).


Tabla:





Ejemplos:
En un proceso hay dos máquinas cortadoras diferentes en antigüedad lo que hace pensar que las varianzas de corte no son iguales. Se toma una muestra de 16 partes de cada máquina, ¿cuál es la probabilidad de que la razón de varianzas sea:
a. Mayor a 1.97?
b. Menor a 3.52?
SLN/
PF 1.97=1-0.9=0.1 Para v1=15 y v2=15
R/ La probabilidad de que la razón de varianzas sea mayor a 1.97 es 0.1.
PF 3.52=0.9 Para v1=15 y v2=15
R/ La probabilidad de que la razón de varianzas sea menor a 3.52 es 0.99.
La variabilidad de la cantidad de impurezas presentes en un compuesto químico usado para un proceso particular depende del tiempo en que el proceso está en operación. Un fabricante que usa las líneas de producción 1 y 2 ha introducido un ligero ajuste al proceso 2 con la esperanza de reducir tanto la variabilidad como la media de la cantidad de impurezas en el compuesto químico. Las medias y varianzas de las muestras de 25 observaciones de los dos procesos son:





Determine el intervalo de confianza del 90% para el cociente de varianzas.


Sln/:
Sustituyendo en la fórmula los datos, se tiene
s12s22f1- 2