Estadís3ca y Métodos Numéricos

Estadís3ca
y
Métodos
Numéricos
 Tema
9.
Ecuaciones
no
lineales


Ángel
Barón
Caldera

 



Ángel
Cobo
Ortega

 



María
Dolores
Frías
Domínguez

 



Jesús
Fernández
Fernández
 



Francisco
Javier
González
Or@z

 



Carmen
María
Sordo
García
 DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICA
APLICADA
Y
 CIENCIAS
DE
LA
COMPUTACIÓN
 UNIVERSIDAD
DE
CANTABRIA
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BY‐NC‐SA
3.0


TEMA9: Ecuaciones No Lineales

1. Introducción 2. Métodos cerrados: Bisección 3. Métodos abiertos: Punto Fijo Newton Secante

Resolución numérica de ec. No lineales Objetivo: 1. Calcular el valor de x, que cumple f(x) = 0 2. Calcular el valor de x que cumple g(x) = h(x) f(x) = g(x) – h(x) = 0 Dada una función f(x) determinar algún valor x' para el que se cumpla f(x')=0. Los valores x' se llaman raíces de f(x).

Resolución numérica de ec. No lineales Problema a resolver: Dada una función f(x) determinar algún valor x' para el que se cumpla f(x')=0. Los valores x' se llaman raíces de f(x). Las raíces pueden ser reales o complejas. Determinar raíces reales de: 1. Ecuaciones algebraicas: f(x)=x2-2x+1 2. Ecuaciones trascendentes (involucran funciones trigonométricas, exponenciales, logaritmicas, etc): f(x)=sen(x)+e-x

Método Gráfico Dibujar la función y=f(x) y observar dónde cruza el eje x. Ese punto representa el valor de x para el cual f(x)=0, es decir, la raíz de la función. Ejemplo: Encontrar una raíz de la función

40

30

x

f(x)

4

34.1149

8

17.6535

Raiz x 20

Raiz x ≈ 14,75

10

12

6.0669

16

-2.2688

20

-8.4006

0

-10

0

4

8

12

16

20

Resolución numérica de ec. No lineales Los métodos de resolución numérica son de tipo iterativo: x0 x1 x2 .... xn ..... 1. Métodos cerrados: Bisección 2. Métodos abiertos: De punto fijo Newton Secante

Métodos cerrados 1. Se basan en el hecho de que una función cambia de signo en la vecindad de una raíz 2. Necesitan dos valores iniciales para la raíz: intervalo Teorema de Bolzano: f(x) continua en [a,b] f(a)f(b) < 0

f(x)

x

b)

x

c)

x

f(x)

f(x)

f(x)

xl

En [a, b] hay un número impar de raíces

a)

En [a, b] al menos hay una raíz

d)

xu

x

Métodos cerrados: bisección Se genera una sucesión {xi} de aproximaciones a la raíz calculando los puntos medios de los intervalos: f(x) Primera iteración: a+b x1 = 2

2. Comprobar si es raíz: ¿ f ( x1 ) = 0 ?

(a) f(x1) f(a)

f(b)

a+b 1. Estimar raíz: x1 = 2

(b)

x

3. Determinar nuevo intervalo:

f ( x1 ) f (a) < 0 ⇒ x1 → b f ( x1 ) f (a) > 0 ⇒ x1 → a

( Gráfica )

Métodos cerrados: bisección Se genera una sucesión {xi} de aproximaciones a la raíz calculando los puntos medios de los intervalos: f(x) Primera iteración: a+b x1 = 2

a+b 1. Estimar raíz: x1 = 2

f(b)

2. Comprobar si es raíz: ¿ f ( x1 ) = 0 ?

(a) f(x1)

(b)

x

3. Determinar nuevo intervalo:

f ( x1 ) f (a) < 0 ⇒ x1 → b

f(a) f(x)

f ( x1 ) f (a) > 0 ⇒ x1 → a f(b) (a)

f(x2)

f(a)

(x2)(b) x

( Gráfica )

Segunda iteración: Repetir con nuevo intervalo

a+b x2 = 2

Métodos cerrados: bisección Dado un intervalo [a,b] y la función f(x) continua en [a,b] y tal que f(a)f(b) 0, x 3. Repetir pasos 1 y 2 hasta:

b a

~

|f(x)|≤ ε ● |a-b|≤ ε ●

● ●

Se alcanza el número máximo de iteraciones

xi +1 − xi εa =