Diseño de evaluación de transformaciones geométricas de funciones con
distintos niveles de dificultad.
Scorzo, Roxana. – Williner, Betina. – Favieri, Adriana.
Universidad Nacional de La Matanza – Departamento de Ingeniería e
Investigaciones Tecnológicas.
Florencio Varela 1903- San Justo – Pcia. De Buenos Aires.
RESUMEN
En este artículo presentamos un diseño de evaluación pensado como una
resolución de problemas, del tema "transformaciones geométricas de
funciones" que tiene dos propósitos diferenciados. El primero es permitir
al alumno acreditar o aprobar el tema seleccionado, cumpliendo la función
tradicional de evaluación. El segundo es utilizarlo como instrumento de
recolección de datos sobre las preferencias de los alumnos a la hora de
elegir los ejercicios a resolver. Está pensado para alumnos que cursan
Análisis Matemático I en las carreras de Ingeniería de la Universidad
Nacional de La Matanza. La originalidad del mismo es que prevé distintos
niveles de dificultad y brinda a los alumnos libertad de elección de los
problemas al momento de realizarla. Basamos su diseño en un enfoque de tipo
heurístico, con uso de árboles, que el alumno recorre de acuerdo a sus
conocimientos previos, registros de representación, afinidad que sienta con
el estilo de ejercicio o problema presentado, entre otros.
PALABRAS CLAVES: - Diseño de Evaluación –Heurística- Árboles -Análisis
Matemático -Ingeniería-
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Diseño de evaluación de transformaciones geométricas de funciones con
distintos niveles de dificultad.
1. Introducción
El desafío que nos impulsó al diseño de la actividad que presentamos en
este artículo, es poder evaluar el desempeño del alumno en todas las
transformaciones geométricas y paridad de funciones, de acuerdo al nivel de
dificultad que él mismo puede seleccionar a partir de sus conocimientos
previos, sus intereses y/o percepción; pensando a dicha actividad como un
problema a resolver.
El marco referencial que sustenta esta propuesta es el denominado por
Sagula J (2009). Enfoque desde heurísticas para la resolución de problemas.
En palabras del propio autor "El Proceso de Resolución de un Problema es
Isomorfo al Proceso de Búsqueda en un Grafo, donde cada nodo constituye la
representación de un estado del problema y cada arista corresponde a la
aplicación del operador entre los estados representados por los nodos que
vincula"(2009:6). Nos hemos basado sobre esta idea rectora, para elaborar
nuestra propuesta.
2. Marco Teórico
Nuestro fundamento teórico está basado en tres pilares:
2.1. Enfoque desde heurísticas para la resolución de problemas
2.2 Lógica difusa
2.3. Evaluación de los aprendizajes
2.1. Enfoque desde Heurísticas para la resolución de problemas
Si nos preguntamos qué es un problema, en un primer momento podríamos decir
que es una dificultad que se nos plantea. Dicha dificultad nace en el
momento en que, ante los distintos estímulos recibidos, una persona debe
actuar en consecuencia y para ello necesita disponer de información y
recursos necesarios para dar una respuesta adecuada y satisfactoria.
También es preciso que la persona tenga la capacidad mental, los hábitos y
destrezas necesarios para superar dichas dificultades. (Álvarez Munábriz,
1994)
Al hacer referencia a la resolución de problemas como estrategia para
aprender matemática no podemos dejar de mencionar a un precursor en el
desarrollo de este tema como fue Polya (1945). Este autor hace referencia a
la heurística como una ciencia relacionada con la lógica y la filosofía,
siendo su objeto de análisis el estudio de las reglas y de los métodos por
descubrimiento e invención. Explicita que los primeros ensayos que se
conocieron a lo largo de la historia sobre la construcción de sistemas
heurísticos se deben a Descartes, Leibniz y Bolzano. Según Polya "La
heurística moderna trata de comprender el método que conduce a la solución
de problemas, en particular las operaciones mentales típicamente útiles en
este proceso" (1945: 102). A si mismo destaca que el razonamiento
heurístico tiene un valor muy importante en el descubrimiento de la
solución de un determinado problema. Este proceso no es de ninguna manera
la demostración final del mismo, sino que debe considerarse como un indicio
de progreso, ya que se debe ahondar más para llegar a una respuesta al
problema definitiva y certera ( Polya, 1945).A sí mismo expresa que un
problema puede ser resuelto al seguir los siguientes pasos:
