SOBRE LA CARDINALIDAD RELATIVA DE CONJUNTOS EN MODELOS DE REFERENCIA NO ESTANDAR IVÁN ABRIL PALMA
Abstract. En este artículo se demuestra la posibilidad de construcción de
conjuntos nitos con propiedades tradicionalmente atribuidas a conjuntos innitos como la de establecer una relación biyectiva con un subconjunto propio de sí mismo. Los resultados de este trabajo tienen ciertas equivalencias con los teoremas de Löwenheim-Skolem y con la paradoja de Banach-Tarski (en efecto, demuestra constructivamente que es posible dividir una esfera en dos del mismo tamaño que la primera) aunque cabe señalar que para su demostración no es requerido ni la armacción o la negación del axioma de elección, ni de la hipótesis del continúo, y tampoco se utilizará el principio de inducción o inducción completa, ni la suposición de conjuntos arbitrariamente grandes, así como ninguna herramienta de recursividad. La demostración también es independiente del teorema de compacidad o del de completitud semántica. El trabajo se iniciará a partir del concepto de cardinalidad y conjunto nito tradicional, es decir, aquel sobre el que se puede establecer una relación inyectiva con el modelo estandar de los naturales intuitivos
{1, 2, 3, 4, 5..}
para ir más allá de este modelo de referencia y establecer una nueva denición de cardinalidad relativa independiente de este modelo
Justicación y objetivo de esta investigación La cardinalidad de un conjunto se relaciona con el concepto de contar cuantos elementos tiene y se mide en relación a un conjunto particular, el de los números naturales intuitivos que se denomina "modelo estandar" esto es el hasta lo que concebimos como innito.
{1, 2, 3, 4, 5..} .
1 que se publicaron en los años 20 del
Según los teoremas de Löwenheim-Skolem
siglo pasado, sabemos que un conjunto que cumple los axiomas del modelo estandar puede tener distinta cardinalidad.
2
Por lo tanto, si el modelo estandar es el que utilizamos para contar y el mismo no es categórico ¾Porqué lo llamamos estándar? Cabría plantearse ¾Qué lo hace tan especial?
¾Una propiedad matemática única, el hecho de que es compatible
con la realidad del Universo o simplemente nosotros percibimos e interpretamos esta realidad en base a este modelo? El interés epistemológico de estas cuestiones Date : 15 de Febrero del 2015.
1Hunter,
Georey (1971). Sección 45.18. Metalogic: An Introduction to the Metatheory of
Standard First-Order Logic. University of California Press
2Así,
por ejemplo, hay conjuntos de números naturales de cardinal innumerable, es decir, que
no se pueden contar desde el modelo estándar Cantor mostró que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si se puede establecer una relación biyectiva entre sus elemento.
Esta correspondencia uno a uno le sirvió para idear un
concepto de conjunto innito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de números naturales
(N = {1, 2, 3, ...}) 1
SOBRE LA CARDINALIDAD RELATIVA DE CONJUNTOS EN MODELOS DE REFERENCIA NO ESTANDAR 2 es indudable, pero debemos comenzar respondiendo a la primera ¾Tiene el modelo estandar propiedades matemáticas únicas? y para ello inebitablemente debería ser posible descartar la siguiente conjetura.
Conjecture 1.
Cualquier conjunto de igual o distinta cardinalidad que el Modelo
Estándar de los naturales, si es utilizado como modelo de referencia para establecer la cardinalidad de otros conjuntos y de sí mismo adopta las propiedades generalmente atribuídas al Modelo Estándar como la de ser contable e innito. Asi, para cualquier conjunto U, se puede establecer el modelo M , tal que, Mref erence {U, σ}, tiene al conjunto U como aquel que satisface los axiomas y reglas deductivas σ Entonces, independientemente de la cardinalidad que U tenga en el modelo estandar de los naturales Nstandard ; si establecemos Mref erence como modelo de referencia, U se comporta como un conjunto de cardinalidad nito-contable. Asímismo, los elementos primitivos σ son equivalentes a los axiomas de la Arit-
3 incluyendo el principio de inducción completa.
mética de Peano
Finalmente todo conjunto también puede hacerlo con
U
H
que puede establecer una relación unívoca con
Es decir,
U
N,
puede servir de referencia para establecer
la cardinalidad de cualquier conjunto. En este artículo demostraremos que esta conjetura es cierta, es decir, que
N
(los
números naturales intuitivos) son un conjunto sin ninguna propiedad matemática especial más allá de que subjetivamente son los que nos parecen "naturales"
1.
concepto de cardinalidad relativa
Hipótesis para este trabajo:
1.1.
