Segunda edición, 2015 © Derechos reservados por Julio Cuevas Romo (Coord.) © Centro de Estudios Jurídicos y Sociales Mispat, A.C. Colón #443, Barrio de Triana, C.P. 20240, Aguascalientes, Ags. © Universidad de Colima Av. Universidad #333, Col. Las Víboras, C.P. 28040, Colima, Col. © Universidad de Ciencias y Artes de Chiapas Centro de Estudios Superiores Sobre México y Centroamérica Calle Bugambilia s/n. Col. La Buena Esperanza. San Cristóbal de Las Casas, Chiapas © Universidad Autónoma de San Luis Potosí Álvaro Obregón #64, Centro C.P. 78000, San Luis Potosí, S.L.P. © Educación para las Ciencias en Chiapas, A.C. Felipe Flores 85-A, Barrio de Guadalupe. C.P. 29230 San Cristóbal de Las Casas, Chiapas ISBN 978-6078-062-59-1
Hecho en México
SECUENCIAS DIDÁCTICAS DESDE DIVERSOS ENFOQUES PARA LA ENSEÑANZA DE CIENCIAS Y MATEMÁTICAS
ÍNDICE
Prólogo
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Introducción
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Conceptos físicos, matemáticos y biológicos desde las leyes de escala: la interdisciplinariedad de Ant-Man y Godzilla Julio Cuevas Romo
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Enseñanza de la Historia de la Filosofía de la Ciencia en la formación docente Myriam Rebeca Pérez Daniel
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Educación Ambiental desde el contexto: una propuesta para nivel bachillerato Elidia de los Santos Vázquez
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Simplificación de expresiones racionales algebraicas en un ambiente tecnológico: una propuesta didáctica basada en la metodología ACODESA Cesar Martínez Hernández
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Enseñanza-aprendizaje de los conceptos y procesos de homeostasis y retroalimentación María Silvia Sánchez Cortés
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Hacer no es experimentar Elianet Guillén Pérez
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CONCEPTOS FÍSICOS, MATEMÁTICOS Y BIOLÓGICOS DESDE LAS LEYES DE ESCALA La interdisciplinariedad de Ant-Man y Godzilla Julio Cuevas Romo1 Introducción Lejos han quedado, al menos desde la enseñanza, las visiones de la Física, la Química, la Biología y la Matemática como campos aislados o segmentados, sobre todo cuando hablamos de los enfoques educativos vigentes, que con sus diferencias conceptuales y metodológicas, a veces sutiles y a veces más visibles, apuestan en su mayoría por abordajes interdisciplinares y una apropiación significativa del conocimiento. La siguiente propuesta, centrada en el tema de las leyes de escalas, es una intervención didáctica que parte de tres principios. El primero se centra en que es indispensable poner en el terreno práctico (y tangible) propuestas interdisciplinares, en este caso vinculadas a las aún llamadas ciencias básicas para, entre otros factores, facilitar la apropiación de conocimiento significativo y evitar las visiones de segmentación de campos. El segundo se refiere a la potencialidad de la divulgación científica como elemento detonador del interés de los estudiantes a partir de medios masivos como el cine o los cómics. El tercero, vinculado al anterior, se centra en la construcción del conocimiento científico por parte del estudiante, a partir del reflexionar y el hacer, más allá de los procesos de mecanización. Materiales: Cartón, cubos de madera o plástico, reglas, calculadora, cintas métricas, películas o cómics con personajes gigantes como Godzilla o el Hombre hormiga (aquí se añaden algunas imágenes para su utilización). Áreas de conocimiento: Matemáticas, Física, Biología. 1 Doctor en Educación por la Universidad de Guadalajara. Profesor-investigador en la Universidad de Colima. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores nivel 1. Correo electrónico:
[email protected] 13
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Temáticas que se pueden abordar: Área, volumen, leyes de escala, masa, peso, gravedad, velocidad, densidad, velocidad y desplazamiento de los seres vivos. Nivel Educativo: Secundaria, Bachillerato, Licenciatura primeros semestres. Enfoque pedagógico: Esta no es una secuencia que se identifique de forma pura con una corriente pedagógica específica, pero retoma elementos del constructivismo social. Es una propuesta centrada en el aprendizaje donde el profesor toma el rol de facilitador y moderador del aprendizaje, teniendo un rol más activo al inicio de las actividades y de moderación en el desarrollo y cierre de las mismas. Como se podrá apreciar, no hay respuestas pre-construidas, sino preguntas. Las preguntas continuas son el motor que mueve el aprendizaje en este tipo de secuencia. Tampoco se dan respuestas tajantes sino reflexivas. Antecedentes ¿Ciencia ficción en la ciencia? Si por favor Probablemente el uso de materiales didácticos que generen interés y curiosidad en los estudiantes, es una necesidad en la que prácticamente todos los que ejercemos la docencia estamos de acuerdo. También es probable que muchos de nosotros, de manera intuitiva, hemos usado o al menos referenciado en nuestras clases, sobre todo como contra-ejemplos, personajes de ciencia ficción. Siendo niños, padres, estudiantes, profesores, ¿cuántos de nosotros no nos preguntamos simplemente por qué un ser humano puede o no puede volar como Superman? Esta pregunta tan simple y aparentemente tan trivial, seguramente ha surgido en discusiones entre pequeños de preescolar, hasta en simposiums de Física, obviamente con distintos propósitos, dominio de la ciencia y sobre todo, distintos niveles de curiosidad. Si bien la ciencia ficción como tal es más vieja que cualquiera de nosotros (Julio Verne murió en 1905), el potencial de la misma como vía para la divulgación científica se ha acrecentado y sustentado en las últimas dos décadas, dejando de ser simplemente el campo para decir “eso es imposible que sucede
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en la realidad”, para empezar a convertirse en un espacio de argumentación y verdadera construcción de conocimiento científico. Gran parte de esta nueva visión se debe a los grandes divulgadores de ciencia con los que hemos contado, donde inmediatamente sale a relucir el nombre del gran Carl Sagan o el Dr. Stephen Hawking, quien siendo el físico más reconocido de nuestra época actual, se da el “lujo” de ser un defensor de la ciencia ficción, algo que ya incluía de forma explícita en su libro El universo en una cáscara de nuez2, donde se mostraba una “fotografía” de él jugando cartas con Sir Isaac Newton, Albert Einstein y el Teniente Comandante Data3 de Star Trek. Esto ha sido retomado en numerosas ocasiones por el mismo Hawking, quien en la introducción al libro La Física de Star Trek de Lawrence Krauss, se refiere a la relevancia de la ciencia ficción. Hawking nos dice que las obras de ciencia ficción no son únicamente una sana diversión, sino que tienen un objetivo realmente serio: expandir la imaginación. Al más puro estilo de Julio Verne, quien desde el siglo XIX logró imaginar viajes a la Luna o submarinos futuristas, Hawking menciona (citando los argumentos de Star Trek) que aunque aún no nos aventuramos a llegar donde ningún hombre o mujer ha llegado, si podemos imaginar ese horizonte con el poder de nuestra mente. “La ciencia ficción sugiere ideas, y los científicos las incorporan en sus teorías; pero en ocasiones, la ciencia suscita ideas más extrañas que cualquier ficción”4. Aunque la temática de la potencialidad de la ciencia ficción y la ciencia es por demás interesante y nos daría pauta para una discusión mucho más profunda, en este texto me limito a plantear la relevancia de esta relación. Académicos y divulgadores de la ciencia por fortuna la están tomando como punto de partida para sus clases y sus aportes. Esta secuencia didáctica en particular parte de los trabajos de dos de ellos: Eduardo Blanco y James Kakalios. Blanco ha producido y conducido un excelente programa titulado Superhéroes de la Física5 desde su trabajo universitario en Montevideo, mientras que Kakalios, 2 Hawking, Stephen, El universo en una cáscara de nuez, Barcelona, Planeta, 2002. 3 Ambos, Hawking y el actor que interpreta a Data, Brent Spiner, han aparecido en la serie cómica The Big Bang Theory. 4 Krauss, Lawrences, La Física de Star Trek, Pamplona, Editorial Laetoli, 2012, p. 11. 5 Donagaray, Florencia y Blanco, Ernesto, Superhéroes de la Física, Montevideo, Universidad de la República, 2011.
