Determinante de una matriz

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

ALGEBRA TEMA: DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

CONTENIDOS •

•

•

•

•

PAG.

1 - DETERMINANTES. DEFINICION PROPIEDADES

02

Ejercicios Propuestos

04

2 – DESARROLLO POR COFACTORES O LAPLACE

05

Ejercicios Propuestos

07

3 - REGLA DE CHIO

08

Ejercicios Propuestos

11

4 - DETERMINANTE Y MATRICES INVERTIBLES

12

Ejercicios Propuestos

12

RESULTADOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS

14

1

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

2

1 - DETERMINANTES. DEFINICION. PROPIEDADES El determinante es una función f: Rnxn ---- R, que le asigna a una matriz cuadrada un número. Así por ejemplo en el caso de una matriz de 2 x 2, el determinante se define de la siguiente manera:  a11 a12   = a11a22 − a21a12 a  21 a22  Para el caso de una matriz de 3 x 3, el determinante se puede calcular de la siguiente manera: a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a21 = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a13a22 a31 − a23a32 a11 − a33a12 a21 a33

EJEMPLO Nº 1.1: Calcular el determinante de la matriz A  −1 5 3   A= 0 2 2  3 − 4 2   El determinante de A, calculado por Regla de Sarrus es: −1 5 3 0 2 2 = (−1).2.2 + 0.4.3 + 3.5.2 − 3.2.3 − 2.4.(−1) − 2.5.0 = −4 + 0 + 30 − 18 + 8 = 16 3 4 2 −1 5 3 0 2 2

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Sea A una matriz de n x n, y c un escalar distinto de cero. Entonces: 1)

Si una matriz B se obtiene de una matriz A multiplicando los elementos de

una fila (columna) por c, entonces det (B) = c. det (A) 2)

Si una matriz B se obtiene de intercambiar dos filas (columnas) de A,

entonces det (B) = -det (A)

CATEDRA: ALGEBRA

3)

TEMA: DETERMINANTES

3

Si una matriz se obtiene de una matriz A sumando un múltiplo de una fila

(Columna) a otra fila (columna), entonces det (B) = det (A) 4)

Si dos filas (columnas) de una matriz A son iguales, entonces det (A) = 0

5)

Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A son iguales a

cero, entonces det (A) = 0 6)

Si una fila (columna) de una matriz es combinación lineal de las otras,

entonces det (A) = 0 7)

El determinante de la matriz identidad es igual a 1.

8)

El determinante de una matriz triangular inferior o triangular superior es

igual al producto de los elementos de la diagonal principal. 9)

El determinante de una matriz A es igual al determinante de la traspuesta

de A. (At) 10) El determinante del producto de matrices, es igual al producto de los determinantes. Det (A.B) = det (A).det (B) Nota: observar que las tres primeras propiedades están referidas a las operaciones elementales de filas que se pueden realizar sobre una matriz, y como las mismas modifican o no el determinante. Por otro lado, las propiedades 3 a 6 indican que si las filas (o columnas) de una matriz son Linealmente Dependientes, entonces su determinante es igual a cero. EJEMPLO Nº 1.2: Calcular el determinante de las siguientes matrices aplicando propiedades de los determinantes: 2 0 1 0 0 − 2 = 0 (Por ser nulos los elementos de la columna 2º 0 0 3 1 − 4 −1 0 2 3 0 0 3 0 0 0

1 2 = 1.2.3.4 = 24 (Por 3 4

ser

una

matriz

multiplican los elementos de la diagonal principal)

triangular

superior

se

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

4

1 1 2 2 1 4 = 0 (Por ser la tercera columna proporcional a la primera. −2 1 −4

EJERCICIOS PROPUESTOS – PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1)