(1) No existe un modelo Universal de referencia para establecer la cardinalidad de conjuntos. En los siguientes ejercicios sustituiremos a
Nstandard de los Mref erence que
naturales por otro modelo de referencia al que llamaremos se puede construir en torno a cualquier conjunto pretativo que satisface los axiomas de
U
como conjunto inter-
M {U, σ} 4
(2) Asumiremos los axiomas de Zermelo-Fraenkel , sin axioma de elección. Sin embargo, habrá que demostrar el axioma del innito. Es decir, que si
U, |U |f inito desde N c´omo modelo de ref erencia =⇒ |U |inf inito desde M como modelo de ref erencia y
U, |U |inf inito desde N como modelo de ref erencia =⇒ |U |inf inito desde M como modelo de ref erencia (3) En base al Axioma de la regularidad de ZF un conjunto no debe contenerse a sí mismo. En base a las hipótesis anteriores, denimos la cardinalidad relativa como:
Denition 2. 3Peano,
Contabilidad y Cardinalidad Relativa de conjuntos
Giuseppe (marzo de 1979). Julián Velarde Lombraña, ed. Los principios de la arit-
mética: expuestos según un nuevo método. Traducido por Julián Velarde Lombraña (1a edición). Pentalfa Ediciones. ISBN 978-84-85422-02-9.
4Devlin,
York
Keith. The Joy of Sets (Fundamentals of Contemporary Set Theory), Springer, New
SOBRE LA CARDINALIDAD RELATIVA DE CONJUNTOS EN MODELOS DE REFERENCIA NO ESTANDAR 3 Sea un conjunto
H
conjunto de referencia
, se dene la cardinalidad de H relativa con respecto al
U
5 o
|H|U
como la existencia de una relación inyectiva
entre los elementos de los dos conjuntos de manera que:
|H|U = |U |U
y decimos que
H
es decir, que cada elemento de
U
cada elemento de
´ / , H −→ U, biyectiva enlazado con un único elemento de U y único elemento de H
es equipotente a
H
está
está enlazado con un
U
si existe
´
o bien, se puede dar el caso que:
´ H sea contable desde U´y lo denotamos como |U |U > |H|U si existe una relación /H −→ U, inyectiva y @ ´/U −→ H, inyectiva es decir, que cada elemento de H está enlazado con un único elemento de U pero existen elementos de U no enlazados, o bien,
|H|U > |U |U si existe una ´ @ ´/H −→ U, inyectiva es decir, que cada elemento de U está enlazado con un único elemento de H pero existen elementos de H no enlazados, H
U /U −→ H, inyectiva
sea incontable desde
relación
´
, y lo denotamos cómo
y
Remark 3. Nótese que si disponemos de la perspectiva de un tercer conjunto que cuente a ambos, como en el caso de
N
, todo conjunto de mayor
N − cardinalidad
(denido como la cardinalidad relativa desde el modelo estándar) que otro es simplemente incontable desde el primero, y desde este modelo de referencia no se puede conocer qué tan grande es la cardinalidad del mayor con respecto al menor ya que únicamente podemos contar (=relacionar elementos de uno con otro) hasta el último elemento disponible. Este hecho es similar a tratar de contar
N = N aturales todos los R.
desde con
Ya que no existen elementos sucientes en
U son N − cardinalidad
Observamos que todos los subconjuntos de superconjuntos o aquellos de mayor
Conjecture 4.
N
R = Reales para enlazar
contables mientras que los son incontables.
Deberíamos interpretar como contable únicamente en base a la
denición anterior del término, debido a que, a priori, no se puede aventurar que
U
sea ordenable y que por lo tanto sea posible asignar un ordinal al conjunto con-
tado. Sin embargo, más adelante demostraremos que todo conjunto
U
es equipo-
tente a un conjunto bien ordenado y que se dene desde el mismo. Pero por ahora, establezcámoslo como hipótesis. Ya nos encontramos en condiciones de abordar en concepto de nito e máximo contable e innito incontable relativos a un Conjunto de Referencia
U.