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a partir de su libro La Física de los superhéroes en 2005, abrió la puerta a una línea editorial retomada en los últimos años por autores como Palacios6 y Scaliter7, que aunque se centra más en divulgación que en procesos formales o estructurados de enseñanza, está cobrando cada vez más relevancia y adeptos.
Foto 1. Partida de cartas entre Hawking, Newton, Einstein y el Comandante Data, ilustración tomada de El universo en una cáscara de nuez.
En mis propias clases, sobre todo de Física, he colocado algunos textos de estos autores con excelentes resultados para generar interés en estudiantes de licenciatura. Sin embargo, ¿es suficiente únicamente el interés y motivación de los estudiantes a partir de elementos de ciencia ficción? Considero que es un excelente punto de partida, pero aún insuficiente. Interés y curiosidad como detonación del aprendizaje pero no como el aprendizaje mismo Hace algunos años publiqué un capítulo sobre la enorme importancia de que los y las estudiantes se interesen en los cursos, se genere curiosidad, y por supuesto que puedan incluso divertirse en las sesiones de ciencia, pero también 6 Palacios, Sergio, Las hazañas de los superhéroes y la Física, España, Manon Troppo Robinbook, 2014. 7 Scaliter, Juan, La ciencia de los superhéroes, España, Manon Troppo Robinbook, 2011.
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apuntaba que esto en ocasiones se desvirtúa tanto que bajo la creencia de que si un estudiante la está pasando bien en la clase de ciencias, por ende se da un aprendizaje significativo, lo cual es totalmente falso. Una cosa es divertirse, otra cosa es construir conocimiento y aprender. Esto no implica que esté prohibido divertirse mientras uno aprende, de lo cual por supuesto soy un defensor, pero si implica una confusión peligrosa, pues el elemento lúdico no radica en divertir al estudiante sino en facilitar su aprendizaje. Esto cobra mucha importancia en el enfoque que propongo, pues en efecto, una discusión sobre relatividad a partir de películas de viajes en el tiempo como Volver al futuro o hablar sobre el concepto de evolución a partir de los Hombres X, al menos generará mucha curiosidad en varios estudiantes, pero ojo, el objetivo no puede quedarse en disfrutar los productos (películas o cómics), sino en que las concepciones de relatividad o evolución por ejemplo, sean más complejas y tengan más argumentos científicos al ser discutidas. Lo que es necesario y a lo que apuesto, es crear un enfoque basado en la divulgación científica como la que realizan los autores antes mencionados, pero que incluya elementos pedagógicos para trasladarla a una forma de enseñanza más estructurada, compatible con elementos curriculares de las diversas asignaturas y por supuesto, evaluable. ¿Por qué los cómics y el cine? Como ya lo expresé en el apartado anterior, este no es un espacio para un debate teórico sobre la pertinencia, la potencialidad o las limitaciones de utilizar personajes de ciencia ficción para entender conceptos científicos, en donde los propios autores que ya también cité, tienen sus propias discrepancias. En este sentido, me limito a argumentar que los cómics y el cine, y su conjunción, el cine de cómics, son un instrumento muy favorable en el presente por varios factores: • Ha existido un “boom” sobre la cantidad de producciones cinematográficas que vinculan cómics y cine, siendo un público principalmente de jóvenes los que están familiarizados con estos productos. • Derivado de lo anterior, son productos en los que no es necesario “darlos a conocer” en clases, en términos de inversión de tiempo (queja
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común entre muchos docentes), gran cantidad de estudiantes ya los han visto previamente y eso facilita una rápida conexión y curiosidad con los contenidos científicos que se puedan abordar. • En la mayoría de los casos, estos productos tienen antecedentes históricos importantes (piénsese en las versiones de los años cincuenta de los mismos personajes) que permiten un comparativo en cuanto a los elementos científicos relacionados en las versiones previas8 y en las versiones actuales9. Así entonces, la siguiente secuencia de 3 partes, está dirigida a docentes de nivel secundaria a licenciatura, donde cada uno podrá decidir el nivel de complejidad al que puede llegar con la secuencia, o bien, modificarla de acuerdo a su propio contexto e interés. Para abordar las leyes de escala con conceptos físicos, matemáticos y biológicos, esta propuesta se sustenta principalmente en las ideas de divulgación de Blanco10 y Kakalios11, fuentes que recomiendo consultar para ampliar la perspectiva de la secuencia. Lo que sigue a continuación, son entonces una serie de actividades que tienen como objetivo construir y complejizar conocimiento científico. No son un recetario infalible, son pautas para que usted como docente, pueda retomar, aplicar, modificar, contextualizar y por supuesto, mejorar según su propia experiencia. Primera parte. Imaginando las escalas en el mundo real. Desde muy pequeños, en la escuela primaria nos enseñan los conceptos de perímetro, área y volumen, pero es muy común en estudiantes de niveles más avanzados, vincular las medidas lineales, cuadradas o cúbicas con medidas y usos de la vida cotidiana. Esta actividad, más que aprender algo totalmente nuevo, puede ayudar al estudiante a refrescar su concepto de medida en las tres dimensiones y vincularlo a medidas muy cotidianas como las que se utilizan en los alimentos por ejemplo. 8 Por ejemplo, pensemos en el personaje de Iron Man, que en sus orígenes sus creadores se limitaban a imaginar una armadura voladora, ahora esto es una realidad, así como el uso de la nano-tecnología en el personaje actual, algo impensable en la década de los cincuenta. 9 Godzilla, personaje que retomaré en esta secuencia, tiene múltiples versiones cinematográficas que siempre han incorporado elementos de la ciencia vigente a cada época. 10 Donagaray, Florencia y Blanco, Ernesto, op cit. 11 Kakalios, James, La Física de los superhéroes, Manon Troppo, Barcelona, 2006.