1. Comprender el problema.
2. Concebir un plan para llegar a la solución.
3. Ejecutar el plan.
4. Verificar el procedimiento.
5. Comprobar los resultados.
La solución de problemas es un procedimiento sistemático que permite
planificar los pasos que se van a realizar para lograr la resolución del
mismo y requiere: ejecutar esos pasos, supervisar el proceso y comprobar la
solución (Poggioli, 1999).
Por otra parte Guzmán (1985) señala que la enseñanza por resolución de
problemas como sinónimo de heurísticas, es el método más invocado para
lograr un aprendizaje activo poniendo el énfasis en los procesos de
pensamiento. Destaca entre ellos que el alumno sea capaz de activar su
propia capacidad mental y creatividad. A sí mismo explicita que un
verdadero problema es aquel que enfrenta al alumno con nuevas situaciones
y desconoce el camino para resolverla, la búsqueda de éstos es lo que le
permite pasar de una situación conocida a otra que no lo es, es decir la
búsqueda de la solución del problema. Destaca también que en los libros de
texto existen muchos ejercicios pero pocos problemas.
Comprender el problema implica definir la naturaleza del problema
analizando el tema del mismo y lo que se pide contestar o buscar. Para
ello, hay que darse un tiempo para pensar, para entender la situación
planteada, ubicar datos dados, lo que se debe hallar, las operaciones
permitidas y las restricciones o limitaciones.
Esto nos lleva a la estructura del problema, que consiste en reconocer un
estado inicial, un estado final o meta, un conjunto de condiciones o
restricciones que deben cumplirse y un conjunto de operaciones, acciones o
transformaciones que tienen que realizarse para ir del estado inicial al
estado final (Newell y Simon,1972). Esta forma de estructurar el problema
ayuda a precisar las situaciones que se abordan y a ser más eficiente en la
búsqueda de la solución. Por lo tanto, resolver un problema es aplicar una
secuencia de operaciones cognoscitivas para trazar una línea de acción
entre el estado inicial y el final.
También así existen una serie de variables que intervienen en la solución
de problemas que dependen de la persona. Estas se clasifican en tres
categorías: afectivas, cognoscitivas y estratégicas. (Cruz, 2001)
Las variables afectivas se refieren al interés, la motivación, la
necesidad de reconocimiento y las relaciones interpersonales. De ellas
surgen actitudes favorables o desfavorables hacia la búsqueda de soluciones
para resolver problemas.
Las variables cognoscitivas que están relacionadas con el conocimiento de
la persona que enfrenta el problema, su organización mental y el buen
almacenamiento que ha realizado en su memoria para poder disponer de ese
conocimiento en el momento que necesite identificar e interpretar un
problema.
Las variables estratégicas se ubican en el terreno de los procesos
algorítmicos o heurísticos que los individuos ponen en ejecución cuando
están resolviendo problemas. Estas son las estrategias de solución de
problemas a las que nos referimos a continuación.
Las estrategias para la solución de problemas se refieren a las operaciones
mentales que se utilizan para representar los datos y transformarlos para
llegar a la solución. Las estrategias a ser utilizadas dependen del tipo de
situaciones problema que se presenten, estas pueden ser:
Los ejercicios rutinarios que se resuelven aplicando un algoritmo
previamente aprendido.
Las situaciones en que no están claras ni las metas ni las condiciones
u operadores.
Los problemas donde se logra identificar los cuatro elementos de la
estructura (estado inicial, estado final, restricciones y operadores),
que requieren del desarrollo de estrategias algorítmicas o heurísticas
para ser resueltos.
Así, tenemos las siguientes estrategias o procedimientos que pueden
utilizarse:
1. Los algoritmos. Consisten en realizar un número finito de pasos,
especificados por instrucciones para pasar de un estado inicial a un estado
final. Poggioli (1999) expresa que los algoritmos son procedimientos
específicos que señalan paso a paso la solución de un problema y que
garantizan el logro de una solución, siempre y cuando sean relevantes al
problema. Por lo tanto, es un procedimiento que puede ser llevado a la
práctica de una forma mecánica y cuya secuencia de pasos puede ser
representada a través de un diagrama de flujo.