Calcular

el

determinante

de

las

siguientes

matrices

aplicando

propiedades:  − 5 0 0   A =  0 −1 0  0 0 3  

0 0 0  0    1 0 − 2    − 2 − 1 − 3 − 1 B =  1 1 − 2 C =  2 5 3 1 − 2 2 4       3 4 3 1  

 5 1 − 1   D = 0 2 2  0 0 1   

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

5

2 - DESARROLLO POR COFACTORES (LAPLACE) Sea A una matriz n x n, se denomina menor correspondiente a la fila i y columna j, Mij, al determinante que se obtiene al eliminar de la matriz A la fila i y la columna j. Se denomina cofactor correspondiente a la fila i y columna j, al menor multiplicado por (-1)i+j EJEMPLO Nº 2.1: Calcular el menor y cofactor correspondiente a fila 1, columna 2 de la matriz siguiente: 1 2 3    A = −1 1 3   3 4 − 2   El menor M12 se obtiene de eliminar de la matriz A la fila 1 y la columna 2, por lo tanto:

M 12 =

−1 3 = (−1)(−2) − 3.3 = 2 − 9 = −7 3 −2

A su vez, el cofactor C12 se obtiene de multiplicar M12 por (-1)1+2: C12 = (-1)1+2M12 = (-1).(-7) = 7 TEOREMA Nº 2.1: Sea A una matriz n x n. Entonces para cada 1 ≤ i ≤ n Det (A) = ai1.Ci1 + ai2.Ci2 + …… + ain.Cin (Desarrollo por filas) Y para cada 1 ≤ j ≤ n Det (A) = a1j.C1j + a2j.C2j + …… + anj.Cnj (Desarrollo por filas)

EJEMPLO Nº 2.2: Calcular el determinante de la matriz A desarrollándolo por una de sus filas y por una de sus columnas.

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

6

 1 3 5   A = −1 2 1  0 1 2   Desarrollando el determinante por la tercera fila se obtiene:

1 3 5 3 5 1 5 1 3 − 1 2 1 = 0.(−1) 3+1 + 1(−1) 3+ 2 + 2(−1) 3+3 2 1 −1 1 −1 2 0 1 2 Observar que el primer término del desarrollo es nulo, por lo tanto el determinante es igual a: 1 3 5 − 1 2 1 = 0 + (−1)(1 + 5) + 2.(2 + 3) = −6 + 10 = 4 0 1 2

Desarrollando por la primera columna se obtiene el siguiente desarrollo: 1 3 5 2 1 3 5 3 5 − 1 2 1 = 1.(−1)1+1 + (−1)(−1) 2+1 + 0.(−1) 3+1 1 2 1 2 2 1 0 1 2 Se obtiene: 1 3 5 − 1 2 1 = (4 − 1) + (6 − 5) + 0 = 3 + 1 = 4 0 1 2

Es conveniente elegir para el desarrollo la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros, ya que dichos términos del desarrollo son nulos. La desventaja de este método es que para matrices mayores que 3 x 3 el desarrollo es extenso y se deben calcular muchos determinantes. Por ejemplo si la matriz fuera de 4 x 4, se deberían calcular 4 determinantes de matrices de 3 x 3, lo que resulta poco práctico. En estos casos es conveniente aplicar otros métodos.

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

7

EJERCICIOS PROPUESTOS – DESARROLLO POR COFACTORES O DE LAPLACE 1 - Calcular menor y cofactor correspondiente a la fila 2, columna 2 de la siguiente matriz: −1 0 1   A =  2 5 1  3 6 2   2 – Calcular los determinantes de las siguientes matrices aplicando el desarrollo por Cofactores o de Laplace y verificar por método de Sarrus: −1 3 5 A= 5 −2 2 2 3 2

1 2 −2 B = 0 10 1 4 4 4

−1 −1 − 3 C = 5 5 −4 2 2 0

−4 −3 5 D= 2 9 −3 1 1 2 3 – Aplicar una vez el desarrollo de Laplace y para cada matriz de 3 x 3 resultante calcular su determinante por regla de Sarrus 3 7  −1 0   1 2 2   2 E = 2 − 5 − 5 − 6    4 2 1 3  