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Actividad 1. ¿Qué ocupa más? ¿Un decímetro cúbico o un litro de leche? Objetivo: Reforzar el concepto de unidades lineales, cuadradas y cúbicas, así como sus equivalencias en objetos reales. Material: calculadoras, una cartulina, un litro de leche (tetra pack) y objetos cotidianos comunes (opcional) Consulta con tus estudiantes si recuerdan cómo medir la longitud de una casa, su área y su volumen, probablemente después de un breve periodo de duda dependiendo del nivel escolar, empiecen a recordar los conceptos de perímetro, área y volumen. Si tienen dificultades puedes proponer algunos ejemplos concretos. Pregunta qué más se puede medir de esa forma. Si la mayoría empieza a ubicar únicamente medidas en metros, metros cuadrados o metros cúbicos, cuestiónales por objetos por dimensiones mucho más grandes (un planeta completo por ejemplo) o por dimensiones mucho más pequeñas (su teléfono celular por ejemplo). Es probable que aquí empiecen a surgir algunas dudas y confusiones por la menor familiaridad con los términos como centímetros cúbicos o kilómetros cuadrados por ejemplo. Se puede practicar y recordar, con ayuda de la calculadora, cómo realizar conversiones. Un error común en la concepción de medidas y escalas cuando cambiamos de unidades lineales a cuadradas (superficies) o de cuadradas a cúbicas (volúmenes) es perder la perspectiva mental de lo que tal vez sí dominamos mecánicamente. En otras palabras, tal vez la mayoría de los estudiantes pueda convertir 100 metros cúbicos (100 m3) a kilómetros cúbicos (km3) o milímetros cúbicos (mm3), pero probablemente se les dificulte poder conceptualizarlo mentalmente en objetos concretos. Algunas preguntas detonadoras para esta parte pueden ser: ¿Cuántos metros cuadrados tendrá el piso del salón? ¿Cuántos centímetros cuadrados tendrá el mismo piso del salón? ¿Cuántos centímetros cúbicos de agua tiene una botella de litro? ¿Cuántos decímetros cúbicos hay en un litro de leche? ¿Cuántos litros de leche se requieren para llenar un metro cúbico? Invita a tus estudiantes a nombrar más objetos comunes, priorizando la comparación entre objetos además de entre medidas, por ejemplo, cuántos envases de leche de 1 litro caben en una camioneta de 3 toneladas o cuántos tapetes de “bienvenido” de 50 cm x 40 cm se requieren para cubrir el piso del salón,
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los productos de uso muy cotidiano y escolares pueden ayudar bastante para poder “jugar” con las equivalencias, trata de usar ejemplos tanto de medidas lineales, cuadradas y cúbicas para que se refuerza la parte del algoritmo. Propón un ejemplo visualmente concreto. Lleva un litro de leche real, y pide que construyan un cubo de 10 centímetros de arista (se adjunta el plano). Comparen los volúmenes que ocupan. ¿Cuál es mayor? ¿Por qué podemos saber esto aun cuando son figuras visualmente distintas? Al final de esta actividad, puedes preguntar qué implica en el mundo real el “recorrer” el punto decimal un lugar cuando se habla de medidas lineales, “recorrerlo” dos lugares cuando se habla de medidas cuadradas y el “recorrerlo” tres lugares cuando hablamos de medidas cúbicas. Esto se aborda en la siguiente parte. Actividad 2. Crecer sin deformar. Manteniendo la escala. Objetivo: Comprender de manera visual la diferencia al cambiar unidades lineales a cuadradas y a cúbicas, además de las implicaciones para mantener la escala. Materiales: Cubos de madera o plástico de un tamaño suficiente para ser manipulados y visualizados, cuadrados de papel o cartón que tengan la misma medida que las caras de los cubos, palitos de madera iguales a la medida de las aristas de los cubos que se hayan conseguido. Muestra algunas varitas12 de madera o del material que sea a los estudiantes y pregunta qué sucede cuando se coloca una sobre otra en la misma posición. La mayoría ubicará que la altura aumenta simplemente13 aunque tal vez algunos si puedan mencionar que la forma no cambia, simplemente tenemos una varita más larga (figura 1). Estas varitas representan las medidas en la primera dimensión, las longitudinales, al aumentar la longitud, tenemos objetos o distancias más largos pero que no varían su forma, siguen viéndose igual. Su proporción aumenta 12 Se sugiere que tengan la misma longitud que las aristas de los cubos que se hayan conseguido. 13 Por supuesto que las varitas tienen 3 dimensiones como cualquier objeto que podamos manipular y que al duplicar la cantidad hay otras variaciones no tan notorias a simple vista, pero visualmente ayudan a diferenciar unidades lineales de unidades cuadradas en un primer momento.
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linealmente, es decir, imaginemos que nuestra varita mide 5 cm. ¿Qué sucede al juntar otra igual? Ahora tenemos una varita de 10 cm. Es decir nuestra medida original, 5 cm, 2 veces, o 5 cm x 2 = 10 cm. Muy sencillo. Al aumentar varitas (nuestra unidad lineal) aumentamos la longitud del objeto y parece ser que sigue teniendo la misma forma.