, veremos
que los tres se encuentran interrelacionados y que no son entendibles uno sin el otro.
Denition 5.
Conjunto nito relativo
Diremos que un conjunto como
|H|M −f inite
H
6
es nito en el Modelo
si es contable desde el conjunto
M {U, σ}
y lo denotaremos
U
Ahora podemos adentarnos en el concepto de máximo contable
5U
podría ser, y de hecho así lo estableceremos, el conjunto de referencia del modelo de
referencia
Mref erence {U, σ}siendo σ U
los elementos primitivos (axiomas y reglas propias) que se
satisfacen en
6El
objeto de esta investigación es la cardinalidad relativa pero, en adelante, podemos omitir
este término entendiendo que cualquier cardinalidad que se exprese es siempre se entenderá como relativa a un conjunto donde se interpreta el modelo de referencia especicado.
SOBRE LA CARDINALIDAD RELATIVA DE CONJUNTOS EN MODELOS DE REFERENCIA NO ESTANDAR 4
Denition 6.
Conjuntos de cardinalidad máxima contable
H
Diremos que un conjunto
M {U, σ}
es de cardinalidad máxima contable en el Modelo
y lo denotaremos como
|H|M −max
si es equipotente al conjunto
También denotaremos esta cardinalidad como del propio
CardM ax ,
U
es decir la cardinalidad
|U |
Es decir, no puede existir un conjunto de mayor cardinalidad que
U
y que sea
contable.
Denition 7.
Innito incontable o Transnito
H es innito incontable o transnito en el Modelo M {U, σ} y lo denotaremos como |H|M −transf inite si es incontable desde el conjunto U Diremos que un conjunto
Remark 8. Lo anterior se basa en el hecho de que en los conjuntos de cardinalidad mayor a
|U |
no se puede establecer un orden total debido a que no se pueden
determinar cuáles son estos conjuntos. Sean superior a
Cardmax
H1 y H2 dos conjuntos de cardinalidad Hn, /|H1 | > |Hn | > |H2 | es decir,
Nada impide la existencia de
puede haber un conjunto de cardinalidad intermedia entre cualquier conjunto de cardinalidad mayor a
Cardmax
Ello es similar a la indemostrabilidad de la hipótesis del contínuo, pues no podemos establecer en base a los axiomas de ZF que no exista un conjunto
|Hn | > |P (N )|
Fact 9.
siendo
P (N )
el conjunto potencia de los
De esta forma, pueden existir, ( y de hecho existen
) conjuntos innumerables. Desde axiomas del Modelo
Mref erence
Hn, /|N | >
N − naturales P (U )
y
P (P (U )
etc.
no es posible establecer en base a los
M {U, σ}que en breve deniremos, si no existen otros conjuntos
incontables de cardinalidad distinta y por lo tanto, si se pueden utilizar para establecer la cardinalidad de terceros conjuntos. Este hecho es similar a la indemostralidad de la hipótesis del contínuo. Remark 10. Nótese que desde
U
como conjunto de referencia, tan solo se pueden
construir conjuntos transnitos equipotentes a sin embargo, si
U
P (U ), P (P (U ), etc es decir, Alef 0, Alef 1 . . . 1 desde Nstandard se pueden
fuera un conjunto nito mayor que
contruir conjuntos de cardinalidad intermedia, es decir
|N |N > |U |N y U 6= 1 =⇒3 H/|P (U )| > |H| > |U || Claim 11. Nótese también que el orden de las cardinalidades es consistente, es decir,
Si U y N son dos posibles conjuntos de ref erencia y si |H1 |U > |H2 |U =⇒ |H1 |N > |H2 |N 7 7Dado
lo anterior no existe un método constructivo desde un determinado conjunto de referen-
cia para cambiar de modelo de referencia a otro de mayor cardinalidad ¾En base a qué axiomas? Estos axiomas deberían hacerse contables pues no se existir transnitos axiomas.