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

8

3 - REGLA DE CHIO Como se ha visto,

el cálculo de determinantes aplicando el desarrollo por

cofactores (o Laplace), es poco práctico cuando se trata de matrices mayores a las de 3 x 3, debido a la gran cantidad de determinantes que se deberían calcular. Así por ejemplo, para el cálculo de un determinante de una matriz de 4 x 4 sin elementos nulos, aplicando el desarrollo por cofactores significaría calcular cuatro determinantes de matrices de 3 x 3, lo que resulta trabajoso y poco práctico. La Regla de Chio, permite aplicando operaciones elementales por filas transformar el determinante de una matriz n x n en un determinante de (n-1) x (n-1). En efecto, si a una columna de una matriz se la transforma en una columna canónica, es decir, que un elemento sea igual a uno mientras que los restantes sean nulos y aplicando el desarrollo por cofactores de la mencionada columna, resultaría que en el citado desarrollo todos los términos del desarrollo serían nulos excepto uno. A través de un ejemplo se explicará este método. EJEMPLO Nº 3.1: Calcular el determinante de la matriz A utilizando la regla de Chio.  2 −4  −1 1 A= 5 1  3 2 

6 − 2  0 1  (*) 5 6   1 − 3 

Para el cálculo del determinante a través de la regla de Chio se aplicarán operaciones elementales de filas por el método de Gauss – Jordan. Para ello se elige primeramente un pívot. En nuestro caso se elige el elemento de la primera fila y primera columna que es un 2 y se divide la fila por el pívot obteniéndose la siguiente matriz: 1 −2 −1 1 2. 5 1 3 2

3 −1 0 1 (**) 5 6 1 −3

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES

9

Observar que como se ha dividido una fila por el pívot (2), el determinante se debe multiplicar por el pívot de acuerdo a la propiedad 1. Seguidamente se hacen nulos los restantes elementos de la columna del pívot, es decir que se está realizando la operación elemental de sumar a una fila un múltiplo escalar de otra fila, los restantes elementos se calculan por la regla del rectángulo. Esta operación no modifica el determinante de acuerdo a la propiedad 3. 1 −2 3 −1 0 −1 3 0 2. (***) 0 11 − 10 11 0 8 −8 0

Los elementos que no pertenecen a la columna ni a la fila del pívot, se calculan por medio de la regla del rectángulo, por ejemplo el elemento correspondiente a la fila 2, columna 2 se calcula realizando la siguiente operación sobre la matriz (*): b22 =

1.2 − (−1)(−4) − 2 = = −1 2 2

b23 =

0.2 − (−1).6 6 = =3 2 2

b24 =

1.2 − (−1)(−2) =0 2

b32 =

1.2 − (5)(−4) 22 = 2 2

b33 =

5.2 − 5.6 − 20 = = −10 2 2

b34 =

6.2 − 5.(−2) 22 = = 11 2 2

b42 =

2.2 − 3.(−4) 16 = =8 2 2

b43 =

1.2 − 3.6 − 16 = = −8 2 2

CATEDRA: ALGEBRA

b44 =

TEMA: DETERMINANTES 10

(−3)..2 − 3.(−2) 0 = =0 2 2

Observar que para el elemento bij de la matriz (***) se ha realizado el producto de la diagonal del pívot menos la otra diagonal, todo dividido por el pívot. El rectángulo utilizado esta formado por los siguientes elementos de la matriz (*): a11 .. a1 j . : ai1 ..

aij

O sea que: bij =

a11.aij − ai1..a1 j a11

Una vez calculados los elementos de la matriz (2) se realiza el desarrollo por cofactores utilizando la columna del pívot, donde todos los elementos son nulos excepto el pívot que es igual a 1: 1 −2 3 −1 −1 3 0 0 −1 3 0 1+1 2. = 2.1(−1) 11 − 10 11 0 11 − 10 11 8 −8 0 0 8 −8 0

En este desarrollo no se han consignado los términos nulos. Se puede observar que desarrollando el determinante de 3 x 3 por la tercera columna, que tiene dos elementos nulos, y realizando las operaciones se obtiene: −1 3 0 −1 3 2. 11 − 10 11 = 2.11.(−1) 2 + 3 = −22.(8 − 24) = (−22).(−16) = 352 8 −8 8 −8 0