Figura 1. Aumentando la longitud
Ahora trasladémonos al concepto de cubrir ya no distancias lineales sino superficies, es decir, áreas. Imaginemos que ya no tenemos varitas sino cuadros de cartón cuyos lados miden lo mismo que nuestras varitas originales. Empezamos de nuevo con lo básico, un solo cuadro y repitamos el procedimiento, es decir, ahora coloquemos un cuadro debajo del original. Puedes lanzar preguntas para reflexionar sobre las diferencias que encuentren ¿Sucede lo mismo? ¿Tenemos el doble del original? ¿Por qué? Después de dejar que discutan un poco, si aún hay dudas comenta que ahora que estamos trabajando con “unidades cuadradas” (los cuadros de cartón), parece que el duplicar la cantidad de unidades cuadradas cumple con duplicar el área (se pude calcular) pero al momento de comparar las figuras, la segunda figura ya no respeta la misma escala o forma de la original, ahora parece que tenemos un rectángulo y no un cuadrado. ¿Qué se requiere para mantener la proporción?
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Figura 2. Aumentando el área
Para mantener la proporción, es decir, mantener un cuadrado, necesitamos cuatro de los cuadrados originales como se muestra en la figura 2. Esto es el doble del original (2) al cuadrado, o 22. En otras palabras, cuando trabajamos con unidades cuadradas para cubrir áreas o superficies y queremos mantener la proporción original, nuestras medidas aumentan exponencialmente, en este caso con exponente 2 o al cuadrado. Si nuestros cuadrados, como ya lo mencionamos, tuvieran lados de la misma longitud de nuestras varitas originales, es decir 5 cm. ¿En qué proporción aumentó el área al mantener la escala? Nuestro primer cuadro tendría un área de 25 cm2 (5 cm x 5 cm) y nuestro cuadro del doble de medida en cada lado, compuesto por 4 cuadros originales, tendría un área de 100 cm2, es decir 4 veces más que el cuadro original (100/25=4). Para mantener nuestra escala en unidades cuadráticas, nuestra área será 4 veces mayor que la figura original, o bien, 22 veces mayor. En resumen, lo que acabamos de analizar nos demuestra que cualquier superficie o área que aumente al doble sus medidas y conserve la escala del área original, será 4 veces mayor. ¿Qué sucede cuando trasladamos este análisis al volumen? Hagamos el mismo ejercicio, ahora con cubos.
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Invita a los estudiantes a manipular los cubos, pueden haberlos construido con cartón con el diagrama que se muestra como anexo o manipular cualquier cubo que se haya conseguido. A partir del cubo original, que se trate de aumentar ahora el volumen pero sin perder la escala o la forma de cubo, como se muestra en la figura 3. ¿Cuántos cubos se requieren para mantener la proporción? ¿Qué diferencia hay con el primer ejercicio y con el segundo? ¿Pueden calcular (y demostrar) cuánto aumenta un volumen aumentado respecto al original si se desea mantener la escala? A propósito he dejado la misma cuadrícula en todas las figuras hasta ahora. Para los observadores se habrán dado cuenta que la figura 1, la de varitas, parece un tanto desperdiciado el espacio, sin embargo en la figura 3 nos fue insuficiente. Esto ayuda visualmente a entender los enormes cambios que implica cuando hablamos de crecer medidas en una, dos y tres dimensiones. Bajo esta lógica en la figura 4 se puede ver (aunque algo apretado también) la diferencia de nuestro primer cubo y el tamaño que debe tener cuando duplicamos sus medidas pero se desea mantener su escala. ¿Cuántos cubos (unidades cúbicas) se requieren para esto?
Figura 3. Aumentando el volumen ¡Ya no cupo! Necesitamos otra cuadrícula
Bajo la misma lógica de la reflexión anterior, si nuestros cubos tienen la misma longitud en sus aristas que nuestras varitas originales (5 cm). ¿En qué proporción aumentó el volumen al mantener la escala? Nuestro primer cubo tendría un volumen de 125 cm3 (5 cm x 5 cm x 5 cm) y nuestro cubo que tiene
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el doble de medida en cada arista, compuesto por 8 de los cubos originales, tendría un volumen de 1000 cm3, es decir, 8 veces más que el cubo original (1000/125=8). Para mantener nuestra escala en unidades cúbicas, nuestro volumen serán 8 veces mayor que la figura original, o bien, 23 veces mayor.
Figura 4. Al aumentar las medidas al doble del cubo original. ¿Cuántos cubos se requieren para mantener la escala?
Para cerrar esta parte, puedes pedir a los estudiantes que comparen las medidas de todos los objetos “crecidos”, las dos varitas juntas, los cuatro cuadrados juntos y los ocho cubos juntos. ¿Recuerdan qué medidas tenían? Miden 10 cm, 100 cm2 y 1000 cm3 respectivamente. ¿Qué relación hay en esto y el “recorrer” el punto uno, dos o tres lugares cuando calculamos longitudes, áreas o volúmenes? Ahora intentemos imaginar objetos que no son regulares. ¿Cómo afecta esta cuestión de escalas a los seres vivos por ejemplo? Esto se aborda en la siguiente parte. Segunda parte. ¿Por qué los seres vivos tienen el tamaño que tienen y no otro? Blanco14 nos comenta que para muchos físicos, el tamaño de los seres gigantes, tanto reales como ficticios, es un punto de partida excelente para poder hablar 14 Donagaray, Florencia y Blanco, Ernesto Op cit.
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de las implicaciones biológicas en estos seres. Pregunta a tus estudiantes: ¿De qué depende el peso de un animal, además claro, de la gravedad la cual nos afecta a todos?15 Después de algunos minutos de discusión, puedes concretar que el peso de un ser vivo al menos en nuestro planeta, depende de la gravedad con la que es atraído al centro de la Tierra (9.81 m/s2) multiplicado por su masa (kg) expresado por la conocida ecuación de peso en Física, es decir W=mg16 . Por otro lado, su fuerza y resistencia en sus extremidades (patas o piernas) dependen del área de sección de sus músculos. ¿Qué tiene que ver todo esto con las escalas que se trabajaron en la primera parte? Bastante. Actividad 1. Comparando extremidades. Objetivo: Relacionar las leyes de escala aplicada a seres vivos. Materiales: Fotografías diversas de animales (pequeños y grandes) y sus extremidades. Toma el ejemplo de dos animales, curiosamente vinculados en infinidad de dibujos animados: el elefante y el ratón. Si puedes, además de mostrar ilustraciones de ambos como las que aquí se incluyen, muestra también una imagen del fémur de cada uno. Lanza la pregunta ¿Por qué el elefante y el ratón tendrán este tipo17 de extremidades? ¿Cómo se relaciona con las leyes de escala que ya se comentaron? Una tarea adicional para realizarse fuera del aula, puede ser buscar el fémur o extremidades de otros mamíferos en tamaño intermedio entre el ratón y el elefante18. Se sugiere que por el momento no se discuta el tamaño al menos a profundidad, sino simplemente la forma y el grosor de la extremidad. 15 Aunque posiblemente las confusiones entre peso, masa y volumen aparezcan, pues es algo común aún en estudiantes de licenciatura, esto probablemente corresponda a otro momento para su profundización, sin embargo puedes aclarar las diferencias aquí. El peso (medido en newtons) depende de la gravedad (medida en m/s2) y la masa (medida en kg), nuestra masa siempre es la misma estemos en la Tierra o en otro planeta, sin embargo nuestro peso cambiará de acuerdo a las distintas gravedades, por eso pesaríamos menos en la Luna. 16 Se suele expresar W (weight) por el término en inglés de peso. 17 En el sentido estricto, aunque si hay una relación progresiva entre el fémur de crecimiento respecto al tamaño de mamíferos pequeños y grandes, no tiene siempre un incremento en el grosor estrictamente lineal pues entran en juego otras características biológicas, pero para ilustrar la cuestión escalar es bastante útil. 18 Lewin, Walter, Por amor a la Física, Debate, México, 2013, pp.45-46.