Esto es lo
que ocurre entre el primer y segundo orden de la aritmética, así si se pretendiera axiomatizar el continuo viendo los Reales como discretos (y que encajen en nuestra teoría de conjuntos igualmente de orden contable) requeriríamos limitar los axiomas de segundo orden hasta convertirlos y asimilarlos al primero contable, es decir, ser categóricos con los naturales.
Tal pareciera que
una vez establecido, no hay vía de escapatoria de un modelo de referencia y éste está destinado a convertirse en El Natural. Por otra parte, aunque hipotéticamente sería posible establecerse un nuevo Conjunto Ordenado de Referencia, seguiría existiendo un nuevo incontables.
P (U ´)
y cardinalidades
SOBRE LA CARDINALIDAD RELATIVA DE CONJUNTOS EN MODELOS DE REFERENCIA NO ESTANDAR 5 2.
Denition 12. referencia
Modelo de referencia
Dado cualquier conjunto
Mref erence
tal que
U
U,
se puede establecer un modelo de
sea el conjunto de referencia del modelo
M
La denición de un conjunto, se puede realizar por extensión, es decir, enumerando cada uno de sus elementos, o por comprensión, o sea, deniendo una propiedad que les caracteriza y que permita construir este conjunto. Si denimos
U
por compresión deberíamos establecer
face
σ
M, {U, σ}siendo U
un conjunto que satis-
, yσ el conjunto de elementos primitivos y reglas de inferencia que permiten
denir el conjuntoU .
Conjecture 13.
Si
|U | < |N |
como supondremos a partir de ahora, entonces,
U
podría denirse por extensión desde un modelo que tuviera a N como conjunto de referencia, sin embargo, U no puede denirse por extensión desde su propio modelo de referencia. Esto lo vamos a probar a continuación. Previo, quisiera hablar brevemente del concepto de denir. Decimos que todo lo que es denible puede nombrable con una constante o variable matemática de manera que sea distinguible de otro elemento. Etimológicamente denir está vinculado con el concepto de separar lo que es de lo que no es. DE-FINIR =Poner n o límites.
Proposition 14.
Para denir un conjunto por extensión, debemos denir todos
sus elementos además de al mismo conjunto. Proof. En primer lugar, todo conjunto es un elemento, por lo tanto, debe ser denible. De acuerdo al axioma de regularidad de ZF un conjunto no forma parte de sí mismo, para ello debemos poder separar=poner límites=denir el conjunto de los elementos de este. En caso de no poder realizarse esta diferenciación=denición Adicionalmente, en base al axioma de extensionalidad de ZF, un conjunto se identica y se diferencia de otro por sus elementos. Así, si existen dos conjuntos
x ∈ B
A
y
B A = B
si y solo sí para todo
x ∈ A =⇒
siendo que debemos delimitar o denir A, B así como cada uno de sus
subconjuntos/elementos
Remark 15. Esto tiene una relación directa con la cardinalidad, pues todo lo que es denible tiene la posibilidad de ser contado. Pero, por otra parte, no es posible contar más allá de la cardinalidad máxima según el conjunto de referencia dado.
Fact 16.
Entonces, al denir por extensión, (es decir, nombrando a cada uno de sus
elementos) un conjunto de la máxima cardinalidad |U|=CardM ax la cardinalidad de la denición supera la máxima cardinalidad contable. Se puede demostrar que + la cardinalidad de la denición es igual a la del conjunto U tal que si x ∈ U −→ x ∈ U + y U ∈ U + siendo que |U + |U > |U |U por lo tanto |U + | ' Incontable Remark 17. La conclusión anterior puede parecer paradojica pero ocurre lo mismo
Nstandard en cuanto a la diferencia entre el concepto de números naturales [x/x ∈ N ] y el concepto de los números naturales N = N aturales que incluye además de cualquier número [x/x ∈ N ] al propio conjunto N que le permite esen
tablecer relaciones entre los números naturales y otras cosas que no son números naturales como
R = reales, Z = enteros, etc
SOBRE LA CARDINALIDAD RELATIVA DE CONJUNTOS EN MODELOS DE REFERENCIA NO ESTANDAR 6 La diferencia sería que al referirnos a numeros naturales miramos desde adentro del conjunto
N
establecido como Universo y todo lo que existe son sus elementos,
cada uno de ellos nito contable. Mientras que al referirnos los Naturales incluímos, además de a todos los números naturales al propio conjunto. Otra gran diferencia es que un conjunto de cardinalidad igual a cualquier número natural
[x/x ∈ N ]
es un conjunto siempre de cardinalidad nita, y por tanto,
N = N aturales
denible por extensión mientras que los naturales
que incluyen
igualmente a cualquier natural además de al propio conjunto, son un conjunto innito que se debe denir por compresión, en este caso, mediante el principio de inducción.