2. Las heurísticas. Se refieren a estrategias generales de resolución y
pautas de decisión utilizadas por las personas al resolver problemas,
basadas en experiencias previas similares (Poggioli, 1999). Es por ello que
la heurística se considera un arte de descubrir estrategias para la
solución de problemas poco estructurados, representan sugerencias generales
que pueden llevar a la solución del problema, más no garantizan el
resultado deseado. Algunos procedimientos heurísticos son:
Ensayo y error. Consiste en realizar intentos sucesivos en busca de la
meta, a la vez que se pueden detectar y corregir los errores que se
cometan.
Análisis de medios y fines. Resulta de la búsqueda de respuestas a
preguntas como: ¿cuál es la meta?, ¿qué obstáculos tengo?, ¿de qué se
dispone para vencer esos obstáculos?, ¿de qué manera ayudan las
condiciones?, etc.
Buscar submetas. Consiste en alcanzar etapas intermedias en el camino
hasta lograr la meta final.
Reducir el espacio del problema. Significa trabajar sólo con una parte
del problema y no con la totalidad.
Trabajar hacia atrás. Es ir del estado final hacia el estado inicial
verificando la reversibilidad de los pasos, se utiliza en casos
particulares.
Por último, es conveniente hacer referencia a las diferencias encontradas
entre el comportamiento de los individuos expertos y novatos al momento de
resolver problemas. En los expertos, el conocimiento es bien elaborado y la
información que poseen está bien organizada, al mismo tiempo que utilizan
el metaconocimiento para buscar soluciones nuevas, lo que se ve reforzado
por el dominio que tienen de las estrategias heurísticas.
En los novatos, por el contrario, el conocimiento tiene concepciones
erróneas o imprecisas y poseen poca información organizada, ello dificulta
el acceso a conocimientos conceptuales y al metaconocimiento, además de
tener poco dominio de las estrategias heurísticas (Pozo, 1999).
Nos interesa destacar en este recorrido teórico acerca del enfoque
heurístico utilizado en la resolución de problemas las ideas de Sagula J.
quien explica "El Proceso de Resolución de un Problema es Isomorfo al
Proceso de Búsqueda en un Grafo, donde cada nodo constituye la
representación de un estado del problema y cada arista corresponde a la
aplicación del operador entre los estados representados por los nodos que
vincula" (2009: 6). A sí mismo Sagula J.(2009) explicita que resolver un
problema implica búsqueda de un camino que permite unir el estado inicial
con el estado objetivo y que este proceso se puede modelar con un sistema
de producción y una estrategia de control que permitan que el proceso de
búsqueda para lograr el objetivo sea eficiente. Para el autor estas
estrategias de control deben cumplir dos condiciones:
Generar un cambio de estado para que a través de éstos se pueda
alcanzar la solución al problema planteado.
Ser sistemáticas de modo tal que a través de varios pasos se pueda
lograr un Cambio Global o bien un Cambio Local generado por un simple
paso.
2.2 Lógica difusa
En este marco Sagula destaca que, para resolver un problema, es necesario
el paso a Lógicas no convencionales como la lógica difusa que encuadren
filosóficamente este proceso de búsqueda. Dado que no basta con una
construcción basada en la lógica bivaluada, Sagula (2009) en este documento
hace referencia a Zadeh, quien es el que concibe el concepto de Lógica
Difusa. A diferencia de la lógica tradicional, la lógica difusa permite
trabajar con información con un alto grado de imprecisión. Revoluciona así
el concepto de pertenencia de un elemento a un conjunto, introduciendo el
concepto de conjuntos difusos donde la pertenencia de un elemento a éstos
se da de acuerdo a un rango de posibilidades. A modo de ejemplo supongamos
que se desea representar con conjuntos difusos la variable peso de una
persona, en esta caso el universo de discurso será el rango de posibles
valores del peso que tenga un persona adulta. Se podrá escoger un rango
entre 50 - 120 Kg, valores por fuera de este rango son posibles pero son
menos frecuentes. Podríamos sintetizar que la lógica difusa es una técnica
de la inteligencia computacional que permite trabajar información con alto
grado de imprecisión, a diferencia de la lógica convencional que trabaja
con información bien definida y precisa.