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Figura 5. Comparación de fémur en 4 mamíferos basada en la ilustración de Walter Lewin en su libro “Por amor a la Física”. No está a escala pues sería imposible (al menos de forma útil) representar a escala el fémur de un ratón y un caballo simultáneamente en una página pero ¿qué podemos observar entre el grosor y la longitud de cada fémur? ¿Hay una relación entre ambos?
Figura 6. Imaginemos por un momento que estos dos mamíferos pudieran intercambiar la forma de sus patas. ¿Cuáles serían los problemas para desplazarse? ¿Qué relación se observa entre la longitud, grosor y altura en cada caso?
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En sus respectivos trabajos, Blanco y Lewin nos mencionan que Galileo ya había contemplado los problemas de proporcionalidad y escala con el reino animal al argumentar que un elefante no podría tener la misma fisonomía que un ratón. La escala, al estar relacionada directamente con el volumen como se demostró en el ejercicio con cubos, está relacionada entonces también con el peso y según los físicos el límite es aproximadamente de 100 mil kilos, es decir 100 toneladas para los seres vivos con esqueleto interno, lo que cubre a todos los mamíferos, incluidos nosotros por supuesto. El mamífero más grande en la actualidad y de hecho en tiempos pasados también, es la ballena azul, sin embargo por su hábitat acuático puede romper esos límites y si existen ballenas que rebasen las 100 toneladas para no colapsar sobre su propio peso, claro, “ayudadas” por la fuerza de flotación o empuje19. Pero si nos limitamos a los mamíferos terrestres, el mayor es el elefante, que llega a pesar 5 toneladas, bastante en comparación a la mayoría de otros mamíferos terrestres, pero lejos del límite teórico de 100 toneladas. En términos de biomecánica, la viabilidad para que existan animales tan grandes como el elefante, se debe a que tienen patas muy gruesas y músculos muy grandes (se puede comparar de nuevo el tipo de extremidades entre elefante y ratón), pero son también estudios biomecánicos los que plantean que estos animales gigantes, en específico el elefante, no puede galopar o brincar, siempre se desplaza con al menos una pata pegada al suelo. Bajo estos argumentos, pensemos entonces en esos seres monstruosos o gigantescos que vemos en películas y en algunas historietas. Al mencionar el término de monstruo gigante en el cine, inmediatamente nos pueden venir a la mente dos de los más famosos: King Kong y Godzilla. Es en este último en el que me centro ahora para nuestro análisis. Pero antes un detalle ¿cuál de todos los Godzilla vamos a tomar en cuenta? Actividad 2. ¿Cuál Godzilla es “el bueno”? Objetivo: ver la plausibilidad de que una criatura como Godzilla pueda existir comparando tres de sus versiones y las reflexiones previas sobre escala. Materiales: Diversas ilustraciones del personaje en sus diferentes versiones, se añaden algunas como anexo al final de la secuencia. 19 Consultar el tema del principio de Arquímedes para ampliar el argumento.
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Los cambios en la fisonomía del personaje Godzilla son casi tan variados como la cantidad de películas, sin embargo si podemos encontrar básicamente tres tendencias. La primera por supuesto sería la original, creada en Japón en 1954. Lejos de los personajes mecánicos y digitales que siguieren, lo interpretaba un actor disfrazado en un traje de goma, parte de la razón por los movimientos torpes que mostraba. Este modelo, con algunas variaciones, se utilizó durante décadas, utilizado también como base para el modelo de dibujos animados que lanzó Hanah-Barbera a finales de la década de los setenta.
Figura 7. Godzilla original de 1954 en una toma de cine y su réplica en juguete
La segunda tendencia trascendente, tanto por taquilla como por los cambios en el personaje, se realiza con la película Godzilla del año 199820, una adaptación que por cierto los japonenes rechazan en gran proporción porque argumentan que no se asemeja al personaje. Aquí el aspecto del monstruo es más parecido a una iguana gigante, capaz de alcanzar grandes velocidades, aunque su tamaño cambia constantemente en la misma película. La tercera adaptación que se toma en cuenta es la realizada en la versión de 201421, un monstruo que se asemeja al original, aunque con dimensiones bastante mayores, y aunque toma de punto de partida nuevamente a Japón, la acción termina centrándose en los Estados Unidos. En las figuras 8 se muestran estas dos últimas versiones22. 20 Godzilla, Emmerich, R., Sony, 1998. 21 Godzilla, Edwards, G., Legendary, 2014. 22 Aunque las versiones del monstruo son localizables de forma muy sencilla en cualquier navegador, se incluyen como anexo en esta secuencia en una imagen más grande por si desean utilizarse en la sesión.