U por comprensión. U por comprensión, esto es, mediante una propiedad atribuída a los U debemos necesariamente denir el Universo de Referencia mayor
Claim 18. Imposibilidad de denir Para denir elementos de
a U en el cual se cumpliría dicha propiedad.
Sin embargo, en las hipótesis de
U
trabajo, hemos establecido que cualquier conjunto
puede servir de conjunto de
referencia, y no hemos indicado ningún conjunto Universo en particular, por lo tanto, no podemos suponer que
Conjecture 19. comprensión....
U
tenga una propiedad en especíco.
Entonces, si no podemos denir
U
por extensión y tampoco por
el hecho de que no se pueda denir, no implica que
U
no ex-
ista. Sin embargo, demostraremos que se puede reaizar una construcción de cardinalidad igual a
U
y que la misma sea totalmente ordenada mediante el principio
de inducción. Es decir, demostraremos, que desde la perspectiva de
U
como con-
junto de referencia, la enumeración de sus elementos es equivalente a la sucesión
Sinductiva = {x0 , S(x0 ), S(S(x0 ) . . .}siendo S(x)
como el sucesor de
x
e incluyendo
el principio de inducción. Este principio establece que para todo elemento nito existe un sucesor también nito.
El principio de inducción se cumple
⇐⇒
en la sucesión no es posible
denominar o demostrar la existencia de un último elemento. Es decir, un elemento que no tenga sucesor. Proof. Para poder concluir apropiadamente si la hipótesis anterior es cierta, se debería demostrar, además de que no se puede representar en la sucesión un último elemento, el hecho de que tampoco se puede inferir su existencia a partir del conjunto de referencia y sus reglas formativas. Sin embargo, hemos visto que no podemos presumir ninguna capacidad de
U
para deducir sus propios elementos a
partir de ninguna propiedad o regla de inferencia (lo que implicaría la posibilidad de denición por comprensión) Los pasos para demostrar como cierta la anterior hipótesis son los siguientes: (1) Si
|U | es de cardinalidad equivalente al de la sucesión Sinductiva , es también
equivalente para establecer la cardinalidades de terceros conjuntos. (2) Podemos entonces establecer en el modelo de referencia
σ
Mref erence, M {U, σ}siendo S cardinal-
el principio de inducción que permitiría construir la sucesión
mente equivalente a
U
(3) En este caso, los elementos de esta sucesión pueden ser considerados como ordinales, de igual forma que en el conjunto de los números naturales. (4) Desde la perspectiva de los naturales, si
|N | > |U | entonces U tendría CardM ax No obstante, de-
un ordinal máximo y nito al que llamamos
mostraremos, que este ordinal no puede ser representado en la sucesión. (Ni,
SOBRE LA CARDINALIDAD RELATIVA DE CONJUNTOS EN MODELOS DE REFERENCIA NO ESTANDAR 7 por lo tanto demostrada su existencia en el modelo de referencia
Mref erence
) (5) Debido a la propia denición de conjunto de referencia y de cardinalidad máxima, el concepto de cardinal nito mayor a de la misma forma que en número nito.