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES 11

EJERCICIOS PROPUESTOS – REGLA DE CHIO 1 – Dada la matriz A, calcular el determinante desarrollando por cofactores. Verificar el resultado aplicando la regla de Sarrus.  3 − 6 12    A= 0 1 3 − 4 − 2 3    2 – Dividir la primera fila de la matriz del apartado anterior y calcular el determinante. ¿Qué observa? ¿Son iguales los determinantes? 3 – Intercambiar dos filas o dos columnas en la matriz del apartado 1 y calcular el determinante. ¿Qué observa? 4 – A la matriz obtenida en el punto 2, sumarle a la tercera fila la primera multiplicada por 4. Calcular el determinante y compararlo con el resultado del punto 2. ¿Qué observa? 5 – Calcular el determinante de la matriz B por el método que crea conveniente.  2 3 1   B =  0 − 1 1  0 5 1   6 – Calcular los determinantes de las siguientes matrices aplicando la regla de Chio. − 2   1 D= 4   5 

3 7 0   2 − 4 − 2 0 3 5   5 5 8 

− 2   2 E = 4   5 

3 7 0  − 2   2 − 4 − 2  1 F =  4 0 3 5     5 5 8   5

2 4 0   2 − 5 − 2 0 10 5   5 5 8 

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES 12

4 - DETERMINANTES Y MATRICES INVERTIBLES Las propiedades 4, 5 y 6 de los determinantes, indican que si las filas o columnas de una matriz son Linealmente Dependientes, el determinante de dicha matriz es nulo. En efecto la propiedad 4 se refiere a un conjunto de vectores, donde dos de ellos son iguales; la propiedad 5 cuando un conjunto de vectores incluye al vector nulo, mientras que la propiedad 6 se refiere a un conjunto de vectores donde uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. En todos los casos se trata de conjunto de vectores Linealmente Dependientes de acuerdo a los teoremas 4.1; 4.2 (Págs. 26 y 27 del capítulo de Espacios Vectoriales). Como las filas o columnas de una matriz A de n x n se pueden tratar como vectores del Espacio Vectorial Rn, podemos concluir que si las filas o columnas de una matriz son Linealmente Dependientes, entonces el determinante de la matriz es nulo.

PROPOSICIONES EQUIVALENTES (Ver Espacios Vectoriales, Pág. 38) Sea A una matriz de n x n. Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1 – A es invertible. 2 – La forma reducida por filas de A es In. 3 – A es un producto de matrices elementales. 4 – El espacio generado por las filas de A es Rn 5 – A tiene rango n 6 – Las filas de A son Linealmente Independientes. 7 – Las filas de A constituyen una base de Rn 8 – El determinante de A es nulo. │A │= 0 EJERCICIOS

PROPUESTOS

–

DETERMINANTES

INVERTIBLES 1 – Calcular el determinante de las siguientes matrices: − 2 5 1  −1 4 6      A =  2 − 1 2  B =  3 4 10   1 6 8  0 5 − 1    

Y

MATRICES

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES 13

2 – En función del valor del determinante indicar si las filas o columnas de la matriz son L. I. o L. D; indicar si las matrices son invertibles.

CATEDRA: ALGEBRA

TEMA: DETERMINANTES 14

RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Det (A) = 15; det (B) = 0; det (C) = 0; det (D) = 10 DESARROLLO POR COFACTORES O DESARROLLO DE LAPLACE. 1)

M22 = -5; C22= -5

2)

Det (A) = 87; det (B) = 124; det (C) = 0; det (D) = -98

3)

Det (E) = -223

REGLA DE CHIO 1)

det (A) = 147

2)

det (A) = 49 (Es igual al determinante de la matriz del apartado 1 dividido

por 3) 3)

det (A) = -147 (El determinante es opuesto al determinante de la matriz del

apartado 1) 4)

det (A) = 49 (No se modifica el determinante)

5)

det (B) = -12

6)

det (D) = -460; det (E) = -632; det (F) = -786

DETERMINANTES Y MATRICES INVERTIBLES 1 – Det (A) = 63; Det (B) = 0 2 – A es invertible y sus filas o columnas son Linealmente Independientes. B no es invertible por que det (B) = 0, por lo que sus filas o columnas son Linealmente Dependientes.