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Figura 8. Arriba, la versión de 1998, abajo la versión de 2014
Puedes preguntar a los estudiantes, antes de entrar en detalles de los tamaños asignados a cada una de las versiones, cuál de los tres consideran que sería más viable de existir en la realidad. Puedes retomar el ejemplo del elefante. ¿Cuál Godzilla, según la biomecánica tiene las extremidades más realistas? ¿Cuál tiene las menos realistas? ¿Por qué? ¿Cómo sería el movimiento y la velocidad de cada uno? ¿Es más real el de 1954 que caminaba lento porque el actor no podía moverse bien o el de 1998 que era inalcanzable para los helicópteros y tanques militares, además de que trepaba edificios? Después de dejar unos momentos para el debate, se puede ir cerrando esta parte mencionando que si consideramos que los tres son más o menos iguales en altura, en efecto el más realista, posiblemente de forma no intencional, era el de 1954, puesto que caminaba erguido, arrastraba la cola y tenía movimientos torpes. La versión ágil, capaz de brincar y correr a gran velocidad, además de caminar inclinado, es la más ficticia por así decirlo. Recordemos el tipo de
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movimientos que tienen los enormes mamíferos reales A muchos nos parecerá conocida la frase “parece elefante en cristalería” para referirse a alguien con movimientos torpes. Bien, ahora sí, al considerar la masa y por ende, el peso. ¿Qué elementos tenemos para encontrar la masa y el peso? Recordando que la densidad se puede calcular como la masa de un objeto entre el volumen que ocupa, se puede partir de aquí para estimar la masa de los vertebrados como cercana a la densidad del agua1 (de hecho por eso la mayoría de los vertebrados puede flotar), según Blanco2, este es un método utilizado por paleontólogos para, a partir de huesos encontrados de dinosaurios, estimar su volumen, masa y el peso que tenían, apoyándose también en modelos a escala y el principio de Arquímedes. Por supuesto que es imposible contar con un esqueleto de Godzilla, además de que ni siquiera los autores se ponen de acuerdo en la altura que pudiera tener, pasando de alturas de 40 a 50 metros para la primer versión, hasta alturas de más de 90 o 100 metros en la última. Recordando el límite teórico de 100 toneladas que marcan los físicos, hasta el Godzilla más “pequeño” escapa de los límites teóricos, rondando las 900 toenladas (¡9 veces más que el límite!) mientras que la versión de 90 o 100 metros de altura estimaría una masa de entre 20 mil y 25 mil toneladas3. Sacando un promedio, es decir, unos 75 metros de altura, la masa de Godzilla sería aproximadamente de 7 mil toneladas. ¿Cuánto es eso? Comparándolo con uno animal real que si existió, el T-Rex, es aproximadamente, mil veces mayor, ya que el T-Rex tenía una masa de aproximadamente 7 toneladas (claro, significativamente más que el elefante actual). Se puede retomar aquí la discusión de que como se demuestra tanto en animales reales como ficticios, el problema de la escala es el mismo. Ningún Godzilla, ni siquiera el más pequeño mencionado aquí, puede existir en realidad, en lenguaje coloquial podríamos decir que teóricamente los tres son imposibles, pero hay algunos aún más imposibles, como el de la versión “iguana” de 1998, en gran parte por el diseño delgado de sus patas. Así entonces, a los animales grandes por razones de escala, se les dificulta soportar su propio peso, por eso los animales pequeños tienen una tendencia 1 La densidad del agua es de 2 Op cit. 3 Es el físico Per Christansen, originario de Dinamarca y colaborador del Museo Zoológico de Copenhague quien utiliza el método de los paleontólogos para realizar este cálculo. Con un modelo a escala, basta conocer el volumen que desplaza, la densidad de sus tejidos biológicos y la altura.
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a tener sus patas más delgadas, recordemos la comparación entre la pata del ratón y el elefante. Tercera parte. Ant-man: superhéroe gigante y plausible (al menos en el tamaño). A partir de corroborar que Godzilla rebasa por mucho las limitaciones teóricas de las escalas para ser un animal real, la propuesta en esta tercera parte es tomar de nuevo un personaje ficticio, esta vez no tan gigantesco ni monstruoso, de hecho, es un superhéroe perteneciente al famoso grupo de los vengadores: el Hombre Hormiga, o Ant-man4. ¿Es físicamente posible, al menos en teoría, un ser humano que alcance los 9 metros de altura? Y si así fuera, ¿qué implicaciones tendría? Actividad 1. Superhéroes gigantes y la relación cuadrado-cubo. Objetivo: Analizar cómo puede afectar la relación de área y volumen a un ser vivo con nuestras características, pero en una versión gigante de nosotros mismos. Materiales: Imágenes del Hombre Hormiga, calculadora, regla, cinta métrica de costura (opcional). Según se puede consultar en varios cómics y fuentes oficiales de la empresa Marvel, el tamaño de Ant-man cuando alcanza su altura más alta, llega a ser de 9 metros, algo mucho menos impactante que un Godzilla de 100 metros pero por supuesto igual de ajeno a nuestra realidad cotidiana. A diferencia de las complicaciones con los cálculos que podría implicar calcular la masa, el volumen o el peso de un personaje tan extraño como Godzilla, si queremos analizar a este superhéroe, tenemos una gran ventaja: es un ser humano como nosotros. ¿Por qué esto facilita las cosas? Pues que podemos estimar sus dimensiones a partir de un hombre común promedio, alguien digamos de 1.80 metros de altura. Igual que sugiere Blanco5, a partir de una simple estimación podemos empezar a jugar con las posibilidades. Si la altura de un hombre común puede 4 Es un personaje perteneciente a Marvel Comics que ha tenido muchos cambios de nombre, pero este es el más común, próximo a tener su propia película en el año 2015. 5 Op. cit.
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ser 1.80 metros y Ant-man llega a medir 9 metros, querría decir que incrementa aproximadamente 5 veces su tamaño, ¿cierto? Pide que corroboren esta información y pregunta ¿cómo afectaría este crecimiento de Ant-man sus otras dimensiones, es decir área y volumen? Se sugiere que después de hacer el cálculo, donde se pondrá en evidencia que si la altura se incremente 5 veces, el área se incrementará 25 veces el área original y el volumen 125 veces el original. ¿Cuánto incrementa la masa6 de Ant-Man entonces? Se puede completar este ejercicio con la altura específica de cada estudiante, es decir, en qué proporción son más altos o bajos que Antman (9 metros), y después comparar con sus medidas reales, sobre todo el peso o la masa (en newtons o kg), medida que muy probablemente conocen. El resultado de la masa de Ant-man es entonces 125 veces su masa original. Si suponemos que su masa es en tamaño normal la de un hombre promedio, digamos unos 80 kg., querría decir que su masa cuando crece a 9 metros es de 10,000 kg (80 kg x 125), es decir, 10 toneladas (98 000 newtons si hablamos de peso). Esto está muy por debajo del límite teórico de 100 toneladas que ya habíamos comentado. En otras palabras, equivale a la masa de 2 elefantes y hay registros de mamíferos prehistóricos que llegaron a tener masa de 20 toneladas. Es decir, el tamaño de Ant-man, es teóricamente posible. Actividad 2. Fuerza, velocidad y escala en los seres vivos. Objetivo: Comparar la velocidad y fuerza que puede ejercer un ser humano normal y comparar cómo se daría este fenómeno con el crecimiento de la escala. Materiales: Cintas de medir de costura o cintas métricas, calculadora. Ahora bien, según la biomecánica, la fuerza de un ser depende del área de sección de sus músculos, la cual, para Ant-man crecido, deberían ser 25 veces (5x5) mayor que para un hombre normal. Un levantador de pesas, puede llegar a levan6 Seguimos considerando para fines ilustrativos que la densidad de los vertebrados es igual a la del agua, es decir . Entonces si la densidad está definida como la masa entre el volumen, el volumen aproximado del hombre común de 1.80 considerando esta densidad es de .08m3. Podemos igualar las ecuaciones: densidad= = = Entonces Ant-man tendría una masa de 10, 000 kg y un volumen de 10 m3
=
.