2.3 Evaluación de los aprendizajes
Concebimos el aprendizaje como un proceso de construcción compartido entre
el que enseña y el que aprende, donde el intercambio de significados se
produce a partir de las estrategias que ponemos en marcha, y que debemos
replantearnos para adecuar los instrumentos acordes a estas nuevas
estrategias. Litwin E. al respecto dice "Las estrategias desplegadas por
los docentes mostrarían, más que otra cosa, el modo de pensamiento de ese
docente acerca de la disciplina o área de conocimiento y permitiría a los
alumnos reconocer enfoques, modos de tratamiento colaborando en la
comprensión de aquello que es sustantivo y diferenciándolo de lo que no lo
es"( 2005:2). Como Ardoino J. (2000) entendemos que evaluar no es sólo
sinónimo de acreditación, ni de poner en funcionamiento objetos
tecnológicos burocráticos, sino que interpretamos que su función es de
apoyo a la toma de decisiones y a la optimización de la acción, es decir,
nos permite modificar nuestro accionar, no es estática, ni burocrática, es
un proceso.
Palou de Maté (2001) especifica la idea de Ardoino diciendo que la
evaluación de los aprendizajes puede cumplir con dos finalidades. La
primera, es proporcionar datos que permitan desplegar o reformar distintas
estrategias de enseñanza. Mediante la evaluación podemos valorar cuáles son
los objetivos no alcanzados y organizar nuevas actividades para llegar a
lograrlos. La segunda, acreditar, es decir, certificar que se ha conseguido
determinado conocimiento previsto en un plan de estudio o programa,
cumpliendo de esta forma con un requerimiento social e interinstitucional.
Según esta autora, estas dos funciones "se entrecruzan, se encuentran y/o
homologan".
En el plano de los instrumentos de evaluación, Palou de Maté (2007) los
define como herramientas que el docente utiliza para permitir que los
alumnos revelen sus saberes. Al respecto, Camilloni (1998:76) aconseja
planificar un programa de evaluación que contemple diferentes tipos de
instrumentos para obtener una cobertura adecuada. Agrega que "la eficacia
de la evaluación depende de la pertinencia de la combinación de diferentes
instrumentos, de la oportunidad en que se administran y de la inteligencia
y propiedad de análisis e interpretación de los resultados"
3. Nuestro Contexto
Nuestro contexto está formado por la población estudiantil de las carreras
de Ingeniería de la Universidad Nacional de La Matanza, que dependen del
Departamento de Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas. La asignatura en
la que basamos los temas de esta propuesta es Análisis Matemático I. En las
clases, los alumnos trabajan con una única guía de trabajos prácticos para
toda la cátedra y con bibliografía recomendada: autores como Stewart
(1999), Larson, Hostetler & Bruce (2002), Piskunov (1977), entre otros. El
régimen de cursado de la materia es cuatrimestral y los alumnos pueden
promocionarla o cursarla, cumpliendo en ambos casos con una asistencia a
clase no inferior al 75% y con la aprobación de un trabajo práctico
realizado con software Mathematica Para promocionarla deben aprobar dos
parciales (o recuperatorio) con nota mayor o igual a siete y, si la nota de
los parciales (o recuperatorio) se encuentra entre cuatro y seis, el alumno
debe rendir examen final.
4. Diseño de la propuesta
4.1. Actividad de evaluación
La actividad planteada es un instrumento de evaluación del tema
"transformaciones geométricas de funciones" destinado a la aprobación del
mismo que, además, ofrece al docente información sobre las preferencias y
elecciones de los alumnos a la hora de resolver los ejercicios propuestos.
La originalidad que posee esta propuesta es que prevé distintos niveles de
dificultad y brinda a los alumnos libertad de selección de los problemas al
momento de realizarla. Es de destacar que uno de los aspectos que tuvimos
en cuenta a la hora de diseñarla, es el análisis previo de los posibles
caminos que puede efectuar el alumno de acuerdo a sus conocimientos previos
y a la afinidad que sienta con el estilo de ejercicio o problema
presentado, entre otros.