N
Cardmax
no está disponible,
no está disponible el concepto del último
Además el propio elemento no sería representable ya que
para ello habría que denotar todos los elementos nitos y adicionalmente un conjunto de mayor cardinalidad, por lo tanto, la propia denotación superaría la cardinalidad máxima disponible. (6) Por lo tanto, en la sucesión no podría ser representado un sucesor mayor a
Cardmax . (7) Tampoco puede denotarse el propio
Cardmax debido
a que la propia no-
tación (esto es, los corchetes y el concepto de sucesión como antes de conjunto) es un elemento más, de forma que enumerando a
Cardmax estaríamos
superando la cardinalidad nita máxima. En otras palabras, estaríamos escribiendo una enumeración con un número de elementos mayor al nito. (8) En cambio, sí podría denotarse al antecesor de
Cardmax pero
en este caso,
el sucesor del antecesor deCardmax , (él mismo) sería un elemento nito. (9) Por lo anterior, no hay forma de inclumplir el axioma de inducción (de ZF) que establece que para todo elemento nito, existe un sucesor también nito. (10) Si no se puede deducir que el axioma es falso, entonces se puede incorporar como axioma válido en el modelo. (11) Si no existe un método para denotar al último elemento de la sucesión, tampoco existe la posibilidad de determinar cual es el penúltimo o el antepenúltimo y así sucesivamente. aquel que comienza desde la base
Es decir, el único orden disponible es
x0 lo
cual es compatible con el principio
de inducción enunciado. De forma que se prueba la hipótesis anterior y se puede enunciar el siguiente teorema:
Theorem 20.
Cualquier conjunto U, es cardinalmente equivalente a otro que puede
ser construido por medio del principio de inducción desde el modelo que lo utiliza como conjunto de referencia.
El axioma del innito de ZF establece como her-
ramienta para construir un conjunto cardinalmente equivalente a
Denition 21.
U
Innito contable
Denimos como innito contable la cardinalidad de un conjunto equiponente a otro denido mediante una sucesión
Sinductiva
Tal que existe
x0 ∈ U −→ S(x0 ) ∈
U/x −→ U =⇒ S(x) ∈ U Proof. Habíamos denido previamente a
|U |=CardM ax
e igual a la cardinalidad
máxima contable, por lo que de esta forma garantizamos que su cardinalidad es precisamente contable. Y previamente hemos demostrado que el conjunto tan solo es representable mediante una sucesión
Sinductiva
Por lo que podemos establecerlo
como innito-contable, siendo esta denición idéntica a la que aplica en el conjunto de los números naturales
N
8 8Quisiera
observar la diferencia entre el concepto de inducción y el concepto de límite inni-
tesimal, pues en cierto modo tienen similitudes. En efecto se puede establecer una función tal que
SOBRE LA CARDINALIDAD RELATIVA DE CONJUNTOS EN MODELOS DE REFERENCIA NO ESTANDAR 8 3.
Theorem 22.
Teoremas del infinito relativo
Desde cualquier modelo de referencia, todo conjunto nito es con-
table pero no todo conjunto contable es nito Proof. La existencia de, al menos un subconjunto de existan conjuntos nitos contables y
U
U
garantiza el hecho de que
tal como se demostró anteriormente es de
cardinalidad innito-contable.
Theorem 23.
En cualquier modelo de referencia, el complementario de un con-
junto nito es siempre innito. Proof. Sea la sucesión denida anteriormente
S = {x0 , s(x0 ), s(s(x0 ), xn , s(xn ) . . .}tal
que no se puede determinar ningún elemento nito que no tenga un sucesor también
S1 = {x0 , s(x0 ), s(s(x0 ), xn } y la S2 = {s(xx ) . . .} La primera parte |S1 |M −f inite es nita por el hecho de que es una denición de elementos por extensión. Y respecto a la segunda parte S2 , vemos que aparentemente tiene menor número de elementos que CardM ax ¾Se puede nito. Dividamos la sucesión en dos partes, una de otra de
determinar ahora el último elemento de la misma o se debe dejar abierta según lo establecido en el principio de inducción y equivalente al axioma del innito ? Demostraremos que no es posible mediante el siguiente procedimiento:
(1) Ahora ya podemos realizar operaciones con las cardinalidades (porque disponemos de una sucesión ordenada) (2) Entonces, la cardinalidad de
S2
U/|U | = CardM ax
CardM ax − |S1 |
será igual a
(3) Para establecer la cardinalidad de
S2 hace
falta que la cardinalidad de
esté disponible.
(4) Hemos visto que la única forma de representar estos elementos, es mediante una sucesión ordenada y mediante el principio de inducción de forma que en esta sucesión no es posible llegar al último elemento ni inducir por ningún método que tan cerca o lejos se encuentra cada ordinal respecto al mismo. (5) Por lo tanto,
CardM ax
no está disponible y ello implica que tampoco se
puede determinar el último elemento de la sucesión descrita en
S2
En otras palabras, desde un conjunto equipotente al de referencia, el concepto de máximo nito no está disponible y la realidad de los elementos se percibe y se valida matemáticamente como una sucesión innita.