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tar sin mucho problema 180 kg (o 1,764 newtons), por lo que se supondría que Ant-man podría levantar aproximadamente 25 veces más. ¿Cuánto es esto?
Figura 9. Ant-man en su medida original y su medida crecida. Su masa corporal aumenta en factor de 125
En efecto, es mucho menor que las 10 toneladas de su propia masa corporal. Es decir, es capaz de levantar un elefante mediano o un camión de 4 toneladas de masa, pero su fuerza relativa es mucho menor que la de cualquier levantador de pesas promedio, quien si levanta más del doble de su propia masa. Otro factor que se comentó en las actividades vinculadas a Godzilla, era su posible velocidad. ¿Cómo afectaría esto a Ant-man? Sabemos que la velocidad depende de la longitud de las extremidades, es por esta razón que aunque veamos que un elefante se mueve torpemente, también hemos escuchado en diversos medios lo peligroso y letal que puede ser una estampida de elefantes, puesto que en realidad avanzan muy rápido, porque a fin de cuentas, sus patas, aunque muy gruesas, son largas, lo que se puede corroborar volviendo a ver su fotografía.
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Esto por supuesto aplica a nosotros los humano, pero ojo, hablamos de velocidad de caminata y no de trote, es decir, desplazamientos cuando tenemos apoyado al menos un pie en el suelo, algo que sucede en la prueba olímpica de marcha. Esta relación está dada por la ecuación V2=Rg, donde V= la máxima velocidad de caminata que se puede alcanzar (m/s), R corresponde a la longitud de la pierna o extremidad (en m) y g a la gravedad (9.8 m/s2). Para obtener la velocidad simplemente se despeja V, quedando la ecuación V= . Invita a los estudiantes a calcular su propia velocidad máxima de desplazamiento, esto puede ser más divertido si se compara con datos empíricos, digamos recorriendo el patio de la escuela o la cancha, si es que se sabe la longitud de la trayectoria, comparando la cantidad de metros que puedan avanzar en un determinado tiempo, recordando siempre mantener al menos una pierna en el piso, sin correr. ¿Coincide con el valor teórico? ¿Cuánto varía? Ahora volvamos con Ant-man. Sabemos que por sus dimensiones y su masa, sería imposible que pudiera trotar o correr, sin embargo ¿Cuál sería su velocidad máxima de desplazamiento? Supongamos de nuevo una medida estándar, es decir, una pierna de aproximadamente .85 metros de longitud para un hombre promedio. Ant-man, tendría entonces una longitud de pierna 5 veces mayor, es decir, de 4.24 metros. Se puede dar este dato a los estudiantes para que calculen la velocidad o ser ellos mismos los que lo estimen. La velocidad, aunque parece ser mayor que la de cualquier humano, es apenas un poco más del doble que la de hombre común, lo cual no parece tan impresionante para alguien de 9 metros. ¿A qué se debe esto?7 Da un momento para la discusión. Al parecer, aunque teóricamente el tamaño de Ant-man es posible, la fuerza y la velocidad que puede ejercer como superhéroe no son muy impresionantes. Actividad 3. Superhéroes microscópicos (opcional). Así como la ciencia ficción nos muestra seres gigantescos, en otras ocasiones nos muestra lo contrario, seres que se encogen o microscópicos que pueden medir algunos centímetros, milímetros o nanómetros, caso del personaje Atom de DC o el mismo Ant-man. 7 Como la relación de velocidad está dada por la ecuación V= , esto quiere decir que la velocidad de Ant-man, que tiene 5 veces más larga las piernas, está dada por el valor o 2.2 , es decir, 2.2 veces más que la velocidad del hombre promedio.
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Propón a tus estudiantes un análisis similar al realizado pero a la inversa. ¿Qué implicaciones de fuerza, velocidad, masa, peso, volumen, entre otros, tendría un ser con estas características? Se puede utilizar también como detonador a otros temas, como el de conservación de materia. ¿Es posible aumentar o disminuir objetos o seres sin que cambie su densidad? Cuarta parte. Ir más allá: proyecto de retroalimentación Dependiendo del interés y nivel de los estudiantes, se puede proponer que investiguen por su cuenta la viabilidad de otros personajes, ya sean reales, de ciencia ficción, de la literatura clásica o moderna donde se pueden integrar elementos de otras asignaturas, incluyendo las Ciencias Sociales o las Humanidades como la historia, la literatura, la comunicación etc. Como anexo se incluye parte de un proyecto de dos estudiantes de primer semestre de licenciatura en Biología que toman como punto de partida personajes que en lo personal desconocía, pero que vinculan a sus intereses personales y formativos. En este tipo de proyectos también se pueden incluir elementos de ciencia que se pasaron por alto en las demás actividades, por ejemplo considerar densidades específicas de los objetos y seres vivos, implicaciones de encoger o agrandar algo en cuanto a conservar su masa y su impacto en la densidad, etc. En otras palabras, complejizar libremente las reflexiones de todas las actividades previas, que de alguna forma, ilustran principios básicos a partir de la escala.