4.2. Objetivo
Diseñar un instrumento de evaluación sobre transformaciones geométricas y
características generales de funciones (paridad, ceros, intervalos de
positividad y negatividad), que permita:
evaluar el desempeño del alumno en los temas propuestos.
conocer qué caminos son más frecuentados por los alumnos.
4.3. Descripción del instrumento
Al comenzar la evaluación solicitamos al alumno que elija con qué nivel de
dificultad va a trabajar: alto, medio o bajo. A cada uno de estos niveles
le asignamos diferentes puntajes (al más alto mayor puntaje y al más bajo,
menor puntaje). El criterio que hemos tenido en cuenta para determinar los
distintos niveles de dificultad es la cantidad de problemas presentados.
Por ejemplo: para el nivel más sencillo proponemos dos problemas que tienen
solución. En el nivel medio, dos problemas que tienen solución y uno que
no, y por ultimo en el nivel más alto, dos problemas con solución y dos
problemas sin solución.
Estos problemas contemplan, tanto en su enunciado como en cómo debe ser
dada la respuesta, diferentes formas de presentación (gráfica, analítica y
coloquial).
El alumno elegirá el nivel de acuerdo a su afinidad por la materia, o según
su interés en la calificación a obtener, o por motivación intrínseca, entre
otros. Luego de haber seleccionado el nivel de dificultad, el estudiante
debe seleccionar un problema propuesto y resolverlo. Éste primer problema
es de aplicación de características de funciones (dominio, paridad, raíces,
etc).
Algunos de los factores que pueden intervenir en la selección del primer
problema son: el registro en que está brindado el mismo, el registro en el
que debe darse la respuesta, comprensión o no de la consigna, percepción
del grado de dificultad, similitud con ejercicios efectuados en clase, etc.
Si el alumno elige un problema sin solución, debe dar la justificación de
por qué no la tiene y seleccionar otro para seguir el camino que lo lleve a
completar la evaluación. Esta es la razón por la que niveles más altos
tienen asignada mayor calificación.
Con el primer ejercicio el estudiante construye la función que luego será
base de los problemas subsiguientes En el tercer nivel de decisión debe
optar por una de las siguientes transformaciones
Traslaciones verticales y horizontales
Contracciones verticales y horizontales
Gráficas reflejadas, paridad de función.
Así, el estudiante posee ahora otra función (la respuesta del ejercicio del
tercer nivel), que será el material con el que resolverá el problema
siguiente. Queda entonces elegir con qué transformación continuar para
llegar al último problema con la última transformación que todavía no
seleccionó.
En síntesis:
Primer nivel de decisión: nivel de dificultad: alto, medio o bajo.
Segundo nivel de decisión: problema inicial sobre características
generales de funciones que le permite al estudiante construir la
función que luego usará en el nivel siguiente.
Tercer nivel de decisión: elegir un ejercicio que involucra una de las
tres transformaciones para aplicarla a la función del segundo nivel,
obteniendo una segunda función que será la que utilizará en el cuarto
nivel.
Cuarto nivel de decisión: selección de un problema que implica alguna
de las dos transformaciones restantes no elegidas, creándose una
tercera función.
Quinto nivel (no hay decisión ya que queda una sola transformación
para efectuar): último ejercicio a resolver con la transformación
faltante.
Para esquematizar este diseño nos auxiliaremos usando una estructura de
árbol para describirlo. Así tendríamos, para el primer nivel de decisión:
Árboles para cada uno de los niveles de dificultad descriptos.