Remark 24. Si hubiera algún método de denir
S2
y
U
(por extensión o por com-
S2 ⊂ U y por lo tanto S2 y U es mediante la suce-
prensión) como conjuntos, se podría vericar cláramente que
|S2 | < |U |
sin embargo, el único método de representar
sión ordenada imperfecta (pues no puede enumerar a todos los elementos) y los conceptos de nito e innito quedan asociados a la aplicabilidad o no del principio de inducción. Ocurre de manera idéntica en el modelo estándar, así el complementario de 3000 no es igual al complementario de 1, de la misma forma que los números pares el límite de la misma sean los propios límites del conjunto
U
y que contenga tantos pasos cómo
se deseen, es decir, innitos desde la perspectiva del modelo estandar. Sin embargo, al cambiar el modelo de referencia, es precisamente el concepto de innito el que cambia. Es decir, desde un conjunto de N-cardinalidad=2 Estableciendo a ese conjunto como el de referencia, la máxima cardinalidad sería precisamente 2, lo cual coincidiría con la cardinalidad del innito. Sin embargo, el propio concepto de 2 (que se encuentra denido desde
N)
ya no estaría disponible.
SOBRE LA CARDINALIDAD RELATIVA DE CONJUNTOS EN MODELOS DE REFERENCIA NO ESTANDAR 9 son un subconjunto de los naturales, sin embargo se determina que estos cuatro subconjuntos tienen la misma cardinalidad innita-contable.
Theorem 25.
En cualquier modelo de referencia, el conjunto de referencia es
equipotente a un subconjunto propio de sí mismo. Proof. Se dene la equipotencia como la posibilidad de establecer una relación biyectiva. En realidad, tanto en el modelo estandar como en cualquier otro modelo no se está realizando una relación biyectiva entre los elementos de los conjuntos unos con otros sino entre estos y la sucesión
N
conjunto
ni el conjunto
M
Sinductiva
. Esto es debido a que ni el
se pueden denir ni por extensión ni por comprensión
y se debe recurrir a la sucesión inductiva y el axioma del innito para representarlos. Según hemos visto anteriormente, se podría interpretar junto de
U
S2
como un subcon-
y bajo esa interpretación, un subconjunto sería equipotente al conjunto
U
Theorem 26.
La Unión de conjuntos de cardinalidad nita puede ser de cardinal-
idad innita. Proof. La unión de todos los subconjuntos de
U,
al propio
U siendo todos ello nitos, forman N, la Unión de todos los ordinales
innito. De la misma forma que en
nitos es innito.
Theorem 27.
9
La unión de un conjunto innito y otro nito es siempre de cardi-
nalidad innita Proof. La Unión de dos conjuntos contiene al primero. de cardinalidad igual o superior a
Cardmax
Un conjunto innito es
y el conjunto resultante de la unión
también lo es, resultando igualmente innito.
10
4.
a la consideración del amable lector de este artículo
De lo anterior se puede demostrar la paradoja de la división de una esfera nita desde un modelo de referencia como el eulidiano en dos esferas de la misma magnitud que la primera. Por otra parte, también dispongo de algunos comentarios, ejemplos aplicables al mundo físico que pueden ayudar a interpretar toda la lectura anterior. Éste artículo es un borrador en fase de desarrollo previo a cualquier publicación del mismo por lo que agradecería enormemente al lector cualquier comentario o aportación. Si quiere que le envíe la descripción de la paradoja de la esfera o los comentarios que he mencionado, por favor, no dude en solicitármelos. Estaré encantado de saber de Usted E-mail address :
9Cabe
[email protected]
mencionar que el número de números siempre es innito por denición.
números es lo que nunca puedes contar, esto es innito.
Todos los
Medido desde N U podría tener por
cardinalidad 7 o incluso 1 y este 1 sería simplemente todos los números o la innitud de números.
10Este
hecho recuerda a la llamada paradoja del Grand Hotel* introducida por Hilbert
Nombre de reconocimiento (DN):
[email protected] Fecha: 2015.02.28 00:21:14 -06'00'