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Anexo 1. Imágenes para fotocopiar y analizar en clase
Godzilla 1954
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Godzilla 1998
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Godzilla 2014
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Plantilla para cubo
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Anexo 2. Extracto de proyecto estudiantil integral El siguiente es un extracto que retoma partes principales de un proyecto realizado por dos estudiantes de primer semestre de Licenciatura en Biología a quien agradezco el aporte: Félix Rafael Fuentes Hernández y Erick Alexander Vera Gómez. En la medida de lo posible, se intentó respetar el estilo, redacción y presentación del mismo. Como se puede observar, incluyen elementos físicos, matemáticos y biológicos de la secuencia, añadiendo además elementos de otras áreas de conocimiento como historia, literatura y por supuesto, sus gustos particulares por el anime, lo que lo volvió, según sus palabras, más atractivo. LEYES FÍSICAS DEL ANIME SHINGEKI NO KYONJIN (DINÁMICA Y MOVIMIENTO)
El ataque de los Titanes: el anime Este anime se centra principalmente, en un mundo donde la población humana tiene que vivir dentro de ciudades rodeadas de enormes muros para protegerse de la aparición de seres gigantescos que devoran a las personas, estos seres son denominados Titanes. Es un mundo ficticio y alternativo, que toma rasgos de la edad media, en donde la humanidad fue casi exterminada debido a la aparición de seres huma-
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noides, conocidos como “TITANES”, criaturas de enorme tamaño, con forma humana que carecen de inteligencia. Los humanos, después de capturar a dos Titanes, no encuentran en ellos inteligencia demostrable, después de hacerles una serie de pruebas. Permanecen inactivos si no tienen la suficiente luz solar y no necesitan comer para sobrevivir, no tienen órganos reproductores visibles, por lo que su reproducción es desconocida. Tampoco parecen tener otro objetivo más que el de matar y comer a los humanos, una conducta parecida a instinto, pues no parecen estar interesados en atacar a los animales. Tienen la piel dura y la capacidad de regenerarse, además, sólo pueden ser asesinados por causa de una profunda incisión en la parte posterior del cuello, en donde se halla la zona superior de la medula espinal (conexión del sistema nervioso espinal con el cerebro). Literatura base A través de la literatura, siempre ha sido posible localizar “titanes”, la mayoría de las veces se presentan como criaturas gigantes de tamaño y fuerza excepcionales, mencionados por diferentes razas y culturas. Suelen ser violentos y se dice con frecuencia que comen humanos, especialmente niños, tal y como es el caso de Saturno que devora a uno de sus hijos
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Titanes en la mitología Una de las representaciones más conocida está en la mitología griega los ciclopes. Son gigantes de un ojo, conocidos como los forjadores de los rayos de Zeus y de las armas de los dioses. En la mitología mesopotámica se ubica el gigante Humbaba, el vomitador de fuego, un gigante guardián del bosque de cedro de las moradas de los dioses, cuyo rostro estaba envuelto de intestinos y tenía garras parecidas a las de un león. En el norte de Europa se contemplan seres conocidos como trolls, quienes viven en cuevas y madrigueras, les gusta acechar a la gente durante la noche, pero al mínimo contacto con la luz solar, eran convertidos en piedra, algo retomado por ejemplo en las obras de J R. R. Tolkien. La Biblia hebrea menciona una raza de gigantes llamada “Nephilim”. En el Génesis se afirma que había gigantes en la tierra, y también después que se llegaron los hijos de Dios a las hijas de los hombres, y les engendraron hijos. Uno de los gigantes bíblicos más conocidos fue Goliat, con quien luchó David. En los mitos hebreos se cuenta la historia de Goliat, el último descendiente de los nephilim, una raza híbrida de los hijos de Dios y las hijas de los hombres, según el Antiguo Testamento.
Acromegalia o gigantismo Con lo mencionado, muchos creemos que los gigantes no existen y que solamente son parte de la mitología y algunas creencias de ciertos lugares, pero nos hemos dado cuenta de que en estos tiempos hemos conocidos a algunos, los
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hemos visto en televisión y tal vez en alguna que otra película. Esta condición es conocida como “acromegalia” o “gigantismo”. Gente excepcionalmente grande y popular como el luchador profesional de India, Dalip Singh o mayor conocido “The Great Khali”, que mide 2.16mts, son conocidos por empresas de entretenimiento de deporte conocida como la WWE, donde participaba, o por su papel en algunas películas. Aun así hay personas mucho más altas, como el caso de Robert Wadlow, el ser humano más alto registrado en la historia y confirmada por el Guinnes World Records, Su altura era de aproximadamente 2.72 m y pesaba alrededor de 199 kg. Falleció a los 22 años en 1940. Zeng Jin Lian, es la mujer más alta que ha existido, también confirmada por el Guinnes World Records, con una altura promedio de 2.48 m, pero como sufría una curvatura en la columna, no podría mostrar su estatura real. Buscando en diversas fuentes, encontramos que no es lo mismo el gigantismo y la acromegalia, ya el gigantismo trata más de un crecimiento anormal debido al exceso de la hormona de crecimiento durante la niñez, una de las causas más comunes se debe a un tumor no canceroso cerca de la hipófisis, aunque es muy poco frecuente. El mayor síntoma es que la persona en su niñez crece tanto en estatura, al igual que en músculos y órganos, esto hace que la persona sea extremadamente grande para su edad. La acromegalia es una afección en la cual hay demasiada hormona del crecimiento y los tejidos corporales se agrandan con el tiempo. Se presenta aproximadamente 6 de cada 100,000 adultos y es ocasionada por la producción anormal de hormona del crecimiento, generalmente la causa, un tumor no canceroso (benigno). Aunque las condiciones son muy parecidas, se distinguen principalmente por las proporciones de las extremidades, en el caso del gigantismo el crecimiento podríamos decir que la persona es alta, no hay nada en particular solamente la altura, pero en el caso de la acromegalia las proporciones del cuerpo son un poco más exageradas, se distingue más en la proporción del rostro (mandíbula y los pómulos).
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Descripciones de los Titanes en el anime Tipo
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Descripción
La clase más pequeña, esta clase en promedio tieTitanes de 3 - 5 metros ne proporciones alteradas, y casi no se les ha visto alejarse de los demás Titanes. Titanes de 8 metros
Esta clase en promedio tiene la cabeza grande, y algunos poseen una postura similar a la de un simio.
Titán Simio
Miden más de 17 metros de altura, está cubierto de pelo en casi todo su cuerpo y con brazos más largos que sus piernas (asemejándose a un homínido). Poseen inteligencia notable y son capaces de hablar.
Leyes de escala. Área = Factor al cuadrado Volumen = Factor al cubo
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Características que tendrían los Titanes de este anime de acuerdo a las leyes de escala.
Altura en m Relación de alturas
Masa en kg
Peso en newtons
Humano
1,80
1,00
80,00
784,80
Titán 3 m
3,00
1,67
370,37
3.633,33
Titán 5 m
5,00
2,78
7.938,32
77.874,94
Titán 8 m
8,00
4,44
696.917,19
6.836.757,67
Titán 15 m
15,00
8,33
403.308.561,21
3.956.456.985,42
Se toma 1.80 metros como altura de base del humano, las proporciones de cada titán al crecer su altura respecto al humano, aplicará el factor cubo, por lo que el titán de 15 metros es teóricamente imposible, superando las 400 toneladas.