Árbol nivel dificultad alto
Árbol nivel dificultad medio
Árbol nivel dificultad bajo
4. Evaluación: Valoración y calificación de cada camino
Como ya hemos comentado, uno de los propósitos de este diseño es evaluar a
los alumnos en el desempeño del tema transformaciones geométricas y paridad
de funciones; por lo tanto hemos valorado los posibles caminos o recorridos
que pueden hacerse. De acuerdo al diseño de la evaluación, por cada
problema inicial, se presentan seis posibilidades de recorrido, es decir un
total de 24 posibles caminos a seguir. Esta valoración de los camino lleva
a una calificación, que dependerá, del grado de dificultad elegido y de
resolución correcta o no del problema seleccionado. Hemos considerado los
siguientes rangos de calificaciones de acuerdo al grado de dificultad
elegido:
Grado de dificultad alto : nota entre 8 y 10
Grado de dificultad medio: nota entre 6 y 8
Grado de dificultad bajo: nota entre 4y 6
4.6. Ejemplos de la ejercitación propuesta
Damos a continuación un ejemplo de un camino que puede recorrer el alumno,
donde reflejamos todas las transformaciones a ser evaluadas:
4.6.1. Primer nivel del árbol
Graficar una función g(x) par, que cumpla con las siguientes
condiciones:
El punto (-3;4) g(x)
El origen de coordenadas no pertenece a g(x).
Una raíz de g(x) es 5.
La función g(x) tiene tramos rectos y otros curvos.
Los intervalos de positividad y negatividad son respectivamente:
(-5;5) y (-; -5 ) U (5; +)
La recta y=-4 es asíntota de g(x)
4.6.2. Segundo nivel del árbol
A g(x) del ejercicio anteriormente resuelto, trasladarla 2 unidades a la
derecha, 3 unidades hacia abajo. Denominar g1(x) a la nueva función y
responder V o F. Justificar las respuestas.
g1(x) sigue siendo par.
(-1;1) g1(x)
y=-7 es asíntota de g1(x)
4.6.3. Tercer nivel del árbol
Graficar , llamar g2(x) a la nueva gráfica y responder V o F.
Justificar las respuestas.
g2(x) no es función.
g2(x) es función y tiene el mismo dominio que g1(x).
g2(x) es función y tiene distinto dominio que g1(x).
La gráfica de es igual a la de .
4.6.4. Cuarto nivel del árbol
Respecto a la función g2(x) obtenida en el problema anterior, hallar la
expresión analítica y graficar la función que sea
Una contracción horizontal de f2 en un factor 2.
Una dilatación horizontal de f2 en un factor 2.
Una dilatación vertical de f2 en un factor 3
Una contracción vertical de f2 en un factor 3.
Responder:
¿Cuál es el factor de contracción o dilatación horizontal por el que
tenemos que multiplicar si queremos que f2 pase por (1, -1)? Obtener
la expresión analítica de esta nueva función. Graficarla en un mismo
par de ejes junto a f2(x)
¿Cuál es el factor de contracción o dilatación vertical por el que
tenemos que multiplicar si queremos que f2 pase por (-1, 3)? Obtener
la expresión analítica de esta nueva función. Graficarla en un mismo
par de ejes junto a f2(x).
Si una función cualquiera y = g(x) es impar ¿se mantiene dicha
característica cuando realizamos una contracción o dilatación
vertical? ¿Y horizontal?
4. Conclusiones
Aún esta propuesta no la hemos puesto en práctica, pero consideramos
importante señalar lo que esperamos observar al hacerlo:
Que el alumno reconozca el estado inicial y el final de la evaluación
entendida como problema.
Que el alumno se comporte activamente en el proceso de evaluación, que
tenga la opción de elegir los ejercicios de acuerdo a ciertas
variables como lo son conocimientos previos, interés, percepción,
registro de representación, etc.
Que el alumno despliegue estrategias de organización y planificación.
Al ser una evaluación no tradicional, con oportunidad de elección, el
estudiante no sólo reflejará en la resolución de la misma sus
conocimientos, sino también cómo dispone y regula sus saberes para
llegar al objetivo planteado.
Que sea una propuesta motivadora, diferente a los instrumentos usuales
y que logre en el alumno el interés de buscar caminos desafiantes
para poder llevarla a cabo.
Que sea disparadora de modelos innovadores de evaluación.
Esperamos también, luego de haberla puesto a prueba, poder recabar
información sobre distintos aspectos que hacen a la elección del problema a
resolver, como lo son los conocimientos previos, los registros de
representación en los cuales brindamos el ejercicio, el interés hacia la
asignatura, la percepción ante la simple lectura del nivel de dificultad
del ejercicio, etc. Consideramos que esto requiere un análisis más
exhaustivo y el uso de otros instrumentos complementarios, quedando
pendiente como tema de investigación en el futuro.
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